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江苏省扬州市2015届高三三模数学试卷


2015 年江苏省扬州市高考数学三模试卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 6 分,满分 84 分) 1.设集合 A={3,m},B={3m,3},且 A=B,则实数 m 的值是 2.已知复数 z=(1+i) (1﹣2i) (i 为虚数单位) ,则 z 的实部为

. .

3.已知实数 x,y 满足条件

则 z=2x+y 的最小值是



4.为了解学生课外阅读的情况,随机统计了 n 名学生的课外阅读时间,所得数据都在中,其 频率分布直方图如图所示.已知在 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、实部的定义即可得出. 解答: 解:复数 z=(1+i) (1﹣2i)=1﹣2i+i+2=3﹣i, ∴z 的实部为 3. 故答案为:3. 点评: 本题考查了复数的运算法则、实部的定义,属于基础题.

3.已知实数 x,y 满足条件

则 z=2x+y 的最小值是 ﹣3 .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把 最优解的坐标代入目标函数得答案. 解答: 解:由约束条件 作出可行域如图,

化目标函数 z=2x+y 为 y=﹣2x+z, 由图可知,当直线 y=﹣2x+z 过 A(﹣1,﹣1)时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最小值为 2 ×(﹣1)﹣1=﹣3.

故答案为:﹣3. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 4.为了解学生课外阅读的情况,随机统计了 n 名学生的课外阅读时间,所得数据都在中,其 频率分布直方图如图所示.已知在 故答案为:﹣4 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,属于基本知识的考查.

6.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数记为 x,则 log2x 为整数的概率为



考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是从 9 个数字中任选一个有 9 种结果,满 足条件的事件是对数 log2x 是一个正整数,可以列举 x,有 1,2,4,8,共有 4 种结果,根据 概率公式得到结果 解答: 解:从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数记为 x,共有 9 种基本事件, 其中 log2x 为整数的 x=1,2,4,8 共 4 种基本事件, 故则 log2x 为整数的概率为 , 故答案为: . 点评: 本题考查古典概型,考查对数的性质,是一个比较简单的综合题,解题的关键是看清 楚有几个数字使得对数的值是一个正整数.

7.在平面直角坐标系 xOy 中,点 F 为抛物线 x =8y 的焦点,则 F 到双曲线

2

的渐近

线的距离为



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程,再由点到直线的距离公式计算即可得到所 求值. 解答: 解:抛物线 x =8y 的焦点 F(0,2) , 双曲线 的渐近线方程为 y=±3x,
2

则 F 到双曲线

的渐近线的距离为

d=

=



故答案为:



点评: 本题考查双曲线和抛物线的方程和性质,主要考查焦点和渐近线方程的求法,考查点 到直线的距离公式的运用,属于基础题. 8.在等差数列{an}中,若 an+an+2=4n+6(n∈N ) ,则该数列的通项公式 an= 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件易得数列的首项和公比,可得通项公式. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, ∵an+an+2=4n+6,① ∴an+2+an+4=4(n+2)+6,② ②﹣①可得 an+4﹣an=8, 即 4d=8,解得 d=2, 把 n=1 代入 an+an+2=4n+6 可得 2a1+4=10, 解得 a1=3, ∴通项公式 an=3+2(n﹣1)=2n+1 故答案为:2n+1 点评: 本题考查等差数列的通项公式,求出数列的首项和公比是解决问题的关键,属基础题. 9.给出下列三个命题: ①“a>b”是“3 >3 ”的充分不必要条件; ②“α>β”是“cosα<cosβ”的必要不充分条件; ③“a=0”是“函数 f(x)=x +ax (x∈R)为奇函数”的充要条件. 其中正确命题的序号为 ③ . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: ①“a>b”?“3 >3 ” ,即可判断正误; ②取α= ,β= ,则 cosα=cosβ;反之取α= ,β=2π,满足 cosα<cosβ,
a b 3 2 a b *

2n+1



即可判断出正误; ③函数 f(x)=x +ax (x∈R)为奇函数?f(﹣x)+f(x)=0?2ax =0,? x∈R,?a=0.即 可判断出正误. 解答: 解:①“a>b”?“3 >3 ” ,因此“a>b”是“3 >3 ”的充要条件,故不正确; ②取α= ,β= ,则 cosα=cosβ;反之取α= ,β=2π,满足 cosα<cosβ,
a b a b 3 2 2

