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8.7 立体几何中的向量方法(Ⅰ)----证明平行与垂直练习题


§8.7 立体几何中的向量方法(Ⅰ)----证明平行与垂直
一、选择题 1.若直线 l1,l2 的方向向量分别为 a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则( A.l1∥l2 C.l1 与 l2 相交但不垂直 答案 B 2.直线 l1,l2 相互垂直,则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( A.s1=(1,1,2),s2=(2,-1,0) B.s1=(0,1,-1),s2=(2,0,0) C.s1=(1,1,1),s2=(2,2,-2) D.s1=(1,-1,1),s2=(-2,2,-2) 解析 两直线垂直,其方向向量垂直,只有选项 B 中的两个向量垂直. 答案 B 3 5? 15? ? ? 3.已知 a=?1,- , ?,b=?-3,λ ,- ?满足 a∥b,则 λ 等于( 2 2? 2? ? ? 2 A. 3 - 3 2 B. 9 2 C.- 9 2 D.- 2 3 ). ) B.l1⊥l2 D.以上均不正确 ).

5 2 1 9 解析 由 = = ,可知 λ = . -3 λ 15 2 - 2 答案 B 4.若直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,能使 l∥α 的是 ( A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析 若 l∥α ,则 a·n=0. 而 A 中 a·n=-2, B 中 a·n=1+5=6, C 中 a·n=-1,只有 D 选项中 a·n=-3+3=0. 答案 D 5.若平面 α ,β 平行,则下面可以是这两个平面的法向量的是( ) ).

A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1) B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1) C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2) 解析 两个平面平行时其法向量也平行,检验知正确选项为 D. 答案 D 6.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ ),若 a,b,c 三向量 共面,则实数 λ 等于( 62 A. 7 B. 63 7 ). C. 60 7 D. 65 7

解析 由题意得 c=ta+μ b =(2t-μ ,-t+4μ ,3t-2μ ),

?7=2t-μ ∴?5=-t+4μ ?λ =3t-2μ
答案 D



?t= 7 ? 17 ∴?μ = 7 ?λ =65 ? 7
33

.

7.已知平面 α 内有一个点 A(2,-1,2),α 的一个法向量为 n=(3,1,2),则 下列点 P 中,在平面 α 内的是( A.(1,-1,1) 3? ? C.?1,-3, ? 2? ? ) 3? ? B.?1,3, ? 2? ? 3? ? D.?-1,3,- ? 2? ?

??? ? ??? ? 解析 对于选项 A, PA =(1,0,1),则 PA ·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排 ??? ? ? ??? ? 1? 1? ? 除 A;对于选项 B, PA =?1,-4, ?,则 PA ·n=?1,-4, ?·(3,1,2)=0, 2? 2? ? ? ??? ? 验证可知 C、D 均不满足 PA ·n=0.

答案 B 二、填空题 8.两不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则

l1 与 l2 的位置关系是_______.
解析 ∵v2=-2v1,∴v1∥v2. 答案 平行 9.平面 α 的一个法向量 n=(0,1,-1),如果直线 l⊥平面 α ,则直线 l 的单 位方向向量是 s=________. 解析 直线 l 的方向向量平行于平面 α 的法向量,故直线 l 的单位方向向量是 ? 2 2? s=±?0, ,- ?. 2 2? ? ? 2 2? 答案 ±?0, ,- ? 2 2? ? → =0 的_______. → → → → → 10.已知点 A,B,C∈平面 α ,点 P?α ,则AP·AB=0,且AP·AC=0 是AP·BC

解析

?→·→=0 ?AP AB 由? → → ?AP·AC=0 ?







,得AP·(AB-AC)=0,

→ → → → 即AP·CB=0,亦即AP·BC=0, → → 反之,若AP·BC=0, → → → → → → → 则AP·(AC-AB)=0?AP·AB=AP·AC,未必等于 0. 答案 充分不必要条件 → → 11.已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),则平面 ABC 的单位法向量是________. 解析 设平面 ABC 的法向量 n=(x,y,z).

?→·n=0, ?AB 则? → ?AC·n=0, ?

?2x+2y+z=0, 即? ?4x+5y+3z=0.

?x=1, 2 令 z=1,得? ?y=-1,

?1 ? ∴n=? ,-1,1?, ?2 ? 2 2? n ?1 =±? ,- , ?. 3 3? |n| ?3

∴平面 ABC 的单位法向量为± 2 2? ?1 答案 ±? ,- , ? 3 3 3? ?

