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平面向量复习学案(教师)


第 1 课时

向量的概念与几何运算

4.⑴ 平面向量基本定理:如果 e1 、 e 2 是同一平面内的 两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数 ?1 、 ? 2 ,使得 .

基础过关 1.向量的有关概念 ⑴ 既有 又有 的量叫向量. 的向量,叫单位向量. 叫平行向量,也叫共线向量.规 . 的向量叫相等向量. 的

⑵ 设 e1 、 e 2 是一组基底, a = x1 e1 ? y1 e2 , b =
x2 e1 ? y 2 e2 ,则 a 与 b 共线的充要条件是

向量叫零向量. ⑵ 定零向量与任一向量 ⑶ 且



典型例题

2.向量的加法与减法 ⑴ 求两个向量的和的运算,叫向量的加法.向量加法按 法则或 法则进行.加法满足 律和 律.

例 1. 已知△ABC 中, D 为 BC 的中点, E 为 AD 的中点. 设
AB ? a , AC ? b ,求 BE .

⑵ 求两个向量差的运算,叫向量的减法.作法是将两向 量的 重合,连结两向量的 ,方向指向 .

公式:向量AB+向最BC=向量AC 向量 OA--向量OB=向量BA 3.实数与向量的积 ⑴ 实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a .它的长 度与方向规定如下: ① | ? a |= . ; ; 变式训练 1.如图所示,D 是△ABC 边 AB 上的中点,则 向量 CD 等于( ) A.- BC + BA B.- BC - BA C. BC - BA D. BC + BA 例 2. 已知向量 a ? 2e1 ? 3e2 ,b ? 2e1 ? 3e2 ,c ? 2e1 ? 9e2 ,其 中 e1 、 e 2 不共线,求实数 ? 、 ? ,使 c ? ? a ? ? b .
1 2 1 2 1 2 1 2

A D B C

② 当 ? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向 当 ? <0 时, ? a 的方向与 a 的方向 当 ? =0 时, ? a ⑵ ? (μ a )= ( ? +μ) a =
? ( a + b )=

. . . .

⑶ 共线定理1: 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是 有且只有一个实数 λ 使得 .

共线定理2:已知向量OP=入 OA+uOB, 当入+u=1 时,则 P、A、B 三点共线。 共线定理 3:x1y2-x2y1=0
1

变式训练 2:已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于 O
PA ? PB ? PC ? PD ? 4PO 点, 点 P 为平面上任意一点, 求证:

小结归纳

1.认识向量的几何特性.对于向量问题一定要结合图形 例 3. 已知 ABCD 是一个梯形, AB、 CD 是梯形的两底边, 且 AB=2CD, M、 N 分别是 DC 和 AB 的中点, 若 AB ? a ,
AD ? b ,试用 a 、 b 表示 BC 和 MN .

进行研究.向量方法可以解决几何中的证明. 2.注意 O 与 O 的区别.零向量与任一向量平行. 3.注意平行向量与平行线段的区别.用向量方法证明 AB∥CD, 需证 AB ∥ CD , 且 AB 与 CD 不共线. 要证 A、 B、C 三点共线,则证 AB ∥ AC 即可. 4.向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多 边形法则,特点:首尾相接首尾连;向量减法的三角形

变式训练 3: 如图所示, OADB 是以向量 OA = a ,OB =
1 1 b 为邻边的平行四边形,又 BM = BC , CN = CD , 3 3

法则特点:首首相接连终点. 第 2 课时 基础过关 平面向量的坐标运算

试用 a 、 b 表示 OM , ON , MN . O

B M C N A

D

1.平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作 例 4. 设 a , b 是两个不共线向量,若 a 与 b 起点相同,
1 t∈R,t 为何值时, a ,t b , ( a + b )三向量的终点在一 3

