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湖南名校株洲市二中2013届高三考前演练理数试题及答案5.27






株洲市二中 2013 届高三考前演练

启用前

理科数学试题
时量:120 分钟

(5 月 27-28 日) 分值:150 分

命题、审题:高三数学备课组

第Ⅰ (共 40 分) 卷
一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的. ) 1.若集合 A ? {x | 0 ? x ? 1} , B ? {x | x2 ? 2x} ,则 A ? B ? ( A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} B. ?i C. {x | 0 ? x ? 1} B C. 1 ? i ) D. 1 ? i )
正视图

A

) D. {x | 0 ? x ? 1}

2.若复数 z 满足: z ? 1 ? ( z ? 1)i ,则复数 z ? ( A. i

3.若一个四面体的四个面均为直角三角形,正视图与俯视图如图所示, 均为直角边为 1 的等腰直角三角形,则该几何体的侧视图的面积为( C A.

1 1 2 B. 2 C. D. 4 2 2 4.若 ?ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则 ?ABC ( C )
A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 5.按右面的程序框图运行后,输出的 S 应为( B A. 2 2 C. 10 B.3 D.4
开 始
俯视图

S=0 ) i=1 i ≤ 9?
是 否

? x ? 2 ? ?2 ? x<0 ? , ? 6.函数 f ? x ? ? ? ? ? 的图象与 x 轴 ? ?2 cos x ? 0 ? x ? 2 ? ? ? ?
所围成的封闭图形的面积为( D A. )

S?S?

1 i ? i ?1

输出 S

5 结 束 2 i=i+1 D. 4 x2 y 2 7.设 F1 , F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若在双曲线右支 a b 上存在一点 P ,满足 | PF2 |?| F1F2 | ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,
B. 则该双曲线的离心率为( A.
-1–

3 2 C. 3

B

) C.

4 3

B.

5 3

5 4

D.

41 4

? x ? 2, 0 ≤ x ? 1, ? 8.已知函数 f ( x) ? ? x 1 若 a ? b ≥ 0 ,且 f (a) ? f (b) ,则 bf ( a ) 的取值范 ?2 ? 2 , x ≥1. ? 围是( A ) 5 5 1 A. [ , 3) B. [ , 3) C. [ , 3) D. [1 , 3) 4 2 2

第Ⅱ (共 110 分) 卷
二.填空题(本大题共 8 个小题,考生作答 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分.把答案填 在答题卡中对应题号后的横线上. ) (一)选做题:请考生在第 9、10、11 三个小题中任选 2 题作答,如果全做,则按前 2 题给分. 9. (选修 4—1:几何证明选讲) C 以 Rt ?ABC 的直角边 AB 为直径的圆 O 交 AC 边于点 E ,点 D 在 BC 上,
0 且 DE 与圆 O 相切.若 ?A ? 56 ,则 ? BDE ?

680

. D E

10. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,已知点 A(4 2, 则 | AF |? 5 11. (选修 4—5:不等式选讲)

?

4

) ,曲线 ? sin 2 ? ? 4cos? 的焦点为 F,
B



A .

1 4 若正数 a,b 满足 a+b=1,则 + 的最小值为 3a+2 3b+2 (二)必做题:第 12——16 题

9 7

12.在△ ABC 中,已知 AB=2,∠ ABC=60°,AD⊥ BC,D 为垂足,则 AD ? AC ? 3 . 13.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2, …,960,分组后在第一组采用简单随机 抽样的方法抽到的号码为 9. 抽到的 32 其余的人做问卷 C . 则抽到的人中,做问卷 B 的人数为
3

???? ????

人中, 编号落入区间 ?1, 450? 的人做问卷 A , 编号落入区间 ? 451,750? 的人做问卷 B , 10 .

14.已知函数 f ( x) ? x ? x ,对任意的 m ? [?2, 2] , f (mx ? 2) ? f ( x) ? 0 恒成立, 2 则实数 x 的取值范围是 . (? 2 , )
3

15.将一颗骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次构成等比数列的概率与构成等 差数列的概率之比为
2

4 9



16.已知函数 f ( x) ? 4sin x ? sin (

x ? ) ? cos 2 x . 4 2 ? 2? ] 上是增函数,则 ? 的取值范围 (1)设 ? ? 0 为常数,若 y ? f (? x) 在区间 [ ? , 2 3

3 (0, ] 4

?



-2–

(2) | f( x ? | 2 成立的充分条件是 若 ) m ?

?
6

?x?

2? , 则实数 m 的取值范围是 (1, 4) . 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 12 分) 某校设计了一个实验考查方案:考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题,按照题目 要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中 2 道题的便可通过.已知 6 道备选 题中考生甲有 4 道题能正确完成,2 道题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是

2 ,且每题正确完成与否互不影响. 3
(1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力. 解:(1)设甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 ? , ? , 则 ? 取值分别为 1,2,3 ; ? 取值分别为 0,1,2,3 .