→ → → → → 12.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且 BP⊥平面 ABC,则实数 x,y,z 分别为________. → → → → 解析 由题知:BP⊥AB,BP⊥BC.

? 所以?→·AB=0, BP → ?→·BC=0, BP →
→·BC=0, AB → 解得 x= 答案 40 15 ,- ,4 7 7

?1×3+5×1+? -2? ×z=0, 即?x-1+5y+? -2? ×? -3? =0, ?3? x-1? +y-3z=0.

40 15 ,y=- ,z=4. 7 7

三、解答题 13.已知:a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:

a,b,c.
解析 因为 a∥b,所以 解得 x=2,y=-4, 这时 a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1). 又因为 b⊥c, 所以 b·c=0,即-6+8-z=0, 解得 z=2,于是 c=(3,-2,2). 14.如图所示,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点.求证: 4 1 = = , -2 y -1

x

MN∥平面 A1BD.

证明 法一

如图所示

,以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直

线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 1, 1? ? ?1 ? 则 M?0,1, ?,N? ,1,1?,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0), 2? ? ?2 ? → 1? ?1 于是MN=? ,0, ?, 2? ?2 设平面 A1BD 的法向量是 n=(x,y,z). ?x+z=0, 则 n·DA1=0,且 n·DB=0,得? ?x+y=0. 取 x=1,得 y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1). → 1? ?1 又MN·n=? ,0, ?·(1,-1,-1)=0, 2? ?2 → ∴MN⊥n,又 MN?平面 A1BD, ∴MN∥平面 A1BD. → → 1 1 法二 MN=C1N-C1M= C1B1- C1C 2 2 → → → 1 1 = (D1A1-D1D)= DA1, 2 2 → → ∴MN∥DA1,又∵MN 与 DA1 不共线,∴MN∥DA1, 又∵MN?平面 A1BD,A1D?平面 A1BD, ∴MN∥平面 A1BD. → → → → →

15.如图,已知 ABCDA1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上, 且 AE=FC1=1.

(1)求证:E,B,F,D1 四点共面; 2 (2)若点 G 在 BC 上,BG= ,点 M 在 BB1 上,GM⊥BF,垂足为 H,求证:EM⊥面 3

BCC1B1.
→ → 证明 (1)建立如图所示的坐标系, BE=(3,0,1), =(0,3,2), 1=(3,3,3). 则 BF BD → → → → → → 所以BD1=BE+BF, 故BD1、BE、BF共面. 又它们有公共点 B, 所以 E、B、F、D1 四点共面. (2)如图,设 M(0,0,z), → → 2 ? ? 则GM=?0,- ,z?,而BF=(0,3,2), 3 ? ? →

→ → 2 由题设得GM·BF=- ×3+z·2=0,得 z=1. 3 → 因为 M(0,0,1),E(3,0,1),所以ME=(3,0,0). → → 又BB1=(0,0,3),BC=(0,3,0), → → → → 所以ME·BB1=0,ME·BC=0, 从而 ME⊥BB1,ME⊥BC. 又 BB1∩BC=B, 故 ME⊥平面 BCC1B1.

16.如图所示,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2,

AF=1,M 是线段 EF 的中点.

求证:(1)AM∥平面 BDE; (2)AM⊥平面 BDF. 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系, 设 AC∩BD=N,连接 NE. 则点 N、E 的坐标分别为 ? 2 2 ? ? , ,0?、(0,0,1). 2 ?2 ? → ? 2 2 ? ∴NE=?- ,- ,1?. 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 又点 A、M 的坐标分别是( 2, 2,0)、? , ,1? 2 ?2 ? → ? 2 2 ? ∴AM=?- ,- ,1?. 2 ? 2 ? → → ∴NE=AM且 NE 与 AM 不共线.∴NE∥AM. 又∵NE?平面 BDE,AM?平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE. ? 2 2 ? (2)由(1)知AM=?- ,- ,1?, 2 ? 2 ? → ∵D( 2,0,0),F( 2, 2,1),∴DF=(0, 2,1) → → ∴AM·DF=0,∴AM⊥DF. 同理 AM⊥BF.
又 DF∩BF=F,∴AM⊥平面 BDF.




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