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江苏省南通市通州区2012年暑假补充练习 高二数学单元检测五:三角与向量(刘桥汤建南)


高一数学暑假自主学习单元检测五

三角与向量
命题人:刘桥中学 汤建南
一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分.
1.在 ?ABC 中, B ? 60

, AC ? 3, ,则 ?ABC 周长的最大值为
? c2 ? 2b, ,且



2.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a, b, c ,已知 a

2

sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b ?



3.已知向量 a ? ( x ? 1,3), b ? (3, y) ,若 a ⊥ b ,则 xy 的最大值为



4.已知 a ? 2 , b ? 2 ,| a + b |= 2 3 ,则 a 与 b 的夹角为



5.给出下列命题:

①已知向量 a , b , c 均为单位向量,若 a ? b ? c ? 0,则 a ? b ? ②△ ABC 中,必有 AB ? BC ? CA ? 0; ③四边形 ABCD是平行四边形的充要条件是 AB ? DC ;

1 ; 2

④已知 P 为△ ABC 的外心,若 PA ? PB ? PC ? 0,则△ ABC 为正三角形. 其中正确的命题为 .
6.如下图,在△ ABC中, AB ? BC ? 3 , ?ABC ? 30? , AD 是边 BC 上的高,则 AD ? AC 的值等





7.在△ ABC中, AB ? AC ? 1 , AB ? BC ? ?3 则 AB 边的长度





8.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A?1,0 ? ,B ?3,4 ? ,已知点 C 在 ?AOB的平分线上,且 OC ? 5 ,

则 C 点坐标是



3? ? 9.设锐角△ ABC 的三内角 A , B ,C ,向量 2 x ? y ? 7 ? 0 ,n ? ? sin A, ? ,且 m ? n 则角 A 的 2? ?

大小为



10. 在 ?ABC 中,P 是 BC 边中点, 角 A、 B、 C 的对边分别是 a, b, c , 若c A C a ? P A b P B ? 则 ?ABC 的形状为


? 0,

11.已知点 P 是 △ ABC 所在平面内的一点,且 3PA ? 5PB ? 2PC ? 0 , 设 ?ABC的面积为 S ,则 . ?PAC的面积为 12. 在 ?ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别是 a, b, c , 若 a ? b ? c ? 20 , 三角形的面积为 10 3 ,

?A ? 60 ,则 a ?



13.设 M 是 ?ABC 内一点,且 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30 ,定义 f ( M ) ? (m, n, p),

其中m, n, p分别是?MBC, ?MCA, ?MAB的面积,
1 1 4 f ( M ) ? ( , x, y ), 则 ? 的最小值为 2 x y




14. 设函数 f ?x ? ? x? ? ?
n

?1? ?2?

x

1 ,A0 为坐标原点,A n 为函数 y ? f ? x ? 图象上横坐标为 n (n∈N*) x ?1
?
n

的点, 向量 an ?

? Ak ?1Ak ,向量 i ? (1,0) ,设 ?
k ?1

为向量 a n 与向量 i 的夹角, 满足

? tan?k <
k ?1

n

5 的最大整数 n 是 3



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 设 向 量 m ? ( c o? s

3 ,) ,s ?i n n ? (2 2 ? sin ? , 2 2 ? cos? ) , ? ? (? ? ,?? ) , 若 2

m ? n ? 1,
求: (1) sin(? ?

?
4

) 的值; (2) cos( ? ?

7 ? ) 的值. 12

16. (本题满分 14 分) 已知向量 m ? (sin A, sin B) , n ? (cosB, cos A) , m ? n ? sin 2C ,其中 A 、 B 、 C 为

?ABC 的内角.
(Ⅰ)求角 C 的大小;(Ⅱ)若 sin A , sin C , sin B 成等差数列,且 CA ? ( AB ? AC) ? 18 , 求 AB 的长.

17. (本小题满分 14 分) 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120o . (1)求| OA + OB |; (2) 如图所示, 点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动. 若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R , 求 x ? y 的最大值?

