当前位置:首页 >> 数学 >>

上海市崇明县2013届高三数学一模试卷(文理卷 含答案)


崇明县 2012 学年第一学期期末考试试卷 高 三 数 学
(考试时间 120 分钟,满分 150 分)
考生注意: 本考试设试卷和答题纸两部分,试卷包括试题与答题要求,所有答案必须写在答题纸上,做在试卷上一律不 得分。答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的,答题时应特别注意,不能错位。

一、填空题(每题 4 分,共 56 分)

1、设复数 z(2 ? i) ? 11 ? 7i ( i 为虚数单位) ,则 z ? 2、已知 ? ?(0, ? ) 且 tan(? ? ) ? ? 3 ,则 ? ? 4 3、过点 P(1, ?1) ,且与直线 l : x ? y ?1 ? 0 垂直的直线方程是
1 3

. . . . .

?

1 4、若集合 A ? { y y ? x , ?1≤ x ≤1}, B ? { y y ? 2 ? ,0 ? x ≤1} ,则 A ? B 等于 x
5、已知 y ? f ?1 ( x) 是函数 f ( x) ? x2 ? 2 ( x ≤ 0) 的反函数,则 f ?1 (3) ?

1 6、 ( x2 ? )5 展开式中 x4 的系数是 x

.(用数字作答) .

开 始 A←3, N←1

7、执行框图,会打印出一列数,这个数列的第 3 项是 8、若圆锥的侧面展开图是半径为 1cm、圆心角为 180? 的 半圆,则这个圆锥的轴截面面积等于
? 1 ?n ?1 ? 9、数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ? ? 1 ? 3n ? (n ? 1, 2)

.

打印 A N← N ? 1 否


(n ? 2)

前 n 项和为 S n ,则 lim Sn ?
n ??

. 是 结束

N≤10

2 x ? 0 ,条件 B: x ? a , 10、已知:条件 A: 3 1 ? x2

A← A? ( A ?1)
第 7 题图

如果条件 A 是条件 B 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是

.

11、在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,若 a2 ? b2 ? 2c2 ,则 cosC 的最小值等 于 . ??? ? ???? 3? 12、在平面直角坐标系中, O(0,0), P(6,8) ,将向量 OP 按逆时针旋转 后得向量 OQ ,则点 Q 的 4 坐标是 .

1/4

13、数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则 {a n } 的前 60 项和等于

.

14、已知 f (x) ? m(x ? 2m)(x ? m ? 3) , g ( x) ? 2x ? 2 ,若同时满足条件:①对于任意 x ? R , f (x) ? 0 或 g(x) ? 0 成 立 ; 是 . ② 存 在 x?( ? ? ? ) 使 得 f ( x)? g( x) , 4, ? 成立.则 m 的取值范围 0

二、选择题(每题 5 分,共 20 分)
15、设函数 f ( x) ? sin x , x ? R ,则下列结论错误的是………………………………………( A. f ( x) 的值域为 [0,1] C. f ( x) 不是周期函数 16、下面是关于复数 z ? B. f ( x) 是偶函数 D. f ( x) 不是单调函数 )

2 的四个命题: ?1 ? i
③ z 的共轭复数为 1 ? i ; ④ z 的虚部为 ? 1 . )

① z ? 2 ; ② z 2 ? 2i ;

其中正确的命题……………………………………………………………………………( A.②③ B.①② C.②④ D.③④

17、等轴双曲线 C : x2 ? y 2 ? a2 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ,则 双曲线 C 的实轴长等于……………………………………………………………………( A. 2 B. 2 2 C.4 D.8 )

18、某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节, 则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为……………………( A. )

3 5

B.

8 15

C.

2 5

D.

1 5

三、解答题(本大题共 74 分,解答下列各题需要必要的步骤)
19、 (本题 12 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) 已知函数 f (x)=sin (2x+ )+sin(2x ? )+2cos2 x ? 1 , x ? R . 3 3 (1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)当 x ?[ ?

?

?

? ?

