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浙江省诸暨中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试题


诸暨中学 2014 学年第一学期高三年级数学(理)试题卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
1. 已 知 集 合

A ? ??1, 1 ? , B ? ? x ax ? 1 ? 0? , 若 B ? A , 则 实 数 a 的 所 有 可 能 取 值 的 集 合 为
B. ?1? C. ??1,1? D. ??1,0,1? ( D. y ? tan x ( ) )



)A. ??1?

2.下列函数中,与函数 y ? x3 的奇偶性、单调性均相同的是 A. y ? e x B. y ? 2 ?
x

1 2x

C. y ? ln x

1 3.若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b< ”的 a A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知 ?an ? 为等差数列, 其公差为-2, 且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,n ? N * , 则 S10 的值为 A.-110 5.将函数 y ? ( B.-90 C.90 ) D.110

3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后,所得到的图像关于 y 轴
( C. )

对称,则 m 的最小值是 A.

?
12

B.

?
6

?
3

D.

5? 6

6.有若干个棱长为 1 的小正方体搭成一个几何体,这个几何体的正视图和侧视图均如 右图所示,那么符合这个平面图形的小正方体块数最多时该几何体的体积是 ( )A.6 B. 14 C.16 D. 18 第6题

?BAD ? 120 , BE = l BC , 7.菱形 ABCD 的边长为 2, 点 E , F 分别在边 BC , DC 上,
2 DF = mDC .若 AE ? AF ? 1 , CE ? CF ? ? ,则 l + m = 3 1 2 5 7 A. B. C. D. 2 3 6 12
8 . 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 是 角 A,B,C 的 对 边 , 如 果 ( )A. a, b, c 依次成等差数列 C. a , b , c 依次成等差数列
2 2 2





1 1 1 , , 依次成等差数列,则 tan A tanB tanC

B. a , b , c 依次成等比数列 D. a , b , c 依次成等比数列
2 2 2

? ? x ? 0, ?sin( x) ? 1, 9.已知函数 f ( x) ? ? 的图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 对, 则实数 a 的取值 2 ? log x ( a ? 0 ,且 a ? 1 ) , x ? 0 ? a
范围是 A. (0 , ( ) C. (

3 ) 3

B. (

5 , 1) 5

3 , 1) 3

D. (0 ,

5 ) 5

10.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f (0) ? 0, f ( x) ? f (1 ? x) ? 1, f ( ) ?

x 3

1 f ( x), 且当 0 ? x1 ? x2 ? 1时, 2

1 ) 的值为 ( ) 2014 1 1 1 1 A. B. C. D. 128 64 256 32 1 .D 2. B 3. D 4. D 5. B 6. B 7. C 8. C 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。
有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f (

9.D

10.B

11. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ? BD =_______. 12.已知 p : | 5 x ? 2 |? 3; q :

1 ? 0, 则 ?p是?q 的 x ? 4x ? 5
2

条件.

?x ? 0 ? (k为常数),若z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k = . 13. 已知 x, y满足条件? y ? x ?2 x ? y ? k ? 0 ?
14.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则 15.函数 y ?

an 的最小值为__________. n

1 的图象与函数 y ? 2sin ? x( ?2 ? x ? 4) 的图象所有交点的横坐标之和等于 . x ?1 1 16.在平面上, AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1 , AP ? AB1 ? AB2 .若 OP ? ,则 OA 的取值范围是 2 f (1) 17. 已 知 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, (0 ? 2a ? b),?x ? R, f ( x) ? 0 恒 成 立 , 则 的最小值 f (0) ? f (?1)
为 .

11. 2 15.4

12. 充分不必要 16. (
7 , 2] 2 ? ?

13.-6 17. 3

14.

21 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算过程.
18.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ? (I)求函数 f ( x ) 的值域; (II)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为 间. (I)解: f ( x) ?
? 3 ? 3 1 3 1 1 sin ? x ? cos ? x ? sin ? x ? cos ? x ? (cos ? x ? 1) ? 2 ? sin ? x ? cos ? x ? ? ? ?1 2 2 2 2 2 ? 2 ?

π? π? ? 2 ?x ,x ? R (其中 ? ? 0 ) ? ? sin ? ? x ? ? ? 2cos 6? 6? 2 ?

π ,求函数 y ? f ( x) 的单调增区 2

π? π? π? ? ? ? ? 2sin ? ? x ? ? ? 1 .由 ?1 ≤ sin ? ? x ? ? ≤1 ,得 ?3 ≤ 2sin ? ? x ? ? ? 1 ≤1 , 6? 6? 6? ? ? ?