18. (本小题满分 16 分) 如图, 在半径为 3 、 圆心角为 60 的扇形的弧上任取一点 P , 作扇形的内接矩形 PNMQ , 使点 Q 在 OA 上,点 N , M 在 OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为 y . (1)按下列要求写出函数的关系式: ① 设 PN ? x ,将 y 表示成 x 的函数关系式; P ② 设 ?POB ? ? ,将 y 表示成 ? 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出 y 的最大值. B N M O Q A

19. (本小题满分 16 分) 如图,在△ OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一点, OP ? x ? OA ? y ? OB. (1)若 BP ? PA ,求 x , y 的值;

P ?3 P A ,| OA |? 4 ,| OB |? 2 , (2) 若B 且 OA 与 OB 的夹角为 60°时, 求 OP ? AB 的
值.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? x ? b (a,b 均为正常数). (1)求证:函数 f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点; (2)设函数在 x ? ? 处有极值. 3 ①对于一切 x ? ?0,? ? ,不等式 f ( x) ? 2 sin x ? π 恒成立,求 b 的取值范围; ? 4 ? 2? ? ②若函数 f(x)在区间 m ? 1 π,2m ? 1 π 上是单调增函数,求实数 m 的取值范围. 3 3

? ?

?

?

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高二数学暑假自主学习单元检测十二参考答案
一、填空题: 1、 【答案】 2 3 【解析】周长= a ? b ? c ? 3 ? a ? c ,

2 a ? c ? 2 R sin A ? 2 R sin C ? 2 R (sin A ? sin( ? ? A)) 3 ? b 2 ? 2 R sin( A ? ), 其中2R= ? 2, A ? (0, ? ) 6 sinB 3

2、【答案】

【解析】一:在
2



则由正弦定理及余

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 弦定理有: a ? ?3 ? c 化简并整理得: 2ab 2bc

.

又由已知

.解得

.

【解析】二:由余弦定理得:

.又

,

.

所以







,即

由正弦定理得

,故



由①,②解得
1 4

.
?

3、 【答案】

【解析】因为 a ⊥b ,所以 a ? b ? 0 ,则有 (x ?1) ?3 ? 3? y ? 0 ,即 x ? y ?1 .
2

?

? ?

x? y? 又因为 xy ? ? ? ? ? 2 ?

?

1 ,当且仅当 x ? y 时,“=”成立,即当 x ? y ? 1 2 4

时, xy 的最大值为 1 .
4

4、 【答案】
?
?

? 3

【解析】因为 a ? 2 , b ? 2 所以由 (a ? b )2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? 12 可得 a ? b ? 2 ,
a ?b a b 1 ? ? , 故? ? . 2 3

?

?

?

?

?

? ?

?

? ?

设 a 与 b 的夹角为 ? ,又因为| a |=2,| b |=2 则 cos ? ? 5、充分利用向量的知识逐一判断. 【答案】②③④

【解析】命题①错误, a ? b ? ? ;命题②③④都是正确的. 6、 【答案】

1 2

9 3 【解析】因为 AB ? AC ? 3 , ?ABC ? 30? , AD 是边 BC 上的高, AD ? 2 4
2

AD ? AC ? AD ? AC cos ?CAD ? AD

?

9 4

.
2

7、 【答案】2 【解析】因为 AB ? AC ? AB ? ? ? AB ? BC ? ? ? AB
? ?

? 3 ? 1 ,所以 AB ? 2 ,即 AB

边的长度为 2.

OC ? t ? 8、 【答案】 (2,1) 【解析】构造向量 OA? ? ?5,0? ,则 OA? ? OB ,∴ ? OA? ? OB ? ? ? ?8t ,4t ? , ? ?

因为 OC

? 5

,解得 t ? 1 , ?OC ? ?2,1? .
4
3

9、 【答案】 ? 所 1 ? cos 2 A ?
2

【解析】因为 m ? n ,则 ?sin A ? ,即
?

3 cos A sin A ?

?

3 ?0 2

,即 sin 2 A ?

3 sin A cos A ?

3 2

,

3 3 sin 2 A ? 2 2

3 1 ?? ? sin 2 A ? cos 2 A ? 1 ,即 sin? 2 A ? ? ? 1 , 2 2 6? ?

又因为 A 是锐角,则 2 A ? ?

?
2

6

,所以 A ? ? .
3

10、 【答案】 9.

【解析】由题意知





,∴







不共线,∴

,∴

11、 【答案】 S

2

【解析】如图,由 3PA ? 5PB ? 2 PC ? 0 ,则 3? ? PA ? PB ? ? ? ?2? ? PB ? PC ? ? ,则
? ? ? ?

? ? ? PA ? PB ? ? ? PB ? PC ? ? ? ? ? 3? ? ?2 ? ? 2 2

? ? ? PA ? PB ? ? ? PB ? PC ? ? ? ? ? . 设 AB、BC 的中点为 M、N ,PM ? , PN ? ? 2 2

, 即 3PM

? ?2 PN

则点 P 在中位线 MN 上,则 ?PAC 的面积是 ?ABC 的面积的一半.