P(? ? 1) ?

1 2 C4C2 1 C 2C 1 3 C 3C 0 1 ? , P(? ? 2) ? 4 3 2 ? , P(? ? 3) ? 4 3 2 ? . 3 C6 5 C6 5 C6 5

∴ 考生甲正确完成题数的概率分布列为

?

1
1 5

2
3 5

3
1 5

p

1 3 1 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 .…………………………3 分 5 5 5
0 ∵ (? ? 0) ? C3 (1 ? ) 3 ? P

2 3

1 , 27

同理: P (? ? 1) ?

6 12 8 , P (? ? 2) ? , P (? ? 3) ? . 27 27 27

∴ 考生乙正确完成题数的概率分布列为:

?
p

0
1 27

1
6 27

2
12 27

3
8 27

-3–

E? ? 0 ?

1 6 12 8 ? 1? ? 2? ? 3? ? 2 .………………7 分 27 27 27 27

(2)∵ ? ? (2 ? 1) 2 ? D

1 3 1 2 ? (2 ? 2) 2 ? ? (2 ? 3) 2 ? ? , 5 5 5 5
1 6 12 8 2. ? (2 ? 1) 2 ? ? (2 ? 2) 2 ? ? (2 ? 3) 2 ? ? 27 27 27 27 3

D? ? (2 ? 0) 2 ?

(或 D? ? npq ? ∴ ? ? D? . D ∵ (? ? 2) ? P

2 ). 3

3 1 12 8 ? ? 0.8 , P(? ? 2) ? ? ? 0.74 , 5 5 27 27

∴ (? ? 2) ? P (? ? 2) .……………10 分 P 从做对题数的数学期望考察,两人水平相当; 从做对题数的方差考察,甲较稳定; 从至少完成 2 道题的概率考察,甲获得通过的可能性大. 因此可以判断甲的实验操作能力较强.……………………12 分

18.(本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 ? (1)求证: {

2 2an ? ,且对任意的 n ? N 都有 an ?1 ? . 3 an ? 1

1 ? 1} 是等比数列; an
2an a ?1 1 ? an 1 1 1 ,得 ?1 ? n ?1 ? ? ( ? 1) . an ? 1 an ?1 2an 2an 2 an
2 1 1 ,得 ? 1 ? ? 0 . 3 a1 2

? (2)若对任意的 n ? N 都有 an?1 ? pan ,求实数 p 的取值范围.

解:(1) 由 an ?1 ?

又由 a1 ?

因此, {

1 1 1 1 ? 1} 是以 ? 1 ? 为首项,以 为公比的等比数列.………5 分 2 an a1 2

(2)由(1)可得:

1 1 1 1 ? 1 ? ? ( ) n ?1 ? n an 2 2 2

-4–

即 an ?

2n , 2n ? 1

an ?1 ?

2n ?1 , 2n ?1 ? 1

于是所求的问题:“对任意的 n ? N ? 都有 an ?1 ? pan 成立”可以等价于问题:

an ?1 2n ?1 2n ? 1 2n ?1 ? 2 1 “对任意的 n ? N 都有 p ? ? n ?1 ? n ? n ?1 ? 1 ? n ?1 成立”. an 2 ? 1 2 2 ?1 2 ?1
*

若记 f (n) ? 1 ?

1 2
n ?1

?1

,则 f (n) 显然是单调递减的,

故 f (n) ? f (1) ? 1 ?

1 2
1?1

?1

?

6 . 5
6 .………………………12 分 5
P

所以,实数 p 的取值范围为 p ?

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD∥ BC, ?BAD ? 90 ,PB⊥ 平面 ABCD,CD⊥ BD,
o

E B A D C

PB=AB=AD=1,点 E 在线段 PA 上,且 PE=2EA. (1)求证:PC∥ 平面 BDE; (2)求二面角 E-BD-A 的余弦值. 解: (1)法一: 连 AC,交 BD 于 F,连 EF,设法证明: 从而:EF∥PC 故 PC∥平面 BDE 法二: 建立空间直角坐标系 B-xyz,如图, 求出点 A、D、C、E、P 的坐标, 再求出平面 EBD 的法向量 n1 ? ( ? 计算: n1 ? PC ? 0 从而得到:PC∥平面 BDE

AE AF 1 ? ? , EP FC 2
z P

??

?? ??? ?

1 1 , ,1) , 2 2

E B A D C

y

(2)在空间直角坐标系中,由(1)得:平面 EBD 的法向量 n1 ? ( ?

