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山西省2015届高三第三次四校联考数学


山西省 2015 届高三第三次四校联考数学(文)试卷
命题:忻州一中 康杰中学 长治二中 临汾一中
(考试 时间 120 分钟 满分 150 分) 一、选择题(5× 12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.设全集为 R,集合 A= x ? R | x 2 ? 4 ,B=

?x | ?1 ? x ? 4?,则 A ? (C R B) ? A. ?? 1,2? 2.已知复数 z ? A. i B. ?? 2,?1? C. ?? 2,?1? D. ?? 2,2?

?

?

1? i (i 为虚数单位 ) ,则 z 的共轭复数是 1? i B. 1 ? i C. ? i

D. 1 ? i

3.若等比数列 {an } 满足 a1 ? a3 ? 20 , a2 ? a4 ? 40 ,则公比 q ? A. 1
2 2

B. 2

C. ?2
2

D. 4

4.若椭圆

1 x y x y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? ? 1 的渐近线方程为 的离心率为 ,则双曲线 2 a 2 b2 a2 b2

A. y ? ?

3 x 2

B. y ? ? 3x

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

x x 5.已知命题 p : ?x ? R, 使 2 ? 3 ;命题 q : ?x ? (0,

?
2

), tan x ? sin x ,下列是真命题的是

A. (?p) ? q B. (?p) ? (?q )

C. p ? (?q)

D. p ? (?q)

6.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. ?

8 3

B.

16 ? 3

C. 8?

D.

64 ? 3

7.在面积为 S 的 ?ABC 内部任取一点 P ,则 ?PBC 的面积大于

S 的概率为 4 1 A. 4

B.

3 4

C.

4 9

D.

9 16

8.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是 A. 2016 B. 2 C.

1 2

D. ? 1

?3x , ( x ? 1), ? 9.已知函数 f ( x) ? ?log x, ( x ? 1), ,则函数 y ? f (1 ? x) 的大致图象是 1 ? ? 3
y O A x y O B x C y O x y O D
0

x

10.在半径为 10 cm 的 球面上有 A, B, C 三点,如果 AB ? 8 3 ,?ACB ? 60 ,则球心 O 到平面 ABC 的 距离为 A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm

11.已知函数 f ( x) ? cos( ?x ? ? ? 值时 x 的集合为 A. ? x x ? k? ?

?
2

)(? ? 0, | ? |?

?
2

) 的部分图象如图所示,则 y ? f ( x ?
y

?
6

) 取得最小

? ?

?

? ,k ? Z? 6 ?

B. ? x x ? k? ?

? ?

?

? ,k ? Z? 3 ?

1

o

? ? ? C. ? x x ? 2k? ? , k ? Z ? 6 ? ?

? ? ? D. ? x x ? 2k? ? , k ? Z ? 3 ? ?

? 3

7? 12

x

12. 已知点 A 是抛物线 x 2 ? 4 y 的对称轴与准线的交点,点 B 为抛物线的焦点, P 在抛物线上且满足

PA ? m PB ,当 m 取 最大值时,点 P 恰好在以 A, B 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为
A.

5 ?1 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 1

D. 5 ? 1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.已知向量 a ? (1, x) , b ? ( x ? 1,2) ,若 a // b ,则 x ? .

? y ? 3x ? 2 y ? 14.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 的最小值是 x ?1 ? 2x ? y ? 8 ?

.

15.设数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 10 , 点 Pn (n, a n ) 对任意的 n ? N ? , 都有向量 Pn Pn?1 ? (1,2) , 则数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 16.已知函数 f ( x) ? ? 围是 . .
?x ? 1 ?3 ( x ? 0) ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? b 有且仅有两个零点,则实数 b 的取值范 2 ? ? x ( x ? 0)

[来源:学科网]

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷纸 的相应位置上) 17.在 ΔABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 4 sin A sin B - 4 cos (1)求角 C 的大小; (2)已知
2

A? B ? 2 ? 2. 2

a sin B ? 4 ,ΔABC 的面积为 8 . 求边长 c 的值. (本小题满分 12 分) sin A

18.如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题(满分 12 分)的得分情况.乙组某个数据 的个位数模糊,记为 x ,已知甲、乙两组的平均成绩相同. (1)求 x 的值,并判断哪组学生成绩更稳定; (2)在甲、乙两组中各抽出一名同学,求这两名同学的得分之和低于 20 分的概率. (本小题满分 12 分) 甲 9 1 9 1 乙

0 8 9 1 x 2 1 (18 题图)