为基底,对于一个向量 a ,有且只有一对实数 x、y,使 得 a =x i +y j .我们把(x、y)叫做向量 a 的直角坐标, 记作 .并且| a |= . 的向量是一一对应

条直线上? 2.向量的坐标表示与起点为 的关系. 变式训练 4:已知 3.平面向量的坐标运算: 若 a =(x1、y1), b =(x2、y2),λ∈R,则:
a a

OA ? a, OB ? b, OC ? c, OD ? d , OE ? e ,设 t ? R ,
如果 3a ? c, 2b ? d ,

+b = -b =

e ? t (a ? b) ,那么 t 为何值时,C, D, E 三点在一条直线
上?

λa = 已知 A(x1、y1),B(x2、y2),则 AB = .

2

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平面向量的坐标运算: (1) 若

a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ?

2 a - b ,且 e1 ∥ e 2 ,求 x.





a?
(2) 若

?b 1?

, x2 ?

?

1

x

? y2

2

y

1

A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?

A ?? B 2

, ? 1x ?

? x

y

(3) 若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y) (4) 若

e1=a+2b=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4) e2=2a-b=(2,4)-(x,1)=(2-x,3) ∵ e1∥ e2 ∴ (2x+1)/(2-x)=4/3 4(2-x)=3(2x+1) 8-4x=6x+3 y 10x=5 x=1/2 变式训练 3.设 a =(ksinθ, 1), b =(2-cosθ, 1) (0 <θ<π),
a

a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ?
? /b1
2





a/
(5) 若

? x

y2

? 01 x

2

y


∥ b ,求证:k≥ 3 .
2 ? 2 cos(? ? sin ?

a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ?
b 1 ?
2

a?

x?

x1 ?

y?

y

2 ? cos? 提示: k= sin ?

?

∴k- 3 =

) 3 ≥0∴k≥ 3

若 a ? b ,则 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0
4.两个向量 a =(x1、y1)和 b =(x2、y2)共线的充要条件 是 典型例题 .

例 4. 在平行四边形 ABCD 中,A(1,1), D
AB

C P M B

=(6,0),点 M 是线段 AB 的中点, A

线段 CM 与 BD 交于点 P. (1) 若 AD =(3,5),求点 C 的坐标;

(2) 当| AB |=| AD |时,求点 P 的轨迹.
1 AB , 3

例 1.已知点 A(2,3),B(-1,5),且 AC = 求点 C 的坐标. 变式训练 1.若 OA ? (2,8) , OB ? (?7, 2) ,则

平行四边形中:A 点坐标+C 点坐标=B 点坐标+D 点坐标 向量 AB=B 点坐标-A 点坐标. ∴ B 点坐标=(1+6, 1+0)=(7,1) 同 理 D 点 坐 标 =(4,6), ∴ C 点 坐 标 : (4+7-1,6+1-1)=(10,6) 设点 D 坐标(x,y)则有(x-1)? +(y-1)? =36 ∵ AB‖ CD ∴ MB:CD=BD:PD=1:2 用定比分点公式: 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),点 P(x,y)分 线段 P1P 即 P1P/P2P 为 λ, 则 x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ), 并且 λ≠-1。 所以点 P 的坐标:((7+2x)/3,(1+2y)/3)=(u,v) u=(7+2x)/3,则 x=(3u-7)/2; v=(1+2y)/3,则 y=(3v-1)/2; 将这个代入(x-1)? +(y-1)? =36,就是圆的轨迹方程,

1 AB = 3

.

