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高中数学课件:等比数列的概念


滦南县司各庄高中

制作人:谷丽梅

教学目标
知识与技能:掌握等比数列的定义;理解等比数列的通 项公式及推导; 过程与方法:通过实例,理解等比数列的概念;探索并 掌握等比数列的通项公式、性质,能在具体的问题情境 中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力;体会等 比数列与指数函数的关系。 情感态度与价值观:充分感受数列是反映现

实生活的模 型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的 ,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴 趣。

教学重点:等比数列的定义及通项公式

教学难点:灵活应用定义式及通项公式解 决相关问题

观察下列数列,说出它们的特点.

(1)1,2,22,23,…

从第二项起,每一项与 前一项的比都等于2.

(2)5, 25,125,625... 1 1 1 (3)1, ? , , ? ,? 2 4 8 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一
项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比 数列,这个常数叫做公比,记为q(q≠0).
an ? q(n ? 2且n ? N* ). 数学语言: an ?1

特征:(1)每项均不为0,且q≠0; (2)各项均为负数,或均为正数或 正负相间.

例1:
1.已知等比数列{ an }: (1) an 能不能是零? 不能 能 (2)公比q能不能是1? 2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ . ①已知a1=2,an=3an+1; √ ③a,a,a,……,a;× ②1,2,4,……; ×

④1,-1,1,……,(-1)n+1;

× ⑥2a,2a,2a,……,2a. √
⑤ m, 2m, 4m2 ,8m3 ,... 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列?


非零的 常数列

例2:已知{an }的通项公式an ? 3 , 求证: n }是 {a
n

等比数列.
变式1 :

an ? q(q是一个与n无关的非零常数) an ?1

定义法,只要看
n

已知数列{an }的前n项和为Sn ? 3 ? 1, 求证:
an 2 ? 3n?1 数列{an }是等比数列. ? ? 3为常数(n ? 2). n?2 an?1 2 ? 3

当n ? 1时,a1 ? S1 ? 3 ?1 ? 2; n n ?1 当n ? 2时,an ? Sn ? Sn?1 ? 3 ? 1 ? (3 ? 1)
1

当n ? 1时,也满足an ? 2 ? 3 ?an ? 2 ? 3 .

? 3 ?3
n

n ?1

? 3? 3

n ?1

n?1

?3

n ?1

? 2?3 ,
n?1

n ?1

变式2 : 已知数列{an }是等比数列,其前n项和为Sn ? 3n ? c. 求常数c的值.

a1 ? S1 ? 3 ? c,a2 ? S2 ? S1 ? (32 ? c) ? (3 ? c) ? 6, a3 ? S3 ? S2 ? (3 ? c) ? (3 ? c) ? 18,
3 2

a2 a3 6 18 ? ? ,即 ? . ?an ? 是等比数列, a1 a2 3?c 6 解得:c ? 1.

那么等比数列的通项是什么呢?
类比等差数列通 项公式的求解
解法1: 由定义得
a2 ? a1.q, a3 ? a2 .q ? a1.q 2 ... an ? a1.q n ?1 (a1 , q ? 0).

归纳法

解法 2:

分析:如果把左边由(1)式

n-1 到最后一个式子,共_____ 个 a2 ? ?q 式子相乘,则有: ?a ? 1 an a2 a3 n ?1 . ..... ?q , ? a3 累 a1 a2 an ?1 ? ?q ? a2 乘 n?1 ?... an ? a1.q . ? ? an 当n ? 1时,等式成立, ?q ?a n ?1 ? n ?1

所以通项公式为an ? a1.q .

例3: 9和3n?1 分别是等比数列3 , , ,的第几项 ? 3 3 ...
解:a1 ? 3 ? 1 q ? ,
2 n ?1 2
0 2

0 2

1 2

2 2

3, an ? a1 ? q n?1 ? 3 ?

n ?1 2

.

n ?1 9 ? 3 ? 3 ,即2 ? , n ? 5,即为第5项. ? 2 x ?1

3

n ?1

?3 2 .

第x=2n+3项

变式: 9 ? 3 是该数列中的项吗?若是,是第几项 ?
n?1

9 ? 3n?1 ? 3n?3 ? 3 ,解得:x ? 2n ? 7.

x ?1 2

例4.求出下列等比数列中的未知项: (),a,8; 12 (2)a5 ? 4, a7 ? 6, 求a9 .

练习:在等比数列{an }中, (1)已知a4 ? 27, q ? ?3, 求a7; (2)a5 ? 3, a7 ? 27, 试求a10 .

思考:(1)在等比数列?an ?中,是否有an ? an?1 ? an?1 (n ? 2)?
2

(2)若数列?an ?中,对于任意的正整数n(n ? 2), 都有 an 2 ? an ?1 ? an ?1,那么?an ? 一定是等比数列吗?

链接高考
1. (2005 ? 江苏)在各项都为正数的等比数列{an }中, 首项a1 ? 3, 前三项和为21, 则a3 ? a4 ? a5 ? _______ .

2.已知数列{an }是等比数列,且a4 ? a7 ? 9, a5 ? a8 ? 18, an ? 64, 求项数n.
3. 已知数列?an ? 满足a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1. (1)求证:数列?an ? 1? 是等比数列;

(2)求数列?an ?的通项公式.

小结:
1.等比数列的定义

q=an/an-1 ,(n≥2)
n ?m

2.等比数列的通项公式

an=a1qn-1

an ? am ? q

推导方法: (1)归纳法;(2)累乘法.
公式的 认识: (1)函数的观点;(2)方程的思想.

3.等比中项

an an?1 ? (n ? 2). an?1 an


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