19. 如图,AB 是圆 O 的直径, 点 C 在圆 O 上,矩形 DCBE 所在的平面垂直于圆 O 所在的平面, AB ? 4 ,

BE ? 1 .
(1)证明:平面 ADE ? 平面 ACD ; (2)当三棱锥 C ? ADE 的体积最大时,求点 C 到平面 ADE 的距离.(本小题满分 12 分)

D

C

E

A

? O

B

(19 题图)

20. 已知点 A(1,0) ,点 P 是圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 8 上的任意一点,,线段 PA 的垂直平分线与直线 CP 交 于点 E . (1)求点 E 的轨迹方程; (2)若直线 y ? kx ? m 与点 E 的 轨迹有两个不同的交点 P 和 Q ,且原点 O 总在以 PQ 为直径的圆的 内部,求实数 m 的取值范围.(本小题满分 12 分)

21. 设函数 f ( x ) ? ln x ?

k ,k ?R . x (1) 若曲线 y ? f ( x) 在点 (e, f (e)) 处的切线与直线 x ? 2 ? 0 垂直,求 f ( x) 的单调递减区间和极小值
(其中 e 为自然对数 的底数) ;

(2)若对任意 x1 ? x2 ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 恒成立,求 k 的取值范围. (本小题满分 12 分)

22.如图所示,已知圆 O 外有一点 P ,作圆 O 的切线 PM , M 为切点,过 PM 的中点 N ,作割线 NAB , 交圆于 A 、 B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C ,连接 PB 交圆 O 于点 D ,若 MC ? BC . (1)求证:△ APM ∽△ ABP ; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形.
[来源:Zxxk.Com]

(22 题图)

2015 四校三联文科数学试题答案
一选择题 二填空题 三解答题 17.解: (1)由条件得 4 sin A sin B =2(2 cos 即 4 sin A sin B = 2 cos(A ? B) ? 化简得 cos(A ? B) ? ? ∵0 ? A? B ? ? 又 A? B ?C ?? ∴ ∴
2

1-6 CABADB 13. 2 或 ? 1

7-12DBDCBC 14. 1 15. n
2

16. 0 ? b ?

1 2

A? B ? 1) ? 2 2
………………2 分

2 = 2(cos A cos B ? sin A sin B) ? 2

2 , 2
A? B ?
C=

………………………4 分

? 4

3? 4
………………………6 分 ………………………8 分 ………………………10 分 ………………………12 分 ,

(2)由已知及正弦定理得 b ? 4 ? 1 又 SΔABC=8,C= ∴ ab sin C ? 8 , 得 a ? 4 2 2 4
2 2 2 由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cosC 得 c ? 4 .

18. (1) x甲 ?

8 ? 9 ? 12 ? 10 ? x 9 ? 9 ? 11 ? 11 x乙 ? ? 10, ∴ x ? 1 ……………2 分 ? 10, 4 4 1 2 2 2 2 2 ( 11 - 10) ] ?1 又 S甲 ? [(10 ? 9) ? (10 ? 9) ? (11 ? 10) ? 4 1 5 2 2 2 S乙 ? [(10 ? 8) 2 ? (10 ? 9) 2 ? (11 ? 10) ? ( 12 - 10) ]? ………………4 分 4 2
2 2

∴ S甲 ?S 乙 ∴甲组成绩比乙组稳定。

………………6 分

(2)记甲组 4 名同学为:A1,A2, A3,A4;乙组 4 名同学为:B1,B2,B3,B4;分别从甲乙两组中各 抽取一名同学所有可能的结果为:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4) (A2, B1), (A2,B2), (A2,B3), (A2,B4), (A3,B1), (A3,B2), (A3,B3), (A3,B4), (A4,B1), (A4,B2), (A4,B3), (A4,B4), 共 16 个基本事件,其中得分之和低于 20 分的共 6 个基本事件, ∴ 得分之和低于 20 分的概率是: P ? ………………10 分 …………………12 分 …………………1 分,

6 3 ? . 16 8

19. (1)证明:∵ AB 是直径,∴ BC ? AC 又四边形 DCBE 为矩形, CD ? DE , BC // DE ,∴ DE ? AC ∵ CD ? AC ? C ,∴ DE ? 平面 ACD 又 DE ? 平面 ADE ,∴平面 ADE ? 平面 ACD

…………4 分 ………………6 分

(2)由⑴知 VC ? ADE ? VE ? ACD ?

1 1 1 ? S ?ACD ? DE ? ? ? AC ? CD ? DE 3 3 2
………………………8 分,

?