可知函数 f ( x ) 的值域为 [?31] ,. (II)解:由题设条件及三角函数图象和性质可知, y ? f ( x) 的周期为 π ,又由 ? ? 0 ,得



? ?2.
于是有 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

?

? π ,即得

? ?

π π π π? ? ? 1 ,再由 2kπ ? 2 ≤ 2 x ? 6 ≤ 2kπ ? 2 (k ? Z) ,解得 6?

kπ ?

π π ≤ x ≤ kπ ? (k ? Z) . 6 3

所以 y ? f ( x) 的单调增区间为 ? kπ ?

? ?

π π? ,kπ ? ? (k ? Z) 6 3?

19. (本题 15 分) 在 ?ABC 中, 角 A ,B ,C 对应的边分别是 a ,b ,c .且满足 (2a ? c) cos B ? b cosC ,

sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? ? sin B sin C.(? ? R).
(I)求角 B 的大小; (II)若 ? ? 3 ,求角 C (Ⅲ)如果 ?ABC 为钝角三角形,求 ? 的范围.

解:解: (I)由 (2a ? c) cos B ? b cosC 得, (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC . 1 ? 即2 sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A ? cos B ? ,结合 B ? (0, ? ) ,有 B ? . 2 3 2 2 2 2 2 2 (II)由 sin A ? sin B ? sin C ? ? sin B sin C, (? ? R). 得: a ? b ? c ? ?bc .

? ? b2 ? c 2 ? a 2 ? 3 ,所以 A ? ,于是 C ? . ? ? 6 2 2bc 2 2 2 2 2 b ?c ?a ? ? . (Ⅲ)由(II)知, cos A ? 2bc 2 ? 2? 1 ? 如果角 A 为钝角,即 ? A ? ,则有 ? ? ? 0 ? ?1 ? ? ? 0 . 2 3 2 2 ? 3 ? 如果角 C 为钝角, 0 ? A ? , ? ?1 ? 3 ? ? ? 2. 6 2 2 综上, ? ? (?1,0) ? ( 3,2) .
于是, cos A ? 20. (本题满分 14 分) 如图: 等腰梯形 ABCD ,E 为底 AB 的中点,AD ? DC ? CB ? 折成四棱锥 A ? BCDE ,使 AC ? 6 . (1) 证明:平面 AED ? 平面 BCDE ; (2) 求二面角 E ? AC ? B 的余弦值.
A A D

1 AB ? 2 , 沿 ED 2

E C B B

E C

D

(1)证明:取 ED 的中点为 O ,由题意可得 ?AED 为等边三角形, AO ? 3 , OC ? 3

? AC 2 ? AO2 ? OC 2 , AO ? OC ,又 AO ? ED, ED OC ? O, AO ? 面 ECD ,又 AO ? AED ,
所以平面 AED ? 平面 BCDE ; (2)如图建立空间直角坐标系, EA ? (0,1, 3) , CA ? (? 3,0, 3) , BC ? (0, 2,0) ,设面 EAC 的法 向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,面 BAC 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) 由?

? ? y 1 ? 3z1 ? 0 ?? ? ? ?CA ? m ? 0 ?? 3x1 ? 3z1 ? 0 ? ? EA ? m ? 0
A

z

? x1 ? 3 ? ? ? y1 ? ?3 ? m ? ( 3, ?3, 3) ? ? z1 ? 3
? ? ? 2 y2 ? 0 ? BC ? n ? 0 ?? ? ? ? ?? 3 x2 ? 3 z2 ? 0 ?CA ? n ? 0
B

E C

O

D

y

x

? x2 ? 3 ? ? ? y2 ? 0 ? n ? ( 3,0, 3) ? ? z2 ? 3
cos ? m, n ?? m?n m n ? 10 5

所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为

10 . 5

2 21. (本题满分 15 分) 已知正数数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足:an ? an ? 2S n ? 0 , c n ? an bn,

(1)求数列 {an } 的通项公式;

?cn ?的前n项和Tn 并判断是否存在整数 m、 (2)若 b1 ? 1 求出数列 ,2bn ? bn?1 ? 0(n ? 2, n ? N * ),
M,使得 m ? Tn ? M 对任意正整数 n 恒成立,且 M ? m ? 4 ?说明理由.
2 (1)令 n>1, an ?1 ? an ?1 ? 2Sn ?1 ? 0 ,所以