因此“α>β”是“cosα<cosβ”的既不必要也不充分条件,不正确; ③函数 f(x)=x +ax (x∈R)为奇函数?f(﹣x)+f(x)=0?2ax =0,? x∈R,?a=0.因 3 2 此“a=0”是“函数 f(x)=x +ax (x∈R)为奇函数”的充要条件. 因此其中正确命题的序号为 ③. 故答案为:③.
3 2 2

点评: 本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题. 10.已知一个空间几何体的所有棱长均为 1cm,其表面展开图如图所示,则该空间几何体的体 积 V= cm .
3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 立体几何. 分析: 三视图复原几何体分两部分,下面是一个边长为 1 的正方体、上面是一个棱长为 1 的 正四棱锥,分别计算出边长为 1 的正方体及棱长为 1 的正四棱锥的体积即可. 解答: 解:由三视图可知,该几何体下面是一个边长为 1 的正方体, 其体积为 1, 上面是一个棱长为 1 的正四棱锥, 其体积为 故答案为: . = ,

点评: 本题考查三视图与几何体的关系,考查空间想象能力、逻辑思维能力,注意解题方法 的积累,属于基础题. 11.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 为 AB 的中点.以 A 为圆心,AE 为半径,作弧 交 AD 于点 F.若 P 为劣弧 上的动点,则 的最小值为 5﹣2 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先以 A 为原点,直线 AB,AD 分别为 x,y 轴,建立平面直角坐标系,可设 P(cos θ,sinθ) ,从而可表示出 得到 =5﹣2 sin(θ+φ) ,从而可求出 ,根据两角和的正弦公式即可 的最小值.

解答: 解:如图,以 A 为原点,边 AB,AD 所在直线为 x,y 轴建立平面直角坐标系,则:

A(0,0) ,C(2,2) ,D(0,2) ,设 P(cos θ,sinθ) ; ∴ ?(﹣cosθ,2﹣sinθ)
2

=(2﹣cosθ) (﹣cosθ)+(2﹣sinθ) =5﹣2(cosθ+2sinθ)= ∴sin(θ+φ)=1 时,

sin(θ+φ) ,tanφ= ; 取最小值 .

故答案为:5﹣2 . 点评: 考查建立平面直角坐标系,利用向量的坐标解决向量问题的方法,由点的坐标求向量 坐标,以及数量积的坐标运算,两角和的正弦公式.

12.已知函数

若函数 f(x)的图象与 x 轴有且只

有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围为 (﹣5,0) . 考点: 利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 由分段函数知,分段讨论函数的单调性,从而求导可知 f(x)在上是增函数,从而化 为函数 f(x)在与(1,+∞)上各有一个零点;从而求实数 m 的取值范围. 解答: 解:当 0≤x≤1 时, f(x)=2x +3x +m, 2 f′(x)=6x +6x=6x(x+1)≥0; 故 f(x)在上是增函数, 故若使函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有两个不同的交点, 则函数 f(x)在与(1,+∞)上各有一个零点; 故 m<0, 故 ,
3 2

解得,m∈(﹣5,0) ; 故答案为: (﹣5,0) . 点评: 本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用,属于中档题. 13.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P(﹣5,a)作圆 x +y ﹣2ax+2y﹣1=0 的两条切线,切点 分别为 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,且 + =0,则实数 a 的值为 3 或﹣2 .
2 2

考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和,进而可得两斜率乘积为﹣1,可 得 P,Q,R,T 共线,即可求出实数 a 的值. 解答: 解:设 MN 中点为 Q(x0,y0) ,T(1,0) ,圆心 R(a,﹣1) , 根据对称性,MN⊥PR, = = = ,

∵kMN=



+

=0

∴kMN? kTQ=﹣1, ∴MN⊥TQ, ∴P,Q,R,T 共线, ∴kPT=kRT, 即
2



∴a ﹣a﹣6=0, ∴a=3 或﹣2. 故答案为:3 或﹣2. 点评: 本题考查实数 a 的值,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题.