12、 【答案】7 【解析】

S

ABC

1 ? bc sin A ? 10 3,? bc ? 40 2
2

b2 ? c2 ? a b 2 ? c 2 ? [20 ? (b ? c )]2 又 cos A ? ? 2bc 2bc ?400 ? 40(b ? c) ? 80 1 ? ? ,? b ? c ? 13 80 2 2 2 2 ? a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 2bc(1 ? cos A) 1 ? 132 ? 2 ? 40(1 ? ) ? 49,? a ? 7 2
13、 【答案】18 【解析】本题考查平面向量数量积、三角形面积公式、基本不等式的应用以 及根据新定义的理解。 由 AB ? AC ? 2 3,得 AB AC cos ?BAC ? 2 3,已知?BAC=30 ,得 AB AC =4 所以面积 ?ABC =

1 1 AB AC sin ?BAC ? ? 4 ? sin 30 ? 1,根据题中所给定义 2 2



1 1 1 4 1 4 2 y 8x +x ? y ? S?ABC ? 1? x ? y ? ,? ? ? ( ? )(2 x ? 2 y) ? 2 ? 8 ? ? 2 2 x y x y x y

1 1 ? 10 ? 2 16 ? 18, 当且仅当y ? 2 x, 即x ? , y ? 的时候等号成立。所以最小值为 18. 6 3
14、 【答案】3 【解析】据题意可得
n ? 1 ? ?1? ? An An ?1 ? A0 An ? ? n, n ? ? ? ?, ? ? 2 ? n ?1 ? ? ?

an ? A0 A1 ? A1 A2 ?

1 ?1? 故 tan ? n ? ? 2 ? ? n ? n ? 1? ,因此 ? ?

n

?1? ?1? tan ? k ? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ?2? k ?1
n

2

n 1 ?1? ? 1 ?? ? ?? ? ? ? ? 2 ? ? 1? 2 2 ?3

?

? 1 ? n ? n ?1 ? ? ?

1? 1? ?1 ? n ? 2 2 ? ? 1 1 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 1 ? 2 2 3 1? 2
据题意令 2 ?

1 1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? 2? n ? , n n ?1 ? ? 1 ? n ? 1 ? 2 n ?1 2 n ?1

5 1 1 ? < ,易验证知满足不等式的最大正整数值为 3. n 2 n ?1 3

二、解答题: 15、解: (1)依题意, m ? n ? cos? (2 2 ? sin ? ) ? sin ? (2 2 ? cos? ) ? 2 2(sin ? ? cos? )

? 4sin(? ?

?
4

) 又 m ? n ? 1 sin(? ? 3 2

?
4

)?

1 4

(2)由于 ? ? (? ? ,?? ) ,则 ? ? 结合 sin(? ?

?

5 3 ? ( ? ? ,? ? ) 4 4 4

?
4

)?

1 ? 15 ,可得 cos(? ? ) ? ? 4 4 4

则 cos(? ?

7 1 1 15 1 1 3 3 ? 15 ? ) ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? (? )? ? ? ?? 12 4 3 4 2 4 2 8
………………………(2 分)

16、解:(Ⅰ) m ? n ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin(A ? B)

对于 ?ABC, A ? B ? ? ? C,0 ? C ? ? ? sin( A ? B) ? sin C ,

? m ? n ? sin C.
又? m ? n ? sin 2C ,

………………………(4 分)

? sin 2C ? sin C , cos C ?

1 ? ,C ? . 2 3

………………………(7 分)

, 得2 sin C ? sin A ? sin B , (Ⅱ)由 sin A, sin C, sin B成等差比数列
由正弦定理得 2c ? a ? b. ………………………(9 分)

?CA ? ( AB ? AC) ? 18,?CA ? CB ? 18,
即 ab cosC ? 18, ab ? 36. ……………………(12 分)

由余弦弦定理 c ? a ? b ? 2abcosC ? (a ? b) ? 3ab ,
2 2 2 2

? c 2 ? 4c 2 ? 3 ? 36, c 2 ? 36 ,? c ? 6.
17、解: (1)

…………………(14 分)

| OA + OB |=

?

OA ? OB

?

2

2 2 1 ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? 12 ? 2 ?1?1? (? ) ? 1 ? 1 2

(2)如图所示,建立直角坐标系,则 A(1,0) ,B ? ?

? 1 3? ? 2, 2 ? ? ,C ? cos? ,sin ? ? . ? ?

由 OC ? xOA ? yOB, 得 cos ? ? x ?

y 3 , sin ? ? y. 2 2

即 x ? cos ? ?