例 2. 已知向量 a =(cos | a - b |=

? ? ? ? ,sin ), b =(cos ,sin ), 2 2 2 2

2 5 ,求 cos(α-β)的值. 5

变式训练 2.已知 a -2 b =(-3,1),2 a + b =(-1,2), 变式训练 4.在直角坐标系 x、y 中,已知点 A(0,1)和点 求a +b . B(-3,4),若点 C 在∠AOB 的平分线上,且| OC |=2, 求 OC 的坐标. 例 3. 已知向量 a =(1, 2),b =(x, 1), e1 = a +2 b ,e 2 =
3

OB 模长=5,

OA 模长=1, 设 OA'=5OA, 则 A'(0,5)与 B 的连线中点(-1.5,4.5)在∠ AOB 的平分线上. 设点 C(x,y),那么 x/y=-1.5/4.5 x^2+y^2=2^2 x=-(√10)/5,y=3(√10)/5

已 知 两 个 向 量 a ? ( 1x , 1 y )? ,b
a· b = x1 x2 ? y1 y2
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2

(x , ,y 则 ) 2

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8 向量的夹角:已知两个非零向量 a 与 b , 作
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叫 OA = a , OB = b ,则∠AOB= ? ( 0 0 ? ? ? 1800 ) 做向量 a 与 b 的夹角 cos ? = cos ? a , b ??
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第 3 课时

平面向量的数量积

平面向量的数量积知识点:

a ?b a?b

1 两个向量的数量积:
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=

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2

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已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则
a· b =︱ a ︱· ︱ b ︱cos ?

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当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ =00, 当且仅当 a 与 b 反方向时θ =1800,同时 0 与其它
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叫做 a 与 b 的数量积(或内积) 规定 0 ? a ? 0
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任何非零向量之间不谈夹角这一问题 2 向量的投影: ︱ b ︱cos ? =
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a ?b ∈R, 称为向量 b |a|
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9 垂直:如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直,
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在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影
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记作 a ⊥ b
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b 等于 a 的长度与 b 在 a 3 数量积的几何意义: a ·
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方向上的投影的乘积
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10 两个非零向量垂直的充要条件: ? ? ? ? a ⊥ b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
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4 向量的模与平方的关系: a ? a ? a 2 ?| a |2
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基础过关 1.两个向量的夹角:已知两个非零向量 a 和 b ,过 O 点 作 OA = a , OB = b ,则∠AOB=θ (0°≤θ≤180°) 叫做向 量a 与b 的 =180° 时,a 与 b .当 θ=0° 时, a 与 b ;当 θ

5 乘法公式成立:
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? ?? ? ? a ? b ? ? a ? 2a ? b ? b
2 2
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a ? b ? a ? b ? a2 ? b 2 ? a ? b ;
2

2

2

? a ? 2a ? b ? b

2

2

6 平面向量数量积的运算律:
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①交换律成立: a ? b ? b ? a ② 对 实 数 的 结 合 律 成 立 :

;如果 a 与 b 的夹角是 90° ,我 .

? ? a ? ? b ? ? ? a ? b ? ? a ? ? ?b ? ? ? ? R ?
③分配律成立: a ? b ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? a ? b

们说 a 与 b 垂直,记作

?

?

?

?

2.两个向量的数量积的定义:已知两个非零向量 a 与 b , 它们的夹角为 θ,则数量
b ,即 a · b= (或内积),记作 a ·

a ? b ?c ? a ?b ?c ; 特别注意: (1) 结合律不成立:

? ? ?

?

叫做 a 与 b 的数量积 .规定零向

(2)消去律不成立 a ? b ? a ? c 不能得到 b ? c ? (3) a ? b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 7 两个向量的数量积的坐标运算:
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量与任一向量的数量积为 0.若 a =(x1, y1), b =(x2, y2),
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b= 则a ·



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4

3.向量的数量积的几何意义: | b |cosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 (θ 是向量 a 与 b 的

所以 |2a-3b|=根号180=6根号5.
b =(1, 例 2. 已知向量 a =(sin ? , 1), cos ? ), -

?
2

?? ?

?
2



夹角). (1) 若 a⊥b,求 ? ;
a· b 的几何意义是,数量 a · b 等于

. (2) 求| a + b |的最大值.

