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新课标人教A版必修四《三角函数的化简、求值与证明》练习题


三角函数的化简、求值与证明
一、知识回顾 1、三角函数式的化简:(1)常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦,异名 化同名,异角化同角;③ 三角公式的逆用等。(2)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角 函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数 2、三角函数的求值类型有三类:(1)给角求值:一般所给出的角都是非

特殊角,要观察所给 角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题;(2)给 值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”, 如 ? ? ( ? ? ? ) ? ? , 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) 等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的 范围的讨论;(3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所 求角的范围及函数的单调性求得角。 3、三角等式的证明: (1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换, 应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端的化“异”为“同”;(2)三角条件等式的证题思 路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或分析法进行证明。 二、基本训练 5 1、已知 ? 是第三象限角,且 sin 4 ? ? cos 4 ? ? ,那么 sin 2? 等于 ( ) 9 2 2 2 2 2 2 A、 B、 ? C、 D、 ? 3 3 3 3 3 2、函数 y ? ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 的最小正周期 ( ) 2 A、 2? B、 ? C、 3? D、 4? ? ? ? 3、 tan 70 cos10 ( 3 tan 20 ?1) 等于 ( ) A、1 B、2 C、-1 D、-2 4m ? 6 (m ? 4) ,则实数 m 的取值范围是______。 4、已知 sin ? ? 3 cos ? ? 4?m 1 5、设 0 ? ? ? ? ,sin ? ? cos ? ? ,则 cos 2? =_____。 2 ? 4 7? 3 ,则 sin(? ? ) 的值是 6. (山东)已知 cos(? ? ) ? sin ? ? 6 5 6
( A). ? 2 3 5 ( B ). 2 3 5
(C ). ? 4 5 ( D ). 4 5

三、例题分析

1 2 2 . 例 2、设 cos( x ? ? ) ? 3 , 17? ? x ? 7? ,求 sin 2 x ? 2sin x 的值。 例 1、化简: ? ? 4 5 12 4 1 ? tan x 2 tan( ? x) sin 2 ( ? x) 4 4 sin(2? ? ? ) sin ? ? 2 cos(? ? ? ) ? . 例 3、求证: sin ? sin ? 2 例 4、 (浙江卷)已知函数 f(x)=- 3 sin x+sinxcosx. 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?
(Ⅰ) 求 f( 四、作业

? 25? 1 3 )的值; (Ⅱ) 设 ? ∈(0, ? ),f( )= - ,求 sin ? 的值. 2 4 6 2
同步练习 三角函数的化简、求值与证明 ( )
1

? 1 ? 1、已知 sin(? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) 的值等于 4 3 4

三角函数的化简、求值与证明

A、

2 2 3

B、 ?

2 2 3

C、

1 3

D、 ?

1 3

2、已知 tan ? 、 tan ? 是方程 x2 ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根,且 ?、? ? (? A、

? 3

B、 ?

3、化简 (1 ? sin x)[ A、 sin x

? x ? 2 tan( ? )] 为 ? x 4 2 2cos2 ( ? ) 4 2 B、 cos x C、 tan x
3cos x

2? 3

C、

? 2? 或? 3 3

, ) ,则 ? ? ? 等于 2 2 ? 2? D、 ? 或 3 3

? ?

()

( D、 cot x



2sin 2? cos 2 ? ? ? 4、(全国卷) 1 ? cos 2? cos 2?

(A) tan ?

(B)

tan 2?

(C) 1

(D)

3 ? 5、(2010 全国卷 1 理数)已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ? ,则 tan( ? 2? ) ? 5 4 sin 3a 13 ? ,则 tan 2a =______________. 6、(全国卷)设 a 为第四象限的角,若 sin a 5 ? ? 7、(北京卷)已知 tan =2,则 tanα 的值为 ,tan (? ? ) 的值为 4 2 ? 8、已知 tan( ? ? ) ? 3 ,则 sin 2? ? 2cos 2 ? 的值为_______。 4 9、已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B) =__.