1 1 1 4 ? AC ? BC ? ? ( AC 2 ? BC 2 ) ? ? AB 2 ? , 6 12 12 3
当且仅当 AC ? BC ? 2 2 时等号成立

……………………9 分,

∴当 AC ? BC ? 2 2 三棱锥 C ? ADE 体积最大为

4 3

……………………10 分,

此时, AD ? 1 ? (2 2 ) ? 3 , S ?ADE ?
2 2

1 ? AD ? DE ? 3 2 2

设点 C 到平面 ADE 的距离为 h ,则 VC ? ADE ?

1 4 ? S ?ADE ? h ? 3 3
………………………12 分

h?

2 2 3

20.解:解: (1)由题意知 EP ? EA , CE ? EP ? 2 2 ,∴ CE ? EA ? 2 2 ? 2 ? CA ,

x2 ? y2 ? 1 ∴E 的轨迹是以 C、A 为焦点的椭圆,其轨迹方程为: 2
(2)设 P( x1, y1 )、Q( x2, y2 ) ,则将直线与椭圆的方程联立得: ? 消去 y,得: (2k ? 1) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0
2 2 2

……………4 分

? y ? kx ? m , 2 2 ?x ? 2 y ? 2

? ? 0, m ? 2k ? 1(*);
2 2

4km 2m 2 ? 2 x1 ? x 2 ? ? 2 , x x 1 ? 2k ? 1 2k 2 ? 1

……………6 分

因为 O 在以 PQ 为直径的圆的内部,故 OP ? OQ ? 0,即x1 x2 ? y1 y2 ? 0, 而 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ?

………7 分

[来源:学科网 ZXXK]

m 2 ? 2k 2 , 2k 2 ? 1
…………………9 分

由 x1 x2 ? y1 y2 ?

2m 2 ? 2 m 2 ? 2k 2 ? ?0 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

2 2k 2 ? 2 , ? m2 ? , 且满足(*)式 得: m ? 3 3
2

M 的取值范围是 (?

6 6 , ) 3 3
1 k ? ( x ? 0) x x2

……………………12 分

21 解: (1)由条件得 f ?( x) ?

……………………2 分

∵曲线 y ? f ( x) 在点 (e, f (e)) 处的切线与直线 x ? 2 ? 0 垂直,∴此切线的斜率为 0

1 k ? ? 0 ,得 k ? e ……………………4 分 e e2 1 e x?e ∴ f ?( x) ? ? 2 = 2 ( x ? 0) ,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? e ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? e . x x x
即 f ?(e) ? 0 ,有
[来源:Z+xx+k.Com]

∴ f ( x) 在(0, e )上单调递减,在( e ,+∞)上单调递增,当 x ? e 时 f ( x) 取得极小值

f (e) ? ln e ?

e ? 2. e
……………………6 分

故 f ( x) 的单调递减区间为(0, e ) ,极小值为 2 .

(2)条件等价于对任意 x1 ? x2 ? 0 , f ( x1 ) ? x1 ? f ( x2 ) ? x2 恒成立,……(*) 设 h( x ) ?

f ( x) ? x ? ln x ?

k ? x ( x ? 0) , x
……………………9 分

∴(*)等价于 h( x) 在(0,+∞)上单调递减. 由 h ?( x) ?

1 k ? ? 1 ? 0 在(0,+∞)上恒成立, ……………………10 分 x x2 1 2 1 2 得 k ? ? x ? x = ? ( x ? ) ? ( x ? 0) 恒成立, 2 4 1 1 1 ∴k ? ( 对 k ? , h ?( x) ? 0 仅在 x ? 时成立), 2 4 4 1 故 k 的取值范围是[ ,+∞). ……………………12 分 4 22.证明:(1)∵ PM 是圆 O 的切线, NAB 是圆 O 的割线, N 是 PM 的中点, PN NA 2 2 ? ∴ MN ? PN ? NA ? NB , ∴ , BN PN 又∵ ?PNA ? ?BNP , ∴△ PNA ∽△ BNP , ∴ ?APN ? ?PBN , 即 ?APM ? ?PBA . ∵ MC ? BC , ∴ ?MAC ? ?BAC , ∴ ?MAP ? ?PAB , ∴△ APM ∽△ ABP . …………………5 分 (2)∵ ?ACD ? ?PBN ,∴ ?ACD ? ?PBN ? ?APN ,即 ?PCD ? ?CPM , ∴ PM // CD , ∵△ APM ∽△ ABP ,∴ ?PMA ? ?BPA , ∵ PM 是圆 O 的切线,∴ ?PMA ? ?MCP , ∴ ?PMA ? ?BPA ? ?MCP ,即 ?DPC ? ?MCP , ∴ MC // PD , ∴四边形 PMCD 是平行四边形. …………………10 分


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