4.向量数量积的性质:设 a 、 b 都是非零向量, e 是单 位向量,θ 是 a 与 b 的夹角.
a =a · e= ⑴ e·

⑵ a ⊥b ?
b= ⑶ 当 a 与 b 同向时, a · b= 当 a 与 b 反向时, a ·

变式训练 2: 已知 a ? (cos ?,sin ?) ,b ? (cos ? ,sin ? ) , ; . 其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; (2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等, 求 ? ? ? 的值( k 为非 零的常数).
?

⑷ cosθ=
b |≤ ⑸ |a ·



?

?

?

5.向量数量积的运算律:
b= ⑴ a· b= ⑵ (λ a )· c= ⑶ ( a + b )·

; = a ·(λ b )

例 3. 已知 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足( OB -
OC )· ( OB + OC -2 OA )=0,判断△ABC 是哪类三角形.

典型例题 例 1. 已知| a |=4,| b |=5,且 a 与 b 的夹角为 60° ,求: (2 a +3 b )· (3 a -2 b ). 1、∵ |a|=4,|b|=5, 且向量 a 与向量 b 的夹角为 60° ∴ ab=|a||b|cos60° =4*5*1/2 =10

解:设 BC 的中点为 D,则( OB ? OC )( OB ? OC ? 2OA )=
AD =0 ? BC⊥AD ? △ABC 是等腰三角形. 0 ? 2 BC ·

∴ (2a+3b)· (3a-2b) =6|a|? +5ab-6|b|? =6*4? +5*10-6*5? =-4 变式训练 1.已知| a |=3,| b |=4,| a + b |=5,求|2 a -3 b | 的值. |a+b|^2=5^2=25=a^2+2ab+b^2=25+2ab 即 ab=0 |2a-3b|^2=4a^2-12ab+9b^2=4*9+9*16=180
5

变式训练 3:若 A(1, 2), B(2,3), C (?2,5) ,则△ABC 的 形状是 .

例 4. 已知向量 m =(cosθ, sinθ)和 n =( 2 -sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且| m ? n |=
? ? 8 2 ,求 cos( ? )的值. 2 8 5

变式训练 4.平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( , 不同时为 0 的实数 k 和 t ,使

1 3 若存在 ), 2 2

x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 且 x ? y ,试求函数关
系式 k ? f (t ) .

小结归纳

1. 运用向量的数量积可以解决有关长度、 角度等问题. 因 此充分挖掘题目所包含的几何意义,往往能得出巧妙的 解法.
b 与 ab 的区别. a · b =0≠> a = 0 ,或 b = 0 . 2.注意 a ·

3.应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个 向量,通过平移,使起点重合. 变式训练 4.已知△ABC 的三个顶点为 A(1,2),B(4, 1),C(3,4). (1)求 AB 边上的中线 CM 的长及重心 G 的坐标; (2)在 AB 上取一点 P,使过 P 且平行于 BC 的直线 PQ 把 △ABC 的面积分成 4︰5 两部分 (三角形面积: 四边形面 积),求点 P 的坐标

6

平面向量章节测试题 一、选择题 1. 若 A (2, -1) , B (-1, 3) , 则 AB 的坐标是 ( )

10.若|a|=1,|b|= 2 ,(a-b)⊥a,则 a 与 b 的夹角为 A.300 B.450 C.600 D.750

(

)

11.把一个函数的图象按向量 a=( 象对应的函数解析式为 y=sin(x+

? ,-2)平移后,得到的图 3 ? )-2,则原函数的解析式 6

A.(1,2) B.(-3,4) C. (3,-4)D. 以上都不对 2.与 a=(4,5)垂直的向量是 ( ) D.(5k, -4k)

5 4 A.(-5k,4k) B. (-10,2) C. ( , ? ) k k

为 A.y=sinx

(

) B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx

3. △ABC 中, BC =a, AC =b,则 AB 等于 ( A.a+b ) B.-(a+b) C.a-b D.b-a )

