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期末复习学案10 平面向量的概念与线性运算1


期末复习学案(10)

制版:侯向军

审核:李连玉

姓名: (2) OA ? FE ?

班级:

平面向量的概念与线性运算 一、复习目标: 1、了解向量的实际背景,理解平面向量相等的含义,理解向量的几何表示; 2、掌握向量加、减法的运算并理解其几何意义; 3、掌握向量数乘的运算,理解其几何意义及两个向量共线的条件。 二、知识梳理: 1、向量的有关概念: (1)向量是即有 (2)零向量是 向量不唯一 又有 的量;可以用 的向量,它的方向 或 表示,向量 a 的长度记为

(4) AB ? BC ? CD ? DE ? EF ? FA ?

(2)若非零向量 ? , ? 满足 ? ? ? ? ? ? ? ,则 ? , ? 所成的角大小为 题型三、实数与向量的积 例 3、1、已知 ? , ? ? R ,则以下命题正确的有 个 ② ? ? 0, a ? 0则 , ?a 与 是共线向量 a

? ? ??

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① ? ? 0, a ? 0, 则? a与a的方向一定相反 ③ ?? ? 0, a ? 0, 则? a与? a的方向一定相反

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。 (3)单位向量是指

的向量,单位

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(4) 通过有向线段 AB 的直线叫做向量 AB 的 向量。规定: 0 与任意向量 (5)相等向量是指 2、向量加法遵循 量。 或

??? ?

??? ?

, 平行向量 (共线向量) 是指



2 x2、若 (

? ? 1? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? 1 ? a)- (b ? c ? 3x) ? b ? 0 ,其中 a, b, c 为已知向量,则未知向量 x = 3 2



?

。 的向量。相反向量是指 法则。向量减法的三角形法则,方向指向 的向量。 向

题型四、平行向量基本定理的应用

, BM? 例 4 ( 1 ) 以 向 量 OA ? a, OB ? b 为 邻 边 做 ? O A D B

??? ?

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????? 1 ???? BC 3
o

A C N M
j

D

? 4、实数与向量的积 ? a (1)结果是向量(2)模等于
,当 ? ? 0 时 。 ? ? ? ? 5、平行向量基本定理: a与b 共线( b ? 0 ) ? 存在唯一实数 ? ,使 6、向量 a 的单位向量是指 7、设轴上 A( x1 ) ,B( x2 )则 AB= 三、例题精讲: 题型一:向量的有关概念 例 1、下列命题中,正确的有 (1) (3)方向:当 ? ? 0 时

???? 1 ??? ? ? ? ???? ? ???? ???? ? CN ? CD ,用 a , b 表示 OM , ON , MN 。 3

B



?

的向量,且 a0 , AB =_______.

?? ?

?
(2)设两个非零向量 e1, e2 不共线. ①如果 AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3 e1 ? e2 ,求证:A,B,D 三点共线。

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a ? b ?a ?b

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(2) a ? b ? a // b

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(3) a ? 0 ? a ? 0

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(4) a // b, b // c ? a // c

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②试确定实数 k 的值,使 ke1 ? e2和e1 ? ke2共线

? ? ?? ? ?

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(5)ABCD 是不共线的四点,若 AB ? DC 则四边形 ABCD 为平行四边形。 (6)两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同。 题型二、向量的加法与减法运算 例2、 (1)如图已知 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,求出下列和向量: (1) OA ? OC = (2) BC ? FE ? E F A O B 四、巩固练习 D C

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期末复习学案(10)

制版:侯向军

审核:李连玉

姓名:

班级:

1.在 △ ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? ( A.

??? ?

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) D. b ?

11.如图,在 ? ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 在 BD 上,且 BF ?

1? 2? c 3 3 ??? ? ? ??? ? ? 2.已知 D、E、F 分别为 ? ABC的边BC、CA、AB上 的中点,且 BC ? a, CA ? b 。给出下列命题:①
B. c ? C.

2? 1? b? c 3 3

5? 3

2? b 3

2? 1? b? c 3 3

???? ? ???? ? 1 BD ,设 AB ? a, AD ? b 3
C

(1)用 a , b 表示 EC , EF ;

? ?

???? ????

(2)求证: E,F,C 三点共线

D

???? ? ? 1 ? ??? ? ? ??? ? ? 1 ? ? ??? 1 ? 1 ? ???? ??? AD ? ? a ? b ② BE ? a ? b ③ CF ? ? a ? b ④ AD ? BE ? CF ? 0 。其中正确的命题的个数是: 2 2 2 2
( ) A 1 B 2 C 3 D ( 4 )

F A E B

??? ? ??? ? ??? ? AC ? 5,则 BC 的取值范围是 3、 若 AB ? 8,
A 【3,8】 B (3,8) C

【3,13】D (3,13)

4、 .设点 M 是线段 BC 的中点, 点 A 在直线 BC 外, BC ? 16, AB ? AC ? AB ? AC ,则 AM ?( A 8 B 4 C 2 D 1

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5..已知 ?ABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 ,若存在实数 m 使得 AB ? AC ? mAM 成立,则 m= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6. O 是 平 面 上 一 定 点 , A,B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

???? ???? ???? ?

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??? ? ??? ?

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AB AC ? ), ? ?[0, ??) ,则动点 P 的轨迹一定通过 ? ABC 的( OP ? OA ? ? ( ???? ? ????? AB AC
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心

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7.(09 山东)设 P 是 ? ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,,则( A PA ? PB ? 0

??? ? ??? ?

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??? ? ??? ?

?

B PA ? PC ? 0

??? ? ??? ?

?

C PC ? PB ? 0

??? ? ??? ?
?

?

D

??? ? ??? ? ??? ? ? PA ? PB ? PC ? 0

(-3,4)平行的单位向量,则向量 a 的终点坐标 8.已知 a 是以点 A(3, ? 1)为起点,且与向量 b ?
是____________ 9.、 若 A, B, C 是数轴上的三个点, 且 A 点的坐标为 4, AB= ?6 , BC= ?4 , 则点 B,C 的坐标分别是 10、化简下列各式,结果为零向量的是 (1) AB ? BC ? CA (3) OA ? OD ? AD ,

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??? ? ??? ? ??? ?

(3) AB ? AC ? BD ? CD (4)

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ???? ????

???? ??? ? ???? ? ???? NQ ? QP ? MN ? MP


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