(an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) ? an ? an ?1 ? 2an ? 0 ? (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 1) ? 0 , ? an ? an ?1 ? 1 ,令 n=1
则 a1 ? a1 ? 2a1 ? 0 ? a1 ? 1. 从而, an ? 1 ? (n ? 1) ? n.
2

1 1 bn 1 ? ,所以 bn ? ( ) n ?1 ,因此 cn ? n( ) n ?1. 2 2 bn -1 2 1 0 1 1 1 n ?1 所以 Tn ? 1( ) ? 2( ) ? ? ? n( ) , 2 2 2 1 1 1 1 Tn ? 1( )1 ? 2( ) 2 ? ? ? n ( ) n, 2 2 2 2 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ? ? ? ( ) n -1 ? n( ) n , 2 2 2 2 1 n 1 n ?1 1 1 1 Tn ? 4[1 ? ( ) ] ? n( ) ? 4 ? 4( ) n ? n( ) n ?1 ? 4 ? (2n ? 4)( ) n . 2 2 2 2 2 1 n ?1 1 n 1 n 从而可得: Tn ? 4. 因为 Tn ?1 ? Tn ? 4 ? (2n ? 6)( ) ? 4 ? (2n ? 4)( ) ? ( ) ( n ? 1) ? 0. 2 2 2 所以 Tn ? T1 ? 1. 故存在整数 M=4,m=0 满足题目要求.
(2)因为 22. (本题满分 14 分)已知函数 h( x) 与函数 f1 ( x), f 2 ( x) 的定义域均相同 . 如果存在实数 m, n 使得

h( x) ? m ? f1 ( x) ? n ? f2 ( x) ,那么称 h( x) 为函数 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数,其中 m, n 称为生成系数.
(1) h( x) 是 f ( x) ? x 2 ? x , g ( x) ? x ? 2 在 R 上生成的二次函数,若 h( x) 为偶函数,求 h( 2) ; (2)已知 h( x) 是 f1 ( x) ? x ( x ? 0),

f 2 ( x) ?

1 ( x ? 0) 的生成函数,两个生成系数均为正数,且函数 x

h( x) 图象的最低点坐标为 (2, 8) i) 求 h( x) 的解析式 ii)已知正实数 x1 , x2 满足 x1 ? x2 ? 1 ,.问是否存在最大的常数 m ,使不等式 h( x1 )h( x2 ) ? m 对满足条
件的任意 x1 , x2 恒成立?如果存在,求出这个 m 的值;如果不存在,请说明理由. (Ⅰ)解:设 h( x) ? m f ( x) ? ng( x) ,则 h( x) ? m( x2 ? x) ? n( x ? 2) ? mx2 ? (m ? n) x ? 2n (m ? 0) , 因为 h( x) 为一个二次函数,且为偶函数, 所以二次函数 h( x) 的对称轴为 y 轴,即 x ? ?

m?n ? 0 ,所以 n ? ?m ,则 h( x) ? mx2 ? 2m ,则 h( 2) ? 0 2m

( 2 ) i ) 由 题 意 , 设 两 个 生 成 系 数 为 正 数 a, b. 则 h( x) ? ax ?

b ( x ? 0) , 由 基 本 不 等 式 得 x

h( x) ? ax ?

b b ? 2 ab ,于是 h( x) 当 x ? 时取得最小值 2 ab .由题意得: x a

? b ?2 ?a ? 2 8 ? ( x ? 0) ,解得 ? ,所以 h( x ) ? 2 x ? ? a x b ? 8 ? ? 2 ab ? 8 ? ii)假设存在最大的常数 m ,使 h( x1 )h( x2 ) ? m 恒成立.
设 u ? h( x1 )h( x2 ) ? 4( x1 ? = 4 x1 x2 ?

4 4 64 x x )( x2 ? ) ? 4 x1 x2 ? ? 16( 1 ? 2 ) x1 x2 x1 x2 x2 x1

2 x2 ? x2 ( x ? x )2 ? 2 x1 x2 64 64 80 ? 16 ? 1 ? 4 x1 x2 ? ? 16 ? 1 2 ? 4 x1 x2 ? ? 32 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1x2

令 t ? x1 x2 ,则 t ? x1x2 ? (

80 x1 ? x2 2 1 1 1 ? 32 , t ? (0, ] . ) ? ,即 t ? (0, ] ,同时 u ? 4t ? 2 4 4 4 t

而 u ? 4t ?

80 1 ? 32 在 t ? (0, ] 上单调递减, 4 t

1 u ? u( ) ? 289 ,故存在最大的常数 m ? 289 4


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