12.在△ABC 中, AB =c, BC = a, CA =b,则下列推导中 错误的是 ( )

2 2 1 4.化简 (a-b)- (2a+4b)+ (2a+13b)的结果是( 5 15 3

A.若 a· b<0,则△ABC 为钝角三角形 B. 若 a· b=0,则△ABC 为直角三角形 C. 若 a· b=b· c,则△ABC 为等腰三角形 D. 若 c· ( a+b+c)=0,则△ABC 为等腰三角形 二、填空题 13.在△ABC 中,已知 AB ? AC ? 4, 且 AB ? AC ? 8, 则这 个三角形的形状是 .

A. a ?

1 5

1 b 5

B.0

C.

1 1 a+ b 5 5

D.

1 1 a- b 5 5

? 5.已知|p|= 2 2 ,|q|=3, p 与 q 的夹角为 ,则以 a=5p+2q,b=p 4

-3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为 A.15 B. 15 C. 16 D.14

(

)

6.已知 A(2,-2),B(4,3),向量 p 的坐标为(2k-1,7)且 p∥ AB , 则 k 的值为 A. ?
9 10

14.一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸 的方向行驶,同时河水的流速为 2km / h ,则船实际航行

( B.
9 10

) C. ?
19 10

D.

19 10

的速度的大小和方向是

.

15. 若向量 a ? (3,?2), b ? (?2,1), c ? (7,?4) ,现用 a、b 表示 c,则 c= .

7. 已知△ABC 的三个顶点,A、B、C 及平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 与△ABC 的关系是 ( )

16.给出下列命题:①若 a2+b2=0,则 a=b=0; ②已知 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则
x ? x2 y1 ? y 2 1 AB ? ( 1 , ); 2 2 2

A. P 在△ABC 的内部 B. P 在△ABC 的外部 C. P 是 AB 边上的一个三等分点 D. P 是 AC 边上的一个三等分点 8.已知△ABC 的三个顶点,A (1,5),B(-2,4),C(-6,-4),
1 M 是 BC 边上一点,且△ABM 的面积是△ABC 面积的 , 4

③已知 a,b,c 是三个非零向量,若 a+b=0,则|a· c|=|b· c| ④已知 ?1 ? 0, ?2 ? 0 ,e1,e2 是一组基底,a=λ1e1+λ2e2 则 a 与 e1 不共线,a 与 e2 也不共线; ⑤若 a 与 b 共线,则 a· b=|a|· |b|.其中正确命题的序号 是 三、解答题 D.
85 2

.

则线段 AM 的长度是 A.5 B. 85

( C.
5 2

)

17.如图,ABCD 是一个梯形, AB // CD, AB ? 2 CD , M、N M 分别是 DC, AB 的中点,已知 AB ? a, AD ? b, 试用 a、b 表示 D C )
DC , BC 和 MN .

9.设 e1,e2 是夹角为 450 的两个单位向量,且 a=e1+2e2,b=2e1+e2,,则|a+b|的值 A. 3 2 B.9 (

C. 18 ? 9 2 D. 3 2 ? 2
7

A

N

B

18.设两个非零向量 e1、e2 不共线.如果
AB =e1+e2, BC ? 2e1+8e2, CD =3(e1-e2)

⑴求证:A、B、D 共线; ⑵试确定实数 k,使 ke1+e2 和 e1+ke2 共线.

19.已知△ABC 中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC 边上的高为 AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点 D 与向量 AD 的坐标.

20.已知△ABC 的三个顶点为 A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求 AB 边上的中线 CM 的长;⑵在 AB 上取一点 P,使过 P 且 平行与 BC 的直线 PQ 把 ?ABC 的面积分成 4:5 两部分, 求 P 点的坐标.

21.已知 a、b 是两个非零向量,证明:当 b 与 a+λb(λ∈R) 垂直时,a+λb 的模取得最小值.

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