, ] 时,求函数 f ( x) 的值域以及函数 f ( x) 的单调区 间. 4 4

2/4

20、 (本题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) (理科)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? AD ? 1 , E 为 CD 中点. (1)求证: B1 E ? AD1 ; (2)若 AB ? 2 ,求二面角 A ? B1 E ? A1 的大小. B1 A1 D1

C1

A E B C

D

(文科)如图,四面体 ABCD 中, O 、 E 分别是 BD 、 BC 的中点, AO ? 平面 BCD ,
CA ? CB ? CD ? BD ? 2 .

(1)求三棱锥 A ? BCD 的体积; (2)求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小.

A

D O B E C

21、 (本题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知数列 ?an ? ,记 A(n) ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? ? ? ? an , B(n) ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? ? ? ? ? ? an ?1 ,
C (n) ? a3 ? a4 ? a5 ? ? ? ? ? ? ? ? an ? 2 , (n ? 1,2,3,......) ,并且对于任意 n ? N ? ,恒有 an ? 0 成立.

(1)若 a1 ? 1, a2 ? 5 ,且对任意 n ? N? ,三个数 A(n), B(n), C(n) 组成等差数列,求数列 ?an ? 的 通项公式; (2)证明:数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N? ,三个数

A(n), B(n), C(n) 组成公比为 q 的等比数列.

3/4

22、 (本题 16 分,第(1)小题 4 分;第(2)小题 6 分;第(3)小题 6 分) 设函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c (n ? N ? , b, c ? R) .

1 (1)当 n ? 2, b ? 1, c ? ?1 时,求函数 f n ( x) 在区间 ( ,1) 内的零点; 2 1 (2)设 n ≥ 2, b ? 1, c ? ?1 ,证明: f n ( x) 在区间 ( ,1) 内存在唯一的零点; 2
(3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,有 f2 ( x1 ) ? f2 ( x2 ) ≤ 4 ,求 b 的取值范围.

23、 (本题 18 分,第(1)小题 6 分;第(2)小题 12 分) 如图,椭圆 E :
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 a 2 b2

A, B 两点, ?ABF2 的周长为 8,且 ?AF1 F2 面积最大时, ?AF1 F2 为正三角形.
(1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q . 试探究:① 以 PQ 为直径的圆与 x 轴的位置关系? ② 在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ? 若存在,求出 M 的坐标;若不存在,说明理由. y A

F1 O B

F2 x

4/4

崇明县 2012 学年第一学期高三数学参考解答
一、填空题 1、 3+5i 2、

5 ? 12

3、 x +y =0

4、 ? -1,1?

5、 ? 1 10、 a ? -2

6 、10

7、30

8、

3 4
13、1830

9、

8 9

11、

1 2

12、 -7 2,- 2

?

?

14、 (-4,-2)

二、选择题 15、 C 三、解答题

16、 C

17、 C

18、 A

( 19、 1)f (x)=sin2x+cos2x = 2 sin (2x+

?
4

)

?T =?
(2)因为 2x+

?

? 2 ? ? ? ? 3 ? ,1? ? ? ? , ? ? ,所以 sin (2x+ ) ? ? ? 4 2 ? 4 ? 4 4 ? ?

,所以 f (x) ? ??1, 2 ?

?

?

函数的增区间为 ? ?

? ? ?? ?? ? ? , ? ,减区间为 ? , ? ? 4 8? ?8 4?

20、 (理科) (1)方法一、以 A 为坐标原点,以 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐 标系,设 AB ? a ,则 B1 E ? ? ?

????

? ? a ? ???? ,1, ?1? , AD1 ? (0,1,1) . ? 2 ?

所以 , B1E ? AD1 ? 0, B1 E ? AD1 。 另解: AA D1D 为正方形,所以 A D ? AD1 , 1 1

???? ???? ?

A1D ? AD1 ? ? ? AD1 ? 面A1B1CD 。 CD ? AD1 ?

又B1E ? 面A BCD ? AD1 ? B1E 。 1 1
(2)因为 AB1 ? ? 2,0,1?, ? ?1,1,0? , AE 所以取面 AB1E 的一个法向量为 n1 = ?1,-1,-2? ,同理可取面 A1B1E 一个法向量为 n2 = ? 0,1,1? , 设二面角 A-B1E-A1 为 ? , cos ? ? 则 (文科) (1)因为 CO= 3 ,AO=1 所以 V ?

