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高三一轮复习精题组(任意角、弧度制及任意角的三角函数)有详细答案


§ 4.1

任意角、弧度制及任意角的三角函数

1. 角的概念 (1)任意角:①定义:角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位 置所成的图形;②分类:角按旋转方向分为正角、负角和零角. (2)所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,构成的角的集合是 S={β|β=k· 360° +α, k∈Z}. (3)象限角:使

角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么,角的 终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不 属于任何一个象限. 2. 弧度制 (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,正角的弧度数是正数, 负角的弧度数是负数,零角的弧度数是 0. 180? π (2)角度制和弧度制的互化:180° =π rad,1° = rad,1 rad=? . ? π ?° 180 1 1 (3)扇形的弧长公式:l=|α|· r,扇形的面积公式:S= lr= |α|· r2. 2 2 3. 任意角的三角函数 y 任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y)时,sin α=y,cos α=x,tan α= (x≠0).三个三 x 角函数的初步性质如下表: 三角函数 sin α cos α tan α 4. 三角函数线 定义域 R R π {α|α≠kπ+ , 2 k∈Z} 第一象 限符号 + + + 第二象 限符号 + - - 第三象 限符号 - - + 第四象 限符号 - + -

如下图,设角 α 的终边与单位圆交于点 P,过 P 作 PM⊥x 轴,垂足为 M,过 A(1,0)作单 位圆的切线与 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T.

(Ⅰ) 三角函数线

(Ⅱ)

(Ⅲ)

(Ⅳ)

有向线段 MP 为正弦线;有向线段 OM 为余 弦线;有向线段 AT 为正切线

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)小于 90° 的角是锐角. (2)锐角是第一象限角,反之亦然. (3)终边相同的角的同一三角函数值相等. (4)点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角 α 终边在第二象限. π (5)α∈(0, ),则 tan α>α>sin α. 2 (6)α 为第一象限角,则 sin α+cos α>1. 9π 2. 下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 4 A.2kπ+45°(k∈Z) C.k· 360° -315° (k∈Z) 答案 C 9π 9π 解析 与 的终边相同的角可以写成 2kπ+ (k∈Z), 但是角度制与弧度制不能混用, 所 4 4 以只有答案 C 正确. 3. 已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是 A.1 答案 C 解析 设此扇形的半径为 r,弧长为 l, B.4 C.1 或 4 D.2 或 4 ( ) 9 B.k· 360° + π (k∈Z) 4 5π D.kπ+ (k∈Z) 4 ( × ( × ( √ ( √ ( √ ( √ ( ) ) ) ) ) ) )

2r+l=6, ? ? ? ? ?r=1, ?r=2, 则?1 解得? 或? ?l=4 ?l=2. ? ? ? ?2rl=2, l 4 l 2 从而 α= = =4 或 α= = =1. r 1 r 2 4. 已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 2 5 sin θ=- ,则 y=________. 5 答案 -8 解析 因为 sin θ= y 2 5 =- , 5 42+y2

所以 y<0,且 y2=64,所以 y=-8. 5. 函数 y= 2cos x-1的定义域为________. π π? 答案 ? ?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z) 解析 ∵2cos x-1≥0, 1 ∴cos x≥ . 2 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示). π π? ∴x∈? ?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z).

题型一 角及其表示 例1 (1)终边在直线 y= 3x 上的角的集合是________. (2)如果 α 是第三象限角,那么角 2α 的终边落在________. 思维启迪 (1)利用终边相同的角的集合进行表示,注意对结果进行合并;

(2)根据 α 的范围求 2α 的范围,再确定终边位置. 答案 π (1){α|α=kπ+ ,k∈Z} 3

(2)第一、二象限或 y 轴的非负半轴上 解析 π (1)∵在(0,π)内终边在直线 y= 3x 上的角是 , 3

π ∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为{α|α= +kπ,k∈Z}. 3 3 (2)∵2kπ+π<α<2kπ+ π,k∈Z, 2

∴4kπ+2π<2α<4kπ+3π,k∈Z. ∴角 2α 的终边落在第一、二象限或 y 轴的非负半轴上. 思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个

角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角. (2)利用终边相同的角的集合 S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角 β 所在的象限时,只需 把这个角写成[0,2π)范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和,然后判断角 α 的象限. (1)在直角坐标平面内,对于始边为 x 轴非负半轴的角,下列命题中正确的 是 A.第一象限中的角一定是锐角 B.终边相同的角必相等 C.相等的角终边一定相同 D.不相等的角终边一定不同 (2)已知角 α=45° ,在区间[-720° ,0° ]内与角 α 有相同终边的角 β=________. 答案 解析 (1)C (2)-675° 或-315° π (1)第一象限角是满足 2kπ<α<2kπ+ ,k∈Z 的角,当 k≠0 时,它都不是锐角,与 2 ( )