3 2 3 ?? ? sin ? , y ? sin ? .则 x ? y ? 3 sin ? ? cos? = 2sin ? ? ? ? 3 3 6? ?

又 ? ? ?0, ? ? ,则 ? ? ? ? , ,故当 ? ? 时, x ? y 的最大值是 2. 3 6 ?6 6 ? ? ? 3 ? 18、解: (1)①因为 ON ? 3 ? x 2 , OM ?

? 2 ?

?

? ? 5? ?

?

3 3 x x , 所以 MN ? 3 ? x 2 ? 3 3

所以 y ? x( 3 ? x ?
2

3 3 x), x ? (0, ) . …………… 4 分 3 2 3 ? 3 sin ? ? sin ? , 3

②因为 PN ? 3 sin ? , ON ? 3 cos? , OM ?

所以 MN ? ON ? OM ? 3 cos? ? sin ? …………… 6 分 所以 y ? 3sin ? ( 3 cos? ? sin ? ) , 即 y ? 3sin ? cos? ? 3sin 2 ? , (? ? (0, (2)选择 y ? 3sin ? cos ? ? 3 sin
2

?
3

)) … …………… 8 分

? 3 ? ? 3 sin(2? ? ) ? , …… 12 分
6 2
) ……………… 13 分 ……

? ? ? (0, )
3
所以 ymax ? 19、解:

? 2? ?

?
6

?(

? 5?
6 , 6

3 .…… ……………………… 14 分 2

BP ? PA , (1)∵

BO ? OP ? PO ? OA ,即 2OP ? OB ? OA , ∴
OP ?


1 1 1 1 OA ? OB x? y? 2 2 2, 2 ,即

BP ? 3PA , (2)∵ BO ? OP ? 3PO ? 3OA ,即 4OP ? OB ? 3OA ∴
OP ?


3 1 OA ? OB 4 4

x?


3 1 y? 4, 4 9分

3 1 OP ? AB ? ( OA ? OB) ? (OB ? OA) 4 4 1 3 1 ? OB ? OB ? OA ? OA ? OA ? OB 4 4 2 1 2 3 2 1 1 ? ? 2 ? ? 4 ? ? 4 ? 2 ? ? ?9 4 4 2 2
20、 【解】 (1)因为 f (0) ? b ? 0 ,
f (a ? b) ? a sin(a ? b) ? (a ? b) ? b ? a ?sin(a ? b) ? 1?≤0 ,

所以函数 f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点. (2) f ?( x) ? a cos x ? 1 . 因为函数在 x ? ? 处有极值,所以 f ? π ? 0 ,即 a cos π ? 1 ? 0 ,所以 a=2. 3 3 3 于是 f ( x) ? 2sin x ? x ? b . ① 2 sin x ? π ? sin x ? cos x , 4

??

? ?

π ? 恒成立. 于是本小题等价于 b ? x ? cos x ? sin x 对一切 x ? ? ?0,2 ? ? ?
记 g ( x) ? x ? cos x ? sin x ,则 g' ( x) ? 1 ? sin x ? cos x ? 1 ? 2 sin x ? π . 4

?

?

π ? ,所以 π ≤x ? π ≤ 3π ,从而 2 ≤sin x ? π ≤1 , 因为 x ? ? ?0,2 ? ? 4 4 4 ? 2 4
0,π ? 上是减函数. 所以 1≤ 2 sin x ? π ≤ 2 ,所以 g' ( x)≤0 ,即 g(x)在 ? ? 4 ? 2? ?

?

?

?

?

所以 ? g ( x)?max ? g (0) ? 1 ,于是 b>1,故 b 的取值范围是 (1,? ?).

② f ?( x) ? 2cos x ? 1 ? 2 cos x ? 1 , 2 由 f ?( x)≥0 得 cos x≥ 1 ,即 ? π ? 2kπ≤x≤ π ? 2kπ,k ? Z. 2 3 3 因为函数 f(x)在区间 m ? 1 π,2m ? 1 π 上是单调增函数, 3 3 所以 m ? 1 π,2m ? 1 π ? ?? π ? 2kπ,π ? 2kπ ?,k ? Z , ? ? 3 3 3 ? 3 ?
? m ? 1 π≥- π ? 2kπ, ? 3 3 ? ? 2m ? 1 π 则有 ? π≤ ? 2kπ, k ? Z, 3 ? 3 m ? 1 2 m ? 1 π, ? π< ? 3 ? 3

?

?

?

?

?

?

?6k≤m≤3k ? 1, k ? Z, 即? ? m ? 0,

只有 k=0 时, 0 ? m≤1 适合,故 m 的取值范围是 ? 0, 1?.


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