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《组合》(二)


组合(2)

组合数公式

A C ? A
m n

m n m m

n(n ? 1)( n ? 2) ? (n ? m ? 1) ? m!

n! C ? m !(n ? m) !
m n

问题情境
练习1:计算C  ;C


7 10 3 10

问题1:为何上面两个不同的组合数其结果相 同?怎样对这一结果进行解释?

从10个元素中取出7个元素后,还剩下 3个元素,就是说,从10个元素中每次取 出7个元素的一个组合,与剩下的(10-7) 个元素的组合是一一对应的。因此,从10 个元素中取7个元素的组合,与从这10个 元素中取出(10-7)个元素的组合是相等的

即:C10 ? C10 (? C10 )
7 10 ? 7 3

问题2:上述情况加以推广可得组合数怎样的 性质?

一般地,从 n 个不同元素中取出 m 个 元素后,剩下 n ? m 个元素.因为从 n 个 不同元素中取出m个元素的每一个组合, 与剩下的n ? m个元素的每一个组合一一 对应,所以从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的组合数,等于从这 n 个元素中取出 n ? m个元素的组合数 m n? m C ?Cn
n

1、组合数性质1:
m

n! 证明:根据组合数公式有 C ? m !(n ? m)! n! n?m Cn ? (n ? m)!? n ? (n ? m)?! n! ? m!(n ? m)!
m n

Cn ? Cn

知识新授

n?m

故有:C ? C
m n

n ?m n

1、组合数性质1:
m

n m 1、为简化计算,当m> 时,通常将计算 C n 2 n ?m 改为计算 Cn
2、 为了使性质1在m=n时也能成立,规定 C n
0

说明:

Cn ? Cn

n?m

?1

3、C ? C ? x ? y或x ? y ? n
x n y n

4、练习:计算 C

97 100

问题情境 问题1:
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球

①从口袋里取出3个球,共有多少种取法?
②从口袋里取出3个球,使其中含有一个黑球, 有多少种取法? ③从口袋里取出3个球,使其中不含黑球,有 多少种取法?
从引例中可以发现一个结论:

C ? C ?C
3 8 2 7

3 7

对上面的发现(等式)作怎样解释?

问题2:

从a1、a2、a3、 an ?1这n ? 1个不同元素中,每次取出 m个元素. m a)可以有多少个完全不同的组合?

Cn ?1

b)在这些组合里有多少个是含特殊元素a1的组合? d )由分类计数原理你能得到的结论是什么? e)请运用已学知识证明你的结论.

C

c)在这些组合里有多少个是不含特殊元素a1的组合?

C

m ?1 n

m n

C

m n ?1

? C ?C
m n

m ?1 n

从n+1个元素中取出m个元素的组合,可以看成从 n+1个元素中分两类抽取,其中一类是含元素 a1 时抽 m?1 取m-1个即 Cn ,另一类是不含元素 a1 时抽取m个 m m m m ?1 即 Cn ,由分类计数原理有: Cn?1 ? Cn ? Cn .

2、组合数性质2:

C
m n

n! n! ? 证明: C ? C ? m!(n ? m)! (m ? 1)!? n ? (m ? 1)?! n !(n ? m ? 1) ? n !m ? m !(n ? m ? 1)! ( n ? m ? 1 ? m) n ! ? m !(n ? 1 ? m)!
m ?1 n

m n ?1

? C ?C
m n

m ?1 n

(n ? 1)! m ? ? Cn?1 m!?(n ? 1) ? m?!

说明:
①性质2常用于恒等式变形和证明等式.规律是 “下标相同,上标相邻的两个组合数相加,结果是 一个组合数:下标加 1,上标取大”. ②性质2既体现了“分解性”由左到右,又体现 了“合并性”由右到左. 应灵活运用,以便解题; ③以上两个性质,既可用组合数公式证明,也可 根据组合定义得到. ④练习:计算

C ?C ?C ?
0 3 1 4 2 5

?C

7 10

例题讲解:
例1、计算
(1)

( 2)
( 3)

?C 2C ? C ? C
99

C C

198

; 200
3

? C 99;
3
3

2

C
3

2 200

?

200 ? 199 2?1

? 19900

3

8

9

? 100 2 ; 8
3

100 ? 99 ? 98 3? 2?1
2 2

? 161700

(4)

(C
2

98

? 2C 8 ? (C 8 ? C 8 ) ? C 8 ? C 8 ? 56

3

100

+C 100) ? A
3 3 101

97

3 101

.
3 3 101

? (C 100 ? C 100) ? A

? C 101 ? (C

1 ?A )? 6
3 3

例2、解方程或不等式

1. C
2. C

n? 6 13

?C
?C
17 ?n 2n

2 n? 2 13

n=3
6 m ?1

m?4 m

5 m ?1

?C

m=7、8、9 例3、求值:C

?C
18 19

3n 13? n
1 12 1 19

原式 ? C ? C ? C ? C ? 31
11 12

学生活动
1.解方程
2.证明

C ?C
2x 27

x ?3 27

1) C

m n?1
n n

?C

m?1 n

?C

m n?1

?C

m ?1 n?1
n?1 n? m?1

2) C ? C

n n?1

?

?C

n n? m

?C

例4.某医院有内科医生 8人, 外科医生5人, 现欲从 中抽调5名医生组成医疗小分队奔赴抗洪第一线,

内科医生3人, 外科医生2人, 有多少种不同的抽调 方法?
变1:内科医生至少3人,外科医生至少1人, 有多少 种不同的抽调方法? 变2:内科医生和外科医生都要有人参加 ,有多少 种不同的抽调方法?

例5.在100件产品中, 有98件合格品, 2件不合格品, 从这100件产品中任意抽出3件. (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有 多少种? (3)抽出的3件中至少有1件不合格品的抽法有多 少种?

学生活动
房间里有5个电灯,分别由5个开关控制,至 少开一个灯照明,有多少种不同的方法? 可以直接法,也可间接法.比较两种解法,你能得 出什么结论?

课堂小结:
1、组合数的两个性质既可以用组合数公式进 行推导证明,也可以用解决组合问题的基本思 路来推导;
n 2、性质 1 常用于m> 时组合数的计算, 2

性质 2 常用于恒等式变形和证明等式;

3、利用组合数的性质解题时,要抓住公式的 结构特征,应用时可结合题目的特点,灵活运 用公式变形达到解题目的.

学生活动
1.若A ? 60,C ? 10,则m ?
m n m n

2.若C
5 8

7 n?1

? C ? C ,则n ?
7 n 8 n 6 8 7 8

3.C ? 2C ? C ?
4. 已知C ,C ,C 成等差数列,求C .
4 n 5 n 6 n 12 n


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