角 α 终边相同的角是 2kπ+α,k∈Z;当 k≠0 时,它们都与 α 不相等,亦即终边相同的 角可以不相等,但不相等的角终边可以相同. (2)由终边相同的角关系知 β=k· 360° +45° ,k∈Z, ∴取 k=-2,-1,得 β=-675° 或 β=-315° . 题型二 三角函数的概念 例2 (1)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ 等 于 ( 4 A.- 5 ) 3 B.- 5 3 C. 5 4 D. 5 ( B.第二象限角 D.第四象限角 )

cos α (2)若 sin αtan α<0,且 <0,则角 α 是 tan α A.第一象限角 C.第三象限角 思维启迪

(1)由于三角函数值与选择终边上的哪个点没有关系,因此知道了终边所在的

直线,可在这个直线上任取一点,然后按照三角函数的定义来计算,最后用倍角公式求 值. (2)可以根据各象限内三角函数值的符号判断. 答案 (1)B (2)C

解析

5 (1)取终边上一点(a,2a),a≠0,根据任意角的三角函数定义,可得 cos θ=± , 5

3 故 cos 2θ=2cos2θ-1=- . 5 (2)由 sin αtan α<0 可知 sin α,tan α 异号,从而 α 为第二或第三象限角. 由 cos α <0 可知 cos α,tan α 异号,从而 α 为第三或第四象限角,故 α 为第三象限角. tan α (1)利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终边

思维升华

上任意一个异于原点的点的横坐标 x,纵坐标 y,该点到原点的距离 r. (2)根据三角函数定义中 x、y 的符号来确定各象限内三角函数的符号,理解并记忆:“一 全正、二正弦、三正切、四余弦”. 4 (1)已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30° ),且 cos α=- ,则 m 的值为 5 ( 1 A.- 2 1 B. 2 C.- 3 2 D. 3 2 )

sin?cos θ? (2)若 θ 是第二象限角,则 ________0.(判断大小) cos?sin θ? 答案 解析 (1)B (2)< (1)∵r= 64m2+9,∴cos α= 4 =- , 5 64m +9
2

-8m

4m2 1 1 ∴m>0,∴ = ,即 m= . 2 64m2+9 25 (2)∵θ 是第二象限角,∴-1<cos θ<0,0<sin θ<1, sin?cos θ? ∴sin(cos θ)<0,cos(sin θ)>0,∴ <0. cos?sin θ? 题型三 扇形的弧长、面积公式的应用 例 3 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积; (2)若扇形的周长是一定值 C (C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积? 思维启迪 解 (1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到;(2)建立关于 α 的函数.

(1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,则

π π 10π α=60° = ,R=10,l= ×10= (cm), 3 3 3 1 10π 1 π S 弓=S 扇-S△= × ×10- ×102×sin 2 3 2 3 = 50 50 3 π 3 π- =50? - ? (cm2). 3 2 ?3 2 ?

C (2)扇形周长 C=2R+l=2R+αR,∴R= , 2+α 1 2 1 ? C ?2 ∴S 扇= α· R = α·2+α 2 2 ? ? = C2 1 C2 1 C2 α· = · ≤ . 2 4+4α+α2 2 4 16 4+α+ α

C2 当且仅当 α2=4,即 α=2 时,扇形面积有最大值 . 16 思维升华 涉及弧长和扇形面积的计算时,可用的公式有角度表示和弧度表示两种,其 中弧度表示的公式结构简单,易记好用,在使用前,应将圆心角用弧度表示.弧长和扇 1 形面积公式:l=|α|R,S= |α|R2. 2 已知扇形的周长为 4 cm,当它的半径为________和圆心角为________弧度 时,扇形面积最大,这个最大面积是________. 答案 1 cm 2 1 cm2

解析 设扇形圆心角为 α,半径为 r,则 4 2r+|α|r=4,∴|α|= -2. r 1 ∴S 扇形= |α|· r2=2r-r2=-(r-1)2+1, 2 ∴当 r=1 时(S 扇形)max=1,此时|α|=2.

数形结合思想在三角函数中的应用 典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2 思维启迪 (1)求定义域,就是求使 3-4sin2x>0 的 x 的范围.用三角函数线求解.

