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启东中学高二数学周周练三


启东中学高二数学周周练三
一.填空
1.从 1 ? 12 ,2 ? 3 ? 4 ? 32 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 52 中得出的一般性结论是_____________。

n ? n ? 1 ? ... ? 2n ?1 ? 2n ? ... ? 3n ? 2 ? (2n ?1)2 , n ? N *
2. 复平面内,若 z=m2(1+i)-m(4+i)-6i 所对应的点在第二象限,则实数 m 的取值范围 是________.(3,4)
[来源:Zx

?1 3 ? ?2 0? ?1 ?1 3. 设 A= ? ,B= ? ? ? ,则 A B = 3 1 0 -4 ? ? ? ?

3? ? 1 ? ? 16 - 32 ? 。答案: ? ? 1 ? ?3 ? 32 ? ?16 ?

4. 已知 a , b 是不相等的正数,x ?

a? b 2

则 x, y 的大小关系是_________。 ,y ? a?b ,

x? y
11 5. 如果一个复数与它的模的和为 5+ 3i,那么这个复数是__________. + 3i 5 6. 用数学归纳法证明不等式 1 ? 答案:8 7. 在下面等号右侧两个分数的分母方块处,各填上一个自然数,并且使这两个自然数的和 最小: 1 ?

1 1 ? ? 2 4

?

1 127 ? 成立, 起始值至少应取为 n ?1 2 64



1 9 ? . □ □

答案:4,12 8. 计算机中常用的十六进进是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 0~9 和字母 A ~ F 共 16 个计 数符号,这些符号与十进制数的对应关系如下表: 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制
[来源:学科网 ZXXK]

十进制 十六进制 十进制

0 8 8

1 9 9

2 A 10

3 B 11

4 C 12

5 D 13

6 E 14

7 F 15

例如,用十六进制表示 E ? D ? 1B ,则 A ? B ? ______________ 6 E 9. 两个数列 ?an ? , ?bn ? 满足 ?
?an ?1 ? an ? bn ,其中 a1 ? 2, b1 ? 0 ,则 a10 ? ?bn ?1 ? 4an ? bn
9

9 ?1 1 ? ? 2? ?1 ? ?1 ? ?3 ? 1 ? 9 解析:由已知 ? ? ? ? ? 39 ? ? ? (?1)9 ? ? ? ? ? ,∴ a10 ? 3 ? 1 9 2 ? 3 ? 2 ? ? 4 1? ?0 ? ? 2? ? ?2? ? ? ?

10. 若下列方程: x ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0 , x2 ? (a ?1) x ? a2 ? 0 , x ? 2ax ? 2a ? 0 ,至少
2 2

有一 个方程有实根,则实数 a 的取值范围是_________ . a ≥ ?1 或 a ≤ ?
? 2 1? ? 2 2 ? ? 2 4 ? 11. 已知 ? ? A? ??? ? ,则 A= ? 3 2 ? ?5 3 ? ?1 3 ?
x y

3 2

? 4 -1? 。答案:A ? ? 9 ? ?? 1 ? ? 2 ?

12. 若 x ? y ? 1 且 0 ? a ? 1 ,则① a ? a ;② loga x ? loga y ;③ x?a ? y ?a ,其中不成 立的不等式序号是 答案:②③ .
[来源:学.科.网]

nb-ma 13. 已知数列{an}为等差数列,若 am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*),则 am+n= . n-m 类比等差数列{an}的上述结论,对于等比数列{bn}(bn>0,n∈N*),若 bm=c,bn=d(n-m≥2, m,n∈N*),则可以得到 bm+n=________. nb-ma [解析] (1)观察等差数列{an}的性质: am+n= , 则联想 nb-ma 对应等比数列{bn} n-m dn 中的 m,而{an}中除以(n-m)对应等比数列中开(n-m)次方, c 故 bm+n= n-m dn . cm

14. 给定正整数 n(n ? 2) 按右图方式构成三角形数表:第一行 依次写上数 1,2,3,……n,在下面一行的每相邻两个数 的正中间上方写上这两个数之和,得到上面一行的数(比 下一行少一个数) ,依次类推,最后一行(第 n 行)只有一 一个数. 例如 n=6 时数表如图所示,则当 n=2011 时最后一 行的数是 .

