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2017版高考数学二轮突破:专题三-三角函数、三角恒等变换与解三角形ppt课件


专题三

三角函数、三角恒等变换与解 三角形

第8讲 三角函数的图像与性质
第9讲 三角恒等变换与解三角形

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第8讲

三角函数的图像与性质

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第8讲 三角函数的图像与性质

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1.[2014· 全国卷改编] 已知角 α 的终边经过点(-4,3), 则 cos α =________. 测试要点:三角函数定义

4 [答案] -5

[解析] 根据题意,cos α=

-4 4 =-5. (-4)2+32

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5 2. [2015· 福建卷改编] 若 sin α =-13, 且 α 为第四象限 角,则 tan α 的值等于________. 测试要点:同角三角函数关系
5 [答案] -12

[解析] 因为 α 为第四象限角, 所以 cos α= sin α 5 tan α=cos α=-12.

12 1-sin2α=13,

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第8讲 三角函数的图像与性质
π 3.[2016· 四川卷改编] 为了得到函数 y=sin(2x- 3 )的 图 像 , 只 需 把 函 数 y = sin 2x 的 图 像 上 所 有 的 点 ________________________. 测试要点:图像变换
[答案]
[解析]

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向右平行移动 6 个单位长度
? π? ? 由题可知,y=sin?2x- ? =sin 3? ? ? ? π? ? 2?x- ? ,则只需把 6? ? ?

π

y=sin 2x 的图像向右平移 6 个单位长度.

π

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4.[2016· 山东卷改编] 函数 f(x)=( 3sin x+cos x)· ( 3cos x-sin x)的最小正周期是________. 测试要点:三角函数的最小正周期

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[答案]

π

[解析] f(x)=2sin xcos x- 3sin2x+ 3cos2x=sin 2x+ 2π 3cos 2x=2sin(2x+ 3 ) ,故 T= 2 =π.

π

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5.[2015· 浙江卷] 函数 f(x)=sin2x+sin xcos x+1 的最小正周 期是____________,单调递减区间是________________. 测试要点:三角函数的性质
[答案] π
?3 ? 7 ? π+kπ, π+kπ?(k∈Z) 8 ?8 ?

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? 1-cos 2x 1 π? 2 3 ? ? [解析] f(x)= +2sin 2x+1= 2 sin?2x- ?+2, 2 4? ? π π 则最小正周期是π.单调递减区间: 2kπ+ 2 ≤2x- 4 ≤ 3π 3π 7π 2kπ+ 2 (k∈Z)?kπ+ 8 ≤x≤kπ+ 8 (k∈Z).

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6 . [2016· 浙江卷 ] 已知 2cos2x + sin 2x = Asin(ωx + φ) + b(A>0),则 A=________,b=________. 测试要点:三角恒等变换、三角函数的图像

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[答案]

2
2

1

π [解析] 2cos x+sin 2x=sin 2x+cos 2x+1= 2sin (2x+ 4 ) +1,故 A= 2,b=1.

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7.[2016· 全国卷Ⅲ] 函数 y=sin x- 3cos x 的图像可由函数

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y=sin x+

3cos x 的图像至少向右平移________个单位长度

得到. 测试要点:三角函数的图像变换

[答案]

2π 3

π [解析] 函数 y=sin x- 3cos x=2sin(x- 3 )的图像可由 π 函数 y=sin x+ 3cos x=2sin(x+ 3 )的图像至少向右平 2π 移 3 个单位长度得到.
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8.[2015· 陕西卷改编] 如图 81 所示,某港口一天 6 时 π 到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin( 6 x+φ) +k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值 为________. 测试要点:三角函数模型的简单应用

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图 81

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[答案]

8

[解析] 据图可知,-3+k=2,得 k=5,所以 ymax=3 +5=8.

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——知识必备 ——

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第8讲 三角函数的图像与性质
? 考点一 诱导公式 三角函数的概念、同角三角函数关系、

题型:选择、填空 分值:5 分 难度:中等 热点: 利用三角函数定义、 同角三角函数关系 和诱导公式求值

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第8讲 三角函数的图像与性质
(1)已知 α 是第二象限角,其终边上的一点为 P(x, 2 5),且 cos α= 4 x,则 tan α=( ) 15 15 15 15 A. 5 B. 3 C.- 5 D.- 3 (2)已知 12sin α-5cos α=13,则 tan α=( ) 5 12 A.-12 B.- 5 12 7 C.± 5 D.±12 例1

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第8讲 三角函数的图像与性质
[答案] (1)D (2)B

[解析] (1)设 O 为坐标原点,因为|OP|= 2 = 4 x,所以 x 2 = 4 x. 2 x +5

x2+5,cos α

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因为 α 是第二象限角,所以 x<0, 即 1 2 = 4 ,解得 x=- 3, 2 x +5

5 5 15 所以 tan α= x = =- 3 . - 3
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12 (2) 12sin α-5cos α=13sin (α-φ) , 其中 cos φ=13,

π 5 sin φ=13,且 0<φ< 2 . 根据已知得,13sin(α-φ)=13,即 sin(α-φ)=1,不
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妨取 α-φ= 2 ,所以 α=φ+ 2 , sin 所以 tan α= cos
? π? ? sin?φ+ ? α cos φ 2? 12 ? ? = = =- 5 . ? ? α π? -sin φ ? cos?φ+ ? 2? ?

