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高中数学(人教A版)选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题(含详解)


第三章测试
(时间: 120 分钟,满分:150 分 ) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每 小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的) 1.向量 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),若 a 与 b 共线,则( A.x=1,y=1 1 3 C.x= ,y=- 6 2 1 1 B.x= ,y=- 2 2 1 2 D.x=- ,y= 6 3 )

1 解析 由 a∥b 知,a=λb,∴ 2x= λ, 1=- 2λy,3= 9λ,∴ λ= , 3 1 3 x= , y=- . 6 2 答案 C 2. 已知 a=(-3,2,5), b=(1, x, -1), 且 a· b=2, 则 x 的值是( A.6 C .4 B.5 D.3 )

解析 a· b=- 3+ 2x- 5= 2,∴ x= 5. 答案 B 3. 设 l1 的方向向量为 a=(1,2, -2), l2 的方向向量为 b=(-2,3, m),若 l1⊥l2,则实数 m 的值为( A.3 C .1 ) B.2 D. 1 2

解析 ∵ l1⊥ l2,∴a⊥b,∴ a· b= 0,∴- 2+ 6- 2m= 0,∴ m= 2. 答案 B

4.若 a,b 均为非零向量,则 a· b=|a||b|是 a 与 b 共线的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 ∵a· b= |a||b|cos〈a,b〉 ,而 a· b= |a||b|. ∴cos〈a,b〉=1,∴〈a,b〉=0.

)

∴a 与 b 共线.反之,若 a 与 b 共线,也可能 a· b=- |a|· |b|,因 此应选 B. 答案 B → → → → → 5.在△ABC 中,AB=c,AC=b.若点 D 满足BD=2DC,则AD= ( ) 2 1 A. b+ c 3 3 2 1 C. b- c 3 3 5 2 B. c- b 3 3 1 2 D. b+ c 3 3

→ → → 解析 如图,AD=AB+BD

→ 2→ =AB+ BC 3 → 2 → → =AB+ ( AC-AB) 3 1→ 2→ = AB+ AC 3 3 1 2 = c+ b. 3 3 答案 A 6.已知 a,b,c 是空间的一个基底,设 p=a+b,q=a-b,则 下列向量中可以与 p,q 一起构成空间的另一个基底的是( A.a C .c 解析 ∵a,b, c 不共面, ∴a+b,a-b, c 不共面,∴p,q,c 可构成空间的一个基底. 答案 C 7.已知△ABC 的三个顶点 A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则 BC 边上的中线长为( A.2 64 C. 7 ) B.3 D. 65 7 B.b D.以上都不对 )

解析 BC 的中点 D 的坐标为(2,1,4), → ∴AD= (- 1,-2,2). → ∴ |AD|= 1+ 4+ 4= 3. 答案 B 8.与向量 a=(2,3,6)共线的单位向量是( )

2 3 6 A.( , , ) 7 7 7 2 3 6 B.(- ,- ,- ) 7 7 7 2 3 6 2 3 6 C.( ,- ,- )和(- , , ) 7 7 7 7 7 7 2 3 6 2 3 6 D.( , , )和(- ,- ,- ) 7 7 7 7 7 7 1 解析 |a|= 22+ 32+ 62= 7, ∴与 a 共线的单位向量是± (2,3,6), 7 故应选 D. 答案 D 9.已知向量 a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6 且 a⊥b,则 x +y 为( ) B.3 或-1 D.1

A.-3 或 1 C.-3 解析 由 |a|= 6, a⊥b,

2 ? ? ? ?4+ 16+ x = 36, ?x= 4, ?x=- 4, ? ? 得 解得 或? ? ? ? ?4+ 4y+ 2x= 0, ?y=- 3, ?y= 1.

∴ x+ y= 1,或-3. 答案 A 10.已知 a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且 a 与 b 的夹角为钝角, 则实数 x 的取值范围是( A.x>4 C.0<x<4 ) B.x<-4 D.-4<x<0.

解析 ∵〈a,b〉为钝角,∴a· b= |a||b|cos〈a,b〉 <0,即 3x+ 2(2- x)<0,∴ x<- 4. 答案 B

11.已知空间四个点 A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3, -1,0),D(- 1,0,4),则直线 AD 与平面 ABC 所成的角为( A.30° C.60° B.45° D.90° )

解析 设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x, y, z), → → ∵AB= (- 5,-1,1),AC= (- 4,- 2,-1), → → 由 n· AB= 0 及 n· AC= 0,得
? ?- 5x- y+ z= 0, ? 令 z= 1, ?- 4x- 2y- z= 0, ?