1 2

.

10、求证:

1 ? sin ? 1 ? 2sin
2

1 ? tan 2 2 2 sin 2? ? 2sin ? ? ? ? k ( ? ? ? ) ,试用 k 表示 sin ? ? cos ? 的值。 11、已知 1 ? tan ? 4 2 ? ? ( 3 tan12 ? 3) csc12 . 12、求值: 4 cos 2 12? ? 2 3 13、已知 tan ? tan ? ? ,求 (2 ? cos 2? )(2 ? cos 2? ) 的值。 3
14. (2010 北京理数)
已知函数 f (x) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x 。
2

?

?

1 ? tan

? ?
2.

(Ⅰ)求 f ? ( ) 的值;(Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值。

?

3

15(2010 天津理数)已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R) (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及在
区间 ? 0,

6 ?? ? ? ? ?? 上的最大值和最小值;(Ⅱ)若 f ( x0 ) ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值。 ? 5 ?4 2? ? 2?
已知函数 f(x)= cos(

16. (2010 湖北理数)

?

? 1 1 ? x) cos( ? x), g ( x) ? sin 2 x ? 3 3 2 4

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。

三角函数的化简、求值与证明

2

三角函数的化简、求值与证明答案:
基本训练、1、A 2、B 3、D 例 2、 ?
28 75

4、[-1,

7 ] 3

5、 ?

7 6C 4

1 例题、例 1、 cos 2 x 2
? sin

例 3、略

例 4、(Ⅰ)

25? 1 25? 3 ? f ( 25? ) ? ? 3 sin 2 25? ? sin 25? cos 25? ? 0 ? ,cos ? 6 6 6 6 6 2 6 2

(Ⅱ) f ( x) ?

3 3 1 ? 3 1 3 1 3 cos 2 x ? ? sin 2 x ? f ( ) ? cos ? ? sin ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 4 2

16sin 2 ? ? 4 sin ? ? 11 ? 0

解得 sin ? ?
1 7

1? 3 5 8

? ? ? (0, ?) ? s i n ? ? 0 ?s i n a?

1? 3 5 8

作业、DBBB 5. ? 13、3

1 3 6、? 7 4

7、-

8、?

4 5

9、?

2 2

10、略

11、 1 ? k

12、?4 3

14.解:(I) f ( ) ? 2 cos

?

3

2? ? ? 3 9 ? sin 2 ? 4 cos ? ?1 ? ? ? 3 3 3 4 4
=



II



f ( x) ? 2(2cos2 x ?1) ? (1 ? cos2 x) ? 4cos x
因为 cos x ? [?1,1] ,

3cos2 x ? 4cos x ? 1

= 3(cos x ? ) ?
2

2 3

7 , x?R 3

所以,当 cos x ? ?1 时, f ( x ) 取最大值 6;当

cos x ?

2 7 时, f ( x ) 取最小值 ? 3 3

15(1)解:由 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 ,得

f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2 cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

?

? ?

??

? ?? ?? ? ? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 6? ? 6? ?6 2?

?? ? f (0) ? 1, f ? ? ? 2, ?6?

?? ? ? ?? f ? ? ? ?1 ,所以函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2,最小值为-1 ?2? ? 2? ? ?

(Ⅱ)解:由(1)可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ?

??

6 ?? 3 ? ? 又因为 f ( x0 ) ? 5 ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? 6? 5 6? ?

由 x0 ? ?

? ? 2? 7? ? ?? ?? 4 ?? ? ? ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? , ? 从而 cos ? 2 x0 ? ? ? ? 1 ? sin 2 ? 2 x0 ? ? ? ? 6 ? 3 6 ? 6? 6? 5 ?4 2? ? ?
?? ??

所以 cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ?

?? ??

?? ? ? ? ? 3? 4 3 ? ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ?
三角函数的化简、求值与证明 3

三角函数的化简、求值与证明

4


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