(2)比较大小,可以从以下几个角度观察: θ θ θ θ ①θ 是第二象限角, 是第几象限角?首先应予以确定.②sin ,cos ,tan 不能求出 2 2 2 2 确定值,但可以画出三角函数线.③借助三角函数线比较大小. 规范解答 解 (1)∵3-4sin2x>0,

3 ∴sin2x< , 4

∴-

3 3 <sin x< . 2 2

[2 分]

利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示), π π kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). ∴x∈? 3 3? ? (2)∵θ 是第二象限角, π ∴ +2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z, 2 π θ π ∴ +kπ< < +kπ,k∈Z, 4 2 2 θ ∴ 是第一或第三象限的角. 2 (如图阴影部分),结合单位圆上的三角函数线可得: θ ①当 是第一象限角时, 2 sin θ θ θ =AB,cos =OA,tan =CT, 2 2 2 [8 分] [6 分] [4 分]

θ θ θ 从而得,cos <sin <tan ; 2 2 2 θ ②当 是第三象限角时, 2 sin θ θ θ =EF,cos =OE,tan =CT, 2 2 2

θ θ θ 得 sin <cos <tan . 2 2 2 θ θ θ θ 综上可得,当 在第一象限时,cos <sin <tan ; 2 2 2 2 θ θ θ θ 当 在第三象限时,sin <cos <tan . 2 2 2 2

[10 分]

[12 分]

温馨提醒 (1)第(1)小题的实质是解一个简单的三角不等式,可以用三角函数图象,也可以用 三角函数线. 但用三角函数线更方便. (2)第(2)小题比较大小, 由于没有给出具体的角度, θ 所以用图形可以更直观的表示.(3)本题易错点:①不能确定 所在的象限;②想不到应 2 用三角函数线.原因在于概念理解不透,方法不够灵活.

方法与技巧 1. 在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交 点.|OP|=r 一定是正值.

2. 三角函数符号是重点,也是难点,在理解的基础上可借助口诀:一全正,二正弦,三正 切,四余弦. 3. 在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 失误与防范 1. 注意易混概念的区别:象限角、锐角、小于 90° 的角是概念不同的三类角.第一类是象 限角,第二、第三类是区间角. 2. 角度制与弧度制可利用 180° =π rad 进行互化, 在同一个式子中, 采用的度量制度必须一 致,不可混用. 3. 已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题 1. α=k· 180° +45° (k∈Z),则 α 在( A.第一或第三象限 C.第二或第四象限 答案 A 解析 45° 角在第一象限,角 α 和 45° 角终边相同或互为反向延长线,∴角 α 在第一或第 三象限. 2. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角 α∈(0,π)的弧度数为 ( π A. 3 答案 C 解析 设圆半径为 r,则其内接正三角形的边长为 3r, 所以 3r=α· r,∴α= 3. 3. 角 α 的终边过点 P(-1,2),则 sin α 等于 ( A. 5 5 ) 2 5 B. 5 C.- 5 5 2 5 D.- 5 π B. 2 C. 3 D.2 ) ) B.第一或第二象限 D.第三或第四象限

答案 B 解析 由三角函数的定义,

得 sin α=

2 2 5 2 2= 5 . ?-1? +2

4. 若 α 是第三象限角,则下列各式中不成立的是 ( ) B.tan α-sin α<0 D.tan αsin α<0

A.sin α+cos α<0 C.cos α-tan α<0 答案 B

解析 在第三象限,sin α<0,cos α<0,tan α>0,则可排除 A、C、D,故选 B. 5. 给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关; ④若 sin α=sin β,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cos θ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是 A.1 答案 A 解析 由于第一象限角 370° 不小于第二象限角 100° , 故①错; 当三角形的内角为 90° 时, π 5π π 其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于 sin =sin ,但 与 6 6 6 5π 的终边不相同,故④错;当 cos θ=-1,θ=π 时既不是第二象限角,又不是第三象限 6 角,故⑤错.综上可知只有③正确. 二、填空题 6. 设 α 为第二象限角, 其终边上一点为 P(m, 5), 且 cos α= 答案 10 4 2 m, 则 sin α 的值为________. 4 B.2 C.3 D.4 ( )

解析 设 P(m, 5)到原点 O 的距离为 r, m 2 则 =cos α= m, r 4 ∴r=2 2,sin α= 5 5 10 = = . r 2 2 4 2π 2π ,cos ),则角 α 的最小正值为________. 3 3

7. 已知角 α 的终边上一点的坐标为(sin 答案 11 π 6

2π 1 cos - 3 2 3 解析 ∵tan α= = =- , 2π 3 3 sin 3 2 且 sin 2π 2π >0,cos <0, 3 3 3 11 ,得 α 的最小正值为 π. 3 6

∴α 在第四象限,由 tan α=- 8. y= 答案 sin x-

3 的定义域为________. 2

π 2π {x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z} 3 3 3 3 , 作直线 y= 交单位圆于 A、 B 两点, 连接 OA、 2 2