14.已知正实数 x,y 满足

,则 xy 的取值范围为



考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 设 xy=m 可得 x= ,代入已知可得关于易得一元二次方程(2+3m)y ﹣10my+m +4m=0, 由△≥0 可得 m 的不等式,解不等式可得. 解答: 解:设 xy=m,则 x= ,
2 2

∵ ∴ +

, +3y+ =10,
2 2

整理得(2+3m)y ﹣10my+m +4m=0, ∵x,y 是正实数,∴△≥0, 即 100m ﹣4(2+3m) (m +4m)≥0, 整理得 m(3m﹣8) (m﹣1)≤0, 解得 1≤m≤ ,或 m≤0(舍去) ∴xy 的取值范围是 故答案为: 点评: 本题考查基本不等式求最值,涉及换元的思想和一元二次方程根的存在性,属中档题. 二、解答题(共 5 小题,满分 76 分) 15.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,B1C⊥AB,侧面 BCC1B1 为菱形. (1)求证:平面 ABC1⊥平面 BCC1B1; (2)如果点 D,E 分别为 A1C1,BB1 的中点,求证:DE∥平面 ABC1.
2 2

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面 ABC1⊥平面 BCC1B1; (2)根据线面平行的判定定理进行证明即可. 解答: 解: (1)因三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧面 BCC1B1 为菱形, 故 B1C⊥BC1.…2 分 又 B1C⊥AB,且 AB,BC1 为平面 ABC1 内的两条相交直线, 故 B1C⊥平面 ABC1.…5 分 因 B1C? 平面 BCC1B1, 故平面 ABC1⊥平面 BCC1B1.…7 分 (2)如图,取 AA1 的中点 F,连 DF,FE. 又 D 为 A1C1 的中点,故 DF∥AC1,EF∥AB. 因 DF? 平面 ABC1,AC1? 平面 ABC1, 故 DF∥面 ABC1.…10 分 同理,EF∥面 ABC1. 因 DF,EF 为平面 DEF 内的两条相交直线, 故平面 DEF∥面 ABC1.…12 分 因 DE? 平面 DEF,

故 DE∥面 ABC1.…14 分.

点评: 本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判定,利用相应的判定定理是解决 本题的关键.

16. 已知函数 f (x) =Asin (ωx+φ) (其中 A, ω, φ为常数, 且 A>0, ω>0, 的部分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 ,求 的值.



考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1) 由图可知 A 的值, 由 T=2=2π, 可求ω= 且 (2)由 =1, 又 ,

,即可求得φ的值,从而可求函数 f(x)的解析式. ,得 .从而由 再根据二倍角公式即可

求值. 解答: 解: (1)由图可知,A=2,…2 分 由 T=2=2π,故ω= 又 于是,f(x)= (2)由 ,得 =1,所以,f(x)=2sin(x+φ) .…4 分 ,且 .…7 分 .…9 分 ,故 .

所以, = .…14 分.

…12 分

点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,三角函数的恒等变换 及化简求值,属于基本知识的考查.

17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

(a>b>0)的两焦点分别为 F1(



0) ,F2(

,0) ,且经过点(

, ) .

(1)求椭圆的方程及离心率; (2)设点 B,C,D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点 B 与点 D 关于原点 O 对称.设直线 CD, CB,OB,OC 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4,且 k1k2=k3k4. ①求 k1k2 的值; 2 2 ②求 OB +OC 的值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)依题意,c= 方程及离心率; (2)①利用斜率公式,即可求 k1k2 的值; ②由①知,k3k4=k1k2= ,故 x1x2=﹣4y1y2.利用 OB +OC = ,a =b +3,…2 分
2 2 2 2 2 2 2

,a =b +3, (

2

2

, )代入椭圆方程,求出 a,b,即可求椭圆的

,求 OB +OC 的值.

解答: 解: (1)依题意,c= 由
2

,解得 b =1(b =

,不合,舍去) ,从而 a =4. .…5 分

2

故所求椭圆方程为:

,离心率 e=

(2)①设 B(x1,y1) ,C(x2,y2) ,则 D(﹣x1,﹣y1) ,

于是 k1k2=

=

=

.…8 分

②由①知,k3k4=k1k2=

,故 x1x2=﹣4y1y2.