??

x

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 6 ?? ? ? 所以 cos ? n1 , n2 ?? ?? | n1 | ? | n2 | 3
-5–

又平面 ABD 的法向量 n2 ? (0,0,1)

?? ?

1 1 , ,1) 2 2

故二面角 E-BD-A 的余弦值为

6 3

20.(本小题满分 13 分) 某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一个对角线在 l 上的四边形电气 线路,如图所示. 为充分利用现有材料,边 BC、CD 用一根 5 米长的材料弯折而成; 边 BA、AD 用一根 9 米长的材料弯折而成. 要求 ? A 和 ?C 互补,且 AB ? BC . (1)设 AB ? x 米, cos A ? f ( x) ,求 f ( x ) 的解析式,并指出 x 的取值范围; (2)求四边形 ABCD 面积的最大值. 解: (1) ?ABD 中,由余弦定理: A

BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD cos A ? x 2 ? (9 ? x)2 ? 2 x(9 ? x) cos A
又 ?CBD 中,由余弦定理: l B C D

BD 2 ? BC 2 ? CD 2 ? 2 BC ? CD cos C ? x 2 ? (5 ? x)2 ? 2 x(5 ? x) cos C
而 ? A 和 ?C 互补,∴ cos A ? ? cos C

∴ x ? (9 ? x) ? 2 x(9 ? x)cos A ? x ? (5 ? x) ? 2 x(5 ? x)cos C
2 2 2 2

? cos A ?
由 cos A ? 故 cos A ?

2 x

2 ? 1 ,∴ 2 ? x ? 5 x

2 x

( 2? x ? 5 )
1 1 AB ? AD ? sin A ? CB ? CD ? sin C 2 2

(2) S ABCD ? S ?ABD ? S ?BCD ?

1 ? [ x ? (9 ? x) sin A ? x ? (5 ? x) sinC ] 2
∵ ? A 和 ?C 互补,∴ sin A ? sinC
2 ∴ S ABCD ? x((7 ? x) sin A ? x(7 ? x) 1 ? cos A ?

(7 ? x) 2 ( x 2 ? 4)

设 y ? (7 ? x) ( x ? 4)
2 2

2? x?5 则 y? ? ?2( x ? 7)( x ? 4)(2 x ? 1) ∴ 当 2 ? x ? 4 时, y? ? 0 , y ? ;当 4 ? x ? 5 时, y? ? 0 , y ? ∴ 当 x ? 4 时, ymax ? 108
-6–

故当 x ? 4 时, Smax ? 108 ? 6 3 (m2 )

21.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 3 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , a b 2

A1 , A2 分别是椭圆 E 的左、右两个顶点,圆 A2 的半径为 a ,过点 A1 作圆 A2 的切线,
切点为 P ,在 x 轴的上方交椭圆 E 于点 Q . (1)求直线 OP 的方程; (2)求

PQ 的值; QA 1

(3)设 a 为常数.过点 O 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆 E 于点 B , C ,分别交 圆 A2 于点 M , N , △OBC 和 △OMN 的面积分别为 S1 、S2 , S1 ? S 2 的最大值. 记 求 y P Q B A2 C N x M

A1 解:⑴ 连结 A2 P ,则 A2 P ? A1P ,且 A2 P ? a , 又 A1 A2 ? 2a ,所以 ?A1 A2 P ? 60? .

O

所以 ?POA2 ? 60? ,所以直线 OP 的方程为 y ? 3 x .…………………………3 分 ⑵由⑴ 知,直线 A2 P 的方程为 y ? ? 3( x ? a) , A1 P 的方程为 y ?

3 ( x ? a) , 3

a . 2 3 c 3 3 1 因为 e ? ,即 ? ,所以 c2 ? a 2 , b2 ? a 2 , 2 a 2 4 4
联立解得 xP ?

? 3 ( x ? a) , ?y ? x 4y a ? 3 故椭圆 E 的方程为 2 + 2 ? 1 .由 ? 2 解得 xQ ? ? , 2 a a 7 ? x + 4y ?1 , 2 ? a2 a ?
2 2

-7–

a a ? (? ) PQ 7 ?3. ? 2 所以 a QA 1 ? ? (? a ) 4 7

………………………………………………8 分

⑶不妨设 OM 的方程为 y ? kx (k ? 0) ,

? y ? kx , 1? k2 a ak ? , ) ,所以 OB ? a 联立方程组 ? x 2 4 y 2 解得 B ( ; 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? 2 + 2 ?1 , a ?a
用?

1? k2 1 代替上面的 k ,得 OC ? a . 4 ? k2 k
2a 1? k
2

同理可得, OM ?

, ON ?

2ak 1? k2



所以 S1 ? S2 ?

1 k . ? OB ? OC ? OM ? ON ? a 4 ? 2 4 (1 ? 4k )(4 ? k 2 )

因为

k (1 ? 4k )(4 ? k )
2 2

?