????

??? ?

??

?? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

=

3 ? ? ,所以? = 即二面角 A-B1E-A1 的大小为 . 6 2 6

1 3 ? 3 ?1 ? 3 3
5/4



[来源:学科网 ZXXK]

(2)因为 O、E 为中点,所以 OE//CD,所以 ?AEO 的大小即为异面直线 AE 与 CD 所成角。 在直角三角形 AEO 中, ?AEO =

?
4

,所以异面直线 AE 与 CD 所成角的大小为

? 4

21、解: (1) 2B(n)=A(n)+C(n)

? an +2 -an ?1 =a2 -a1 =4,n ? N* ,所以 {an } 为等差数列。 ? an =4n-3,n ? N*
( 2 ) 必 要 性 ) 若 数 列 {an } 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 , 则 (

B(n) a2 +a3 +? +an +1 = =q , A(n) a1 +a2 +? an

C (n) a3 +a4 +? +an +2 = =q ,所以 A(n)、B(n)、C(n)组成公比为 q 的等比数列。 B(n) a2 +a3 +? an +1
(充分性) :若对于任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列, 则 B(n) ? qA(n), C (n) ? qB(n) , 于是 C (n) ? B(n) ? q ? B(n) ? A(n)? , 得 an?2 ? a2 ? q(an?1 ? a1 ), 即
?

an?2 ? qan?1 ? a2 ? a1.
因为 an ? 0 ,所以

由 n ? 1 有 B(1) ? qA(1), 即 a2 ? qa1 ,从而 an?2 ? qan?1 ? 0 .

[来源:学科网 ZXXK]

an? 2 a2 ? ? q ,故数列 ?an ? 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列。 an?1 a1
*

综上,数列 {an } 是公比为 q 的等比数列的充要条件是对任意的 n ? N ,都有 A(n)、B(n)、 C(n)组成公比为 q的等比数列。
2 22、解: (1) f 2 (x)=x +x-1 ,令 f2 (x)=0 ,得 x =

-1 ? 5 , 2 -1+ 5 。 2

所以 f 2 (x)在区间( ,1)内的零点是x= (2)证明:因为 f n ( 点。

1 2

1 1 1 )<0 , f n (1)>0 。所以 f n ( ) ? f n (1)<0 。所以 fn (x) 在 ( , 内存在零 1) 2 2 2 1 ,所以 x ) 在 ) + ( x - fn (x)< 0( , 1) 2 2

1 n n 任取x1、x 2? ( , 1且 1 x ,则f n ), x < (x 2 1 n ) - f ( xx) = ( x 2 1 2 2 1 内单调递增,所以 fn (x) 在 ( , 内存在唯一零点。 1) 2
(3)当 n=2 时,f2(x)=x2+bx+c.

1

6/4

对任意 x1,2∈[-1,1]都有|f2(x1)-f2(x2)|≤4 等价于 f2(x)在[-1,1]上的 最大值与最小值之差 M≤4. x 据此分类讨论如下: ①当 | | ? 1 ,即|b|>2 时,M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾。

b 2

b b b <0,即 0<b≤2 时,M=f2(1)-f2( ? )=( +1)2≤4 恒成立. 2 2 2 b b b ③当 0≤ ? ≤1,即-2≤b≤0 时,M=f2(-1)-f2( ? )=( -1)2≤4 恒成立. 2 2 2
②当-1≤ ? 综上可知,-2≤b≤2. 注:②,③也可合并证明如下: 用 max{a,b}表示 a,b 中的较大者.
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

b b ≤1,即-2≤b≤2 时,M=max{f2(1),f2(-1)}-f2( ? ) 2 2 f 2 (?1) ? f 2 (1) | f 2 (?1) ? f 2 (1) | b = ? ? f 2 (? ) 2 2 2 2 b =1+c+|b|-( ? +c) 4 |b| 2 =(1+ ) ≤4 恒成立. 2 ( ,a 23、解: (1)当三角形面积最大时,为正三角形,所以 A 0,b) =2c,4a =8
当-1≤ ?