【 解 析 】 由 观 察 所 得 , 各 行 的 公 差 分 别 为 1, 2, 4,8,16,
an ? 2an?1 ? 2n ? 2 ,所以

令 各 行 的 第 一 个 数 为 ai , 则

an an?1 1 a a 1 n ?1 ,即 an ? (n ? 1) 2n?2 , ? n?1 ? ,又 1 ? ,所以 n ? n n 2 2 4 2 4 2 2

所以 a2011 ? 2012 ? 22009 . 【答案】2012× 22009

二.解答
?2+2i?4 ; ?1- 3i?5 16?1+i?4 解 (1)原式= ?1- 3i?4?1- 3i? 15. 计算:(1) (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.
[ 中国~@*#教育出& 版网]

16?2i?2 = ?-2-2 3i?2?1- 3i? -64 -16 = = 2 4?1+ 3i? ?1- 3i? ?1+ 3i?×4 -4 = =-1+ 3i. 1+ 3i (2)原式=(3+1 1i)( 3-4i)+2i=53+21i+2i=53+23i.

16. 已知复数 z 满足|z|= 2,z2 的虚部是 2. (1)求复数 z; (2)设 z,z2,z-z2 在复平面上的对应点分别为 A,B,C,求△ABC 的面积. 解 (1)设 z=a+bi(a,b∈R),则 z2=a2-b2+2abi,由题意得 a2+b2=2 且 2ab=2,解得 a=b=1 或 a=b=-1, 所以 z=1+i 或 z=-1-i.
[ 来@~源:^ 中国教 育& 出版#网]

(2)当 z=1+i 时,z2=2i,z-z2=1-i, 所以 A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以 S△ABC=1. 当 z=-1-i 时,z2=2i,z-z2=-1-3i, 所以 A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以 S△ABC=1. 17. 设

f ( n) ? 1 ?

1 1 ? ? 2 3

?

1 n











g ( n)

使





f (1) ? f (2) ?

? f (n ?1) ? g (n) f (n) ? g (n) 对 n ≥ 2 的一切自然数都成立并证明你的结论.

解: f (1) ? 1 , f (2) ? 1 ? 由 f (1) ? f (2) ?

1 1 1 , f (3) ? 1 ? ? , 2 2 3

? f (n ? 1) ? g (n) f (n) ? g (n) ,

得当 n ? 2 时, f (1) ? g (2) f (2) ? g (2) ,可得 g (2) ? 2 . 当 n ? 3 时, f (1) ? f (2) ? g (3) f (3) ? g (3) ,得 g (3) ? 3 . 猜想: g (n) ? n . 用数学归纳法证明:当 n ? 2 时,已验证成立. 假设 n ? k ( k ≥ 2 , k ? N )时成立,即 g (k ) ? k , 且有 f (1) ? f (2) ? 则当 n ? k ? 1 时,
?

? f (k ? 1) ? k[ f (k ) ? 1] 成立.

f (1) ? f (2) ?

? f (k ?1) ? f (k ) ? k[ f (k ) ?1] ? f (k ) ? (k ? 1) f (k ) ? k

1 ? ? ? (k ? 1) ? f (k ? 1) ? ?k k ? 1? ? ?
? (k ? 1) f (k ? 1) ? (k ? 1) .
即当 n ? k ? 1 时成立. 综上可知,g (n) ? n 使等式 f (1) ? f (2) ? 自然数都成立. 18. 已知矩阵 A 的逆矩阵 A
-1

? f (n ? 1) ? g (n) f (n) ? g (n) 对 n ≥ 2 的一切

?-4 =? 1 ? 2
- -

1 3 4

? ,求矩阵 A 的特征值及其特征向量. 1? - ? 2
?2 3?.∴矩阵 A 的特征多项式为 ? ?2 1?

[解] ∵A 1A=E,∴A=(A 1) 1.


∵A

-1

?-4 =? 1 ? 2

1 3 4

? ,∴A=(A 1? - ? 2

-1 -1

) =?

f(λ)=?

?λ-2 -3? 2 ?=λ -3λ-4.令 f(λ)=0,解得矩阵 A 的特征值 λ1=-1,λ2=4. ?-2 λ-1?

19. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; Sn (2)设 bn= (n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n 解:(1)设{an}的公差为 d,由已知得

?a1= 2+1, ? ?3a1+3d=9+3 2,
∴d=2, 故 an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ 2). Sn (2)证明:由(1)得 bn= =n+ 2. n
2 假设数列{bn}中存在三项 bp、bq、br(p、q、r 互不相等)成等比数列,则 bq =bpbr,即(q

+ 2)2=(p+ 2)(r+ 2), ∴(q2-pr)+ 2(2q-p-r)=0. ∵p,q,r∈N*,

? ?q2-pr=0, ? ? ∴? ∴? p+r ?2q-p-r=0, ? . ?q= ?
2

q2=pr,

∴?

p+r?2 2 ? 2 ? =pr,∴(p-r) =0,即 p=r,

这与 p≠r 矛盾. ∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 20. 定义 “ 完美椭圆 ” 如下,已知椭圆 C :
c 5 ?1 ? . a 2

x2 y 2 ,其焦距为 2c ,满足 ? ?1 ( a ? b ? 0 ) a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 F2 (?c,0) , P 为椭圆 C 上的任意一 a 2 b2 点.是否存在过点 F2 、 P 的直线 l ,使 l 与 y 轴的交点 R 满足 RP ? ?3PF2 ?若存在,求直线 l 的斜率 k ;若不存在,请说明理由. x2 y 2 (2)在完美椭圆中有如下真命题:已知完美椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点 a b 分别是 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) ,以 A(?a,0) 、 B(a,0) 、 D(0, ?b) 、 E (0, b) 为顶点的菱形 ADBE 的 内切圆过焦点 F1 、 F2 .试类比写出“完美双曲线”的定义;并根据上述命题,在完美双曲线 中写出相关的真命题,并加以证明. 解析: (1)由题设,显然直线 l 垂直于 x 轴时不合题意,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? c) , 3c kc 得 R (0, kc) ,又 F2 (?c,0) ,及 RP ? ?3PF2 ,得点 P 的坐标为 (? , ? ) , 2 2 2 2 ? 3c ? ? kc ? ? ? ? ? 2 2 因为点 P 在椭圆上,所以 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 1 , a b 5 ?1 2 5 ?1 2 a) ? a ? ac , 又 b2 ? a 2 ? c2 ? a 2 ? ( 2 2
(1)若完美椭圆 C :
13 ? 5 5 9 ? c ? k2 c ? 0, 得 ? ? ? ? ? 1, k 2 ? 2 4? a? 4 a
2

故存在满足题意的直线 l ,其斜率 k ? ? (2)完美双曲线的定义:已知双曲线 C :

13 ? 5 5 . 2

c 5 ?1 x2 y 2 ,则称 ? 2 ? 1 ,其焦距为 2c ,若 ? 2 a 2 a b x2 y 2 双曲线 C 为“完美双曲线”。在完美双曲线中有真命题:已知完美双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的 a b 左、右焦点分别是 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) ,以 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) 、 D(0, ?b) 、 E (0, b) 为顶点的 菱形 F1 DF2 E 的内切圆过顶点 A(?a,0) 、 B(a,0) . bc 证明:直线 EF2 的方程为 bx ? cy ? bc ? 0 ,原点到该直线的距离为 d ? , 2 b ? c2 5 ?1 c ac c a a 代入,化简得 d ? a , ? 将 b 2 ? ac 代入,得 d ? ,又将 c ? 2 2 a?c ac ? c

故直线 EF2 与圆 x 2 ? y 2 ? a 2 相切, 同理可证直线 EF1 、 DF1 、 DF2 均与圆 x 2 ? y 2 ? a 2 相切, 即以 A(?a,0) 、 B(a,0) 为直径的圆 x 2 ? y 2 ? a 2 为菱形 F1 DF2 E 的内切圆,命题得证.

高二数学周周练三
一.填空
1.从 1 ? 12 ,2 ? 3 ? 4 ? 32 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 52 中得出的一般性结论是_____________。 2. 复平面内,若 z=m (1+i)-m(4+i)-6i 所对应的点在第二象限,则实数 m 的取值范围 是________. 3. 设 A= ?
?1 3 ? ?2 0? ?1 ?1 ? ,B= ?0 -4? ,则 A B = 3 1 ? ? ? ?
2



4. 已知 a , b 是不相等的正数,x ?

a? b 2
?