解析 ∵sin x≥

OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 α 的终边的范 围,故满足条件的角 α 的集合为 π 2π {x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z}. 3 3 三、解答题 9. 已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m) (m≠0)且 sin θ= 求 cos θ 和 tan θ 的值. 解 由题意,得 r= 3+m2, m 2 = m. 3+m2 4 2 m,试判断角 θ 所在的象限,并 4

所以 sin θ=

因为 m≠0,所以 m=± 5,故角 θ 是第二或第三象限角. 当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5),角 θ 是第二象限角, x - 3 6 所以 cos θ= = =- , r 2 2 4 y 5 15 tan θ= = =- ; x - 3 3 当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5),角 θ 是第三象限角, x - 3 6 所以 cos θ= = =- , r 2 2 4 y - 5 15 tan θ= = = . x - 3 3 10.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB. 解 设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm,

1 ? ? ?2lr=1, ?r=1, 则? 解得? ?l=2. ? ? ?l+2r=4, l ∴圆心角 α= =2 弧度. r 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 弧度. ∴AH=1· sin 1=sin 1(cm),∴AB=2sin 1(cm). B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) k k 1. 设集合 M={x|x= ×180° +45° ,k∈Z},N={x|x= ×180° +45° ,k∈Z},那么( 2 4 A.M=N C.N?M 答案 B k 解析 方法一 由于 M={x|x= ×180° +45° , k∈Z}={?, -45° , 45° , 135° , 225° , ?}, 2 k N={x|x= ×180° +45° ,k∈Z}={?,-45° ,0° ,45° ,90° ,135° ,180° ,225° ,?}, 4 显然有 M?N. k 方法二 由于集合 M 中,x= ×180° +45° =k×90° +45° 2 =45° ×(2k+1),2k+1 是奇数; k 而集合 N 中,x= ×180° +45° =k×45° +45° =(k+1)×45° ,k+1 是整数,因此必有 M 4 ?N. π sin θ cos θ tan θ 2. 已知角 α=2kπ- (k∈Z),若角 θ 与角 α 的终边相同,则 y= + + 的值为 5 |sin θ| |cos θ| |tan θ| ( A.1 答案 B π 解析 由 α=2kπ- (k∈Z)及终边相同的概念知,角 α 的终边在第四象限, 5 又角 θ 与角 α 的终边相同,所以角 θ 是第四象限角, 所以 sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0. 所以 y=-1+1-1=-1. 3. 函数 y= sin x+ 1 -cos x的定义域是_____________________________________. 2 B.-1 C.3 D.-3 ) B.M?N D.M∩N=? )

π ? 答案 ? ?3+2kπ,π+2kπ?(k∈Z)

sin x≥0, sin x≥0, ? ? ? ? 解析 由题意知?1 即? 1 ? ? ?2-cos x≥0, ?cos x≤2. π ∴x 的取值范围为 +2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z. 3 4. 已知扇形 AOB 的周长为 8. (1)若这个扇形的面积为 3,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 解 设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 α,

2r+l=8, ? ? (1)由题意可得?1 ?2lr=3, ?
? ? ?r=3 ?r=1, 解得? 或? ? ? ?l=2 ?l=6,

l 2 l ∴α= = 或 α= =6. r 3 r 1 1 (2)∵2r+l=8,∴S 扇= lr= l· 2r 2 4 1 l+2r 2 1 8 2 ≤ ( ) = ×( ) =4, 4 2 4 2 l 当且仅当 2r=l,即 α= =2 时,扇形面积取得最大值 4. r ∴r=2,∴弦长 AB=2sin 1×2=4sin 1. 5. 已知 sin α<0,tan α>0. (1)求 α 角的集合; α (2)求 终边所在的象限; 2 (3)试判断 tan 解 α α α sin cos 的符号. 2 2 2

(1)由 sin α<0,知 α 在第三、四象限或 y 轴的负半轴上;

由 tan α>0,知 α 在第一、三象限, 故 α 角在第三象限,其集合为 3π {α|(2k+1)π<α<2kπ+ ,k∈Z}. 2 3π (2)由(2k+1)π<α<2kπ+ ,k∈Z, 2 π α 3π 得 kπ+ < <kπ+ ,k∈Z, 2 2 4

α 故 终边在第二、四象限. 2 α α α α (3)当 在第二象限时,tan <0,sin >0,cos <0, 2 2 2 2 所以 tan α α α sin cos 取正号; 2 2 2

α α α α 当 在第四象限时,tan <0,sin <0,cos >0, 2 2 2 2 所以 tan α α α sin cos 也取正号. 2 2 2 α α α sin cos 取正号. 2 2 2

因此,tan


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