所以 (x1x2)= (﹣4y1y2), 即 (x1x2)= 所以, =4.…11 分

2

2

2

=



又 2= 所以,OB +OC =
2 2

= =5.…14 分

,故



点评: 本题考查椭圆方程与性质,考查斜率公式的运用,考查学生的计算能力,属于中档题. 18.为丰富市民的文化生活,市政府计划在一块半径为 200m,圆心角为 120°的扇形地上建 造市民广场.规划设计如图:内接梯形 ABCD 区域为运动休闲区,其中 A,B 分别在半径 OP, OQ 上,C,D 在圆弧 上,CD∥AB;△OAB 区域为文化展示区,AB 长为 m;其余空地为

绿化区域,且 CD 长不得超过 200m. (1)试确定 A,B 的位置,使△OAB 的周长最大? (2)当△OAB 的周长最大时,设∠DOC=2θ,试将运动休闲 区 ABCD 的面积 S 表示为θ的函数,并求出 S 的最大值.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;导数的综合应用;解三角形. 分析: (1)设 OA=m,OB=n,m,n∈(0,200],在△OAB 中,利用余弦定理,结合基本不等 式,即可得出结论; (2)利用梯形的面积公式,结合导数,确定函数的单调性,即可求出 S 的最大值. 解答: 解: (1)设 OA=m,OB=n,m,n∈(0,200], 在△OAB 中, 即 ,…2 分 ,

所以,

,…4 分

所以 m+n≤100,当且仅当 m=n=50 时,m+n 取得最大值,此时△OAB 周长取得最大值. 答:当 OA、OB 都为 50m 时,△OAB 的周长最大.6 分 (2)当△AOB 的周长最大时,梯形 ACBD 为等腰梯形. 过 O 作 OF⊥CD 交 CD 于 F,交 AB 于 E,则 E、F 分别为 AB,CD 的中点, 所以∠DOE=θ,由 CD≤200,得 在△ODF 中,DF=200sinθ,OF=200cosθ. 又在△AOE 中, 所以, = = , 令 , .…12 分 , , , 又 y= 故 f'(θ)在 因 于是,f(θ)在 所以当 答:当 及 y=cos2θ在 上为单调递减函数. >0,故 f'(θ)>0 在 上为单调递增函数.…14 分 . m .…16 分.
2

.8 分

,故 EF=200cosθ﹣25.10 分

上均为单调递减函数,

上恒成立,

时,f(θ)有最大值,此时 S 有最大值为 时,梯形 ABCD 面积有最大值,且最大值为

点评: 本题考查余弦定理,考查基本不等式的运用,考查利用导数知识解决最值问题,考查 学生分析解决问题的能力,属于中档题.

19.已知数列{an},{bn},a1=1,bn=(1﹣
n﹣1



,n∈N ,设数列{bn}的前 n 项和为 Sn

+

(1)若 an=2 ,求 Sn + (2)是否存在等比数列{an},使 bn+2=Sn 对任意 n∈N 恒成立?若存在,求出所有满足条件的数 列{an}的通项公式;若不存在,说明理由 (3)若 a1≤a2≤…≤an≤…,求证:0≤Sn<2. 考点: 数列与不等式的综合;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)通过 an=2 (2)设 an=q
n﹣1 n﹣1

可得 bn=

,利用等比数列的求和公式计算即可;

,通过 bn+2=S2,令 n=1 即 b3=b1 计算可得 q=±1,进而可得结论; ﹣ ) ,并项相

(3)通过 1=a1≤a2≤…≤an≤…,易得 Sn≥0,利用放缩法可得 bn≤2( 加即得结论. 解答: (1)解:当 an=2 ∴Sn= (1+ + +…+
n﹣1

时,bn=(1﹣ ) ? )= ﹣ ;

=



(2)结论:满足条件的数列{an}存在且只有两个,其通项公式为 an=1 和 an=(﹣1) 证明:在 bn+2=S2 中,令 n=1,得 b3=b1. 设 an=q
n﹣1

n﹣1



,则 bn=



由 b3=b1,得

=

?



若 q=±1,则 bn=0,满足题设条件. 此时 an=1 和 an=(﹣1) 若 q≠±1,则
n﹣1



= ,即 q =1,矛盾.
n﹣1

2

综上,满足条件的数列{an}存在,且只有两个,一是 an=1,另一是 an=(﹣1) (3)证明:∵1=a1≤a2≤…≤an≤…, ∴an>0,0< ≤1,于是 0< ≤1.



∴bn=(1﹣



≥0,n=1,2,3,…

∴Sn=b1+b2+…+bn≥0,

又 bn=(1﹣



=(1+

) (1﹣

) ?

=(1+

) (



) ?

≤2(



) . ﹣ )+2( ﹣ )+…+2( ﹣ )

∴Sn=b1+b2+…+bn≤2( =2( ﹣ ) )

=2(1﹣

<2, ∴0≤Sn<2. 点评: 本题考查求数列的通项,考查求数列的和,利用放缩法及并已改项相加法是解决本题 的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.


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