1 3 1 3 得 x= , y=- ,∴n=( ,- , 1). 2 2 2 2 → 又AD= (- 2,-1,3),设 AD 与平面 ABC 所成的角为 θ,则 3 → - 1 + +3 |AD· n| 2 1 sinθ= = = , → 14 2 14 × |AD||n | 2 ∴ θ= 30° . 答案 A 12.已知二面角 α-l-β 的大小为 50° ,P 为空间中任意一点, 则过点 P 且与平面 α 和平面 β 所成的角都是 25° 的直线的条数为( A.2 C .4 B.3 D.5 )

解析 过点 P 分别作平面 α, β 的垂线 l1 和 l2,则 l1 与 l2 所成的 角为 130° 或 50° ,问题转化为过点 P 与直线 l1, l2 成 65° 角的直线有 几条,与 l1,l2 共面的有一条,不共面的有 2 条.因此,共有 3 条.

答案 B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.把答案 填在题中横线上) 13.已知{i ,j,k}为单位正交基底,且 a=-i+j+3k,b=2i - 3j-2k, 则向量 a+b 与向量 a-2b 的坐标分别是________ ; ________. 解析 依题意知,a=(- 1,1,3),b= (2,- 3,- 2),则 a+b= (1, - 2,1), a- 2b= (- 1,1,3)- 2(2,- 3,- 2)= (- 5,7,7). 答案 (1,-2,1) (-5,7,7) → → 14.在△ABC 中,已知AB=(2,4,0),BC=(-1,3,0),则∠ABC= ________. → → → → AB· BC 10 2 解析 cos〈AB,BC〉= = = , → → 10 2 2 |AB||BC| → → π π 3π ∴〈AB,BC〉= ,∴∠ ABC=π- = . 4 4 4 答案 3π 4

15.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,面 ABD1 与面 B1BD1 所夹角的 大小为________. 解析

建立空间直角坐标系 D-xyz,如图. 设正方体的棱长为 1,则 A(1,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1). → → → ∴D1A= (1,0,- 1),D1B= (1,1,- 1),D1B1= (1,1,0). 设平面 ABD1 的法向量为 m=(x1, y1, z1),平面 B1BD1 的法向量 → → 为 n= (x2,y2,z2),则由 m· D1A= 0,m· D1B= 0,可得 m=(1,0,1),由 → m· n 1 n· D1B= 0,n· D1B1= 0,得 n=(1,- 1,0),∴cos〈m,n〉= = . |m ||n| 2 ∴所求二平面的大小为 60° . 答案 60° 16.在下列命题中:①若 a,b 共线,则 a,b 所在的直线平行; ②若 a,b 所在的直线是异面直线,则 a,b 一定不共面;③若 a,b, c 三向量两两共面,则 a,b,c 三向量一定也共面;④已知三向量 a, b,c,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p=xa+yb+zc,其 中不正确的命题为________ . 解析 ①a,b 共线,包括 a 与 b 重合,所以①错. ②空间任意两个向量均共面,所以②错.

③以空间向量的一组基底{a,b, c}为例,知它们两两共面,但 它们三个不共面,所以③错. ④当与 a,b,c 共面时,不成立,所以④错. 答案 ①②③④ 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10 分)如图,空间四边形 OABC 中,E,F 分别为 OA,BC → → → → 的中点,设OA=a,OB=b,OC=c,试用 a,b,c 表示EF. → → → 1→ 1 → → 1 1 1 解 EF=EO+OF=- OA+ (OB+OC)=- a+ b+ c. 2 2 2 2 2 18.(12 分)设 a1=2i -j+k,a2=i +3j-2k,a3=-2i+j-3k, a4=3i+2j+5k,试问是否存在实数 a,b,c 使 a4=aa1+ba2+ca3 成 立?如果存在,求出 a,b,c 的值;如果不存在,请说明理由. 解 假设 a4=aa1+ba2+ ca3 成立. 由已知 a1= (2,- 1,1),a2= (1,3,- 2), a3= (- 2,1,- 3),a4= (3,2,5),可得

(2a+b- 2c,-a+ 3b+ c,a- 2b- 3c)= (3,2,5). 2a+ b- 2c= 3, ? ? ∴?-a+ 3b+ c= 2, ?a- 2b- 3c= 5, ? 解得:a=-2,b= 1, c=- 3. 故有 a4=- 2a1+a2- 3a3. 综上知,满足题意的实数存在, 且 a=-2,b= 1, c=- 3. 19. (12 分)四棱柱 ABCD-A′B′C′D′中,AB=5,AD=3, AA′=7,∠BAD=60° ,∠BAA′=∠DAA′=45° ,求 AC′的长. → → → → → → → 解 AC′=AB+BC+CC′=AB+AD+AA′, → → → → 2 ∴ (AC′) = (AB+AD+AA′)2 → → → → → → → → → 2 2 2 =AB +AD +AA′ + 2(AB· AD+AB· AA′+AD· AA′) = 25+ 9+ 49+ 2(5×3cos60° + 5×7cos45° + 3×7cos45° ) = 98+ 56 2. → ∴ |AC′|= 98+ 56 2, 即 AC′的长为 98+ 56 2 . 20.(12 分)如图所示,PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,AB =2,PC 与平面 ABCD 所成角是 45° ,F 是 AD 的中点,M 是 PC 的 中点. 求证:DM∥平面 PFB.

证明 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 由 PC 与平 面 ABCD 所成的角为 45° ,即∠PCD= 45° ,得 PD= 2,则 P(0,0,2), C(0,2,0),B(2,2,0),F(1,0,0),D(0,0,0),M(0,1,1),

→ → → ∴FB= (1,2,0),FP= (- 1,0,2),DM= (0,1,1). 设平面 PFB 的法向量为 n=(x, y, z),则

→ ? ?FB· n= 0, ∴? → ? ?FP· n= 0,

? ?x+ 2y= 0, 即? ?- x+ 2z= 0. ?

令 y= 1,则 x=- 2, z=-1. 故平面 PFB 的一个法向量为 n=(- 2,1,- 1). → → ∵DM· n= 0,∴DM⊥n. 又 DM?平面 PFB,则 DM∥平面 PFB. 21.(12 分)如图,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2AB=4, 点 E 在 C1C 上,且 C1E=3EC. (1)证明 A1C⊥平面 BED; (2)求二面角 A1-DE-B 的余弦值.

解 以 D 为坐标原点, 射线 DA 为 x 轴的正半轴, 建立如图所示 的空间直角坐标系 D- xyz.

依题设 B(2,2,0),C(0,2,0), E(0,2,1), A1(2,0,4). → → DE= (0,2,1),DB= (2,2,0), → → A1C= (- 2,2,- 4),DA1= (2,0,4). → → → → (1)∵A1C· DB= 0,A1C· DE= 0, ∴ A1C⊥BD, A1C⊥DE. 又 DB∩DE=D, ∴ A1C⊥平面 DBE. → → (2)设向量 n= (x, y, z)是平面 DA1E 的法向量, 则 n⊥DE、 n⊥DA1. ∴ 2y+ z= 0,2x+ 4z= 0. 令 y= 1,则 z=- 2, x= 4, ∴n= (4,1,- 2).

→ → n· A1C 14 ∴cos〈n,A1C〉= = . 42 → |n||A1C| → ∵〈n,A1C〉等于二面角 A1-DE-B 的平面角, ∴二面角 A1-DE-B 的余弦值为 14 . 42

22. (12 分)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,CD 的中点. (1)证明:平面 AED⊥平面 A1FD1; (2)在 AE 上求一点 M,使得 A1M⊥平面 DAE. 解 (1)证明:建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,不妨设 正方体的棱长为 2, 则 A(2,0,0), E(2,2,1), F(0,1,0), A1(2,0,2), D1(0,0,2).

设平面 AED 的法向量为 n1= (x1, y1, z1),则 → ? ?n1· DA= ?x1, y1, z1?· ?2, 0, 0?= 0, ? → ? ?n1· DE= ?x1, y1, z1?· ?2, 2, 1?= 0.

? ?2x1= 0, ∴? ?2x1+ 2y1+ z1= 0. ?

令 y1= 1,得 n1= (0,1,- 2). 同理可得平面 A1FD1 的法向量 n2= (0,2,1). ∵n1· n2= 0,∴平面 AED⊥平面 A1FD1. (2)由于点 M 在 AE 上, → → ∴可设AM= λAE= λ(0,2,1)= (0,2λ, λ), → 可得 M(2,2λ, λ),于是A1M= (0,2λ, λ- 2). 要使 A1M⊥平面 DAE,需 A1M⊥ AE, → → 2 ∴A1M· AE= (0,2λ, λ- 2)· (0,2,1)= 5λ- 2= 0,得 λ= . 5 2 4 2 故当 AM= AE 时,即点 M 坐标为 (2, , )时,A1M⊥平面 DAE. 5 5 5


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