1 1 ≤ , 1 4(k 2 ? 2 ) ? 17 5 k
a4 . ……………………13 分 5

当且仅当 k ? 1 时等号成立,所以 S1 ? S 2 的最大值为

22. (本小题满分 13 分)

3 a ? ( a 为实数) . 2 x (1)当 a =1 时,求函数 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ?[4, ??) 上的最小值; ?1 ? 2 f ( x) (2)若方程 e ? g ( x) (其中 e 为自然对数的底)在区间 ? ,1? 上有解,求实数 ?2 ?
已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

a 的取值范围; n 5 1 (3)证明: n ? ? ? ? 2 f (2k ? 1) ? f (k ) ? f (k ? 1) ? ? 2n ? 1 , n ? N ? . 4 60 k ?1 1 3 1 1 x ?1 ' 解: (1)当 a ? 1 时, ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ? ,则 ? ( x) ? ? 2 ? 2 x 2 x x x
∵ 在区间(0,1]上, ? ( x) ? 0 ,在区间[1,+∞)上, ? ( x) ? 0
' '

? ∴ ( x) 在区间(0,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增
-8–

∴ x∈ 在 [4,+∞)上, ? ( x) 的最小值为 ? (4) ? ln 4 ? (2)∵ 方程 e2 f ( x ) ? g ( x) 在区间 ? ,1? 上有解

5 . 4

………3 分

?1 ? ?2 ?

即e

2ln x

?

3 a 3 ?1 ? ?1 ? ? 在区间 ? ,1? 上有解即 a ? x ? x 3 在区间 ? ,1? 上有解 2 x 2 ?2 ? ?2 ? 3 ?1 ? x ? x 3 ,x∈ ,1? ?2 ? 2 ? h ∴ ( x) ?
'

令 h( x ) ?

3 ? 3x 2 2

∵ 在区间 ? ,

?1

?2

? 2 ? 2? ' ,1? 上, h' ( x) ? 0 ? 上, h ( x) ? 0 ,在区间 ? 2 ? ? 2 ? ?1 ? 2 ? 2? ,1? 上单调递减, ? 上单调递增,在区间 ? 2 ? 2 ? ?
∴ (1) ? h( x) ? h( h

h ∴ ( x) 在区间 ? ,
?2

又 h(1) ?

1 1 5 , h( ) ? 2 2 8

2 ) 2
……………8 分



?1 2 ? 1 2 故a?? , ? h( x ) ? ? 2 2 ?2 2 ?

(3)设 ak ? 2 f (2k ? 1) ? f (k ) ? f (k ? 1)

? 2ln(2k ? 1) ? ln k ? ln(k ? 1) ? ln

4k 2 ? 4k ? 1 k (k ? 1)
5 ?0 4

由(1)知, ? ( x) 的最小值为 ? (4) ? ln 4 ?

ln ∴ x?
又∵

3 1 ? (x≥4) 2 x

4k 2 ? 4k ? 1 ?4 k (k ? 1)

? ak ?

3 k (k ? 1) 3 1 4k 2 ? 4k ? 1 ? 1 ? 2 ? ? 2 4k ? 4k ? 1 2 4 4k 2 ? 4k ? 1 5 1 1 5 1 1 ? ? ? ? 2 4 4 (2k ? 1) 4 4 (2k ? 1)(2k ? 3)

-9–

?
n

5 1 1 1 ? ( ? ) 4 8 2k ? 1 2k ? 3
k



?a
k ?1

5 1 1 1 1 1 1 1 ? n ? ( ? ? ? ? ...... ? ? ) 4 8 3 5 5 7 2n ? 1 2 n ? 3

5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 n? ( ? )? n? ( ? ) ? n? 4 8 3 2n ? 3 4 8 3 5 4 60 1? x ' 构造函数 F ( x) ? ln x ? x ? 2( x ? 4) ,则 F ( x) ? , x ?
∴ x 当 ∴ F
'

? 4 时, F ' ( X ) ? 0 .

( X ) 在 ?4,??? 上单调递减,即 F ( x) ? F (4) ? ln 4 ? 2 ? 2(ln 2 ? 1) ? 0 。
? 4 时, ln x ? x ? 2 .

∴ x 当

ak ? ln

1 1 4k 2 ? 4 k ? 1 1 1 ? 4? ? ? 2 ,即 a k ? 2 ? ? k k ?1 k (k ? 1) k k ?1 n 1 ? ak ? 2n ? 1 ? n ? 1 ? 2n ? 1 k ?1



n 5 1 N*. …………13 分 n? ? ? ? 2 f (2k ? 1) ? f (k ) ? f (k ? 1)? ? 2n ? 1 , n∈ 4 60 k ?1

- 10 –


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