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湖南师大附中2013届高三第六次月考数学理科试题


湖南师大附中 2013 届高三第六次月考 数学试题(理科)
命题 湖南师大附中高三数学备课组 审题 吴锦坤、邓云 (考试范围:考纲要求全部范围)

时量 120 分钟

总分 150 分

]

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项

符合题目 要求的. 1.如图:给定全集 U 和集合 A,B,则如图阴影部分表示的集合是( ) A. A ? (CU B ) 【答案】A
A

B. (CU A) ? B

C. CU ( A ? B) ? B

D. CU ( A ? B) ? A U
A

A

A

B

2.函数 f ( x) ? ln x ? A. (?1,1) 【答案】B

1 的一个零点所在的区间是( ) x B. (1,2) C. (2, e)

D. (e,3)

【解析】函数连续且定义域内递增,又 f (1) ? ?1 ? 0 , f (2) ? ln 2 ? 3.化简对数式 A. 1 【答案】C 4. 已知三个向量 m ? (a, cos

1 1 ? ln e ? ? 0 . 2 2

1 1 ? log 3 得到的值为( log 5 3 15
B. 2

) D. ?

C. - 1

1 3

A B C 其中 a, b, c, A, B, C 分别是 ?ABC 的 ) ,n ? (b, cos ) , p ? (c, cos ) 共线, 2 2 2
) C.直角三角形 D.等腰直角三角形

三条边和三个角,则 ?ABC 的形状是( A.等腰三角形 【答案】B 【解析】由三个向量 m ? (a, cos B.等边三角形

A B C ) , n ? (b, cos ) , p ? (c, cos ) 共线及正弦定理 2 2 2

可得: sin A ? cos

A B C ,sin B ? cos ,sin C ? cos , 2 2 2
1

由 sin A ? 2sin 所以 0 ?

A A A A A 1 cos ? cos ,因为 cos ? 0 ,所以 sin ? ,因为 0 ? A ? ? , 2 2 2 2 2 2

A ? A ? ? ? ? ? ,所以 ? ,即 A ? .同理可得 B ? , C ? , 2 6 3 3 3 2 2

5.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

) 的部分图象如图示,将 y ? f ( x) 的图象向右平移


? 个 6

单位后得到函数 y ? g (x) 的图像,则 g (x) 的单调递增区间为( A. [2k? ?

?

,2k? ? ] 6 3

?

B. [2k? ?

?
3

,2k? ?

5? ] 6

C. [k? ?

?

, k? ? ] 6 3

?

D. [k? ?

?
3

, k? ?

5? ] 6

【答案】C 【解析】由图象知

? 11? ? 4 2? ? ? A ?1,T ? ( ? )? ? ? ? ,? ? ? 2,? 2 ? ? ? ? , ? ? ? , 6 12 6 3 ? 6 2 ? ? ? f ( x) ? sin(2 x ? ), 将 f (x) 的图象平移 个单位后的解析式为 6 6 ? ? ? y ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ). 6 6 6
则由: 2k? ?
x

?

2

? 2x ?
?x

?

6

? 2k? ?

?

2

? k? ?

?

6

? x ? k? ?

?

3

,k ?Z .

6.设函数 f ( x) ? k ? a ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) (??,??) 上既是奇函数又是增函数, g ( x) ? log a ( x ? k ) 在 则 的图象是 y y y y

o

1

2

x

o 1

2 x

-1

0

x

-1

0

x

A 【答案】C 【解析】 f ( x) ? ka x ? a ? x ? ka x ?

B

C

D

1 是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 k ? 1 ? 0 ,所以 k ? 1 , ax 1 1 x x 即 f ( x) ? a ? x ,又函数 y ? a , y ? ? x 在定义域上单调性相同, a a
2

由函数是增函数可知 a ? 1 ,所以函数 g ( x) ? log a ( x ? k ) ? log a ( x ? 1) ,选 C. 7.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n 且满足 S15 ? 0, S16 ? 0, 则

S S1 S 2 S3 , , ,? , n 中最大的项为 a1 a2 a3 an
D. S 9
a9

A.

S6 a6

B. S 7
a7

C.

S8 a8

【答案】C 【解析】由 S15 ?

15(a1 ? a15 ) =15a8 ? 0 ,得 a8 ? 0 . 2 15(a1 ? a16 ) 15(a9 ? a8 ) = ? 0 ,得 a9 ? a8 ? 0 ,所以 a9 ? 0 ,且 d ? 0 . 由 S16 ? 2 2
所以数列 {an } 为递减的数列.所以 a1 ,? a8 为正, a9 ,? an 为负, 且 S1 ,? S15 ? 0 , S16 ,? Sn ? 0 , 则

S9 S S S S ? 0 , 10 ? 0? , 8 ? 0 ,又 S8 ? S1 , a1 ? a8 ,所以 8 ? 1 ? 0 , a9 a8 a10 a8 a1

所以最大的项为

S8 . a8

8.对于定义域为[0,1]的函数 f ( x) ,如果同时满足以下三个条件: ①对任意的 x ? [0,1] ,总有 f ( x) ? 0 ② f (1) ? 1 ③若 x1 ? 0, x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 ,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立; 则称函数 f (x) 为理想函数. 下面有三个命题: (1)若函数 f (x) 为理想函数,则 f (0) ? 0 ; (2)函数 f ( x) ?2 ?1( x ? [0,1]) 是理想函数;
x

(3)若函数 f (x) 是理想函数,假定存在 x0 ? [0,1] ,使得 f ( x0 ) ? [0,1] ,且 f [ f ( x0 )] ? x0 , 则 f ( x0 ) ? x0 ; 其中正确的命题个数有( ) 3

A. 0 个 【答案】D

B.1 个

C.2 个

D.3 个

【解析】1? 取x1 ? x2 ? 0,可得f ? 0 ? ? f ? 0 ? ? f ? 0 ?, ? 所以f ? 0 ? ? 0.又由条件①f ? 0 ? ? 0,故f ? 0 ? ? 0.

? 2 ? 显然g ? x ? ? 2 x ? 1在 ? 0,1? 上满足条件①g ? x ? ? 0; 也满足条件②g ?1? ? 1.
若x1 ? 0,x2 ? 0,x1 ? x2 ? 1, 则g ? x1 ? x2 ? ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? ? ? 2x1 ? x2 ? 1 ? ?? 2x1 ? 1? ? ? 2x2 ? 1? ? ? ? 即满足条件③. ? 2x1 ? x2 ? 2x1 ? 2x2 ? 1 ? ? 2x2 ? 1? ? 2x1 ? 1? ? 0, 故g ? x ? 是理想函数.

? 3?由条件③知,任给m、n ? ?0,1?,当m ? n时,由m ? n知n ? m ? ? 0,1?, 所以f ? n ? ? f ? n ? m ? m ? ? f ? n ? m ? ? f ? m ? ? f ? m ?. 若x0 ? f ? x0 ?,则f ? x0 ? ? f ? f ? x0 ? ? ? x0,前后矛盾; ? ? 若x0 ? f ? x0 ?,则f ? x0 ? ? f ? f ? x0 ? ? ? x0,前后矛盾.所以f ? x0 ? ? x0 . ? ?
二、填空题: 本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分 ,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号 后的横线上. (一)选作题(请考生在第 9、10、 11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分 ) 9. 不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 的解集为 .

? ?1 ? x ? 2 ? x ? ?1 ?x ? 2 【解析】由: ? ,或 ? ,或 ? , ?x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ?x ?1? x ? 2 ? 5 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 5
解得不等式的解集为: (??,?2) ? (3,??) ;

? 2 t ?x ? ? ? 2 10. 直线 l 的参数方程是 ? (其中 t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos( ? ) ,过直 ? 4 ?y ? 2 t ? 4 2 ? 2 ?
线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是 .

【解析】? ? ? 2 cos ? ? 2 sin ? ,? ? 2 ? 2 ? cos ? ? 2 ? sin ? ,

?圆C的直角坐标方程为x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,
即 (x ?

2 2 2 2 2 2 ( ,? ). ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 2 2 2 2

4

?直线l的普通方程为x ? y ? 4 2 ? 0 ,

|
圆心 C 到 直线l 距离是

2 2 ? ?4 2| 2 2 ? 5, 2

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 5 2 ? 12 ? 2 6 11. 如图, AB 是⊙ O 的直径, P 是 AB 延长线上的一点,过 P 作⊙ O 的切线,切点为 C , PC ? 2 3 , 若 ?CAP ? 30? ,则⊙ O 的直径 AB ? .

【解析】因为根据已知条件可知,连接 AC, PC ? 2 3 , ?CAP ? 30? ,

( 根据切线定理可知, PC ? PB?PA ? PB? PB ? BA) ,可以解得为 4.
2

(二)必做题 12. 下面是关于复数 z ? (1) z ? 2 ;

2 的四个命题: ?1 ? i
2

(2) z ? 2i ;

(3) z 的共轭复数为 1 ? i ; .

(4) z 的虚部为 ? 1 ;

其中所有正确的命题序号是 【答案】 (4) (2)

13.如果一个随机变量 ? ~ B (15, ) ,则使得 P(? ? k ) 取得最大值的 k 的值为 【解析】 P(? ? k ) ? C15 ( ) ,则只需 C15 最大即可,此时 k ? 8,9
k 15
k

1 2

.

1 2

14. 如图是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的体积为 . 【解析】该几何体是如图所示的三棱锥 ABCD,可将其补形成一个长方体, 半径为 2 ,体积为 ?R ?
3

4 3

8 2 ?. 3

(也可直接找到球心,求出半径解决问题) 15. 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编 号为 1,2,??,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码 为 9,抽到的 32 人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷 A,编号落入区间 [451,750]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C.则抽到的人中,做问卷 B 的人数为 . 【解析】 :采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人,将整体分成 32 组,每组 30 人,即 l ? 30 ,第 k 组的 号码为 (k ? 1)30 ? 9 ,令 451 ? (k ? 1)30 ? 9 ? 750 ,而 k ? z ,解得 16 ? k ? 25 ,则满足 16 ? k ? 25 的 整数 k 有 10 个.

? 16. 已知 Sn ? { A A ? (a1 ,a 2 ,a 3 , ,an ), ai ? 2012 或 2013 , i ? 1, 2,? n} (n ? 2) ,对于 U , V ? Sn ,

d (U ,V ) 表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数.
5

(Ⅰ)令 U ? (2013, 2013, 2013, 2013, 2013) ,存在 m 个 V ? S5 ,使得 d (U ,V ) ? 2 ,则 m= (Ⅱ)令 U ? (a1 , a2 , a3 ,?, an ) ,若 V ? Sn ,则所有 d (U ,V ) 之和为 【解析】(Ⅰ) C5 ? 10 ; :
2





(Ⅱ)根据(Ⅰ)知使 d (u, vk ) ? r 的 vk 共有 Cn 个
r



? d (u, v ) = 0?C
k ?1 k k
n n

2n

0 n

? 1? n ? 2? n ? ? ? n? n C1 C2 Cn

? d (u, v ) = n?C
k ?1 2n

2n

? (n ? 1)? n ?1 ? (n ? 2)? n ?2 ? ? ? 0? n Cn Cn C0

两式相加得

= ? d ( u, v ) n?2
k ?1 k

n ?1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 、 满 分 12 分 ) 已 知 ?,? 是 三 次 函 数 f ( x) ( ?

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx(a, b ? R) 的 两 个 极 值 点 , 且 3 2

? ? ?0,1? , ? ? ?1,2? ,求动点 ?a, b ? 所在的区域面积 S .
【解析】由函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx(a, b ? R) 可得, 3 2
??????2 分

f ?( x) ? x 2 ? ax ? 2b ,

由题意知, ?,? 是方程 x 2 ? ax ? 2b ? 0 的两个根, ??5 分 且

? ? ?0,1? , ? ? ?1,2? , 因 此 得 到 可 行
? f ?(0) ? 2b ? 0 ? ? f ?(1) ? 1 ? a ? 2b ? 0 ,????9 分 ? f ?(2) ? 4 ? 2a ? 2b ? 0 ?

?b ? 0 ? 即 ?a ? 2b ? 1 ? 0 , ?a ? b ? 2 ? 0 ?
画出可行域如图. ???11 分 所以 S ?

1 . 2

???12 分

18、(满分 12 分)为迎接新年到来,某商场举办有奖竞猜活动,参与者需先后回答两道选择题,问题 A 有 四个选项,问题 B 有五个选项,但都只有一个选项是正确的。正确回答问题 A 可获得奖金 m 元,正确回答 6

问题 B 可获得奖金 n 元。活动规定:参与者可任意选择回答问题的顺序,如果第一个问题回答错误,则该 参与者猜奖活动中止。假设一个参与者在回答问题前,对这两个问题都很陌生,试确定哪种回答问题的顺 序能使该参与者获救金额的期望值较大. 【解析】设该参与者猜对问题 A 的概率为 P1 ,则 p1 ? 参与者回答问题有两种顺序: 顺序一:先 A 后 B 此时参与者获得奖金额 ? 的可能值为: 0, m, m ? n ,

1 1 ,猜对问题 B 的概率为 P2 ? ,.......1 分 4 5

3 1 4 1 1 , P(? ? m) ? P (1 ? P2 ) ? ? ? , P(? ? m ? n) ? P P2 ? , 1 1 4 4 5 5 20 m n 从而数学期望 E? ? ? ;................................5 分 4 20 P(? ? 0) ? 1 ? P ? 1
顺序二:先 B 后 A 此时参与者获得奖金额? 的可能值为: 0, n, n ? m ,

4 1 3 3 1 , P(? ? n) ? P2 (1 ? P ) ? ? ? , P(? ? n ? m) ? P P2 ? , 1 1 5 5 4 20 20 n m 从而数学期望 E? ? ? ;...........................9 分 5 20 4m ? 3n 而: E? ? E? ? ,则: 20 m 3 m 3 m 3 当 ? 时:先回答 A,当 ? 两者兼可, ? 时先回答 B......................12 分 n 4 n 4 n 4 19、 (满分 12 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC= a ,又 PA⊥平面 ABCD,PA=4. P(? ? 0) ? 1 ? P2 ?
(1)线段 BC 上存在点 Q,使 PQ⊥QD,求 a 的取值范围; (2)线段 BC 上存在唯一点 Q,使 PQ⊥QD 时,求二面角 A-PD-Q 的余弦值。 解法 1: (Ⅰ)如图,连 AQ ,由于 PA⊥平面 ABCD,则由 PQ⊥QD, 必有 AQ ? DQ . 设 BQ ? t ,则 CQ ? a ? t , 在 Rt?ABQ 中,有 AQ ? 在 Rt?CDQ 中,有 D A Q C B P

t2 ? 4 .

DQ ?
2

?a ? t ?
2

2

?4
2



在 Rt?ADQ 中,有 AQ ? DQ ? AD .

7



t 2 ? 4 ? ? a ? t ? ? 4 ? a2
2

,即 t ? at ? 4 ? 0 .
2

P

a?t?


4 ?4 t .

N

A M Q C

故 a 的取值范围为

? 4, ?? ? .
D

B

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 t ? 2 , a ? 4 时,边 BC 上存在唯一点 Q(Q 为 BC 边的 点) , 使 PQ⊥QD,过 Q 作 QM∥CD 交 AD 于 M,则 QM⊥AD. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥QM.∴QM⊥平面 PAD. 过 M 作 MN⊥PD 于 N,连结 NQ,则 QN⊥PD. ∴∠MNQ 是二面角 A-PD-Q 的平面角. 在等腰直角三角形 PAD 中, 可求得 MN ? 2 , MQ ? 2 , 又 进而 NQ ?



z

6.

P

cos ?MNQ ?


MN 2 3 ? ? NQ 3 . 6

A Q D x C

B

y

故二面角 A-PD-Q 的余弦值为

3 . 3

???? ???? ???? ? AD 、 、 为 x.y.z 轴建立如图的空间直角坐标系, AB AP 解法 2: (Ⅰ)以
则 B(0,2,0) ,C(a,2,0) ,D(a,0,0) , P(0,0,4) , 设 Q(t,2,0) t ? 0 ) ( ,则

PQ =(t,2,-4) , DQ =(t-a,2,0) .

???? ???? ? PQ ?DQ ? t (t ? a) ? 4 =0. ∵PQ⊥QD,∴
即 t ? at ? 4 ? 0 .
2

a?t?


4 ?4 t .

8

故 a 的取值范围为

? 4, ?? ? .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 t ? 2 , a ? 4 时,边 BC 上存在唯一点 Q,使 PQ⊥QD. 此时 Q(2,2,0) ,D(4,0,0) . 设

n ? ? x, y , z ?

是平面 PQD 的法向量,

??? ? ?n?DP ? 0 ? ? ?4 x ? 4 z ? 0 ? ???? ? ?n?DQ ? 0 ,得 ? ?2 x ? 2 y ? 0 . 由?
取 z ? 1,则 而

n ? ?1,1,1?

是平面 PQD 的一个法向量.

??? ? AB ? ? 0, 2, 0 ?

是平面 PAD 的一个法向量,

???? ???? AD?n 3 cos ? AD, n ?? ???? ? 3 AD ? n
∴二面角 A-PD-Q 的余弦值为



3 . 3

20、 (满分 13 分) 随着私家车的逐渐增多, 居民小区“停车难”问题日益突出. 本市某居民小区为缓解“停 车难”问题,拟建造地下停车库,建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设 计示意图. (1)按规定,地下停车库坡道口上方要张贴限高标志,以便告知停车人车辆能否安全驶入,为标明限 高,请你根据该图所示数据计算限定高度 CD 的值. (精确到 0.1m) (下列数据提供参考: sin 20°=0.3420, cos 20°=0.9397, tan 20°=0.3640) (2)在车库内有一条直角拐弯车道,车道的平面图如图所示,设 ?PAB ? ? (rad) ,车道宽为 3 米, 现有一辆转动灵活的小汽车,其水平截面图为矩形,它的宽为 1.8 米,长为 4.5 米,问此车是否能顺利通过 此直角拐弯车道? 3米 F C O 3米 E 解:(1)在△ABE 中,∠ABE=90° ,∠BAE=20° , ∴tan∠BAE= D B

1.8 米 θ A

P

BE ,又 AB=10, AB
9

∴BE=AB?tan∠BAE=10tan20°≈3.6m,∵BC=0.6∴CE=BE-BC=3m, 在△CED 中,∵CD⊥AE,∠ECD=∠BAE=20° , ∴cos∠ECD=

CD ,∴CD=CE?cos∠ECD=3cos20°≈3×0.94≈2.8m. CE

故答案为 2.8m.????5 分 (2)延长 CD 与直角走廊的边相交于 E , F ,如下图.

3 3 ? ,其中 0 ? ? ? . ? 2 cos ? sin ? DA 1.8 容易得到 DE ? , CF ? BC ? tan ? ? 1.8tan ? .又 AB ? DC ? EF ? ( DE ? CF ) , ? tan ? tan ? 3 3 1 3(sin ? ? cos ? ) ? 1.8 于是 f (? ) ? , ? ? 1.8(tan ? ? )? sin ? cos ? cos ? sin ? tan ? ? 其中 0 ? ? ? .???8 分 2 EF ? OE ? OF ?
设 sin ? ? cos? ? t ,则 t ? 又 sin ? cos ? ?

2 sin(? ? ) ,于是 1 ? t ? 2 . 4

?

t 2 ?1 , 2 6t ? 3.6 因此 f (? ) ? g (t ) ? 2 . ????11 分 t ?1 6t 2 ? 7.2t ? 6 6(t ? 0.6) 2 ? 3.84 ?? 因为 g ?(t ) ? ? ,又 1 ? t ? 2 ,所以 g ?(t ) ? 0 恒成立, (t 2 ? 1) 2 (t 2 ? 1) 2 6t ? 3.6 因此函数 g (t ) ? 2 在 t ? (1, 2] 是减函数,所以 g (t ) min ? g ( 2) ? 6 2 ? 3.6 ? 4.5 , t ?1
故能顺利通过此直角拐弯车道 21、 (满分 13 分) 已知椭圆 ????13 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为 3 ? 2 2 , 3 ? 2 2 . a 2 b2

(1)如果直线 x ? t (t ? R) 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,若 C (?3,0), D (3,0) ,直线 CA 与直线 BD 的交 点是 K ,求点 K 的轨迹方程; (2) 过点 Q(1 , 0) 作直线 l(与 x 轴不垂直) 与该椭圆交于 M 、N 两点, y 轴交于点 R , RM ? ? MQ , 与 若

???? ?

???? ?

???? ???? RN ? ? NQ ,试判断: ? ? ? 是否为定值?并说明理由.

解: (1)由已知 ?

?a ? c ? 3 ? 2 2 ?

?a ? 3 ? ?? ?c ? 2 2 ?a ? c ? 3 ? 2 2 ? ?
x2 ? y 2 ? 1. 9

b2 ? a 2 ? c 2 ? 1

所以椭圆方程为

?????????3 分

依题意可设 A(t , y0 ), B(t , ? y0 ), K ( x, y ) ,且有 又 CA : y ?

y0 ?y ( x ? 3), DB : y ? 0 ( x ? 3), t ?3 t ?3

t2 ? y0 2 ? 1 9

10

2 ? y0 t2 1 x2 y ? 2 ( x 2 ? 9) ,将 ? y0 2 ? 1 代入即得 y 2 ? ( x 2 ? 9), ? y 2 ? 1 t ?9 9 9 9 2 x 所以直线 CA 与直线 BD 的交点 K 的轨迹方程是 ? y 2 ? 1 (y≠0)????????8 分 9 9 (2) ? ? ? 是定值, ? ? ? ? ? ,理由如下: ????????9 分 4 依题意,直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 2

? y ? k ( x ? 1) , ? 设 M ( x3 , y 3 ) 、 N ( x4 , y 4 ) 、 R(0 , y5 ) ,则 M 、N 两点坐标满足方程组 ? x 2 2 ? 9 ? y ? 1. ?
消去 y 并整理,得 (1 ? 9k ) x ? 18k x ? 9k ? 9 ? 0 ,
2 2 2 2

所以 x3 ? x 4 ?

18k 2 , ① 1 ? 9k 2

x3 x4 ?

9k 2 ? 9 , ② 1 ? 9k 2

????????11 分

因为 RM ? ? MQ ,所以 ( x3 , y3 ) ? (0 , y5 ) ? ??(1 , 0) ? ( x3 , y3 )? ,

? x3 ? ?(1 ? x3 ) , 所以 x3 ? ?(1 ? x3 ) ,又 l 与 x 轴不垂直,所以 x3 ? 1 , ? y 3 ? y 5 ? ??y 3 . x3 x4 所以 ? ? ,同理 ? ? . ??????????12 分 1 ? x3 1 ? x4 ( x ? x ) ? 2 x3 x4 x3 x4 ? ? 3 4 所以 ? ? ? ? . 1 ? x3 1 ? x4 1 ? ( x3 ? x4 ) ? x3 x4 9 将①②代入上式可得 ? ? ? ? ? . ??????????13 分 4 1 n 2 22、 (满分 13 分)设函数 f n ( x) ? x (1 ? x) 在 [ ,1] 上的最大值为 an (n ? 1,2,?) . 2
即? (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)证明:对任何正整数 n(n ? 2) ,都有 an ?

1 成立; ( n ? 2) 2

、 (3)若数列 ?a n ?的前 n 之和为 S n ,证明:对任意正整数 n 都有 S n ? 【解析】 (1)由 f n?( x) ? nx
n ?1

7 成立. 16

(1 ? x) 2 ? 2 x n (1 ? x) ? x n?1 (1 ? x)[ n(1 ? x) ? 2 x]

当 x ? [ ,1] 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? 当 n ? 1 时,

1 2

n n?2

n 1 1 1 1 ? ? [ ,1] , f1?(1) ? 0 ,则 a1 ? f1 ( ) ? n?2 3 2 2 8 n 1 1 1 ? [ ,1] ,则 a2 ? f 2 ( ) ? 当 n ? 2 时, n?2 2 2 16 n 1 当 n ? 3 时, ? [ ,1] , n?2 2
11

1 n n ) 时 f n?( x) ? 0 ,当 x ? ( ,1) 时 f n?( x) ? 0 , 2 n?2 n?2 n 故函数 f n (x) 在 x ? 处取得最大值, n?2
而当 x ? [ , 即: an ? f n (

n 4n n )? n?2 (n ? 2) n ? 2

?1 ? 8 ( n ? 1) ? 综上: an ? ? 。。。。。。。。。。。6 分 。。。。。。。。。。 4n n ? ( n ? 2) ? ( n ? 2) n ? 2 ?
(2)当 n ? 2 时,要证 an ?

4n n 1 2 n ? ,即证 (1 ? ) ? 4 , n?2 2 ( n ? 2) ( n ? 2) n

而 (1 ? ) ? Cn ? Cn ? ( ) ? Cn ? ( ) ? ? ? 1 ? 2 ?
n 0 1 1 2 2

2 n

2 n

2 n

n(n ? 1) 4 ? 2 ?4 2 n

故不等式成立.。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。10 分 (3)当 n ? 1,2 时结论成立; 当 n ? 3 时,由(2)的证明可知:

1 1 1 1 1 1 1 S n ? ? ? a3 ? a4 ? ? ? an ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 8 16 8 16 5 6 (n ? 2) 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 ? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ?? ? ( ? )? ? ? ? , 8 16 4 5 5 6 n ? 1 n ? 2 8 16 4 16 7 从而 S n ? 。。。。。。。。。。。。。。。。13 分 。。。。。。。。。。。。。。。 16

12


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