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高中数学必修四导学案


高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

§1.1.1
学习目标

任意角

例 1: 在 0?到 360?的范围内, 找出与下列各角终边相同 的角,并分别判断它们是第几象限角: (1)650? (2)-150? (3)-990?15?

1.理解任意角的概念,学会在平面内建立适当的坐 标系讨论任意角. 2.能在 0?到 360?范围内,找出一个与已知角终边相 同的角,并判定其为第几象限角. 3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.

变式训练: (1)终边落在 x 轴正半轴上的角的集合如何 表示?终边落在 x 轴上呢?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P2~ P5,找出疑惑之处) 体操跳水比赛中有“转体 720?” , “翻腾转体两周半”这 样的动作名称,720?在这里表示什么?

(2)终边落在坐标轴上的角的集合如何表示?

二、新课导学 ※ 探索新知 问题 1:在初中我们是如何定义一个角的?角的范围是 什么?
问题 2: (1)手表慢了 5 分钟,如何校准,校准后,分 针转了几度? (2)手表快了 10 分钟,如何校准,校准后,分针转了 几度? 问题 3:任意角的定义(通过类比数的正负,定义角的 正负和零角的概念)

例 2:若α 与 240?角的终边相同 (1)写出终边与? 的终边关于直线 y=x 对称的角 ? 的 集合.

(2)判断 是第几象限角.

? 2

变式训练:若? 是第三象限角,则- ? , 问题 4:能以同一条射线为始边作出下列角吗? 210? -150? -660? 第几象限角.

? ,2 ? 分别是 2

问题 5:上述三个角分别是第几象限角,其中哪些角的 终边相同.

例 3:如图,写出终边落在阴影部分的角的集合(包括 边界). y y
120? 45?

问题 6:具有相同终边的角彼此之间有什么关系? 你能写出与 60?角的终边相同的角的集合吗?

O

x
210?

O

x

※ 典型例题

变式训练:
1

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

(1)第一象限角的范围____________. (2)第二、四象限角的范围是 ______________. ※ 动手试试 1.已知 A={第一象限角},B={锐角}, C={小于 90°的角},那么 A、B、C 关系是( ) A.B=A∩C B.B∪C=C C.A ? C D.A=B=C 2.下列结论正确的是( ) A.三角形的内角必是一、二象限内的角 B.第一象限的角必是锐角 C.不相等的角终边一定不同 D.

3、终边在第二象限的角的集合可以表示为: ( ) A. {α ∣90°<α <180°} B. {α ∣90°+k· 180°<α <180°+k· 180°,k∈Z} C. {α ∣-270°+k· 180°<α <-180°+k· 180°,k ∈Z} D. {α ∣-270°+k· 360°<α <-180°+k· 360°,k ∈Z} 4、与 1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值 最小的角是_______________.

?? | ? ? k ? 360 ? 90 , k ? Z?=
? ?

?? | ? ? k ?180 ? 90 , k ? Z?
? ?

5、 若角? 的终边为第一、 三象限的角平分线, 则角? 集合是 .

3.若角α 的终边为第二象限的角平分线,则α 的集合 为______________________. 4.在 0°到 360°范围内,终边与角-60°的终边在同 一条直线上的角为 .

三、小结反思 本节内容延伸的流程图为:
0?—360?的角

课后作业
6、将下列落在图示部分的角(阴影部分) ,用集合表 示出来(包括边界).
135?

y
30? 135?

y

60?

任意角:正角,负角和零角
O
x

O

x

象限角

终边相同的角的表示

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1、下列说法中,正确的是( ) A.第一象限的角是锐角 B.锐角是第一象限的角 C.小于 90°的角是锐角 D.0°到 90°的角是第一象限的角 2、 (1)终边相同的角一定相等; (2)相等的角的 终边一定相同; (3) 终边相同的角有无限多个; (4) 终边相同的角有有限多个. 上面 4 个命题,其中真命题的个数是 ( ) A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个
2

7、角? , ? 的终边关于 x ? y ? 0 对称,且

? =-60°,求角 ? .

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

§1.1.2
学习目标

弧度制

问题 7:回忆初中弧长公式,扇形面积公式的推导 过程。回答在弧度制下的弧长公式,扇形面积公式。

1.理解弧度制的意义,正确地进行弧度制与角度制 的换算,熟记特殊角的弧度数. 2.了解角的集合与实数集 R 之间可以建立起一一对 应关系. 3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式,会利用弧 度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问 题.

※ 典型例题 例 1:把下列各角进行弧度与度之间的转化(用两种不 同的方法) 3? (1) (2)3.5 5 (3)252? (4)11?15?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P6~ P9,找出疑惑之处) 在初中,我们常用量角器量取角的大小,那么角 的大小的度量单位为什么? 变式训练:①填表
角 度 制 0? 45? 60? 90? 150 ? 180 ? 315 ?

二、新课导学 ※ 探索新知 问题 1:什么叫角度制?

弧 度 制

? 6

2? 3

5? 4

3? 2

2?

问题 2:角度制下扇形弧长公式是什么?扇形面积公式 是什么?

②若 ? ? ?6 ,则 ? 为第几象限角? ③用弧度制表示终边在 y 轴上的角的集合 ___ ____. 用弧度制表示终边在第四象限的角的集合 __ _____.

问题 3:什么是 1 弧度的角?弧度制的定义是什么?

问题 4:弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的?

例 2: ①已知扇形半径为 10cm,圆心角为 60?,求扇形弧 长和面积 ②已知扇形的周长为 8cm , 圆心角为 2rad,求扇形的面 积

问题 5:角的集合与实数集 R 之间建立了________ 对应关系。 问题 6:用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象 限、第四象限角的集合.

变式训练(1) :一扇形的周长为 20cm,当扇形的圆心 角? 等于多少弧度时,这个扇形的面积最大,并求此扇 形的最大面积.

3

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

A、 ?

? ? k ? 变式训练 (2):A= ? x x ? k? ? ?? 1? ? , k ? Z ? , 2 ? ?

3? 4

B、

? 4

C、

3? 4

D、 ?

?
4

5 2、 角α 的终边落在区间 (-3π ,- π ) 内,则角α 所在 2 象限是 ( ) A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限
2

? ? ? B= ? x x ? 2k? ? , k ? Z ? 则 A 、B 之间的关系 2 ? ?
为 .

3、已知扇形的周长是 6cm ,面积为 2cm ,则扇形弧 度数是( ) A、1 B、4 C、1 或 4 D、2 或 4 4、将下列各角的弧度数化为角度数: (1) ? ° ′;

※ 动手试试 1、将下列弧度转化为角度:

? = 12 13? (3) = 6
(1)

°; (2)- °;

7? = 8

7? ? 6

(3)1.4 =

8? ? ______度; 3 2 度; (4) ? 度. 3
度; (2) ?
?

2、将下列角度转化为弧度: (1)36°= rad; (2)-105°= (3)37°30′= rad; 3、 已知集合 M ={x∣x = k ?

5、若圆的半径是 6cm ,则15 的圆心角所对的弧长 rad; 是 ;所对扇形的面积是__ .

k ?? ?

?
2

? , k ∈Z} , N ={x∣x = 2

课后作业
6、已知集合 A= ? x k? ?

, k∈Z} ,则 ( )

A.集合 M 是集合 N 的真子集 B.集合 N 是集合 M 的真子集 C.M = N D.集合 M 与集合 N 之间没有包含关系 4、 圆的半径变为原来的 2 倍, 而弧长也增加到原来的 2 倍,则( ) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的 2 倍 D.扇形的圆心角增大到原来的 2 倍

? ?

?
3

? x ? k? ?

?

? ,k ? Z? , 2 ?

B= x 4 ? x ? 0 ,求 A ? B .
2

?

?

7、已知一个扇形周长为 C (C ? 0) ,当扇形的中心角为 多大时,它有最大面积?

三、小结反思 角度制与弧度制是度量角的两种制度。在进行角度与弧 度的换算时关键要 抓住 180?= ? rad 这一关系式,熟练掌握弧度制下的扇 形的弧长和面积公式.

8、如图,已知一长为 3dm ,宽为1dm 的长方形木块 在桌面上作无滑动的翻滚,翻滚到第三面时被一小木板 挡住,使木块底面与桌面成 30 的角,问点 A 走过的路 程及走过的弧度所在扇形的总面积?
A
A1 C A2 A3
?

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1、 把?

3

小的? 为(
4

11? 表示成? ? 2k? (k ? z ) 的形式, 使| ? | 最 4


B 1

D

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

§1.2.1 任意角三角函数(1)
学习目标
1.掌握任意角的正弦,余弦,正切的定义. 2.掌握正弦,余弦,正切函数的定义域和这三种函 数的值在各象限的符号.

※ 典型例题 例 1:已知角? 的终边经过点 P(2,-3) , 求 2 sin ? ? cos ? ? tan ?

变式训练⑴: 已知角? 的终边经过点 P (2a, -3a) (a ? 0), 求 2 sin ? ? cos ? ? tan ? 的值.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P11~ P15,找出疑惑之处) 在初中,我们利用直角三角形来定义锐角三角函 数,你能说出锐角三角函数的定义吗? 变式训练⑵:角 ? 的终边经过点 P ( -x , -6 )且
cos ? ? ? 5 ,求 x 的值. 13

二、新课导学 ※ 探索新知 问题 1:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐 标来表示锐角三角函数吗?

例 2:确定下列三角函数值的符号 (1)cos
7? 12

(2)sin(-465?)

11? (3)tan 3

问题 2:改变终边上的点的位置这三个比值会改变吗? 为什么? 变式训练⑴: 若 cos ? >0 且 tan ? <0, 试问角? 为第几象 限角 问题 3:怎样将锐角三角函数推广到任意角?

问题 4:锐角三角函数的大小仅与角 A 的大小有关, 与直角三角形的大小无关,任意角的三角函数大小 有无类似性质?

变式训练⑵: 使 sin ? cos ? <0 成立的角? 的集合为 ( ) ? ? A. ? ?? k? ? ? ? ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

问题 5:随着角? 的确定,三个比值是否唯一确 定?依据函数定义,可以构成一个函数吗?

? ? B. ? ?? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ? 3? ? C. ? ? ? ? 2k? ? 2? , k ? Z ? ?? 2k? ? 2 ? ? ? 3 ? ? D. ? ,k ? Z? ?? 2k? ? ? ? ? 2k? ? 2 2 ? ?

问题 6:对于任意角的三角函数思考下列问题: ①定义域;②函数值的符号规律 ③三个函数在坐标轴上的取值情况怎样? ④终边相同的角相差 2? 的整数倍,那么这些角的同一 三角函数值有何关系?

※ 动手试试
1、函数 y ? sin x ? ? cos x 的定义域是( A. (2k? , (2k ? 1)? ) , k ? Z B.[2k? ? )

?
2

, (2k ? 1)? ] , k ? Z
5

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

C.[ k? ?

?
2

, ( k ? 1)? ] , k ? Z

4、 若α 是第二象限角, 则点 A(sin? , cos? ) 是第 几 象限的点.

D.[2k? , (2k ? 1)? ] , k ? Z

2、若θ 是第三象限角,且 cos A.第一象限角 C.第三象限角

?

? ? 0 ,则 是( ) 2 2

5、已知角θ 的终边在直线 y = 则 sinθ = ; tan ? =

B.第二象限角 D.第四象限角

3 x 上, 3 .

3、已知点 P( tan ? , cos ? )在第三象限,则角? 在 ( ) A.第一象限 C.第三象限 4 、 已 知 sin 为 B.第二象限 D.第四象限

课后作业
6、设角 x 的终边不在坐标轴上,求函数
y? sin x cos x tan x 的值域. ? ? | sin x | | cos x | | tan x |

? tan ? ≥ 0 , 则 ? 的 取 值 集 合


三、小结反思 三角函数的定义及性质,特殊角的三角函数值,三角函 数的符号问题. 各象限的三角函数的符号规律可概括 为: “一正二正弦,三切四余弦”.

7 、 (1) 已 知 角 ? 的 终 边 经 过 点 P(4, - 3) , 求 2sin ? +cos? 的值;

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1、若角α 终边上有一点 P(a, | a |)(a ? R且a ? 0) , 则 sin A、 (2)已知角? 的终边经过点 P(4a,-3a)(a≠0),求 2sin ? +cos? 的值;

?

的值为 B、-

( )
2 2

2 2 2 2

C、±

D、以上都不对 (3)已知角? 终边上一点 P 与 x 轴的距离和与 y 轴的 距离之比为 3∶4(且均不为零) ,求 2sin? +cos? 的 值.

2、下列各式中不成立的一个是 ( )
? A、 cos 260 ? 0

B、 tan(?1032 ) ? 0
17? ?0 3

?

C、 sin? ?

? 6? ? ??0 ? 5 ?

D、 tan

3、已知α 终边经过 P(?5,12) ,则 sin

??

.

6

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

§1.2.1 任意角三角函数(2)
学习目标
1.利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、 余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线 表示出来,并能作出三角函数线。 2.培养分析、探究问题的能力。促进对数形结合思 想的理解和感悟。

(1)sin1 和 sin

? 3

(2)cos

4? 5? 和 cos 7 7

(3)tan

9? 9? 和 tan 7 8

(4)sin

?
5

和 tan

?
5

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P15~ P17,找出疑惑之处) 我们已学过任意角的三角函数,给出了任意角的正 弦,余弦,正切的定义。想一想能不能用几何元素表示 三角函数值? (例如, 能不能用线段表示三角函数值?)

变式训练①: 若? 是锐角 (单位为弧度) , 试利用单位圆 及三角函数线,比较? , sin ? , tan ? 之间的大小关系。

变式训练②:根据单位圆中的正弦线,你能发现正弦函 数值有怎样的变化规律。

二、新课导学 ※ 探索新知 问题 1: 在初中,我们知道锐角三角函数可以看成线 段的比,那么,任意角的三角函数是否也可以看成是线 段的比呢?

例 3:利用单位圆分别写出符合下列条件的角? 的集合 (1) sin ? ? ? (3) tan? ?

1 , 2

(2) sin ? ? ?

1 , 2

3 。

问题 2:在三角函数定义中,是否可以在角? 的终边上 取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简单?

问题 3.有向线段,有向线段的数量,有向线段长度的 概念如何。

变式训练①:已知角? 的正弦线和余弦线分别是方向一 正一反,长度相等的有向线段,则 ? 的终边在 ( ) A 第一象限角平分线上 B 第二象限角平分线上 C 第三象限角平分线上 D 第四象限角平分线上 变式训练②:当角 ? , ? 满足什么条件时有

问题 4.如何作正弦线、余弦线、正切线。

sin ? ? sin ? .

※ 典型例题 例 1:作出下列各角的三角函数线 2? 11? (1) (2) ? 3 6

变式训练③:sin? >cos? ,则? 的取值范围是 _________。 变式训练④:已知集合 E={ ? |cos ? <sin ? ,0 ? ? ? 2? }, F={ ? tan ? <sin ? }。 求集合 E ? F

例 2:比较下列各组数的大小

※ 动手试试
7

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

π π 1、若 <θ < ,则下列不等式中成立的是( ) 4 2 A.sinθ >cosθ >tanθ C. tanθ >sinθ >cosθ B.cosθ >tanθ >sinθ D.sinθ >tanθ >cosθ

C、 | sin? | ? | cos? | =1

D、| sin? | ? | cos? | <1

3、利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的集合。 ⑴ cos x ? ⑵ cos x ?
1 : 2 1 : 2

2、 角? (0< ? <2π ) 的正、 余弦线的长度相等, 且正、 余弦符号相异.那么? 的值为( ) π A. 4 3π B. 4 7π C. 4 3π 7π D. 或 4 4

; ; 。

⑶| cos x |?

3 : 2

3、若 0< ? <2π ,且 sin ? <

3 2

, cos? >

1 .利用三 2

角函数线,得到? 的取值范围是( ) π π π A. (- , ) B. (0, ) 3 3 3 5π π 5π C. ( ,2π ) D. (0, )∪( ,2π ) 3 3 3 4、依据三角函数线,作出如下四个判断: ①sin π 7π π π =sin ;②cos(- )=cos ; 6 6 4 4 3π ;④sin 5 >sin 4π . 5

4、已知角α 的终边是 OP,角β 的终边是 OQ, 试在图中作出α , β 的三角函数线, 然后用不等号填空: P sin ? ; ⑴ sin ? y cos ? ; ⑵ cos? P tan ? 。 ⑶ tan? ? Q
O
?

x

2π π 5、 若- ≤θ ≤ , 利用三角函数线, 可得 sinθ 的 6 3 取值范围是 .

π 3π ③tan >tan 8 8

其中判断正确的有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个

课后作业
D.4 个 6、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: ⑴
5? 7? ; ⑵ ; 4 6

三、小结反思 ①正弦线、余弦线、正切线,它们分别是正弦、余弦、 正切函数的几何表示,三角函数线是有向线段, 在用字母 表示这些线段时,注意它们的方向。 ② 利用数形结合来比较三角函数值的大小关键应注意 正负。

⑶?

?
3



7、已知α 是第三象限角,问点 P(cos 象限?请说明理由。

?

, sin ) 在第几 2 2

?

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1、若角 ? (0 ? ?

? 2? ) 的正弦与余弦线的长度相等
) D.以上都不对

且符号相同,那么角α 的值为( A.

? 4

B.

5? 4

C.

? 5? 或 4 4

2、用三角函数线判断 1 与| sin? | ? | cos? | 的大小关系 是( ) B、| sin? | ? | cos? | ≥1 A、 | sin? | ? | cos? | >1
8

§1.2.2 同角三角函数关系

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

学习目标
1. 掌握同角三角函数的基本关系式 sin α +cos α =1,
2 2

1 的值. sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ?
2

sin ? =tan ? ; cos ?

2.会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒 等式证明。

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P18~ P20,找出疑惑之处) 初中阶段学习了锐角三角函数的定义后,老师介绍了同 角三角函数间关系,你还记得吗?

2.化简三角函数式 例 2: 化简 (1) tan?

1 ? 1 ,其中? 是第二象限角 sin 2 ?

二、新课导学 ※ 探索新知 问题 1:同角三角函数间的关系公式能由锐角范围推广 到任意角吗?你能证明吗?
(2) 问题 2:你能用不同的方法证明这两条公式吗? 角

1 ? cos? 1 ? cos? + , 其中? 是第四象限 1 ? cos? 1 ? cos?

问题 3:如何进行公式 sin2α +cos2α =1,

sin ? tan ? = 的推导及其变形。 cos ?

(3)

1 ? 2 sin 10? cos10? cos10? ? 1 ? cos2 170?

3.证明简单的三角恒等式

※ 典型例题 1. 已知角的正弦、余弦、正切中的一个值,求出其余两 个值(知一求二) 。
例 1 :已知 sin? ?

例 3:求证:

sin ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ?

4 ,且 ? 是第二象限角,求 5
※ 动手试试
1、已知 tan ? ? 2, 求

cos ? , tan ?
sin ? ? cos ? 的值。 sin ? ? cos ?

1 变式训练:已知 tan ? ? ? ,求 2

2、 已知sin ? ? cos ? ? ? 值.

1 a t ?的 , 求n ? ? ?0, ? ? , 5
9

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

4、⑴已知 sin ? ? 2 cos ? ? 0 ,则

1 ? sin? cos?
2 cos 2 ? ? 1 3、化简: 1 ? 2 sin 2 ?



2 2 ⑵ 4 sin ? ? 3 sin? ? cos? ? 5 cos ? ?



5 、 已 知 α 4、证明 2 cos ? ? sin ? ? cos ? ? 1
2 4 4

是 第 三 象 限 角 , 化 简 。

1 ? s i? n 1 ? s i? n ? ? 1 ? s i? n 1 ? s i? n

三、小结反思 1、 在三角求值时, 应注意: ①角所在象限; ②一般涉及 到开方运算时要分类讨论。 在化简时应注意化简结果: ①涉及的三角函数名称较少; ②表达形式较简单。 2、 证明恒等式时常用以下方法: ①从一边开始, 证明它 等于另一边;②证明左右两边等于同一个式子;③分析 法,寻找等式成立的条件。证明的指向一般是“由繁到 简” 。

课后作业

1 ? sin6 ? ? cos6 ?
6、化简:

sin 2 ? ? sin 4 ?

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1、已知 sin ? ? 3 cos ? ? 0 ,则α 所在的象限是( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第一、三象限 D、第二、四象限
2、 1 ? 2 sin ? ? cos? 的值为 ( A、 sin ? ? cos ? C、 cos ? ? sin ?

7、证明下列恒等式: ⑴ 2 cos ⑵ sin
4
2

? ? sin4 ? ? cos4 ? ? 1 ;

? ? sin2 ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 。



B、 sin ? ? cos ? D、| sin ? ? cos ? |
2

3 、若 sin ? , cos? 是方程 4 x ? 2mx? m ? 0 的两 根,则 m 的值为 A.1 ? 5 C.1 ? 5 B.1 ? 5 D. ? 1 ? 5

§1.3.1 诱导公式(1)

10

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

学习目标
1.借助单位圆,推导出正弦,余弦的诱导公式. 2.正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三 角函数,并解决有关三角函数求值,化简和恒等式证明 问题.

(3)tan(-1560?)

变式训练:求值(1) sin(?1200? ) ; (2) tan945? ; (3) cos

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P23~ P27,找出疑惑之处) 如何求 sin750?, cos1080?, tan780?, sin

47 ? 6

9? 5? , cos 4 2

的值 二、新课导学 ※ 探索新知 问题 1:如何把任一角的三角函数的求值问题转化为 0? —360?间三角函数的求值问题?

例 2: 已知 cos ?

3 ? 5? ? ?? ? ,求 cos? ? ? ? 的值. ?? ? ? ? 6 ? ?6 ? 3

变 式 训 练 : 已 知 c o? s ? ? ? ?

?? ?6

? ?

3 , 求 3

问题 2: 已知任意角? 的终边与单位圆相交于 P(x, y) , 求 P 关于 x 轴,y 轴,原点对称的三个点的坐标.

?? ? 5? ? ? cos? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? 的值。 6? ? 6 ? ?

问题 3:如果角? 的终边与角 ? 的终边关于原点对称, 那么? 与 ? 的三角函数值之间有什么关系?

问题 4:如果角? 的终边与角 ? 的终边关于 x 轴对称, 那么? 与 ? 的三角函数值之间有什么关系?

※ 动手试试 1、对于诱导公式中的角? ,下列说法正确的是( ) A.? 一定是锐角 B.0≤? <2π C.? 一定是正角 D.? 是使公式有意义的任意角

o s ?? ? ? ? ? 2、 若c
的值是( )

3 , ? ? ? ? 2? , 则sin?? ? ? 2? ? 5 3 5
C.

问题 5:如果角? 的终边与角 ? 的终边关于 y 轴对称, 那么? 与 ? 的三角函数值之间有什么关系?

A.

3 5

B. ?

4 5

D. ?

4 5

3、已知

3 sin ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? 2, 4 sin ?? ? ? ? cos ?9? ? ? ?


问题 6:你能概括上述诱导公式吗?

则 tan ? =

※ 典型例题
例 1:求值(1) sin

4、求 cos(-2640°)+sin1665°的值.

7? ; 6

(2) cos

11? ; 4
11

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

三、小结反思 将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的算法流程 为:
? [0 ? ,90? ) ? ? ? ? ? 任意角 ? [0 ? ,360? ) ? ? [90 ,180 ) 180 ? ? ? ? ? ? ?[180 ,270 ) 180 ? ? ? ? ? ? ?[270 ,360 ) 360 ? ?

课后作业
6、已知 sin ? x ?

? ?

??

1 ? ? ,求 6? 3

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1


? 7? ? ? 5? ? sin ? ? x ? ? cos2 ? ? x ? 的值. ? 6 ? ? 6 ?

cos 225? ? tan 240? ? sin(?60? ) ? tan(?420? )
的值是 A、 ? ( )

2 3 ? 2 2
2 3 ? 2 6

B、 ?

2 3 ? 2 2
2 3 ? 2 6
) 7 、已知 cos 75? ? ? ?

C、 ?

D、 ?

?

?

1 , ? 为第三象限角,求 3

2、已知 cos31? ? a, 则sin 239 ? tan 149 ? = (

cos ? 255? ? ? ? sin 435? ? ? 的值.

?

?

?

?

1? a2 A、 a
C、

B、 1 ? a 2

a2 ? a a

D、 ? 1 ? a 2

3、 1 ? 2 sin(? ? 2) cos(? ? 2) 等于(



A.sin2-cos2 B.cos2-sin2 C.±(sin2-cos2) D.sin2+cos2 4、若 tan ? ? a ,则 sin ?? 5? ? ? ?cos ?3? ? ? ? = ____ ____.

sin ?? ? n? ? ? tan ?n? ? ? ?, n ? Z . 8、化简: cos ?? ? ? n? ?





5、化简: ______
12

cos(? ? 4? ) cos2 (? ? ? ) sin 2 (? ? 3? ) = sin(? ? 4? ) sin(5? ? ? ) cos2 (?? ? ? )
___.

§1.3.2 诱导公式(2)
学习目标

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

1.掌握诱导公式一到六, 掌握

3? ? ? ? , ? ? 这三种形 2 2

式的角的三角函数与? 角三角函数间的关系. 2.利用诱导公式求三角函数值、化简、证明恒等式.

3? ) cos( 4? ? ? ) 2 例 1:化简 ? 5? tan(? ? 5? ) cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2 sin( 3? ? ? ) cos( ? ?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P23~ P27,找出疑惑之处) 若角? 的终边与角 ? 的终边关于直线 y=x 对称 ⑴角? 的正弦与角 ? 的余弦函数值之间有何关系? 例 2:已知 cos( 75? ? ? ) ? 求 cos(15? ? ? )

1 ,且 ? 180 ? ? ? ? ?90? , 3

⑵角 称?

? ? ? 的终边与角? 的终边是否关于直线 y=x 对 2

1 变式训练: 已知cos( 75? ? ? ) ? , 且? 180 ? ? ? ? ?90? , 3

105? ? ? ) ? sin(? ? 105?) 的值. 求 cos(

二、新课导学 ※ 探索新知
问题 1:对角 论?

?
2

? ? 与角? 的研究,你能得出什么结

例 3: 设 f ( x) ? 2 sin(? ? ? ) cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) 3? ? 1 ? sin 2 ? ? cos( ? ? ) ? sin 2 ( ? ? ) 2 2 (1 ? 2 sin ? ? 0 ),求 f ( ?

问题 2:利用上述公式五与公式二,推导

sin(

?
2

? ? ), cos(

?
2

? ? ), tan(

?
2

23? ) 6

? ?)

问题 3 :利用前面学过的公式,推导

3? 3? 3? sin( ? ? ), cos( ? ? ), t an ( ? ? ) 2 2 2

※ 动手试试
1、已知 sin(π +α )=
4

3 3 π ,则 sin( -α )值为( ) 4 2
1 2
C.

问题 4:你能概括上述诱导公式五、六吗?

A.

1 2

B. —

3 3 D. — 2 2

2、如果| cos x |? cos(? x ? ? ).则 x 的取值范围是() A.[?

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ]( k ? Z )

※ 典型例题
B. (

?

3 ? 2k? , ? ? 2k? )( k ? Z ) 2 2

13

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

C.[

?

3 ? 2k? , ? ? 2k? ]( k ? Z ) 2 2

4、若 cos α = ,α 是第四象限角,求
3

2

D. (?? ? 2k? , ? ? 2k? )(k ? Z )

sin(? ? 2? ) ? sin( ?? ? 3? ) cos(? ? 3? ) cos(? ? ? ) ? cos( ?? ? ? ) cos(? ? 4? )

的值.

3、 设角? ? ? 35 ? , 则 2 sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 6 1 ? sin 2 ? ? sin(? ? ? ) ? cos2 (? ? ? ) 的值等于 ( ) C. 3 D.- 3

3 3 A. B.- 3 3

? 、 cot ? 是 关 于 x 的 方 程 5 、已知 tan x 2 ? kx ? k 2 ? 3 ? 0 的两实根,且3? ? ? ? 7 ? , 2
求 cos(3? ? ? ) ? sin(? ? ? ) 的 值 . ( 注 :

4、若 f (cos x) ? cos 3x, 那么 f (sin 30?) 的值为()

c o?t =1/ tan ? )

A.0

B.1

C.-1 D.

3 2

三、小结反思 ① 应用诱导公式求三角函数值时的一般步骤为: 负角化正角→大角化小角→查表求值
② 对 (2k ? 1) ?

课后作业
6、记 f ( x) ? a sin( ? x ? ? ) ? b cos( ? x ? ? ) ? 4 ,

?
2

? ? (k ? z ) 的诱导公式, 简记为 “函

) ? 5, ( a 、b 、? 、 ? 均为非零实数) ,若 f (1999 ) 的值. 求 f (2000

数名互余,符号看象限”. ③应用诱导公式时必须注意符号.

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1 1 1、满足条件 f ( ? x) ? f ( ? x) 的函数为( ) 2 2
A、 f ( x) ? sin ?x C、 f ( x) ? tan?x B、 f ( x) ? cos?x D、 f ( x) ? cot ?x 8、已知 tan ? ? 2 ,且α 是第三象限角. 2、

? 11? sin(2? ? ? ) cos(? ? ? ) cos( ? ? ) cos( ??) 2 2 7、 化简: 9? cos(? ? ? ) sin(3? ? ? ) sin(?? ? ? ) sin( ? ? ) 2

sin(180? ? 405? ) sin(270? ? 765? ) = sin(90? ? 45? ) tan(270? ? 45? )

.

⑴求 sin( k? ? ? ) ? cos( k? ? ? ) 的值; ⑵ 已 知 α 是 第 四 象 限 角 , 化 简 :

3、 将下列三角函数转化为锐角三角函数, 填在题中横线 上:

sin(k? ? ? ) ?

1 ? cos(k? ? ? ) (k ? Z ) . 1 ? cos(k? ? ? )

sin 263? 42? ?
? 5 ? sin? ? ? ? ? ? 3 ?
14

__ ; cos(?104? 26?) ? ; tan



17? ? 6

.

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

§1.4.1 正弦函数、余弦函数的 图象
学习目标
1.能借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由 诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图.

弦式表示) ,那么 y=cosx 的图象怎样作? ※ 典型例题 例 1:用“五点法”画下列函数的简图 (1) y=2cosx x∈R (2) y=sin2x x∈R

变式训练: (1) 函数 y=2cosx 与 y=cosx 的图象之间有何 联系?能推广 y=Acosx(A>0)与 y=cosx 图象间关系吗?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P30~ P33,找出疑惑之处) 遇到一个新的函数,画出它的图象,通过观察图象获得 对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法,那么, 一般采用什么方法画图象?

二、新课导学 ※ 探索新知 问题 1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分, 分别画出对 应角的正弦线.

(2)函数 y=sin2x 与 y=sinx 的图象之间有何联系? 你能推广 y=sinω x(ω >0)与 y=sinx 图象间关系吗?

例 2: 用“五点法”画 y=sin( 2 x ?

? ) 的简图 2

问题 2. 在相应坐标系内,在 x 轴表示 12 个角(实数表 示) ,把单位圆中 12 个角的正弦线进行右移.

问题 3. 通过刚才描点 (x0,sinx0) ,把一系列点用光滑曲 线连结起来,你能得到什么?

※ 动手试试 1、函数 y ? sin A.R

x (a ? 0)的定义域为( a
C. ? ? , ? 3 3



B. ??1,1?

? 1 1? ? ?

D.[-3,3]

问题 4. 观察所得函数的图象, 五个点在确定形状是起关 键作用,哪五个点?

2、在[0,2 ? ]上,满足 sin x ? A. ?0, ? 6
问题 5. 如何作 y=sinx,x∈R 的图象?

1 的 x 取值范围是( ). 2

? ?? ? ?

B?

? ? 5? ? , ?6 6 ? ? ? 5? ? ,? ? ? 6 ?

C. ?
问题 6. 用以前学过的诱导公式 cosx=________(用正

? ? 2? ? , ?6 3 ? ?

D. ?

15

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

3、 用五点法作 y ? sinx+1 ,x [0,2 ? ] ? 的图象.

(2 ) y ? cos x 的图象与 y ? ? cos x 的图象关于 ________对称. 4、 (1) 把余弦曲线向______平移______个单位就可以得 到正弦曲线; (2) 把正弦曲线向______平移______个单位就可以得到 余弦曲线. 5、由函数 y ? sinx 如何得到 y ? cosx 的图象?

4 结合图象,判断方程 sinx ? x 的实数解的个数.

课后作业
6、画出 y ? 3 cos x ? 1 的简图,并说明它与余弦曲线 的区别与联系.

三、小结反思
在区间[0,2? ] 上正、 余弦函数图象上起关键作用的五个 点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点(平衡点). 函数的图象可通过描述、平移、伸缩、对称等手段得到.

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1、观察正弦函数的图象,以下 4 个命题: (1)关于原点对称 (2)关于 x 轴对称 (3)关于 y 轴对称 (4)有无数条对称轴 其中正确的是 ( ) A、 (1) 、 (2) B、 (1) 、 (3) C、 (1) 、 (4) D、 (2) 、 (3)
2、对于下列判断: (1)正弦函数曲线与函数 y ? cos( 7、画出 y ? sin( x ? 的区别与联系.

?
6

) 的简图,并说明它与正弦曲线

3? ? x ) 的图象是 2
8.结合图象,判断方程 - sinx ? x 的实数解的个数.

同一曲线; (2) 向左、 右平移 2? 个单位后, 图象都不变的函数一 定是正弦函数; (3)直线 x ? ? (4)点 (?

?
2

3? 是正弦函数图象的一条对称轴; 2

,0) 是余弦函数的一个对称中心.
( ) C、 (3) D、 (4)

其中不正确的是 A、 (1) B、 (2)

3、 (1) y ? sin x 的图象与 y ? ? sin x 的图象关于 ________对称;
16

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

§1.4.2 正弦函数、余弦函数的 周期性
学习目标
1.了解周期函数及最小正周期的概念. 2.会求一些简单三角函数的周期.

问题 3:一个周期函数的周期有多少个?周期函数的图 象具有什么特征? 问题 4:最小正周期的含义;求 f ( x) ? sin x,

f ( x) ? cos x 的最小正周期?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P34~ P36,找出疑惑之处) 自然界存在许多周而复始的现象,如地球自转和公转, 物理学中的单摆运动和弹簧振动, 圆周运动等.数学中从 正弦函数,余弦函数的定义知,角? 的终边每转一周又 会与原来的终边重合,也具有周而复始的变化规律,为 定量描述这种变化规律,引入一个新的数学概念——函 数周期性.

※ 典型例题 例 1: 求下列函数的周期:
(1) f ( x) ? cos2 x ; (2) g ( x) ? 2 sin(

x ? ? ) 2 6

变式训练:1. ⑴求 f ( x) ? cos(?2 x) ⑵ g ( x ) ? 2 sin( ?

x ? ? ) 的周期 2 6

二、新课导学 ※ 探索新知 问题 1:观察下列图表
x - 2? 0 -

3? 2

-?

-

? 2

0

? 2
1

?
0

3? 2
-1

2?

2.已知 f ( x ) ? cos
0

sinx

1

0

-1

0

kx ,其中 k ? 0 ,当自变量 x 在任 10

从中发现什么规律?是否具有周期性?

何两个整数间(包括整数本身)变化时,至少含有一个 周期,求最小正整数 k 的值.

问题 1:.如何给周期函数下定义?

问题 2:判断下列问题: ( 1 ) 对 于 函 数 y=sinx

x ∈ R



例 2:证明函数 y ? sin x ? cos 2 x 不是周期函数.

sin(

?
4

?

?
2

) ? sin

?
4

成立, 能说

?
2

是正弦函数 y=sinx

的周期? (2) f ( x) ? x 是周期函数吗?为什么?
2

※ 动手试试 1、求下列函数的周期: (1)正弦函数 y ? 3sinx 的周期是_________. (2)正弦函数 y ? 3 ? sinx 的周期是________.

( 3 ) 若 T 为 f ( x) 的 周 期 , 则 对 于 非 零 整 数

(3)余弦函数 y ? cos2x 的周期是__________. (4)余弦函数 y ? y ? 2cos( 1 x - ? ) 的周期是______.
2 6
17

k , kT (k ? Z ) 也是 f ( x) 的周期吗?

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

(5)函数 y ? sin(-

x ? ? ) 的周期是________. 2 4

3、求下列函数的最小正周期: (1) y ? sin(

?
3

?

?x
2

), T ?

.

2.函数 f ?x ? ? sin ? ?x ? 则? =____________.

? ?

??

2? , ??? ? 0? 的周期是 3 4?

(2) y ? cos( 2 x? ?

?
6

), T ?

.

4、已知函数 y ? 2 sin( ?x ?

?

3.若函数 f(x) 是以

? ?? ? 为周期的函数,且 f ? ? ? 1 , 2 ?3?

) 的最小正周期为 , 3 3

?

则? ?

.

? 17? ? 则f? ? ? __________. ? 6 ?
(x) ? sin x 是不是周期函数?若是,则它的 4.函数 f
周期是多少?

5、求函数的周期:

1 cos x 周期为: 2 3x (2) y ? sin 周期为: 4
(1) y ? (3) y ? 2 cos 4 x 周期为: (4) y ?

. . . .

3 sin 2 x 周期为: 4

三、小结反思 对周期函数概念的理解注意以下几个方面:
(1) f ( x ? T ) ? f ( x) 是定义域内的恒等式,即对定 义域内的每一个 x 值, x ? T 仍在定义域内且使等式成 立. (2) 周期T 是常数, 且使函数值重复出现的自变量 x 的 增加值. (3) 周期函数并不仅仅局限于三角函数, 一般的周期是 指它的最小正周期.

课后作业
6、 y ? sinx ? cosx 是周期函数吗?如果是,则周期是 多少?

7、 函数 f(x) ? c (c 为常数) 是周期函数吗?如果是, 则周期是多少?

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1、 设a ? 0 , 则函数 y ? sin(ax ? 3) 的最小正周期为 ( ) 8、已知函数 y ? ?3 sin(

k ? x ? ) ? 1, (k ? 0) 3 6

A、

? a

B、

?
|a|

C、

2? a

D、

2? |a|

(1)求最小正整数 k ,使函数周期不大于 2; (2)当 k 取上述最小正整数时,求函数取得最大值时 相应 x 的值.

2、函数 f ( x) ? 2 cos(

k? ? ? ) ? 1 的周期不大于 2, 4 3
D、10

则正整数 k 的最小值是( ) A、13 B、12 C、11

18

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

§1.4.3 正、余弦函数的值域、 奇偶性、单调性
学习目标
1.掌握正、余弦函数的有关性质并会运用. 2.熟记正、余弦函数的单调区间,并利用单调性解题.

⑴ f ( x) ?| sin x | ? cos x : ⑵ f ( x) ? tan x ? x :
3



⑶ f ( x) ? x ? cos x : 例 3 .求 y ? sin( 2 x ?

.

?
3

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P37~ P40,找出疑惑之处) 在已学过的内容中,我们要研究一个函数,往往从哪些 方面入手?

) 的单调增区间

变式训练: (1)求 y ? cos( 2 x ?

?
3

) 的单调增区间

二、新课导学 ※ 探索新知 问题 1. 在同一直角坐标系中作 y=sinx,y=cosx (x∈R)的 图象,观察它们的图象,你能得到一些什么性质?分别 列出 y=sinx, y=cosx x∈R 的图象与性质
问题 2.观察 y=sinx, y=cosx x∈R 图象,探求 y=sinx, y=cosx 的对称中心 及对称轴.

(2)求 y ? sin( ?2 x ?

?
3

) 的单调增区间

(3)求 y ? sin( 2 x ? 间

?
3

)?c os( 2 x ?

?
6

) 的单调增区

例 4.求下列函数的值域 (1) y ? 3 ? 2 sin 2 x (2) y ?| sin x | ? sin x (3) y ? cos x ? 2 sin x ? 2
2

※ 典型例题 例 1:求下列函数的最大值及取得最大值时 x 的集合
(1) y ? cos

x 3

(2) y ? 2 ? sin 2 x

(4) y ? 变式训练: (1)若 y ? cos( ? ) 呢?

2 sin x cos2 x 1 ? sin x

x 3

(5) y ? 2 sin(2 x ?

?

? ? ?? ), x ? ?? , ? 3 ? 6 6?

变式训练: (2)若 y ? 2? | sin 2 x | 呢?

变式训练: 已知 f ( x) ? 2a sin( 2 x ?

?
3

) ? b 的定义域

为[0, 例 2:判断下列函数奇偶性 (1)f(x)=1-cosx (2)g(x)=x-sinx 变式训练:3、判断下列函数的奇偶性: 值.

?
2

],函数的最大值为 1,最小值为-5,求 a,b 的

19

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

※ 动手试试

1 1、函数 y ? sin x , y ? 时自变量 x 的集合 2
是___________.

2k? ? x ? 2k? ? C、

?
2

k? ? x ? k? ? ? D、


2、在[ ?? , ? ] 上是增函数,又是奇函数的是( A、 y ? sin

4? 5? 32? 2、将 a ? sin , b ? ? cos , c ? sin , 5 4 5 5? d ? cos ,从小到大排列起来为:__________. 12
3、函数 y ? 2sin 2x 的奇偶数性为( A. 奇函数 C.既奇又偶函数 B. 偶函数 D. 非奇非偶函数 ).

x 2 x 4

B、 y ? cos

1 x 2

C、 y ? ? sin

D、 y ? sin 2 x

3、已知函数 y ?

? sin

x ,其定义域是 3

.

4 、 已 知 函 数 y ? 1 ? cos x , 则 其 单 调 增 区 间 是 ;单调减区间是
2



2 4、 函数 y ? ? cosx, x ? ?0,2? ? , 其单调性是 ( ) . 3
A. 在?0, ?  ?上是增函数,在?? ,2? ? 上是减函数 B. 在 ? , ? 上是增函数,在 ?0, 2 ?, ? 2 ,2? ? ?2 2 ? ? ?? ? 上分别是减函数 C. 在??, 2? ? 上是增函数,在?0, ? ? 上是减函数 D. 在 ?0, ?, ? ,2? ? 上 分 别 是 增 函 数 , 在 ? 2? ? 2 ?

5、 若 f ( x) ? ? s i n a 的值.

求 x ? ac o s x ? 1 的最小值为-6,

? ? 3? ?

? ? ? ? 3?

?

课后作业
6、 求下列函数的单调增区间: (1) y ? 2 sin(

?
4

? 2 x) ;

(2) y ? cos2 x

? ? ? ? 3?

?

? ? 3? ? ? 2 , 2 ? 上是减函数 ? ?
三、小结反思 ⑴正、余弦函数的定义域、值域、有界性、单调性、奇 偶性、周期性等都可以在图象上被充分地反映出来,所 以正、余弦函数的图象十分重要. ⑵结合图象解题是数学中常用的方法.

? (0, 7 、已知 ?、?、

?
2

)且cosa 〉 sin? ,试比较

? ? ? ? 与 的大小
2

8、 求函数 y ? sin ? 单调区间和最值.

?? ?? ? ? ? 4 x ? ? cos? 4 x ? ? 的周期、 6? ?3 ? ?

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1、设 k ? z ,则三角函数 y ? sin 2 x 的定义域是 ( )

2k? ? x ? 2k? ? ? A、

k? ? x ? k? ? B、

?
2

20

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

§1.4.3 正切函数的图象与性质
学习目标
1.熟练运用正、余弦函数的图象与性质解题. 2.能借助正切函数的图象探求其性质.

问题 3. 正切函数在定义域内是增函数吗?

问题 4. 正切函数的对称轴,对称中心是什么?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P42~ P45,找出疑惑之处) 1. 结合正、余弦函数的图象,求下列函数的定义域: (1) y ?

※ 典型例题
例 1:求 y ? tan( 2 x ?

?
4

) 的定义域及周期

sin x 1 ? cos x

(2) y ?

16 ? x 2 sin x
变式训练: (1)求 y ?

1 tan( 2 x ?

(3) y ? 2 sin 2x ? 1

?
4

的定义域

)

2. 结合正、余弦函数的图象,求下列函数的值域 (1) y ? 2 cos x ? 1

(2)、函数 y ? tan( ax ? )( a ?0) 的周期为(

?

? ? 2? ? x?? , ? ?3 3 ?

6

).

A.

2? a

B.

2? a

C.

? a

D.

? a

(2) y ? sin( x ?

?
4

)

x 为锐角

例 2、根据正切函数图象,写出满足下列条件的 x 的范 围: ① tan x ? 0 ② tan x ? 0 ③ tan x ? 0 ④ tan x ? 3

3.判断下列函数奇偶性 (1) y ? cos( x ? (3) y ? x sin x

?
2

)

(2) y ? sin(

3? ? x) 2

变式训练:1、求函数 y ? tan | x | 的定义域与值域,并 作图象.

二、新课导学 ※ 探索新知
问题 1. 回忆 y ? sin x 图象的由来,你能通过单位圆的 正切线作 y ? tan x , x ? ? ?

例 3、求函数 y ? tan(

x ? ? ) 的单调区间。 2 6

? ? ?? , ? 的图象吗? ? 2 2?

※ 动手试试
1、 y ? tan x( x ? k? ?

?
2

, k ? Z ) 在定义域上的单调

问题 2. 观察 y ? tan x 的图象,类比 y ? sin x,

y ? cos x 的性质,你能得到 y ? tan x 的一些怎样性
质?

性为( ). A.在整个定义域上为增函数 B.在整个定义域上为减函数 C.在每一个开区间 (? 增函数
21

?
2

? k? ,

?
2

? k? )(k ? Z ) 上为

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

D. 在每一个开区间 (? 为增函数

?
2

? 2 k? ,

?
2

? 2k? )( k ? Z ) 上

2、函数 y ? tan(

?
4

? x) 的定义域是(



A、{ x | x ? R 且 x ? ? ). B、{ x | x ? R 且 x ?

?
4

}

2、下列各式正确的是( A. tan( ?

13 17 ? ) ? tan(? ? ) 4 5 13 17 B. tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) 4 5 13 17 C. tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) 4 5
D.大小关系不确定 3、函数 y ? sin x ? tan x 的定义域为( ).

3? } 4

C、{ x | x ? R 且 x ? k? ?

,k ? z} 4 3? ,k ? z } D、{ x | x ? R 且 x ? k? ? 4
3、下列函数不等式中正确的是( A. tan ).

?

? ? A. ? ? x | 2k? ? x ? 2k? ? , k ? ? ? 2 ? ? ? ? B. ? ? x | 2k? ? x ? 2k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
? ? ? C. ? x | 2k? ? x ? 2k? ? , k ? ? ? ? ?x | x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

4 3 2 3 ? ? tan ? B. tan ? ? tan ? 7 7 5 5 13 15 C. tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) 7 8 13 12 D. tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) 4 5
4、在下列函数中,同时满足:①在 ? 0,

? ?

??

? 上递增;② 2?

? D. ? ? x | 2k? ? x ? 2k? ? 且 x ? 2k? ? ? , k ? Z 2 ?

?

以 2? 为周期;③是奇函数的是( ). A. y ? tan x B. y ? cos x C. y ? tan

(?为 4、直线 y ? a (a 为常数)与正切曲线 y ? tan ? x
常数,且? ? 0) 相交的两相邻点间的距离为( ). A.? B.

x 2
?

D. y ? ? tan x
? ?

5 、函数 tan 224 , sin 136 , cos 310 的大小关系是 (用不等号连接) : .

2? ?

C.

? ?

D.与 a 值有关

课后作业
6、画出 y ?| tan x | 的图象,并指出定义域、值域、最 小正周期、单调区间.

三、小结反思 (1)作正切曲线简图的方法: “三点两线”法,即

(0,0), (?

?

,?1), ( ,1) 和直线 x ? ? 及 x ? , 4 4 2 2
?
2 , k ? z} ,所
7、确定函数 y ? tan(

?

?

?

然后根据周期性左右两边扩展. (2)正切函数的定义域是{x | x ? k? ?

?
3

? 2 x ) 的奇偶性和单调区间.

以它的递增区间为 (k? ? ? , k? ? ? ), k ? z 2 2

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1、函数 y ? tan 3?x 的最小正周期是( A、
22

8、若? ? ? 0,

? ?? ? ,试比较 ? 6?



tan(sin ? ).tan(tan ? ), tan(cos ? ) 的大小.

1 3

B、

2 3

C、

6

?

D、

3

?

§1.5.1 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

图象与性质(1)
学习目标 1.了解 y ? A sin( ?x ? ? ) 的实际意义,会用五点法画 出函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 的简图. 2.会对函数 y ? sin x 进行振幅变换, 周期变换, 相位变
换,领会“由简单到复杂,从特殊到一般”的化归思想.

标变为原来的 A 倍(横坐标不变) 而得到的.

问题 4. y ? sin 2 x, y ? sin 有什么关系?

1 x 与 y ? sin x 的图象 2

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P49~ P56,找出疑惑之处) 物体作简谐运动时,位移 s 与时间 t 的关系为 可以看做将函数 y ? sin x 的图象上所有的点的横坐 标变为原来的 结论: 一般地,函数 y ? sin ?x(? ? 0, ? ? 1) 的图象

s ? A sin( ?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 你能说出简谐运
动的振幅,周期,频率,相位,初相是什么吗?它的图象与

y ? sin x 有何关系?
二、新课导学 ※ 探索新知
问题 1. 在同一坐标系中,画出 y ? sin x ,

1 倍(纵坐标不变) 而得到的. ?

※ 典型例题
例 1:求函数 y ? sin( 2 x ?

?
6

) 的振幅,周期,频率,相位,

y ? sin( x ?

?
4

) , y ? sin( x ?

?
4

初相,用五点法作出该函数的图象

) 的简图.

问题 2. y ? sin( x ? 系?

?
4

) 与 y ? sin x 的图象有什么关

例 2: 叙述 y ? sin x 到 y ? 2 sin( x ? 程. 结论:一般地,函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象可以看做将 函数 y ? sin x 的图象上所有的点向左(当? ? 0 )或向 右(当? ? 0 )平移 ? 个单位长度而得到的. 例 3: 叙述 y ? sin x 到 y ? 问题 3. y ? 3 sin x, y ? 什么关系?

?
4

) 的变化过

1 sin x 与 y ? sin x 的图象有 3

1 sin 2 x 的变化过程. 2

变式训练: ① y ? sin( x ? 结论: 一般地,函数 y ? A sin x( A ? 0, A ? 1) 的图象 可以看做将函数 y ? sin x 的图象上所有的点的纵坐 个单位得到 y ? sin x

?
3

) 向_______平移_______

23

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

② y ? sin( x ?

?
3 )

) 向_______平移_______个单位得到

y ? sin( x ?

?
3

1 ? 1 x ? sin( - ) B. f(x) ? sin( 2x ? ) 2 2 2 2 2 1 x ? 1 ? C. f(x) ? sin( ? ) D. f(x) ? sin( 2 x - ) 2 2 2 2 2
A. f(x) ?

(x ? 4. 函 数 y ? 3s i n 2

?
3

) 的图象,可由函数

③ y ? f ( x) 向右平移 求 f ( x)

?
2

个单位得到 y ? sin( x ?

?
4

),

y ? sinx 的图象经过下述__变换而得到( ).
A.向右平移

? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵 2 3
? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵 2 3

坐标扩大到原来的 3 倍 B.向左平移 ※ 动手试试

? 1.若将某正弦函数的图象向右平移 以后, 所得到的 2
图象的函数式是 y ? sin ? x ? 达式为( ).

坐标扩大到原来的 3 倍

? ?

??

? ,则原来的函数表 4?

A. y ? sin(x ? C. y ? sin(x ?

?

3? ) 4 4 )

B. y ? sin(x ? D. y ? sin(x ?

?
2

)

?
4

)-

?
4

? 个单位,横坐标扩大到原来的 6 1 2 倍,纵坐标缩小到原来的 3 ? 1 D.向左平移 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵 2 6 1 坐标缩小到原来的 3
C. 向右平移

2. 已知函数 y ? Asin(?x ? ? ) 在同一周期内,当

三、小结反思
?平移变换y ? sin ? x ? ? ? ? y ? sin x的图象 ? ? 周期变换y ? sin ?x ? y ? A sin ??x ? ? ? ? 振幅变换y ? A sin x ?

x?

?
12

时,y

7? 时, y 最小=-2,那 最大=2,当 x= 12
).

么函数的解析式为( A. y ? 2sin( 2 x ? C. y ? 2sin( 2 x ?

? ?
3

) )

B. y ? 2sin( 2x -

?
6

)

6

D. y ? 2sin( 2x ?

?
3

学习评价
)
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1、把函数 f ( x ) ?

1 sin x 的图象上所有点的纵坐标伸 3

3. 已知函数 y ? f(x), 将f(x) 图象上每一点的纵坐 标保持不变,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后把所得 的图形沿着 x 轴向左平移 线与 y ?

长到原来的 3 倍,而横坐标不变,可得 g ( x) 的图象, 则 g ( x) ? A. sin x ( B. sin )

? 个单位,这样得到的曲 2

1 s i nx 的 图 象 相 同 , 那 么 已 知 函 数 2
).

1 9

1 3

x 3

C. sin 3 x

1 3

D. sin x

y ? f(x)的解析式为(
24

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

2、 将函数 y ? 2 sin

x 的图象上所有点的横坐标伸长到 2

7、函数 y ? 域是 频率

1 ? sin( 3 x ? ) 的定义域是 5 3
,周期 ,初相 ,振幅 .

,值 ,

原来的 2 倍,纵坐标不变,得到新的函数图象,那么新 函数的解析式为 ( )

x 2 x C、 y ? 2 sin 4
A、 y ? 4 sin

B、 y ? sin

x 2

课后作业
8、用“五点法”列表作出下列函数的图象:

D、 y ? sin 2 x

3.把 y=sinx 的图象上各点向右平移

? 个单位,再把 3

2 ? ) ; (2)y ? 2 cos( x ? ) 4 3 3 分析它们与 y ? cos x 的关系.
(1)y ? cos( 2 x ?

?

横坐标缩小到原来的一半, 纵坐标扩大到原来的 4 倍, 则所得的图象的解析式是( ). A. y ? 4 sin ?

?? ?1 x? ? 3? ?2

B. y ? 4 sin ? 2 x ?

? ?

??
? 3?

C. y ? 4 sin ?

?? ?? ?1 ? x ? ? D. y ? 4 sin? 2 x ? ? 3? 3? ? ?2

4.已知函数 y ? ?sin(?x+?) ,在一个周期内,当

x?

?
12

时, 取得最大值 2, 当x ? ).

7? 时取得最小值 12

-2,那么( A. y ?

1 ? ?? sin ? x ? ? 2 ? 3? ? ?

B. y ? 2 sin? 2 x ?

? ?

??
? 3?
9.函数 y ? sinx 的图象可由 y ? cos( 2 x 象经过怎样的变化而得到?

?
6

) 的图

C. y ? 2 sin? 2 x ?

??
? 6?

D. y ? 2 sin ?

?x ?? ? ? ?2 6?

5.将函数 y ? sin(?x) 的图象向右平移

? 个单位, 所 3

得到的函数图象的解析式是___________;将函数

y ? cos(?2x) 的图象向左平移

? 个单位, 所得到的 6

函数图象的解析是________________.
6、 将函数 y ? 到原来的 域是

3 4 sin x 的图象上所以点的纵坐标缩短 4 3

1 倍, 横坐标不变, 那么新图象对应的函数值 2
,周期是 .

25

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

§1.5.2 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的 图象与性质(2)
学习目标
1.熟练掌握由 y ? sin x 到 y ? A sin(?x ? ? ) ? K 的 图象的变换过程. 2.根据三角函数的图象给出的条件求函数解析式.

位得到 y ? f ( x) 的图象, 则 f ( x) ? __________ _. 变式训练 (2) 把函数 y ? cos( 3 x ?

?
3

) 的图象向_____

平移_______个单位可得到 y ? sin( ?3x) 的图象

例 2:已知函数 y ? A sin( ?x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0, (2, 3) 与这个最高点相 0 ? ? ? 2? ) 图象的一个最高点 邻的最低点为(8,-3) ,求该函数的解析式.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P49~ P56,找出疑惑之处) 函数 y ? 2 sin( 2 x ? 经过变换得到吗?

?
3

) ? 1 的图象可以由 y ? sin x

二、新课导学 ※ 探索新知
用五点法作 y ? sin 2 x , y ? sin( 2 x ?

变式训练:若函数 y ? A sin( ?x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0,

?
3

) 的图象。

周期为 0 ? ? ? 2? ) 的最小值为-2, 点(0, ?

2? , 且它的图象过 3

2) ,求此函数的表达式。

问题 1.它们两个图象的关系是什么?

问题 2:函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ? 0) 的图象 和 y ? sin ?x 的图象有怎样的关系。

※ 动手试试 ※ 典型例题
例 1:用三种方法作函数 y ? 3 sin( 2 x ?

2x ? 1. 函 数 y ? 3si n(

?
3

) 的 图 象 可看 作是函 数

?
3

) 的图象

y ? 3sin 2x 的图象,经过如下平移得到的,其中正
确的是( A.向右平移 C.向右平移 ).

?
3

个单位

B.向左平移 D.向左平移

? 个单位 3

变式训练 (1) 将函数 y ? cos x 的图象上所有的点的横 坐标伸长为原来的 3 倍, 再将所得图象向左平移

? 个单位 6

? 个单位 6

?
3

个单

26

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

2.函数 y ? sin( 2 x ?

5? ) 的图象的对称轴方程为 2

3、 函数 S ? A sin(?t ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 表示一个振 动量,其中振幅是 个函数为 初相

____________________. 3. 已 知 函 数 y ? A si n? ( x ? ? ) ( A>0 , ? >0 , 0< ? ? ? )的两个邻近的最值点为( (

1 3 ? ,频率是 ,初相是 ,则这 2 2? 6




?
6

, 2 )和

4、已知函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图象 最高点为 ?

2? , ?2) ,则这个函数的解析式为_________. 3

?? ? 图象与 ,3 ? ,由此最高点到相邻最低点的, ?3 ?

4.函数 f(x) ? 3sin(2x ? 5Q) 的图象关于 y 轴对称, 则 Q 的最小值为________________.

x 轴的交点为 ?

?? ? ,0 ? .求此函数的一个表达式. ?2 ?

三、小结反思

y ? sin x
图:

到 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 的变换流程

课后作业
5、设函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b( A ? 0, | ? |? 一周期内,当 x ?

?
2

). 在同

y ? sin x ? y ? sin(x ? ? ) ? y ? sin(?x ? ? )
? y ? A sin(?x ? ? ) ? A sin(?x ? ? ) ? k

5? 7 时, y 有最大值为 ;当 3 3 11? 2 x? ,y 有最小值 ? 。求此函数解析式. 3 3

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1、 把函数 y ? sin x 的图象向下平移 1 个单位, 再把所 得图象上点的纵坐标扩大到原来的 3 倍,然后再把所得 图象上点的横坐标扩大到原来的 3 倍,最后再把所得的 图象向左平移 ( ) A. y ? 3 sin( 6、函数 y ? A sin( ?x ? ?)( A ?0, ? ?0,| ?| ? ) 的

?

2

? 个单位,则所得图象对应的函数是 3
B. y ? 3 sin(

最小值为-2,其图象相邻的最高点和最低点横坐标差是 3? ,又图象过点(0,1) ,求这个函数的解析式.

x ? ? ) ?1 3 9

C. y ? 3 sin( 3 x ?

?

x ? ? )?3 3 9

3

) ? 1 D. y ? 3 sin(3 x ?

?

9

)?3
7、已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b( A ? 0, ? ? 0, b 为常 数,| ? | ? ?) 的一段图象如图所示, 求该函数的解析式

2 、 要 得 到 y ? sin

1 ? y ? sin( x ? ) 的图象 2 3
A、向左平移 C、向左平移
? 3
2? 3

1 x 的图象,只需将函数 2
( ) B、向右平移 D、向右平移
? 3
2? 3

27

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

§1.6.1 三角函数的应用(1)
学习目标
1、会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问 题,体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型。 2、熟悉数学建模的方法与步骤.

例 1:在图中,点 O 为做简谐运动的物体的平衡位置, 取向右的方向为物体位移的正方向, 若已知振幅为 3cm, 周期为 3s, 且物体向右运动到距平衡位置最远处开始记 时。 ⑴求物体对平衡位置的位移 x(cm)和时间 t(s)之间的函 数关系。 ⑵求该物体在 t=5s 时的位置。

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P60~ P65,找出疑惑之处) 三角函数能够模拟许多周期现象,因此在解决实际问题 中有着广泛的应用。

? O

? A

二、新课导学 ※ 探索新知 问题 1 一半径为 3cm 的水轮如图所示, 水轮圆心 o 距离
水面 2m,设角? (?

?
2

? ? ? 0) 是以 ox 为始边,op0
y p

例 2. 某城市一年中 12 个月平均气温与月份数之间的关 系可以近似地用一个三角函数来描述。已知 6 月份的月 平均气温最高, 为 29.45℃, 12 月份的月平均气温最低, 为 18.3℃。 求出这个三角函数的表达式, 并画出该函数 的图象。

为终边的角,求? 。

O

?
p0

x

※ 动手试试 1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的 一种数学模型.
2、 y ?| sin x | 是以____________为周期的波浪型曲线. 问题 2. 已知水轮每分钟转动 4 圈,如果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中 P0)开始计算时间,将点 P 距离水 面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数。 3、设 y ? f (t ) 是某港口水的深度关于时间 t(时)的函 数,其中 0 ? t ? 24 ,下表是该港口某一天从 0 至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系.
t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

问题 3. 点 P 第一次到达最高点大约要多长时间?

经长期观察, 函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数

y ? k ? A sin( ? t ?? ) 的图象.
根据上述数据,函数 y ? f (t ) 的解析式为( A. y ? 12 ? 3sin )

?t
6

, t ? [0, 24]

※ 典型例题
28

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

? ? ), t ? [0, 24] 6 ?t , t ? [0, 24] C. y ? 12 ? 3sin 12 ?t ? D. y ? 12 ? 3sin( ? ), t ? [0, 24] 12 2
B. y ? 12 ? 3sin(

?t

课后作业
2、如图所示,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线 近似满足函数 y ? A sin( ?x ? ? ) ? b 的图象。⑴求这

三、小结反思 1 、利用三角函数建立数学模型一定要熟悉 y ? A sin(wx ? ? ) ? k 的性质。
2、 实际问题 实际问题 问题
抽象, 概括
还原

段时间的最大温差; ⑵写出这段曲线的函数解析式。
y温度(?C )

数学问题 实际问题 问题

30 20 10
O

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1、 受日月引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐.在通 常情况下, 船在涨潮时驶进航道, 靠近船坞;卸货后落潮 时返回海洋,某港口水的深度 y (米)是时间
t(时) y(米) 0 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0

6 810 12 14 x时间(时)

t (0 ? t ? 24, 单位:时)的函数,记作 y ? f (t ) ,下面
是该港口在某季节每天水深的数据: 经长期观察, y ? f (t ) 曲线可以近似地看做函数

y ? A sin ?t ? k 的图象。
⑴根据以上数据,求出函数 y ? f (t ) 近似表达式。 ⑵一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5m 或 5m 以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不 碰海底即可) ,某船吃水深度(航底离水面的距离)为 6.5 米, 如果该船想在同一天内安全进出港, 问它至多能 在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?

3、 以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商 店的销售价格时发现:该商品的出厂价格是在 6 元基础 上按月份随正弦曲线波动的,已知 3 月份出厂价格最高 为 8 元,7 月份出厂价格最低为 4 元,而该商品在商店 的销售价格是在 8 元基础上按月随正弦曲线波动的,并 已知 5 月份销售价最高为 10 元,9 月份销售价最低为 6 元,假设某商店每月购进这种商品 m 件,且当月售完, 请估计哪个月盈利最大?并说明理由.

29

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

§1.6.2 三角函数的应用(2)
学习目标
1、 能准确分析收集到的数据, 选择恰当的三角函数模型 刻画数据所蕴含的规律,来解决实际问题. 2、体会生活即数学的意义.

问题 4 若船的吃水深度为 4m,安全间隙为 1.5m,该船 在 2:00 开始卸货, 吃水深度以每小时 0.3m 的速度减少, 那么该船在什么时候必须停止卸货,将船驶向较深的水 域?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P60~ P65,找出疑惑之处) 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮 汐,一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨 潮时驶进航区, 靠近船坞, 卸货后落潮时返回海洋.常用 三角函数去模拟相关函数.

二、新课导学 ※ 探索新知 问题 1. 观察下表的数据, 作出散点图, 观察图形, 你认 为可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律? 给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深:
时刻 0:00 3:00 6:00 水 深 时刻 (m) 5.0 7.5 5.0 9:00 12:00 15:00 水 深 时刻 (m) 2.5 5.0 7.5 18:00 21:00 24:00 水 深 (m) 5.0 2.5 5.0

※ 典型例题 例 1:某港口相邻两次高潮发生时间间隔 12h20min,低 潮时入口处水的深度为 2.8m,高潮时为 8.4m,一次高 潮发生在 10 月 3 日 2:00。 (1) 若从 10 月 3 日 0:00 开始计算时间, 选用一个三角 函数来近似描述这 个港口的水深 d(m)和时间 t(h)之间的函数关系; (2)求 10 月 5 日 4:00 水的深度; (3)求 10 月 3 日吃水深度为 5m 的轮船能进入港口的 时间。

例 2. 电 流 I(A) 随 时 间 t(s) 变 化 的 关 系 式 是

I ? A s i n?t ,t ? ?o,??? ,设? ? 100? ,A=5。
⑴求电流 I 变化的周期和频率; 问题 2. 根据所得的函数模型,求出整点时的水深。 ⑵当 t ? 0,

1 1 3 1 , , , 时,求电流 I。 200 100 200 50

⑶画出电流 I(A)随时间 t(s)变化的函数图象。

问题 3 一条货船的吃水深度 (船底与水面的距离) 为 4m, 安全条例规定至少要有 1.5m 的安全间隙(船底与海底 的距离) ,该船何时能进入港口?在港口待多久?

※ 动手试试
30

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

1、课本第 65 页练习 2、从高出海面 hm 的小岛 A 处看正东方向有一只船 B, 俯角为 30 看正南方向的一船 C 的俯角为 45 ,则此时 两船间的距离为( A. 2hm C. 3hm ). B. 2hm D. 2 2hm
? ?

课后作业
3、下表是某市 1975-2005 年月平均气温(℃) (1)下列函数模型中最适合这些数据的是 ( ) A、 y ? a cos

?x
6

B、 y ? a cos

?x
6

?8 ?3

C、 y ? ? a cos

?x
6

?8

D、 y ? a cos

?x
6

(2) 请再写出一个与上述所选答案等价的模型来描述这 些数据.


三、小结反思 1、 用三角函数的图象与性质解决一些简单的 实际问题,数学模型的建立很重要,实际的 取值范围也必须引起注意. 2、 数学建模的过程应完整清晰, 实际应用问 题并不仅仅局限于三角函数中.

1 份 平 均 -5.9 气 温

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-3.3

2.2

9.3

15.1

20.3

22.8

22.2

18.2

11.9

4.3

-2.4

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1、一个单摆如右图,摆角 y (弧度)作为时间t (秒)
的函数满足 y ?

1 ? sin( 2t ? ) . 2 2

y
4、如图,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似

(1)求最初位置的摆角(弧度) ; ? (2)求单摆的频率. ? (3)求多长时间单摆完成 5 次完整摆动 (往复摆动一次称 一次完整摆动)?

) ?b 满足函数 y ? A sin( ?x ? ?
(1)求这段时间的最大温差. (2)写出这段曲线的函数解析式

2、大风车叶轮最高顶点离地面 14.5 米,风车轮直径为 14 米,车轮以每分钟 2 周的速度匀速转动.风叶轮顶点 从离地面最低点经 16 秒后到达最高点. 假设风叶轮离地面高度 y (米)与风叶轮离地面最低点 开始转的时间 t (秒)建立一个数学模型,用函数

y ? a sin[?(t ? b)] ? c 来表示, 试求出其中四个参数
a, b, c, w 的值.

三角函数章节复习与小结
31

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

学习目标
1、对本章知识系统化,网络化。 2、 通过本章学习, 感受三角函数与实际生活的紧密联系, 感受数学的价值.

A. tan

?
2

? cot

?
2

;B. tan

?
2

? cot

?
2



C. sin

?
2

? cos

?
2

;D. sin

?
2

? cos

?
2

学习过程
一、课前准备 1、三角函数章节有关知识点: ⑴三角函数的定义,符号,任意角三角函数 ⑵三角函数线,弧长公式,弧度与角度的互化 ⑶同角三角函数关系式 ⑷诱导公式 ⑸三角函数的性质,定义域,值域,周期性,奇偶性, 最值,对称轴,对称中心

3. 已知P(-4k,3k)( k ? 0 )是角 ? 终边上一点,则 2 sin ? ? cos ? 的值等于: A. ?

2 5

B.

2 5

C.

?

2 5

D. ?

1 5
? 个单 6

4.将函数 y

? f ?x ? 的图象沿 x

轴向左平移

本章内容结构图: 二、新课导学

位,再使图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来 os x 的图象,则 f ( x) 可能是: 的2倍,得到 y ? c A. f ( x) ? cos( 2 x ?

?

同角三角函数 基本关系式 任意角的概念 任意角的三角函数

B. f ( x) ? cos( 2 x ? 6 )

) 6 ?

? C. f ( x) ? cos( 2 x ? 3 ) ? D. f ( x) ? cos( 2 x ? 3 )

诱导公式

角度制 弧度制

正弦、 余弦、 正 切函数的图象 和性质

应 用 应用
弧长及面积公式

y ? A sin(?x ? ? )
图象和性质 已知三角函 数值求角 三角函数式的计算与化简, 证明三角恒等式

应用

※ 探索新知 1 .一个半径为 R 的扇形,它的周长为 4R,则这个扇形 所含弓形的面积是:
A. ( 2 ? sin(cos 1) R )
2

5 .在 ?ABC 中,若sin( A ? B ? C) ? sin( A ? B ? C) , 则 ?ABC 形状是 A、等腰三角形 C、等腰直角三角形

1 2

B.

1 2 R sin(cos 1) 2

C.

1 2 R 2

B、直角三角形 D、等腰或直角三角形

2 2 D. R ? sin 1 cos1R

2.设? 是第二象限角,则必有:

32

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编写:高一年级数学组

3 1 7 ,? cos . 6 .比较大小: cos , sin 2 10 4
___________________.

2 cos3 ? ? sin2 (2? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? 3 2 例 3 设 f (? ) ? , 2 ? 2 cos2 (? ? ? ) ? cos(?? )

?

求 f ( ) 的值。

? 3

7 .已知

1 ? sin x 1 cos x ? ? ,则 ? _________. cos x 2 1 ? sin x

8 . 已知 f ( x) 为奇函数,且 f ( x ? 4) ? f ( x) ,则

f (2006 ) ? __________ __ .

例 4 已知 f ( x) ? log 0.5 sin( 2 x ?

?
4

),

※ 典型例题

7 例 1 已知 sin ? ? cos ? ? , 且 tan ? ? 1 , 求c o s ? 5
的值。

(1)求定义域,值域,单调增区间 (2)判断周期性和奇偶性

例 2 设 sin ? , cos? 是方程 4 x 2 ? 4mx ? 2m ? 1 ? 0 的 两根,

3? ? ? ? 2? ,求 m 和? 2
2 2 例 5 不等式 4 ? 3 sin x ? cos x ? 4 cos x ? a ? 20

恒成立,求 a 的取值范围。

33

2013 年上学期◆高一





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三、小结反思 1、 本章主要内容是任意角的概念、 弧度制、 任意角的三 角函数,同角三角函数间的关系、诱导公式及三角函数 的图象和性质等。 2、 三角函数是具有周期变化现象的主要数学模型, 三角 函数的图象能充分体现其函数的性质.

课后作业
5、已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足: ① f (x ?

?

? ? 7? ? ) ? ? f ( x) ;②对任意属于 ? , ? 的 2 ?12 12 ?

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1、已知 B(?3a,?4a)(a ? 0) 是角α 终边上一点,则 ( ) sec ? 的值是 5 5 5 A、 ? B、 C、 ? 3 4 3 2、设θ 是第三象限的角,且满足| sin

当 x1 ? x2 时都有 2 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? m x1 , x2 , 成立。 试解答下列各题: ⑴证明: f ( x ) 的周期函数; ⑵求 m 的值;

5 D、 4

?
2

|? ? sin

?
2

⑶若 f ( x ) 满足 f ( , 等式 f (

?
3

? x) ? ? f (

?
3

? x) ,求满足不

?
4

? 则 是 2

sin x ?

?





3

) ? 0 的 x 的集合。

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

3、函数 y ?

2 sin x ? 1 的定义域是 lg( 1 ? tan x)



4 、已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在同一周期内,当

9 1 大值 ,则其解析式为 2

x?

?

时,取得最小值 ?

1 4? ,当 x ? 时,取得最 2 9


34

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第一章三角函数单元测试
班级 姓名 座号

1 ? sin2

1 ? 的结果是 6 0

(

) B . ? cos160?

A . cos160? C. ? cos160?

一、选择题:共 12 小题,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. (48 分) 1.已知 A={第一象限角},B={锐角}, C={小于 90°的角}, 那么 A、B、C 关系是( ) A.B=A∩C B.B∪C=C C.A C D.A=B=C 2、将分针拨慢 5 分钟,则分钟转过的弧度数是 A.

D. ? cos160?

9、 A 为三角形 ABC 的一个内角,若sin A ? cos A ? 12 , 25 则这个三角形的形状为 ( ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 ( ) D. 等腰三角形 10、函数 y ? 2 sin( 2 x ?

? 3

B.-

? 3

C.

? 6

D.-

? 6

?
3

) 的图象

3、已知

sin ? ?2cos ? 3sin ? ? 5cos ?
B.2

? ?5, 那么 tan ? 的值为
23 16
D.-

A.-2

C.

23 16

4、 已知角? 的余弦线是单位长度的有向线段;那么角? 的终边 ( ) A.在 x 轴上 B.在直线 y ? x 上 C.在 y 轴上 D.在直线 y ? x 或 y ? ? x 上

? ,0)对称 6 ( ?) C.关于 y 轴对称 D.关于直线 x= 对称 6 ? 11、函数 y ? sin( x ? ), x ? R 是 ( ) 2 ? ? A.[ ? , ] 上是增函数 B.[0, ? ] 上是减函数 2 2
A.关于原点对称 B.关于点(- C.[ ?? ,0] 上是减函数 12、函数 y ? A. 2k? ? D.[?? , ? ] 上是减函数 )

2cos x ? 1 的定义域是(
?
3 , 2 k? ?

) ? cos2 x ,则 f (sin15?) 等于 ( 5、若 f (cos x
A. ?

)

? ? ?

?? (k ? Z ) 3? ? ?? (k ? Z ) 6? ?
2? ? (k ? Z ) 3 ? ? 2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

3 2

B.

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2
B. 2k? ?

? ? ?

?
6

, 2 k? ?

6、要得到 y ? 3 sin( 2 x ? 的图象 A.向左平移

?
4

) 的图象只需将 y=3sin2x


C. 2k? ?



? ? ?

?
3

, 2 k? ?

? ? 个单位 B.向右平移 个单位 C.向 4 4 ? ? 左平移 个单位 D.向右平移 个单位 8 8
7、如图,曲线对应的函数是 A.y=|sinx| B.y=sin|x| C.y=-sin|x| D.y=-|sinx| 8 、 化 简 ( )

D. 2k? ?

? ? ?

2? 3

, 2k? ?

二、填空题:共 4 小题,把答案填在题中横线上. (20 分) 4 ? 13、已知 ? ? ? ? ? ? ? ,?? ? ? ? ? ? ? , 则2? 3 3 的取值范围是 . 14、 f ( x) 为奇函数,当 x>0 时, f ( x) ? sin 2x ? cos x, . 则x ? 0时, f ( x) ?
35

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班级:

姓名:

15 、函数 y ? cos( x ? 是

?

? 2 )( x ? [ , ? ]) 的最小值 8 6 3


20 、 ( 10 分 ) 已 知 α 是 第 三 角 限 的 角 , 化 简

1 ? s i n? 1 ? s i n? ? 1 ? s i n? 1 ? s i n?

n ?c o? s ? 16 、 已 知 s i ?
cos ? ? sin ? ?

1 ? ? ,且 ? ? ? , 则 8 4 2
.

三、解答题:共 6 小题,解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 17、 (8 分)求值

sin 2 120? ? cos180? ? tan 45? ? cos2 (?330?) ? sin(?210?)

21 、 (10 分)求函数 f1 (t ) ? tan2 x ? 2a tan x ? 5 在

x ? [ , ] 时的值域(其中 a 为常数) 4 2

? ?

?? 18 、 (8 分)已知 tan
sin ? ? cos ? 的值.

3 3? , ? ? ? ?, 求 2
22、 (8 分)给出下列 6 种图像变换方法: ①图像上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的

1 ; 2
②图像上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍;

19、 (8 分)绳子绕在半径为 50cm 的轮圈上,绳子的下 端 B 处悬挂着物体 W, 如果轮子按逆时针方向每分钟匀 速旋转 4 圈, 那么需要多少秒钟才能把物体 W 的位置向 上提升 100cm?

? 个单位; 3 ? ④图像向左平移 个单位; 3 2? ⑤图像向右平移 个单位; 3 2? ⑥图像向左平移 个单位。 3
③图像向右平移 请用上述变换将函数 y = sinx 的图像变换到函数 y = sin (

x ? + )的图像. 2 3

36

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§2.1 平面向量的实际背景及 基本概念
【学习目标】 1. 通过对物理中有关概念的分析, 了解向 量的实际背景,进而深刻理解向量的概念; 2. 掌握向量的几何表示; 理解向量的模、 零向量与单位 向量的概念. 3. 在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共 线向量的概念. 【学习过程】 一、课前准备 (预习教材 P74-P76) 复习引入:有一类量如长度、质量、面积、体积等,只 有 没有 ,这类量我们称之为数量. 而力是 常见的物理量,重力、浮力、弹力等都是既有 又有 的量;那这样的量叫什么呢? 二、新课导学 ※ 探索新知 探究一: 向量的概念: 数学中, 我们把这种既有 又有 的量叫做向量. 问题 1:数量和向量的异同点有哪些? 探究二:向量的表示法 问题 2:向量有几种表示方法? (1)人们常用 来表示向量,线段按一定比例 画出,它的长短表示向量的大小,箭头的指向表示向量 的方向. ⑵以 A 为起点, B 为终点的有向线段记 ??? ? 作 ,线段 AB 的长度称为模,记作 AB .有 向线段包含三个要素:

单位向量:长度等于 的向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 平行向量 (共线向量) : 方向相同或相反的非零向量. 若 ? ? ? ? 向量 a ,b 平行,记作:a // b . 因为任一组平行向量都 可以移动到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线 向量

问题 3:如何理解零向量的方向? 探究四:相等向量:长度相等且 的向量叫做 ? ? 相等向量,用有向线段表示的向量 a 与 b 相等,记作: ? ? a?b. ※ 典型例题 例 1、在如图所示的坐标纸 中,用直尺和圆规画出下列 向量: ??? ? ⑴ OA ? 3 , 点 A 在点 O 的

正北方向; ??? ? , ⑵ OB ? 2 2 ,点 B 在点

O 南偏东 60? 方向.

例 2、教材 P75 例 1 学法指导:请将教材上的空白处填好。先用刻度尺量出 图上距离, 再算出实际距离。

AB ?

; 。

? (3)有向线段也可用字母如 a ,

,? 表示.

AC ?

例 3、如右图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分 ???? ??? ? ???? 别写出图中与 OD , OE , OF 相等的向量.

探究三:几个特殊的向量 零向量:长度为 的向量;
37

??? ? 变式: (1)与 AB 相等的向量有哪些?

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班级:

姓名:

(2) OA 与 EF 相等吗? OB 与 AF 相等吗?

3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些 向量的终点所构成的图形是( ) A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 ? D.一个单位圆

课后作业
1. 已知非零向量 a // b ,若非零向量 c // a , 则 c 与b 必

三、学习小结 1、描述向量的两个指标:模和方向. 2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、向量的图示,要标上箭头和始点、终点. 4、 向量与有向线段的区别: (1) 向量只有大小和方向两个要素, 与起点无关, 只要 大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量; (2) 有向线段有起点、 大小和方向三个要素, 起点不同, 尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.



.

2.已知 a 、b 是两非零向量,且 a 与 b 不共线,若非零向 量 c 与 a 共线,则 c 与 b 必定 .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.?
①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必 在一直线上;? ②单位向量都相等;? ③任一向量与它的相反向量不相等;? ④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB = DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为 0;? ⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.

2.下列说法中错误 的是( ..



A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为 0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的

38

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§2.2.1 向量的加法运算及其 几何意义
学习目标
1. 通过实际例子, 掌握向量的加法运算, 并理解向量加 法的平行四边形法则和三角形法则及其几何意义。 2. 灵活运用平行四边形法则和三角形法则进行向量求 和运算。

3、对于零向量与任一向量a ,我们规定

?

? ? a +o =___________=_______.
探究二:向量加法的交换律和结合律 问题 3: 数的运算律有哪些?类似的, 向量的加法

是否也有运算律呢?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P80—P84) ? ? 1、复习:向量的定义以及有关概念。 4、对于任意向量a ,b ,向量加法的 2、 引入: 周三大清洁时, 两个同学抬着回收箱去卖废品, 请同学们做出回收箱的受力图,并思考拉力和重力满足 交换律是:_____________; 结合律是:_____________。 什么条件便可将回收箱抬起.

二、新课导学 ※ 探索新知 问题 1:在复习中回收箱所受的重力与两个同学

※ 典型例题 ? ? ? ? 例 1、已知向量 a 、 b ,求作向量 a ? b .

拉力的合力有什么关系呢?
1、向量加法的三角形法则(首尾相接,首尾连) : 已知非零向量a,b ,在平面内任取一点 A,作

? ?

思考:当在数轴上表示两个共线向量时,它们的

? ? ? ??? ? ? 则向量__________叫做a 与b 的 AB ? a,BC ? b ,
和,记作___________,即a ?

???

加法与数的加法有什么关系?
小结 1:在三角形法则中 “首尾相接” ,是第二个向量 的 与第一个向量的 重合. 小结 2: (1)两相向量的和仍是 | a +b | | a |+| b |; ,

?

b =_______=________。

?

这个法则就叫做向量求和的三角形法则。 O b a b a a A b

; , 且

(2) 当向量 a 与 b 不共线时,a + b 的方向

(3)当 a 与 b 同向时,则 a + b 、 a 、b

B
2、向量加法的平行四边形法则:以同起点 O 两个向量
? ? ? ??? ? ? ?? 为邻边作四边形 OACB, a ,b (OA ? a ,OB ? b ) ? ?

且| a + b |

| a |+| b |,当 a 与 b 反向时,若| a |>| b |,则 | a |-| b |; 若| a |<| b |, | b |-| a |.

且| a + b | a + b 的方向与 a 相同, 则 a + b 的方向与 b 相同,且| a +b|

则以 O 为起点对角线___________,就是a 与b 的和。 这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。 问题 2:想想两个法则有没有共同的地方?

例 2、一架飞机向北飞行 400km,然后改变方向向东飞 行 300km,求飞机飞行的路程及两次位移的合成.
39

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班级:

姓名:

为( A.0

) B.3 C. 2 D.2 2

5、在矩形 ABCD,| AB | ? 4, | BC | ? 2 ,则向量 例 3、教材 P83 例 2.

???

??? ?

AB ? AD ? AC 的长度等于(
A. 2 5 B. 4 5

???

???

??? ?

) C.12 D.6

课后作业
→ → → 1、已知|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围?

三、小结反思 1、向量加法的几何意义;2、交换律和结合律;
3、注意:| a + b | ≤ | a | + | b |,当且仅当方向相同时 取等号.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1、化简

2、若 E,F,M,N 分别是四边形 ABCD 的边 AB,BC, → → CD,DA 的中点,求证:EF=NM.

??? ??? ??? ? ??? ? BA ??? ? AC ??? ? ? ____________ MB MB ??? ? ? BA ??? ? AC ??? ? ? ____________ ??? ? ? NP ??? ? PM ??? ? ? ____________ MN ?? ? ? ??? MN NP ???? PM ???? ____________ ?? ? ? OC ??? ? BO ??? ? CO ??? ? ___________ OA ??? ? OC ??? ? ? BO ??? ? CO ? ___________ OA ??? ? AC ??? ? ? BA ??? ? _______________ AB AB ? AC ? BA ? _______________ ??? ? ??? ? 2、若 C 是线段 AB 的中点,则 AC ? BC =(
A、 AB



???

B、 BA

???

C、 O

?

D、0

3、已知△ABC 中,D 是 BC 的中点,则

??? ??? ? ?? ? 3AB ? 2BC ? CA =(
A、 AD

) C、O

???

B、3AB

???

? ?

D、 2AD

???

4、已知正方形 ABCD 的边长为 1,

? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? AB ? a,AC ? c, BC ? b ,则| a ? b ? c | ???
40

§2.2.2 向量的减法运算及其

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

几何意义
学习目标
1. 通过实例, 掌握向量减法的运算, 并理解其几何意义; 2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题.

相接,连接两向量的终点,箭头指向被减数”.

※ 典型例题 例 1、阅读并讨论 P86 例 3 和例 4

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P85—P87) 复习:求作两个向量和的方法有 法则.

法则和 变式: 如图, 在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是( → → A. AB=DC → → AB=AC → → → C. AB-AD=BD → → D. AD+CB= 0 )

二、新课导学 ※ 探索新知 探究:向量减法——三角形法则 问题 1:我们知道, 在数的运算中, 减去一个数等

→ B. AD+

于加上这个数的相反数, 向量的减法是否也有类 似的法则?如何理解向量的减法呢?
? ? 1、 相反向量: 与a 的向量, 叫做 a 的相 ? 反向量,记作 ? a .零向量的相反向量仍是 . ? ? 问题 2:任一向量 a 与其相反向量 ? a 的和是什

么?

? ? ? ? b 是互为相反的向量, 如果 a 、 那么 a ? ,b ? , 例 2、 O 是重心,D 、E 、F 分别是 BC 、 在△ABC 中, ? ? a?b ? . AC 、 AB 的中点,化简下列两式: ??? ? ??? ? ??? ? 1、 向量的减法:我们定义,减去一个向量相当于加 ⑴ CB ? CE ? BA ; ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ⑵ OE ? OA ? EA . 上这个向量的相反向量,即 a ? b 是互为相反的向量,
那么a =____________,b =____________,

?

?

a ? b =____________。
问题 3:请同学们利用相反向量的概念,思考 ? ? a ? ?b 的作图方法.

?

?

? ?

??? ? ??? ? ???? 变式:化简 AB ?FE ?DC .

3、已知 a ,b ,在平面内任取一点 O,作

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? 则__________= a ? b , 即a ? b OA ? a,OB ? b , ? ?

可以表示为从向量_______的终点指向向量______的终 点的向量,如果从向量 a 的终点到b 的终点作向量,那 么所得向量是________。 这就是向量减法的几何意义. 以 上做法称为向量减法的三角形法则,可以归纳为“起点

三、小结反思 1、向量减法的含义; 2、求两向量的差;
3、两向量 a 与 b 的差 a ? b 起点,终点和指向。

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为(
).
41

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

中OA ?

?? ?

a,OB ? b,OC ? c 则EF =(
b
?
B.b ?

? ???

? ???
?

?

???



※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1、化简下列各式: ??? ? ???? ??? ? ① AB ? AC ? DB ;

A.a ? C.c ?

?

a

?
?

?

b

?

D.b ? c

?

??? ? ??? ? ???? ??? ? ② AB ? BC ? AD ? DB .

课后作业
1、化简:

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?? ? ? AB ?DA ?BD ?BC ? CA =_______________。

2、 在平行四边形 ABCD 中,BC ?CD ?AD 等于 ( A. BA

??? ? ??? ? ????
C. AC

? ? ? ? ? ? 2. 已知 a 、b 是非零向量,则 a ? b ? a ? b 时,应满
) 足条件 .

??? ?

B. BD

??? ?

??? ?

D. AB

??? ?

3、下列各式中结果为O 的有( ① AB ? ②OA ? ③ AB ? ④ MN ?

? ?



??? ?? ?

BC ? CA
??? ???

??? ?

?? ? ???
???
3、在△ABC 中,向量 BC 可表示为( ① AB ? ③ BA ?

?? ? ?

OC ? BO ? CO
??? ? ???



???

???

AC ? BD ? CD
??? ??? ?

AC

??? ?

② AC ? ④ BA ?

??? ?

AB

???

??? ?

NQ ? MP ? QP

???

?? ?

AC

??? ?

?? ?

CA

?? ?

A.①② C.①③④

B.①③ D.①②③

A.①②③ C.②③④

B.①③④ D.①②④

4、下列四式中可以化简为 AB 的是( ① AC ? ③OA ? A.①④

???



??? ? ?? ?

CB
OB
???

???

② AC ? CB ④OB ? B.①②

??? ?

???

???

OA

?? ?
D.③④

C.②③

5、已知 ABCDEF 是一个正六边形,O 是它的中心,其

42

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

§2.2.3 向量数乘运算及其 几何意义
学习目标
1. 掌握向量数乘运算,并理解其几何意义; 2. 理解两个向量共线的含义;掌握向量的线性运算性质 及其几何意义.

(3) ? (a ? b) ? _________; (4) (?? )a ? ________=___________; (5) ? (a ? b) ? ______________; (6)对于任意向量 a , b ,任意实数 ?、?1、?2 恒有 =_______________。 ? (?1 a+?2 b ) 问题 3: 引入向量数乘运算后, 你能发现数乘向量

? ?

? ?

? ?

?

?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P87—P90) 复习: 向量减法的几何意义是什么?

与原向量之间有什么位置关系?
3、两个向量共线(平行)的充要条件:向量 b 与非零 向量 a 平行的充要条件是有且仅有一个实数 λ ,使 得 。 对此定理的证明,是两层来说明的: 其一,若存在实数 λ ,使 b = λ a ,则由实数与向 量乘积定义中第(2)条可知 λb 与 a 平行,即 b 与 a 平 行. 其二,若 b 与 a 平行,且不妨令 a ? 0 ,设

二、新课导学 ※ 探索新知 探究:向量数乘运算与几何意义 ? 问题 1:已知非零向量 a ,作出: ? ? ? ? ? ? ① a ? a ? a ;② ? a ? ? a ? ? a .

?

?

? ? ? ? ? ?

通过作出图形,同学们能否说明它们的几何意 义?
? a
1、 一般地, 我们规定___________________是一个向量, 这种运算称做向量的数乘记作 ? a ,它的长度与方向规 定如下: (1)| ? a | =___________________________________; (2)当_________时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 _______时,? a 的方向与 a 方向相反, 当_________时,

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? |b| ? = μ (这是实数概念) . 接下来看 a 、b 方向如何: |a|
① a 、 b 同向,则 b = μ a ,②若 a 、 b 反向,则记

?

?

?

?

?

?

?

?

?a =O 。
问题 2:向量的加、 减、 数乘运算统称为向量的线

? ??

? ? b = - μa ,总而言之,存在实数 λ ( λ = μ 或
? ? λ = - μ )使 b = λa .

性运算.请同学们解释它们的几何意义.

2、向量数乘运算律,设 ? , ? 为实数。 (1) ? (? a) ? _______; (2) (? ? ? )a ? _________;

?

?

※ 典型例题 例 1、计算: ? ⑴ ? ?7 ? ? 6a ; ? ? ? ? ? ⑵ 4 a ? b ? 3 a ? b ? 8a ; ? ? ? ? ? ? ⑶ 5a ? 4b ? c ? 2 3a ? 2b ? c .

?

?

? ? ? ? ?

?

43

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

例 2:如图,在 ΔABC 中,已知 M 、 N 分别是 AB 、

1 AC 的中点,用向量方法证明: MN // BC 2
A

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1、8(a ? c) ? 7(a ? c) ? c =___________。

N M

? ?

? ?

?

? ? ? ? ? (a ? 9b ? 2c) ? (b ? 2c) =________ _。
? ? ? ? a ? ? 2a ? b ? a ? = ? ?

C B

题 2

?

?



例 3、已知两个向量 e1 和 e2 不共线, AB ? e1 ? e2 ,

??

?? ?

??? ? ?? ?? ?

? ? ? ? 1 ?1 ? (2 a ) ? 8 b ? (4 a ? 2b) ? =______ ___。 3? ?2 ? 2、在 ?ABC 中, E 、 F 分别是 AB 、 AC 的中点,若 ??? ? ??? ? ? ???? ?
AB ?a , AC ? b ,则 EF 等于( 1 ? ? 1 ? ? A. a ? b B. a ? b 2 2 ? ? 1 1 ? ? C. b ? a D. ? a ? b 2 2


??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? BC ? 2e1 ? 8e2 ,CD ? 3e1 ? 3e2 ,求证: A 、 B 、 D 三点共线.

? ?

? ?

?

?

?

?

3、点 C 在线段 AB 上,且 AC ? AB ,则

??? ?

? 3??? 5

??? ? ??? ? AC ? ________ CB 。
例 4、如图,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 ???? ? ??? ? ? ???? ? ? ? M ,且 AB ?a , AD ? b ,你能用 a 、 b 表示 AM 、 ???? ? ???? ? ? ???? BM 、 CM 、 DM 吗? 4、设 e1 , e2 是两个不共线向量,若 b ? e1 ? ? e2 ,与

?? ?? ?

?

??

?? ?

? ?? ?? ? a ? 2e1 ? e2 共线,则实数 ? 的值为
5、设两非零向量 e1 , e2 不共线,且

.

? ?

? ? ? ? k (e1 ?e 2 )//( e1 ? ke 2) ,则实数 k 的值为
课后作业
1. ?ABC 中,AD ? AB ,DE // BC , 且与边 AC 相 交于点 E , ?ABC 的中线 AM 与 DE 相交于点 N .设 ??? ? ? ???? ? ? ? AB ? a , AC ? b ,用 a 、 b 分别表示向量 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? AE ,CB ,DE CE , DN , NA , .

??? ?

??? ? 1 3

三、小结反思
(1) λ 与 a 的积还是向量, λ a 与 a 是共线的; (2) 向量平行的充要条件的内容和证明思路, 也是 应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共 线、求系数、证直线平行等题型问题; (3)运算律暗示我们,化简向量代数式就像计算 多项式一样去合并同类项。
44

?

?

?

??? ? ???? ??? ? 2、若 AB ? 8, AC ?5 ,则 BC 的取值范围是(
A. ?3,8 ? B. ? 3,8 ? C. ?3,13 ? D. ? 3,13 ?



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◆导学案

编写:高一年级数学组

§2.3.1 平面向量基本定理 §2.3.2 平面向量正交分解及坐标表示
学习目标
1. 掌握平面向量基本定理;了解平面向量基本定理的意 义; 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

(4) 基底给定时, 分解形式惟一. λ 1, λ 2 是被 a ,e1 ,

?

e2 唯一确定的数量
问题 2: 如果两个向量不共线, 则它们的位置关系

我们怎么表示呢?
2.两向量的夹角与垂直::我们规定:已知两个非零向量

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P93—P96) ? ? ? ? ? ? 复习 1: 向量 b 、a a ? 0 是共线的两个向量, 则 a 、b

?

?

? ? ? ? ? 作 OA ? a, OB ? b , 则 叫做向量 a 与 a, b , ? b 的夹角。如果 ?AOB ? ? , 则? 的取值范围
。 时,表示 a 与 b 同向; 时,表示 a 与 b 反向;

是 当 当

?

?

之间的关系可以表示为

?? ?? ? 复习 2:给定平面内任意两个向量 e1 、e2 ,请同学们作 ?? ?? ? ?? ?? ? 出向量 3e1 ? 2e2 、 e1 ? 2e2 .

.

?

?

? ? ? ? 当 时, 表示 a 与 b 垂直。 记作:a ? b . 在不共线的两个向量中,? ? 90? , 即两向量垂直是一种 重要的情形, 把一个向量分解为_____________, 叫做把 向量正交分解。

问题 3: 平面直角坐标系中的每一个点都可以用一

二、新课导学 ※ 探索新知 探究:平面向量基本定理 问题 1: 复习 2 中, 平面内的任一向量是否都可以 ?? ?? ? 用形如 ?1 e1 ? ?2 e2 的向量表示呢?
1. 平面向量的基本定理: 如果 e1 , e2 是同一平面内两个

对有序实数(即它的坐标)表示. 对于直角坐标 平面内的每一个向量,如何表示呢?
3、向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个_______作为基底。 对于平面内 的任一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一 对实数 x, y 使得____________, 这样, 平面内的任一向 量a 都可由__________唯一确定,我们把有序数对 ________叫做向量的坐标, 记作___________此式叫做向 量的坐标表示,其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫 做 a 在 y 轴上的坐标。几个特殊向量的坐标表示

?

? ?

的向量,a 是这一

?

平面内的任一向量,那么有且只有一对实数 ?1 , ?2, 使 。其中,不共线的这两个向量

?

?

? ? e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的基底。
注意: (1) 我们把不共线向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 , e2 的条件 下进行分解;

i ? ___________,j ? _________,o ? ___________

?

? ?

?

?

45

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

※ 典型例题 学法引领:首先画图分析,然后寻找表示。 B ?2 C D , 例 1、 已知梯形 ABCD 中,AB // DC , 且A ???? ? ??? ? ? 设 AD ? a ,AB ? b 。 E 、F 分别是 DC 、AB 的中点, ? ? ???? ??? ? 试用 a, b 为基底表示 DC 、 BC .

4. 设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线 AC 与 BD 的交 点,下列向量组,其中可作为这个平行四边形所在平面 表示所有向量的基底是( ) ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ① AD 与 AB ② DA 与 BC ③ CA 与 DC ④ OD 与 OB A.①② B.③④ C.①③ D.①④

5、 已知AM是△ABC的BC边上的中线, 若 AB = a ,

?

例 2、已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限, ??? ? ??? ? OA ? 4 3 , ?xOA ? 60? ,求向量 OA 的坐标.

? AC = b ,则 AM =( ) ? ? ? ? 1 1 A. ( a - b ) B. - ( a - b ) 2 2 ? ? ? ? 1 1 C.- ( a + b ) D. ( a + b ) 2 2

课后作业
1 、在矩形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O ,若 ???? ???? ?? ???? ?? ? BC ? 5 e 1 , DC ? 3e2 ,则 OC 等于多少?

三、小结反思
1、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线 的向量来表示,初步应用向量解决实际问题; 2、 能够在具体问题中适当地选取基底, 使其他向量都 能够用基底来表示 3、向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
). 2. 已知点 A(2,2) , B(-2,2) , C(4,6) , D(-5,6) , E(-2,-2) , F(-5,-6) 在平面直角坐标系中, 分别作出向量 AC 向量 AC

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1、已知点 A 的坐标为(2,3) ,点 B 的坐标为
(6,5) ,O 为原点,则OA =________,OB =_______。

?? ? ? ??? ???

BD EF 并求

?? ?

???

?? ? ? ??? ???

BD EF 的坐标。

2、已知向量a 的方向与 x 轴的正方向的夹角是 30°, 且| a | ? 4 ,则a 的坐标为__________。

?

?

?

3、已知两向量 e1 、 e2 不共线, a ? 2e1 ? e2 ,

??

?? ?

?

?? ?? ?

? ? ? ?? ?? ? b ? 3e1 ? 2? e2 ,若 a 与 b 共线,则实数 ? =
46

.

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编写:高一年级数学组

§2.3.3 平面向量的坐标运算
学习目标
1. 会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算;能用两端 点的坐标,求所构造向量的坐标; 2. 体会向量是处理几何问题的工具. 培养细心、耐心的 学习习惯,提高分析问题的能力。

问题 3:你能在上图中标出坐标为 ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P96—P98) 复习: ?? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ⑴向量 e1 , e2 e 则 e1 , e2 之间的 2 ? 0 是共线的两个向量,

的 P 点吗?标出 P 点后,你能发现向量的坐标与 点的坐标之间的联系吗?

?

?

关系可表示为

. ? ?? ?? ? a 为这个 ⑵向量 e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量, ? ?? ?? ? 平面内任一向量,则向量 a 可用 e1 , e2 表示 为 。

※ 典型例题 ? ? ? ? ? ? 例 1、 已知 a ? b ? ? 2, ? 求 a 和b . 8 ? ,a ? b ? ? ?8,16? ,

二、新课导学 ※ 探索新知 探究:平面向量的坐标运算 ? ? 问题 1:已知 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,你能得出 ? ? ? ? ? a ? b , a ? b , ? a 的坐标吗? ? ? 1、已知: a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 为一实数

a ? b =__________________________ _。 a ? b =___________
? ?


?

?

这就是说,两个向量和(差)的坐标分别等于 __________________ ____。

?a =_______________
这就是说,实数与向量的积的坐标等于: _____________________。 问题 2:如图,已知 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则怎样

?

例 2、已知平行四边形 ABCD 的顶点 A? ?1 ,? 2?,

B ? 3, ?1? , C ? 5,6 ? ,试求: (1)顶点 D 的坐标. (2)若 AC 与 BD 的交点为 O ,试求点 O 的坐标.

??? 用坐标表示向量 AB 呢?

2、若已知 A(x 1,y 1) , B(x 2 ,y 2 ), 则 AB =_______________=_____________ 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 ________________________。
47

???

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

例 3、已知△ABC 中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N 是 AB、 AC 的中点, D 是 BC 的中点, MN 与 AD 交于点 F, → 求DF.

→ 4、已知点 A(-1,-5)和向量 a =(2,3),若AB=3 a , 则点 B 的坐标为( A.(6,9) C.(7,14) ) B.(5,4) D.(9,24)

), N ( ?, 5 ?) 1 ,且 MP ? 5、已知 M (3, ?2
求 P 点的坐标。

?? ? ?

? 1??? MN , 2

三、小结反思 (1)两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和; (2)两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差; (3) 实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该 实数;

课后作业
1、已知向量 a ? ? 3, ? 2 ? , b ? ? ?2,1? , c ? ? 7, ?4? ,

?

?

?

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

? ? ? 试用 a, b 来表示 c .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: ? ? ? ? ? ? 1、已知向量 a, b 的坐标,求 a ? b , a ? b 的坐标. ? ? ⑴ a ? ?3,7 ? , b ? ? ?2,1? ? ? ⑵ a ? ? ?3, ?4? , b ? ? 4,3? ? ? ⑶ a ? ? 2, ?5? , b ? ?3, ?8? ? ? ⑷ a ? ? 0, ?1? , b ? ? ?1,0?
??? ? ??? ? 2、已知 A 、 B 两点的坐标,求 AB , BA 的坐标. ⑴ A?1,3? , B ? ?2, ?5?
⑵ A? 0, ?1? , B ? 3,6? ⑶ A? 4, ?7 ? , B ? 2,1? ⑷ A? 0,0? , B ? 4, ?5? 3. 设点 A? ?1 ,2 ? , B ? 2,3? , C ? 3, ?1? 且 ???? ??? ? ??? ? AD ? 2 AB ?3BC ,求 D 点的坐标。

2、已知圆 C:(x-3)2+(y-3)2=4 及点 A(1,1),M 为圆 → C 上的任意一点, 点 N 在线段 MA 的延长线上, 且MA= → 2AN,求点 N 的轨迹方程。

48

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编写:高一年级数学组

§2.3.4 平面向量共线的坐标表示
学习目标
1、 在理解向量共线的概念的基础上, 学习用坐标表示向 量共线的条件。 2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。

② a ? (2,3) b ? ( , 4)

?

?

8 3

例 2、 向量 OA ? ?k ,12 ? ,OB ? ? 4,5? ,OC ? ?10, k ? ,

??? ?

??? ?

??? ?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P98—P100) 复习: ⑴若点 A 、B 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? 那么向量 ??? ? AB 的坐标为 . ? ? ? ? a?b ? ⑵若 a ? ?x1 ,y1 ?,b ? ? ,则 , x 2 ,y 2 ? ? ? ? a ?b ? ,? a ?

当 k 为何值时, A, B, C 三点共线.

二、新课导学 ※ 探索新知 探究:平面向量共线的坐标表示
问题 1:两向量平行(共线)的条件是什么? ? ? ? ? 若 a, b ( b ? 0 )共线,当且仅当存在实数 ? , 使 。

变式:证明下列各组点共线:

B(?3, ?4)、C (2, ) (1) A(1, 2),、 Q(1, ?3)、R(8, ) (2) P(9,1) 、 1 2

7 2

? ? ? ? 问题 2:假设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ( b ? 0 ) ,用

坐标该如何表示这两个向量共线呢? ? ? ? ? ? ? 2、 设 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , 其中 b ? 0 , 则 a // b
等价于______________________。

※ 典型例题

? ? ? 例 1、已知 a ? ?4,?2?, b ? ? 6, y ? ,且 a // b ,求 y .

例 3、 设点 P 是线段 P 1P 2 上的一点,P 1, P 2 的坐标分别是

? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? .

⑴当点 P 是线段 P 1P 2 的中点时,求点 P 的坐标; ⑵当点 P 是线段 P 求点 P 的坐标. 1P 2 的一个三等分点时,

变式:判断下列向量 a 与 b 是否共线 ① a ? (2,3) b ? (3, 4)

?

?

?

?

*变式: 当 PP ? ? PP2 ,点 P 的坐标是什么? 1

??? ?

????

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2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

三、小结反思 1.熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式; 2. 会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共 线和两直线平行; 3.明白判断两直线平行与两向量平行的异同。

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

? ? ? ? ? ? 1. 已知 a ? ?1 若 a ? 2b 与 2a ? b 平行, ,2 ? , b ? ? x,1? ,
则 x 的值为 .

课后作业

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 3), B (2,1),C(1 ,4) , (D 7, ? 4) ? 判断 1 已知 A(?2, ?

? ??? ? ??? AB 与 CD 是否共线?

2、已知 O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线 的三点,动点 P 满足OP=OA+λ(AB+AC),λ∈[0,+ ? ? ? ? ? ? 2、 已知 a ? ? 2, ?1 ? 且 a//// b c , , b ? ?x ,2 ,? c ? ? ? 3, y ? , ∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) 求 x, y 的值. A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心 → → → →

? ? 3、平面内给定三个向量 a =(3,2), b =(-1,2), c =
(4,1),求:

3、已知四点 A(x,0)、B(2x,1)、C(2,x)、D(6,2x). → → (1)求实数 x,使两向量AB、CD共线. → → (2)当两向量AB与CD共线时,A、B、C、D 四点是否在同 一条直线上?

? ? (1)求 3 a + b -2 c ; ? ? (2)求满足 a =m b +n c 的实数 m,n; ? ? ? (3)若( a +k c ) / / (2 b - a ),求实数 k.

50

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◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

§2.4.1 平面向量的数量积的 物理背景及含义
学习目标
1. 在物理中功的概念的基础上,理解向量数量积的概念 及几何意义; 2. 掌握数量积的运算式及变式; 掌握并能熟练运用数量 积的运算律;掌握模长公式.

问题 3:运算律和运算紧密相连,引进向量数量

积后, 自然要看一看它满足怎么样的运算律, 同 学们能推导向量数量积的下列运算律吗?
3、向量的数量积满足下列运算律:已知向量 a , bc ,与实 数? 。 ① a ? b =___________;

???

? ?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P103—P105) 复习:如右图,如果一个物体在 力 F 的作用下产生位移 s ,那么 力 F 所做的功 W= ,其中? 是 F 与 s 的 夹角.

? ? ? ? ? ③ ? a+b ? ? c =___________。
② ? a ? b =___________; 问题 4:我们知道,对任意 a , b ? R ,恒有

? ?

? a2 ? 2ab ? b2 , ? a ? b ?? a ? b ? ? a2 ? b2 ? ? 对任意向量 a, b ,是否也有下面类似的结论?
2

? a ? b?

二、新课导学 ※ 探索新知 探究:平面向量数量积的含义 问题 1: 功是一个标量, 它由力和位移两个向量来

? ?? ⑵ ?a ? b?? ?a ? b? ?
⑴ a?b
2

; .

确定,这给我们一种启示,能否把“功”看成是 这两个向量的一种运算的结果呢?

※ 典型例题 ? ? ? 例 1、 已知 a ? 6 ,b ? 8 , 且 a 与 b 的夹角? ? 120 , ? ? 求a ? b .

? ? 1、 平面向量数量积的定义: 已知两个______向量 a与b , ? ? 我们把______________叫 a与b 的数量积。 (或________) ? ? ? ? ? ? ? ? 记作_________即 a ? b =___________________其中? 变式 1:若 a ? 6 , b ? 8 ,且 a // b ,则 a ? b 是多少? ? ? ? ? 是 a与b 的夹角。__________叫做向量 a在b 方向上的
______。 我们规定:零向量与任意向量的数量积为____。 问题 2: 向量的数量积是一个数量, 那么它什么时

? ? ? ? ? ? 变式 2: 若 a ? 6 ,b ? 8 , 且a ? b , 则 a ? b 是多少?

候为正?什么时候为负?

? ? 2、平面向量数量积的性质:设 a与b 均为非零向量: ? ? ① a ? b ? ___________ ? ? ? ? ? ? a ? b ②当 同向时, = ________ 当 a 与 b a 与b 反向时, ? ? ? a a ? b =_______ ? ? _, ? 特别地, a ? a =______或 a = ___________。 ? ? ③ a ? b ? ___________ _ ④ cos ? = _______ ____ ⑤. a ? b 的几何意义:_____________ ________。

? ? ? 变式 3:若 a ? 6 , b ? 8 ,且 a 与 b 的夹角? ? 60 ,
求 a ? 2b ? a ? 3b 。

?

??

?

? 变式 4:若 a ? 6 , b ? 4 ,且

?a ? 2b?? ?a ? 3b? ? ?72,求 a 与b 的夹角。
51

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

2、在平行四边形 ABCD 中, AB ? 4 , BC ? 2 , ??? ? ??? ? ?BAD ? 120? ,求 AB ?AD .

3 已知 a ? 1, b ? 2 , 且 ? a ? b ? 与 a 垂直, 则a 与
? b 的夹角为( ) A. 60? B. 30?
? ?

?

?

?

?

?

?

C.135?

D. 45?

4. 已知 a ? 2, b ? 5, a ?b ? ?3 ,则
? ? a?b =

? ? ?

, a?b =

?

.

变式:判断下列命题的真假,并说明理由. ??? ? ??? ? (1) ?ABC 中,若 AB ?BC ? 0 ,则 ?ABC 是锐角三 角形; ??? ? ??? ? (2) ?ABC 中,若 AB ?BC ? 0 ,则 ?ABC 是钝角三 角形; ??? ? ??? ? (3) ?ABC 为直角三角形,则 AB ?BC ? 0 .

? ? 1、 已知 a ? 4, b ? 5 , 且 a 与 b 不共线,k 为何值时, ? ? ? ? 向量 a ? kb 与 a ? kb 互相垂直?

课后作业

三、小结反思
1、平面向量数量积的含义与物理意义, 2、性质与运算律及其应用。 3、平面向量数量积的概念

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: ? ? ? ? 1、已知 a ? 2 , b ? 3 , a 与 b 的夹角为 60? ,求: ? ? ⑴a ? b ; ? 2 ?2 ⑵a ? b ; ? ? ? ? ⑶ 2a ? b ? a ? 3b ; ? ? ⑵ a?b .

2. 设 m, n 是两个单位向量,其夹角为 60? ,求向 量 a ? 2m ? n 与 b ? 2n ? 3m 的夹角.
? ?? ? ? ? ??

?? ?

?

??

?

2. 已知 a ? 6, a 与 b 的夹角为 60? ,且

?

?

?

? a ? 2b ?? ?a ? 3b ?? ? 72 ,则 b 为(
A.16
52

?

?

?

?

?



B. 6

C. 5

D. 4

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◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

§2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
学习目标
1. 在坐标形式下,掌握平面向量数量积的运算公式及其 变式(夹角公式) ; 2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致 性.

2.平面内两点间的距离公式 (1)设 a=(x,y), 则 a = ________________或

?

?2

? a ________________。
(2)若 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则

AB =___________________(平面内两点间的距离公
式) 。

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P106—P107) ? ? ? ? 复习:1.向量 a 与 b 的数量积 a ? b = . ? ? ? ? 2.设 a 、 b 是非零向量, e 是与 b 方向相同的单位向量, ? ? ? 是 a 与 b 的夹角,则 ? ? ? ? ①a ? b ? a ? b ? ;

问题 3:如何求 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? 的夹角? 和

?

?

判断两个向量垂直?
? ? 3. 两向量夹角的余弦: 设? 是 a 与 b 的夹角, 则 cos ?
=_________=_______________ 向量垂直的判定:设 a= ? x1 ,y1 ? ,b= ? x 2 , y2 ? , 则

? ②a ?

?

?



a ? b ? _________________
③ cos ? ? .

二、新课导学 ※ 探索新知 探究:平面向量数量积的坐标表示
问题 1: 已知两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? ? ? ? 怎样用 a 与 b 的坐标表示 a ? b 呢?

※ 典型例题 例 1、已知 A?2,1?, B?3,2?, C ?? 1,4?,

(1)试判断 ?ABC 的形状,并给出证明.
(2)若 ABDC 是矩形,求 D 点的坐标。

?

?

1. 平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a= ?x 1 ,y 1 ,b= ,a? b= ? ? x? ,y 2 2 (坐标形式) 。 这就是说: (文字语言)两个向量的数量积等 于 。

?

?

? ?
例 2、 已知 a ? 1, 3 , b ?

? ? 与 b 的夹角? . ? ? ? 3,1?,求 a

问题 2:如何求向量 a ? ? x, y ? 的模 a 和两点

?

变式:已知

A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 间的距离?

? ? ? ? 3 a=(3,0),b=(k,5) a且b与 的夹角为 ? ,则k= _____ 4
_________.
53

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三、小结反思
1、平面向量数量积的坐标表示. 2、向量数量积的坐标表示的应用.

课后作业 1. 已知点 A?1 ,2 ? 和 B ? 4, ?1? ,问能否在 y 轴上找到一 点 C ,使 ?ACB ? 90? ,若不能,说明理由;若能,求 C 点坐标. ).

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: ?2 ? ? ? ? 1、若 a ? ? ?4,3 ? , b ? ? 5,6? ,则 3 a ? 4a ? b =

2、已知 a ?

?

?5a ? b ?? ?b ? 3a ?? ? 55

? ?

?

?? 3,?2 ? , b ? ? ?4, k ? ,若
?
,试求 k 的值.

?

?1 3? 2. 已知 a =( 3,-1), b =? , ?. ?2 2 ?
(1)求证: a ? b ; (2)若存在不同时为 0 的实数 k 和 t, 使 x = a +(t-3)

b , y =-k a +t b ,且 x
=f(t); 3、已知,a ? ( 当 k 为何值时, 1 ,2), b ? ( 3,2) ? , (1)ka ? b与a ? 3b 垂直?
? ? ? ? (2)ka ? b与a ? 3b 平行吗?它们是同向还是反向?

?

y ,试求函数关系式 k

?

?

(3)求函数 k=f(t)的最小值.

?

? ?

?

? ? ? ? ? 4、 已知 a ? ? 3, ? 且 a // b , 4 ? ,b ? ? 2, x ? ,c ? ? 2, y ? , ? ? a ? c ,求: ? ? ? ? (1) b ? c ; (2) b 、 c 的夹角.

54

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§ 2.5.1 平面几何中的向量方法
学习目标
1. 掌握向量理论在平面几何中的初步运用;会用向量知 识解决几何问题; 2. 能通过向量运算研究几何问题中点,线段,夹角之间 的关系.

⑴ ⑵ ⑶

※ 典型例题

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P109—P111) 复习: ??? ? ??? ? ???? (1)若 O 为 ?ABC 重心,则 OA + OB + OC = ???? 1 ??? ? (2)水渠横断面是四边形 ABCD , DC = AB ,且 2 ???? ??? ? |= |, 则这个四边形为 . 类比几何 | AD | BC 元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1、在 ?ABC 中,若 CA ? CB ? CA ? CB ? 0 ,判断

?

??

?

?ABC 的形状.

二、新课导学 ※ 探索新知 问题 1:平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. ? ??? ? ???? ???? ??? ? ???? ??? 如下图, AC ? AB ?AD , DB ? AB ? AD ,你能发 现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系 吗?
2、设 ABCD 是四边形,若 AC ? BD ,证明: AB 2 ?CD 2 ?BC 2 ?DA 2

结论: 问题 2:平行四边形 ABCD 中,点 E 、 F 分别是 AD 、 DC 边的中点,BE 、BF 分别与 AC 交于 R 、T 两点, 你能发现 AR 、 RT 、TC 之间的关系吗?

结论: 问题 3:用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是 怎样的?
55

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三、小结反思 1、 理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法 则解决几何问题. 2、 选择适当的方法, 将几何问题转化为向量问题加以解 决.

课后作业
1. 已知直线 ax+by+c=0 与圆 O: x +y =4 相交于 A、
2 2

B 两点,且|AB|=2 3,则OA?OB=________.

→ →

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1、在梯形 ABCD 中,CD / / AB,E、F 分别是 AD、BC 的中
点,且 EF= (AB+CD). 求证:EF / / AB / / CD.

1 2

2. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),

B(2,3), C(-2,-1)
(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线 的长; → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)?OC=0,求 t 的值.

2、求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

56

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§ 2.5.2 向量在物理中的应用举例
学习目标
掌握向量理论在相关物理问题中的初步运用,实现 向量与物理之间的融合,会用向量知识解决一些物理问 题.

结论:物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分 力与物体位移距离的乘积,它的实质是向量的数量积. ⑴力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角,即 ?? ? ? ?? ? ? W ? F S ? cos F ,S ,功是一个实数,它可正,也可 负. ⑵在解决问题时要注意数形结合.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P111—P112)

二、新课导学 ※ 探索新知 问题 1:向量与力有什么相同点和不同点?

※ 典型例题 例 1、用两条成120? 角的等长的绳子悬挂一个灯具,已 知灯具的重量10 N ,则每根绳子的拉力大小是多少?

结论:向量是既有大小又有方向的量,它们可以有共同 的作用点,也可以没有共同的作用点,但是力却是既有 大小,又有方向且作用于同一 的. 用向量知 识解决力的问题, 往往是把向量 到同一作用点上.

问题 2: 向量的运算与速度、 加速度与位移有什么

联系?

例 2、一条河宽为 400 m ,一船从 A 出发航行垂直到达 河正对岸的 B 处, 船速为 20km / h .水速为12 km / h , 则 船到达 B 处所需时间为多少分钟?

结论:速度、加速度与位移的合成与分解,实质上是向 量的加减法运算,而运动的叠加也用到向量的合成.

例 3、 已知两恒力 F1 ? 3,4 ? 、F2 ? 6, ?5? 作用于同一质点, 使之由点 A ? 20,15 ? 移动到点 B ? 7,0 ? ,试求: ⑴ F1 , F2 分别对质点所做的功; 问题 3:向量的数量积与功、动量有什么联系? ⑵ F1 , F2 的合力 F 对质点所做的功

? ? ?

?? ?

?? ? ?? ? ?? ? ?? ?

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三、小结反思 1、 理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法 则解决物理问题. 2、 选择适当的方法, 将物理问题转化为向量问题加以解 决.

2. 一条宽为 3km 的河, 水流速度为 2km/h, 在河两 岸有两个码头 A、B,已知 AB= 3km,船在水中最大航 速为 4km/h,问该船从 A 码头到 B 码头怎样安排航行速 度可使它最快到达彼岸 B 码头?用时多少?

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1、点 P 在平面上作匀速直线运动,速度 v=(4,-3),
设开始时点 P 的坐标为(-10,10), 则 5 秒后点 P 的坐标 为(速度单位:m/s,长度单位:m)( A.(-2,4) C.(10,-5) B.(-30,25) D.(5,-10) )

2、作用于原点的两个力 F 1 (1,1), F 2 (2,3) ,为使它们平 衡,需要加力 F3 =_______

3、 已知一物体在共点力 F1=(lg2, lg2), F2=(lg5, lg2) 的作用下产生位移 S=(2lg5,1),则共点力对物体做的 功 W 为( A.lg2 ) B.lg5 C.1 D.2

课后作业
1. 一物体受到相互垂直的两个力 F1、 F2 的作用, 两力大 小都为 5 3N,则两个力的合力的大小为( A.10 3N C.5 6N B.0N 5 6 D. N 2 )

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第二章 平面向量(复习)
学习目标
1、 理解和掌握平面向量有关的概念; 熟练掌握平面向量 的几何运算和坐标运算; 2、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用;

? ? ? ? (4) a ? b ? a ? b ? 0 ?
(5) a
//

; ? ? b ? 存在 ? ? 0 ,使得 a ? ?b ?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P116—P121)

※ 典型例题 ?? ?? ? 例 1、设 e1 、 e2 是两个不共线的向量,已知 ??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? AB ? 2e1 ? ke2 ,CB ? e1 ? 3e2 ,CD ? 2e1 ? e2 ,若 A, B , D 三点共线,求 k 的值.

二、新课导学 ※复习 1、平面向量有关的概念: (1)向量; (2)向量模; (3)相等向量; (4)相反向量; (5)零向量; (6)单位向量; (7)平行向量; (8)向量的夹角; (9)向量的坐标。
2、向量的运算: (1)加减法; (2)实数与向量的乘积; (3)向量的数量积。 3、几个重要的结论: ? ? 设 a ? (x1 , y1 ) , b ? (x 2 , y2 ) , ? 为一实数。 (1)a ?

例 2、已知向量 a ? ? 4,3 ? , b ? ?? 1 ,2 ? ,求 ? ? ⑴求 a 与 b 的夹角? ; ? ? ? ? ⑵若向量 a ? ? b 与 2a ? b 垂直,求 ? 的值.

?

?

?

b =________;

?

a ? b =__________ ;

?

?

? ? ? ? ? ? 1,1) , 例 3、 向量 a ? ( ? 且 a 与 a ? 2b 方向相同, 求a ? b 的取值范围。

?a =__________;
? ? a ?b =
.

?

(2)设 a=(x,y), 则 a = _____________或

?

?2

? a _______________;
? ? (3)设? 是 a 与 b 的夹角,则 cos ? =_________=
_______________;
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学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

课后作业
1. 已知 a =(2,3), b =(-4,7),则 b 在 a 方向上的 投影为________.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: ??? ? ? ??? ? ? 1、 已知正方形 ABCD 的边长为1 ,AB ? a ,BC ? b , ? ? ? ???? ? AC ? c ,则 a ? b ? c 为多少?

→ → → 2. 已知OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3 -m).若点 A、B、C 能构成三角形,则实数 m 应满足的 条件为________.

3.已知| a |=4,| b |=3,(2 a -3 b )?(2 a + b )= 61,求 a 与 b 的夹角 θ .

2、若 e1 , e2 是夹角为 60? 的两个单位向量,则

?? ?? ?

? ?? ?? ? ? ?? ?? ? a ? 2e1 ? e2 ; b ? ?3e1 ? 2e2 的夹角为多少?

? ? ? ? 3、已知向量 a ? ? ?2,2? ,b ? ? 5, k ? ,若 a ? b 不超过
5 ,则 k 的取值范围是多少?

60

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3.1.1 两角差的余弦公式
学习目标
1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应 用,使学生初步理解公式的结构及其功能,并为建立其 他和差公式打好基础。 2.在探究公式的过程中, 逐步培养学生学会分析问题、 解 决问题的能力,培养学生学会合作交流的能力。

③怎样利用几何直观寻找 OM 的表示式。
Y

p1 A C β α O B α -β M X

?
P

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P124—P127) 复习引入:: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的 C 点处往该点正对的地面上的 A 点处拉一条钢绳,为了在 购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳 吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器) 2.向量法: 问: ①结合图形, 明确应选哪几个向量, 它们怎么表示? ②怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 ③对探索的过程进一步严谨性的思考和处理,从而得到 合理的科学结论。

y

二、新课导学 ※ 探索新知
探究一: (1)能不能不用计算器求值 : cos 45 ,
0

A B
O x

cos 30 , cos15 。

0

0

※ 典型例题
例 1、利用差角余弦公式求 cos15 的值 (2) cos(450 ? 300 ) ? cos 450 ? cos300 是否成立?
0

变式训练:利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式: 探究二:两角差的余弦公式的推导 1.三角函数线法: 问:①怎样作出角? 、 ? 、? ? ? 的终边。 (1) cos(

?
2

? ? ) ? sin ? ;

(2) cos(2? ? ? ) ? cos ? ②怎样作出角? ? ? 的余弦线 OM

61

?

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※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 4 π 5 例2.已知sinα= ,α ? ( ,π),cosβ= , (差) 的余弦公式, 求 cos 750 ,cos1050 5 2 13 1.利用两角和 β第三象限角,求cos(? ? ?)的值

2.求值 cos 75 cos30 ? sin 75 sin 30
0 0 0

0

变式训练:已知 sin ? ?

15 ,θ 是第二象限角,求 17
3.化简 cos( ? ? ?)cos

?? ? cos?? ? ? 的值。 3? ?

?? sin( ? ?)sin ?

?

课后作业
1.化简 cos(? ? 300 )cos ? ? sin(? ? 300 )sin ?

三、小结反思
本节主要考察如何用任意角?,? 的正弦余弦值

) ,回顾公式 来表示 cos( ? ? ?

C (? ? ?) 的推导过
2 ? 3? 2、已知 sin ? ? ? , ? ? ? ? , 3 2 ? ? ?, ?

程,观察公式的特征,注意符号区别以及公式中角? ,

? 的任意性,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变
用(即要活用).在求值的过程中, 还要注意掌握“变角” 和“拆角”的思想方法解决问题.

3 ? ?? cos ? ? , ? ? ? 0, ?,求cos(a-? )的值. 4 ? 2?

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式
学习目标
1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式, 以及 两角和与差的正弦、 正切公式, 了解公式间的内在联系。 2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。

探究 4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有

tan ? 、 tan ? 的形式呢?

注意: (1)

??? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z )

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P128—P131) 复习: 1、两角差的余弦公式: 2、 sin ? ? cos ( )

( 2) 、将 S (? ? ? ) 、 C(? ? ? ) 、T(? ?? ) 称为和角公式,

S(? ?? ) 、C(? ?? ) 、T(? ?? ) 称为差角公式。
※ 典型例题
例 1、已知 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,求

3、在第一章我们用诱导公式五(或六)可以实现正弦、 余弦的互化,能否用它来推导两角和与差的正弦公式 呢?

3 5

?? ?? ? ?? ? ? sin ? ? ? ? ,cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? 的值. 4? ?4 ? ?4 ? ?

二、新课导学 ※ 探索新知 问题 1:由两角差的余弦公式,怎样得到两角和的余弦 公式呢?
例 2、利用和(差)角公式计算下列各式的值: 问题 2:由两角和与差的余弦公式,怎样得到两角和与 差的正弦公式呢? 探究 1、两角和与差的正弦公式的推导.

n 7 2 iso s c 4 2 o s c 7 2 n 4 i 2 s (1) 、

?

?

?

?

?



s c 2 0o s c 7 0n 2 i 0 s n 7 0 is (2) 、o
探究 2、两角和与差正弦公式的特征?推导两角和的正 切公式?

?

?

?

?

?



探究 3、推导两角差的正切公式呢?

(3) 、

1? n a 1 5 t 1? n a 1 5 t

? ?



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姓名:

例 3、化简 2cos x ? 6sin x

3、 若sin 2x sin 3x ? cos2x cos3x, 则x的值是 (
A.

)

?
10

B.

? 6

C.

? 5

D.

? 4

1 ?? ? 3? ? ? 4、 若 cos? ? ,? ? ? ,2? ?, 则 sin?? ? ? ? ________ . 5 3? ? 2 ? ?

思考:怎样求 a sin ? ? b cos ? 类型? 总结: a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b 2 (sinα cosφ +cosα sinφ )= =

3 ? tan15? 5、 ? _________ . 1 ? 3 tan15?
课后作业
1. 已知 tan ?? ? ? ? ?

a 2 ? b 2 sin(α +φ ),其中 tanφ

b 。 a
;

2 ?? 1 ? , tan ? ? ? ? ? , 求 5 4? 4 ?

(1) : n is ? ? o c s ??_ _ _ _ _ 变式: (2) : sin ? ? cos? ? __________ _. (3) 3 cos x ? sin x =____________

?? ? tan ? ? ? ? 的值. 4? ?

三、小结反思 1、 熟记两角和与差的正弦、 余弦和正切公式, 在解题过 程中要善于发现规律,学会灵活运用. 2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及 a sin ? ? b cos ? 类型的变换

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

3 2、a为第二象限角, sin a ? , ? 为第一象限角, 5 5 cos ? ? .求 tan(2? ? ?)的值。 13

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

1、 sin 7? cos37? ? sin 83? sin 37?的值为 (
A. ?

)

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

1 ? tan2 75? 2、 的值为 ( tan75?
A. 2 3 B.

)

2 3 3

C. ? 2 3

D. ?

2 3 3

64

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§3.1.3

二倍角的正弦、余弦和 正切公式

探究 2:推导 tan2a

学习目标
1、 以两角和的正弦、 余弦和正切公式为基础, 推导二倍 角正弦、余弦和正切公式; 2、二倍角的理解及其灵活运用. 注意: 2? ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k?

?k ? z?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P132—P134) 复习引入:请大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和 正切公式:

※ 典型例题
例 1、已知 sin2 ? ?

5 ? ? , ?? ? , 求 13 4 2

sin 4? ,cos 4? , tan 4? 的值.



二、新课导学 ※ 探索新知 问题:由两角和的正弦、余弦和正切公式能否得到

sin2 ? ,cos2 ? ,tan2 ? 的公式呢?
探究 1:推导 sin2a,cos2a sin2a= 例2、已知 tan 2? ?

1 , 求 tan ? 的值. 3

cos2a=

思考:把上述关于 cos2 ? 的式子能否变成只含有 sin ? 或 cos? 形式的式子呢?; cos2a=

变式:已知

tan ? ?

1 1 , tan ? ? , 求 tan( ? ? 2? )的值 7 3

cos2a=

65

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姓名:

例 3、在△ABC 中, cos A ?

4 , 5

5、 已知 sin ? ? 的值。

5 ? , ? ? ( , ?) , 求 sin2?, cos2?, tan2? 13 2

tan B ? 2, 求 tan(2 A ? 2B)的值。

三、小结反思 熟记二倍角的正弦、余弦和正切公式,在解题过程中要 善于发现规律,学会灵活运用.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

课后作业 ? ? 1 ? 1、 已知 sin( ? ? ) sin( ? ? ) ? , ? ? ( , ? ), 求 4 4 6 2 sin 4? 的值。

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1、已知 180°<2α <270°,化简

2 ? cos2? ? sin 2 ? =(
A、-3cosα C、- 3 cosα B、 3 cosα



D、 3 sinα - 3 cosα

2、已知 tan( ? ?

?
2

)?

1 ? 1 , tan( ? ? ) ? ? ,求 2 2 3

2、已知? ? (

5? ,3? ) ,化简 2


tan(? ? ? ) 的值。

1 ? sin ? + 1 ? sin ? = (
A、-2cos

? 2 ? C、-2sin 2

? 2 ? D、2sin 2
B、2cos

3、已知 sin

? 3 ? 4 = ,cos =- ,则角? 是 5 2 5 2
B 、第二象限角 D、第四象限角

( ) A、第一象限角 C、第三象限角

4、若 tan ? = 3,求 sin2? ? cos2? 的值。

66

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3.2 简单的三角恒等变换
学习目标
1、会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明。 2、 会推导半角公式, 积化和差、 和差化积公式 (公式不 要求记忆) 。 3、 进一步提高运用转化、 换元、 方程等数学思想解决问 题的能力。

变式训练 1:求证

sin ? 2 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? tan ? 2 sin ? tan ?

?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P139—P142) 复习: Cos(α +β )= Cos(α -β )= sin(α +β )= sin(α -β )= tan(α +β )= tan(α -β )= 思考 3、 在例 2 证明过程中, 体现了什么数学思想方法? sin2α = tan2α = cos2α = 点评: 在例2证明中用到了换元思想, (1) 式是积化和 差的形式, (2)式是和差化积的形式. 变式训练 2:课本 p142 2(2) 、3(3) .思考 2、在例 2 证明过程中,如果不用(1)的结果,如 何证明(2)? . 探究二:积化和差、和差化积公式的推导. 请同学们阅看 p140 例 2。 .思考 1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特 点?它们与例 2 在结构形式上有什么联系?

二、新课导学 ※ 探索新知 探究一:半角公式的推导 请同学们阅看 p139 例 1. .思考 1、2α 与α 有什么关系?α 与α /2 有什么关系? 进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。

探究三:三角函数式的变换。 请同学们阅看 p140 例 3。 .思考 1、例 3 的过程中应用了哪些公式?

.思考 2、半角公式中的符号如何确定? .思考 2、如何将形如 y=asinx+bcosx 的函数转化为形如 y=Asin(ω x+φ )的函数?并求 y=asinx+bcosx 的周期, 最 大值和最小值.

思考 3、二倍角公式和半角公式有什么联系? .思考 4、代数变换与三角变换有什么不同?

67

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

变式 3:已知函数

三、小结反思
常见的三角变形技巧有 ①切割化弦;

f ( x) ? cos 4 x ? 2 sin x cos x ? sin 4 x
(1)求 f ( x) 的最小正周期, (2)当 x ? [0, 值时 x 的集合

②“1”的变用; ③统一角度,统一函数,统一形式等等.

?
2

] 时,求 f ( x) 的最小值及取得最小

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1 1.已知 cos(α+β)cos(α-β)= ,则 cos2α-sin2β 的 3 值为( )
A.-

※ 典型例题
例 1. 已知 sin ? ? 值。

C 2.在△ABC 中,若 sinAsinB=cos2 2 ,则△ABC 是

2 3

B.-

1 3

C.

1 3

D.

2 3

5 ? , 且? 在第二象限, 求 tan 的 13 2

A.等边三角形 C.不等边三角形 3.sinα+sinβ=

B.等腰三角形 D.直角三角形

3 (cosβ-cosα) ,且 α∈(0,π) ,β∈ 3 (0,π) ,则 α-β 等于( )

例 2:已知0 ? ? ?

?

4 , sin ? ? . 2 5

2π 2π π π B.- C. D. 3 3 3 3 4.sin20° cos70° +sin10° sin50° =_________.
A.-

sin 2 ? ? sin 2? (1)求 的值 ; cos2 ? ? cos2?
(2)求 tan( ? ? 5? )的值 . 4

课后作业
2π 1 ,且 cosα+cosβ= ,则 cos(α+β) 3 3 等于_________.
1.已知 α-β=

例 3. 如图, 已知 OPQ 是半径为 1, 圆心角为

?
3

的扇形,

5 sin x 1 2 ,x∈(0,π) 2.已知 f(x)=- + . 2 2 sin x 2
(1)将 f(x)表示成 cosx 的多项式; (2)求 f(x)的最小值.

C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP =?, 求当角 ? 取何值时, 矩形 ABCD 的面积最大?并求
出这个最大面积.

Q D O A C

?

B

P

68

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

第三章 三角恒等变换复习(一)
学习目标
1. 通过对本章的知识的复习、 总结, 使学生对本章形成 一个知识框架网络. 2. 能灵活运用公式进行求值、证明恒等式.

( 3) 已知 si n4 ? ? cos4 ? ?

5 , 求 si n2?的值. 9

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P145—P147)

二、新课导学 ※ 典型例题 1、已知三角函数值求三角函数值
1、已知 cosa+cosβ = 的值。

(4) 已知 cos 2? ?

3 , 求 si n4 ? ? cos4 ?的值. 5

1 1 ,sina+sinβ = ,求 cos(a-β ) 2 3

3 3 2.(1)已知 cos ? ? ? , ? ? ? ? ? , 5 2 求(sin

3. 已知 cos( ? ? ?) ?

?
2

? cos ) 2的值. 2

?

1 3 , cos( ? ? ? ) ? ,求 tan? ? tan ? 的值. 5 5

( 2) 已知 si n

?
2

? cos

?
2

?

1 , 求 si n?的值. 5

69

2013 年上学期◆高一





班级:

姓名:

4.已知 cos ?

7? ?? ? 3 17? ?x? ,求 ? x? ? , 4 ?4 ? 5 12

1 ? sin2? 1 1 2. 证明: ? tan? ? . 2 2 cos ? ? sin2? 2 2

sin 2 x ? 2 sin 2 x 的值。 1 ? tan x

3.已知 sin ? ? cos ? ? 2sin ?,sin ? cos ? ? sin 2 ??
5. 求 tan20o ? tan40o ? tan120o 的值. tan20o ? tan40o

求证:4cos2 2? ? cos 2 2?.

例 2、证明恒等式

1. 证明: cos4? ? 4 cos2? ? 3 ? 8 cos4 ? .

三、小结反思 1. 给值求角时,先要求所求角的某一三角函数值,需 结合角的范围确定角的符号; 2. 证明三角恒等式时,要灵活地运用公式.

课后作业
教材 P.146 第 8 题第(3)、 (4)问; P.146 第 1、 2、 3 题; P.146 第 4 题第(1)、(2)、(3)问; P.147 第 3 题;

70

高一数学

◆必修 4

◆导学案

编写:高一年级数学组

第三章

三角恒等变换复习 (二)

学习目标
1. 综合运用知识解决相关问题. 2. 培养学生分析问题,运用知识解决问题的能力.

4. 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,P,Q 分别为 边 AB,DA 上的点.当△APQ 的周长为 2 时, 求∠PCQ 的大小.
(1)求常数 a的值;

D Q A

C

( 2)求使 f ( x ) ? 0成立的 x的取值集合 .

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P145—P147)

P

B

二、新课导学 ※ 典型例题

1 1 1. 已知 sin( ? ? ? ) ? ,sin( ? ? ? ) ? ,求证: 2 3

(1) sin? cos? ? 5 cos? sin?; (2) tan? ? 5 tan? .

2.已知函数

f ( x ) ? sin(x ?

?
6

) ? sin(x ?

?
6

) ? cos x ? a的最大值为 1.

三、小结反思 运用公式解决有关问题:最值问题、存在性问题.
3. 已知直线 l1 / / l2 ,A 是 l1 ,l2 之间的一定点,并且 A

课后作业
点到 l1 , l2 的距离分别为 h1 , h2 , B 是直线 l2 上一动点, 作 AC⊥AB,且使 AC 与直线 l1 交于点 C,求△ABC 面积的 最小值. 教材 P.147A 组第 11、12 题; P.147B 组第 6 题;

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