则 x, y 的大小关系是_________。 ,y ? a?b ,

5. 如果一个复数与它的模的和为 5+ 3i,那么这个复数是__________. 6. 用数学归纳法证明不等式 1 ?

1 1 ? ? 2 4

1 127 ? 成立, 起始值至少应取为 n ?1 2 64



7. 在下面等号右侧两个分数的分母方块处,各填上一个自然数,并且使这两个自然数的和 最小: 1 ?

1 9 ? . □ □

8. 计算机中常用的十六进进是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 0~9 和字母 A ~ F 共 16 个计 数符号,这些符号与十进制数的对应关系如下表: 十六进制
[来源:学科网 ZXXK]

0 0 8 8

1 1 9 9

2 2 A 10

3 3 B 11

4 4 C 12

5 5 D 13

6 6 E 14

7 7 F 15

十进制 十六进制 十进制

例如,用十六进制表示 E ? D ? 1B ,则 A ? B ? ______________
?an ?1 ? an ? bn ,其中 a1 ? 2, b1 ? 0 ,则 a10 ? ?bn ?1 ? 4an ? bn

9. 两个数列 ?an ? , ?bn ? 满足 ?

10. 若下列方程: x ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0 , x2 ? (a ?1) x ? a2 ? 0 , x ? 2ax ? 2a ? 0 ,至少
2 2

有一 个方程有实根,则实数 a 的取值范围是_________ . 11. 已知 ? ? A? ??? ? ,则 A= ? 3 2 ? ?5 3 ? ?1 3 ?
?a ?a 12. 若 x ? y ? 1 且 0 ? a ? 1 ,则① a ? a ;② loga x ? loga y ;③ x ? y ,其中不成
x y

? 2 1?

?2 2?

?2 4?

立的不等式序号是



[来源:学.科.网]

nb-ma 13. 已知数列{an}为等差数列,若 am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*),则 am+n= . n-m 类比等差数列{an}的上述结论,对于等比数列{bn}(bn>0,n∈N*),若 bm=c,bn=d(n-m≥2, m,n∈N*),则可以得到 bm+n=________. 14. 给定正整数 n(n ? 2) 按右图方式构成三角形数表:第一行 依次写上数 1,2,3,……n,在下面一行的每相邻两个数 的正中间上方写上这两个数之和,得到上面一行的数(比 下一行少一个数) ,依次类推,最后一行(第 n 行)只有一 一个数. 例如 n=6 时数表如图所示,则当 n=2011 时最后一 行的数是 .

二.解答
15. 计算:(1) ?2+2i?4 ; ?1- 3i?5 (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.
[ 中国~@*#教育出& 版网]

16. 已知复数 z 满足|z|= 2,z2 的虚部是 2. (1)求复数 z; (2)设 z,z2,z-z2 在复平面上的对应点分别为 A,B,C,求△ABC 的面积.

17.



f ( n) ? 1 ?

1 1 ? ? 2 3

?

1 n











g ( n)

使





f (1) ? f (2) ?

? f (n ?1) ? g (n) f (n) ? g (n) 对 n ≥ 2 的一切自然数都成立并证明你的结论.

18. 已知矩阵 A 的逆矩阵 A

-1

?-4 =? 1 ? 2

1 3 4

? ,求矩阵 A 的特征值及其特征向量. 1? - ? 2

19. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; Sn (2)设 bn= (n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n

20. 定义 “ 完美椭圆 ” 如下,已知椭圆 C :
c 5 ?1 ? . a 2

x2 y 2 ,其焦距为 2c ,满足 ? ?1 ( a ? b ? 0 ) a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 F2 (?c,0) , P 为椭圆 C 上的任意一 a 2 b2 点.是否存在过点 F2 、 P 的直线 l ,使 l 与 y 轴的交点 R 满足 RP ? ?3PF2 ?若存在,求直线 l 的斜率 k ;若不存在,请说明理由. x2 y 2 (2)在完美椭圆中有如下真命题:已知完美椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点 a b 分别是 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) ,以 A(?a,0) 、 B(a,0) 、 D(0, ?b) 、 E (0, b) 为顶点的菱形 ADBE 的
(1)若完美椭圆 C : 内切圆过焦点 F1 、 F2 .试类比写出“完美双曲线”的定义;并根据上述命题,在完美双曲线 中写出相关的真命题,并加以证明.


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