?a2 =4,b2 =3 ,椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + =1 4 3

? y ? kx ? m ? (2)①由 ? x 2 y 2 ,得方程 (4k 2 ? 3) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 ?1 ? ? ?4 3
由直线与椭圆相切得 m ? 0, ? ? 0, ? 4k 2 ? m2 ? 3 ? 0.

4k 3 m 3 2 , ) , Q(4, 4k ? m) , PQ 中点到 x 轴距离 d 2 ? (2k ? ? ) m m 2 2m 1 2k ( PQ )2 ? d 2 ? ( ?1)2 ? 0(4k 2 ? m2 ? 3 ? 0 ? m ? 2k ) 。 2 m 所以圆与 x 轴相交。
求得 P(? (2) ②假设平面内存在定点 M 满足条件, 由对称性知点 M 在 x 轴上, 设点 M 坐标为 M ( x1,0) ,

???? ? 4k 3 ???? MP ? (? ? x1 , ), MQ ? (4 ? x1 , 4k ? m) 。 m m ???? ???? ? k 2 由 MP ? MQ ? 0 得 (4 x1 ? 4) ? x1 ? 4 x1 ? 3 ? 0 m
2 所以 4 x1 ? 4 ? x1 ? 4 x1 ? 3 ? 0 ,即 x1 ? 1

所以定点为 M (1, 0) 。

7/4


相关文章:
崇明县2016年高三数学文理科合卷一模试卷(含答案)
崇明县2016年高三数学文理科合卷一模试卷(含答案)_数学_高中教育_教育专区。崇明县 2015 学年第一次高考模拟考试数学试卷(文理科)满分 150 分,考试时间 120...
上海市虹口区2013届高三数学一模试卷(文理卷_含答案)
上海市虹口区2013届高三数学一模试卷(文理卷_含答案)_数学_高中教育_教育专区。高考模拟试卷(一) (时间 120 分钟,满分 150 分)一、填空题(每小题 4 分,满分...
上海市徐汇区2013届高三数学一模试卷(文理卷_含答案)
上海市徐汇区2013届高三数学一模试卷(文理卷_含答案)_数学_高中教育_教育专区。2012 学年第一学期徐汇区高三年级数学学科 学习能力诊断卷(文理合卷)(考试时间:120...
崇明县2015年高三数学文理一模试卷
上海市崇明县 2015 年第一次高考模拟考试试卷 数学 (考试时间 120 分钟,满分 150 分)考生注意: 本考试设试卷和答题纸两部分,试卷包括试题与答题要求,所有答案...
【解析】上海市崇明县2013届高三上学期期末考试数学试...
【解析】上海市崇明县2013届高三上学期期末考试数学试题文理合卷_数学_高中教育_教育专区。详细解析版崇明县 2012 学年第一学期期末考试试卷 高三数学(一模)(考试...
2014上海崇明区高考文理科数学一模试题(附答案)
2014上海崇明高考文理数学一模试题(附答案)_数学_高中教育_教育专区。崇明县...崇明县 2013-2014 学年高三第一学期期末考试试卷 高三数学(文理科)(考试时间 ...
...上海市崇明县2013届高三上学期期末考试数学试题文理...
【Word版解析】上海市崇明县2013届高三上学期期末考试数学试题文理合卷_数学_高中教育_教育专区。Word版解析 崇明县 2012 学年第一学期期末考试试卷 高三数学(一模...
上海市虹口区2013届高三数学一模试卷(文理卷_含答案)
上海市虹口区2013届高三数学一模试卷(文理卷_含答案) 隐藏>> 虹口区 2012 学年度第一学期高三年级数学学科 期终教学质量监控测试卷(一模)(时间 120 分钟,满分 15...
松江区2015年高三一模数学试卷(文理合卷)含答案
松江区2015年高三一模数学试卷(文理卷)含答案_数学_高中教育_教育专区。上海市松江区 2014 学年度第一学期高三期末考试 数学试卷(满分 150 分,完卷时间 120 ...
2015学年崇明县数学试卷一模卷(文理合卷答案)
2015学年崇明县数学试卷一模卷(文理卷答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。试卷真实,有创新。崇明县 2015 学年第一次高考模拟考试试卷参考答案及评分标准 ...
更多相关标签: