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云南省昆明三中高二上学期期中考试数学试题


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昆明滇池中学 2012----2013 学年高二上学期期中考 数学试卷(文/理科)
京翰高考网试题(gaokao.zgjhjy.com)

第Ⅰ卷(共 36 分,答在答题卡上)
一.选择题(本大题共 12 题,每小题 3 分,共 36 分) 1. 某社区有 500 个家庭, 其中高收入家庭 125 户, 中等收入家庭 280 户, 低收入家庭 95 户, 为了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为 100 户的样本,记作①.某学校高 一年级有 12 名女排运动员,要从中选出 3 人调查学习负担情况,记作②.那么完成上述两项 调查应采用的抽样方法是( ) A. ①用随机抽样法,②用系统抽样法 B. ①用分层抽样法,②用随机抽样法 C. ①用系统抽样法,②用分层抽样法 D. ①用分层抽样法,②用系统抽样法 2. 命题 “ ?x0 ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 , C. ?x0 ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2 3


2

B. ?x0 ? R , x ? x ? 1 ? 0 D.不存在 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0

开始 i ? 1, s ? 1
i ? i ?1

3. 两条直线 mx+y-1=0 和 2x+y+2=0 互相平行的条件是( ) A.m=-2 B. m=1 C. m= -1 D. m=2 4.有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球, 若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想获得中奖机会最大, 应选择的游戏盘是( )

s ? 2( s ?1)
i ? 4?

输出s



5.如果执行右边的程序框图,那么输出的S=( ) A.10 B.22 C.46 D.94

结束

?y ? x ? 6. 已知 z ? 2 x ? y ,式中变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z 的最大值为( ?x ? 3 ?
A. 3 B.5
2



C.6
2

D.8 )

7. 经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是( A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

8. 从一批产品中取出三件产品,设 A= “三件产品全不是次品”,B= “三件产品全是次品”, C= “三件产品不全是次品”,则下列结论正确的是( ) A.A 与 C 互斥 B.B 与 C 互斥 C.任何两个事件均互斥 D.任何两个事件均不互斥

3 9. 已知直线 l 的倾斜角为 π,直线 l1 经过点 A(3,2)和 B(a,-1),且直线 l1 与直线 l 垂直, 4
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直线 l2 的方程为 2x+by+1=0,且直线 l2 与直线 l1 平行,则 a+b 等于( A.-4 B.-2 C.0 D.2

)

10. 对变量 x, y 有观测数据理力争( x1 , y1 ) (i=1,2,?,10)得散点图 1;对变量 u ,v 有 观测数据( u1 , v1 ) (i=1,2,?,10),得散点图 2. 由这两个散点图可以判断( )

(图 1) A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关

(图 2) B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关

11. 甲、乙两名同学在五次《数学基本能力》测试中,成绩统计用茎叶图表示如下,若甲、 乙两人的平均成绩分别是 X 甲、X 乙,则下列结论正确的是 ( )

A.X 甲>X 乙,甲比乙成绩稳定 C.X 甲<X 乙,甲比乙成绩稳定

B.X 甲>X 乙,乙比甲成绩稳定 D.X 甲<X 乙,乙比甲成绩稳定

2 12.已知函数: f ( x) ? x ? bx ? c ,其中: 0 ? b ? 4,0 ? c ? 4 ,记函数 f ( x) 满足条件:

? f (2) ? 12 为事件为 A,则事件 A 发生的概率为( ) ? ? f (?2) ? 4
A.

1 4

B.

5 8

C.

1 2

D.

3 8

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昆明滇池中学 2012----2013 学年高二上学期期中考 数学试卷(文/理科) 第Ⅱ卷(共 64 分,答在试卷上)
二.填空题(本大题共 4 题,每小题 3 分,共 12 分) 13.要从 165 个人中抽取 15 人进行身体检查,现采用分层抽样的方法进行抽取,若这 165 人中 老年人的人数为 22 人,则老年人中被抽到参加健康检查的人数是_________. 14.直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角为__________. 15.设圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 5 ? 0 的弦的中点为 P(3,1)则直线 AB 的方程是__________ 16. 已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 , 则 C 上各点到 l 的距离的最大
2 2

值为____。 三.解答题(本大题共 6 题,共 52 分) 17. (本题满分 8 分)求过点 A(2, 4) 向圆 x2 ? y 2 ? 4 所引的切线方程。

18. (本题满分 8 分)求过点 M (5, 2), N (3, 2) 且圆心在直线 y ? 2 x ? 3 上的圆的方程。

19. (本题满分 8 分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均
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为整数)分成六段 ?40,50? , ?50,60? , ?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? 后,画出如下部 分频率分布直方图。观察图形,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)若 80 分以上为优秀,估计这次考试的优秀率。 (3)估计这次考试的平均分。

20.(本题满分 8 分)央视为改版后的《非常 6+1》栏目播放两套宣传片.其中宣传片甲播 映时间为 3.5 分钟,广告时间为 0.5 分钟,收视观众为 60 万,宣传片乙播映时间为 1 分钟, 广告时间为 1 分钟,收视观众为 20 万.广告公司规定每周至少有 3.5 分钟广告,而电视台 每周只能为该栏目宣传片提供不多于 16 分钟的节目时间.电视台每周应播映两套宣传片各 多少次,才能使得收视观众最多?

21.(本题满分 10 分) (理科)设有关 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0.
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(1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上述方 程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根 的概率. (文科)某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分 组,得到的频率分布表如下图所示. (I)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽 取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (II)在(I)的前提下,学校决定在这 6 名学生中,随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面 试,① 请列举出抽取 2 名学生的所有可能;② 请列举出第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试 的所有可能;③ 并求第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率.

组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计

分组
[160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185)

频数 5 35 30 20 10 100

频率 0.050 0.350 0.300 0.200 0.100 1.00

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22. (本题满分 10 分)已知圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 (1)若不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴,y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)从圆 C 外一点 P(x,y)向圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求 点 P 的轨迹方程.

昆明滇池中学 2011----2012 学年高二上学期期中考 数学试卷(文/理科)答案
一. 选择题 1.B 2.A 3.D 4.A 5.C 6.D 7.C 二. 填空题 13.2 人 14. 三. 解答题 17. (本题满分 8 分)求过点 A(2, 4) 向圆 x ? y ? 4 所引的切线方程。
2 2

8.C

9.B

10.C

11. A

12.C

5? 15. x+y-2=0 6

16. 3 2

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解:显然 x ? 2 (2 分)为所求切线之一;另设 y ? 4 ? k ( x ? 2), kx ? y ? 4 ? 2k ? 0 (2 分)

3 ? 2, k ? ,3x ? 4 y ? 10 ? 0 4 而 k ?1
2

4 ? 2k

? x ? 2 或 3x ? 4 y ? 10 ? 0 为所求。 (4 分)
18. (本题满分 8 分)求过点 M (5, 2), N (3, 2) 且圆心在直线 y ? 2 x ? 3 上的圆的方程。 解:设圆心为 ( x, y ) ,而圆心在线段 MN 的垂直平分线 x ? 4 上, (2 分) 即?

?x ? 4 得圆心为 (4,5)(2 分) ,r ? 1 ? 9 ? 10 (2 分) ?( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 10 y ? 2 x ? 3 ?

(2 分) 19. (本题满分 8 分) 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数)分成六段

?40,50? , ?50,60? , ?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? 后,画出如下部分频率分布直方图。
观察图形,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)若 80 分以上为优秀,估计这次考试的优秀率。 (3)估计这次考试的平均分。 解: (1)因为各组的频率和为 1,所以第四组的频率
分数 频率 组距

f4 ? 1 ? (0.025 ? 0.015*2 ? 0.01 ? 0.005)*10 ? 0.3 ---------(3 分,其中图 1 分)
(2)依题意,60 分及以上的分数所在的第五,六组的频率和为 0.3 所以抽样学生的考试及格率为 30%。-----------------------------------2 分 (3)平均分为

45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 ? 71 ------- 3 分
20. (本题满分 8 分) 央视为改版后的《非常 6+1》栏目播放两套宣传片.其中宣传片甲播映时间为 3 分 30 秒, 广告时间为 0.5 分钟,收视观众为 60 万,宣传片乙播映时间为 1 分钟,广告时间为 1 分钟, 收视观众为 20 万.广告公司规定每周至少有 3.5 分钟广告,而电视台每周只能为该栏目宣 传片提供不多于 16 分钟的节目时间.电视台每周应播映两套宣传片各多少次,才能使得收 视观众最多? 解:设电视台每周应播映片甲 x 次, 片乙 y 次,总收视观众为 z 万人.

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? 4 x ? 2 y ? 16 ? ?0.5 x ? y ? 3.5 ? x, y ? N ?

z ? 60 x ? 20 y

(4 分)

由图解法可得:当 x=3, y=2 时,zmax=220. (4 分) 答:电视台每周应播映甲种片集 3 次,乙种片集 2 次才 能使得收视观众最多.

21. (本题满分 10 分) (理科)设有关 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上 述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根 的概率. 解析: 设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”. 当 a≥0,b≥0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共有 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0), (3,1),(3,2). (2 分) 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 9 3 P(A)= = . (2 分) 12 4 (2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}, 构成事件 A 的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}, (3 分) 1 2 3×2- ×2 2 2 所以所求的概率为 P(A)= = . (3 分) 3×2 3 (文科)某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分 组,得到的频率分布表如下图所示. (I)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽 取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (II)在(I)的前提下,学校决定在这 6 名学生中,随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面 试,① 请列举出抽取 2 名学生的所有可能;② 请列举出第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试 的所有可能;③ 并求第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率.

组号 第1组 第2组

分组
[160,165) [165,170)

频数 5 35

频率 0.050 0.350

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第3组 第4组 第5组 合计

[170,175) [175,180) [180,185)

30 20 10 100

0.300 0.200 0.100 1.00

解: (I)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学 生,每组分别为: 30 ?6 ? 3 第 3 组: 60 人, …………1 分
20 ?6 ? 2 60 第 4 组: 人, ………… 1 分 10 ?6 ?1 第 5 组: 60 人, …………1 分

所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人 (II)设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 ,第 5 组的 1 位同学为 C1 , 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下:
( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , C1 ), ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , C1 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , C1 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 )

………………………2 分

其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 至少有一位同学入选的有:
( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( B1, B2 ), ( B1, C1), ( B2 , C1)
B1 , B2

9 种可能, …………2 分

所以其中第 4 组的 2 位同学为

9 3 ? 至少有一位同学入选的概率为 15 5 …………3 分

22. (本题满分 10 分)已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0. (1)若不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴,y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)从圆 C 外一点 P(x,y)向圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求 点 P 的轨迹方程. 解:(1)由圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0,得圆心坐标为 C(-1,2),半径 r= 2, ∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零, ∴设直线 l 的方程为 x+y=a(a≠0). ∵直线 l 与圆 C 相切, |-1+2-a| ∴ = 2, 2
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∴a=-1,或 a=3. 所以所求直线 l 的方程为 x+y+1=0 或 x+y-3=0. (6 分) (2)∵切线 PM 与半径 CM 垂直,设 P(x,y), 又∵|PM|2=|PC|2-|CM|2,|PM|=|PO|, ∴(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2, ∴2x-4y+3=0. 即所求点 P 的轨迹方程为 2x-4y+3=0. (4 分)

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