π

π

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[小结] 在单位圆中定义的三角函数,当角的顶点在坐标原 点、角的始边在 x 轴的正半轴上时,角的终边与单位圆交 点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值.若 不是在单位圆中定义的三角函数,则只要把角的终边上点 的坐标除以该点到坐标原点的距离,就可转化为单位圆中 定义的三角函数.

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第8讲 三角函数的图像与性质
(1) 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 2π → A(3, 4), 将向量OA绕点 O 按逆时针方向旋转 后得向量→ OB, 3 则点 B 的坐标是( ) 变式题

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图 8-2
? 3 ? A.?- +2 2 ? ? 3 ? C.?- +2 2 ? ? 3 3,-2- 3? ? 2 ? ? 3 3,-2+ 3? ? 2 ?

B.

? 3 ? ?-2-2 ?

? 3 3,-2+ 3? ? 2 ?

D.(-4,3)
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第8讲 三角函数的图像与性质
(2)若

cos 2α
π + 4

? sin? ?α ?

2 ?=-
? ? ?

?π π ? 5 ? ,且 α∈? , ? ?,则 tan 2α = 4 2 5 ? ?

(

) 4 A.- 3 3 B.- 4 3 C. 4 4 D. 3

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第8讲 三角函数的图像与性质
[答案] (1)B (2)B

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→ 与 x 轴正半轴所成的角为 θ,则 sin θ=4, [解析] (1)设OA 5 ? 2π? 3 ? ? cos θ = 5 . 设 点 B ( x , y ) , 则 x = 5cos ?θ+ = 3 ? ? ? ? ?3 ? 2π? 1? 4 3 3? ? ? 5× ? ??-2?- × ? = - 2 - 2 3 , y = 5sin ?θ+ = ? 5 5 2 3 ? ? ? ? ? ? ?4 ? 1? 3 3 3? ? ? ? ? 5× ? -2 + × =-2+2 3. 5 2 ? ? ? ?5

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第8讲 三角函数的图像与性质
cos2α-sin2α 2 5 2 5 (2) 由 =- , 得 =- , ? ? 5 5 π 2 ? (cos α+sin α) sin? α + ? ? 2 4 ? ? 10 2 得 cos α-sin α=- 5 ,两端平方得 1-sin 2α=5,所以 ?π ? 3 4 ? ? sin 2α=5,又 2α∈? ,π?,所以 cos 2α=-5,所以 tan 2 ? 2 ? 3 α=-4. cos 2α

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第8讲 三角函数的图像与性质
? 考点二 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像与解析式

题型:选择、填空 分值:5 分 难度:中等 热点:图像变换、由图像求解析式、根据解析 式确定图像特点

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第8讲 三角函数的图像与性质
考向一 例 2 图像变换 π (1)[2016· 北京卷] 将函数 y=sin(2x- 3 )图像上的点

π P( 4 ,t)向左平移 s(s>0)个单位长度得到点 P′.若 P′位于函数 y= sin 2x 的图像上,则( ) 1 π A.t= ,s 的最小值为 2 6

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3 π B.t= ,s 的最小值为 2 6 1 π C.t= ,s 的最小值为 2 3 3 π D.t= ,s 的最小值为 2 3
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第8讲 三角函数的图像与性质
(2)将函数 f(x)=sin 4x 图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变),再将所得图像向左平移 φ(φ>0)个单位长度,得 到了一个偶函数的图像,则 φ 的最小值为( ) π π π π A.16 B.12 C. 6 D. 4 ? π ? ? (3)将函数 f(x)=sin?2x+ ? ?的图像分别向左、右平移 φ(φ>0)个单 3 ? ? 位,所得图像恰好重合,则 φ 的最小值为( ) π π π 2π A. 4 B. 3 C. 2 D. 3

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[答案] (1)A

(2)D

(3)C

[解析] (1)因为 P( 4 ,t)在函数 y=sin(2x- 3 )的 π π π 1 图像上,所以 t=sin(2× 4 - 3 )=sin 6 =2.因为 s>0,y

π

π

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=sin(2x- 3 )=sin 2(x- 6 ) ,所以函数 y=sin(2x-

π

π

π

3 )图像至少向左平移 6 个单位长度可以得到函数 y=sin

π

2x 的图像,所以 s 的最小值为 6 .
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π

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(2)将 f(x)图像上点的横坐标伸长 2 倍后得 y=sin 2x 的图像,向左平移 φ 个单位长度后得 g(x)=sin 2(x+ φ)=sin(2x+2φ)的图像,由函数 g(x)为偶函数,得 π kπ π 2φ=kπ+ 2 (k∈Z) ,即 φ= 2 + 4 (k∈Z) ,取 k=0, π 得 φ 的最小值为 4 . ? ? ? ? π π ? ? ? (3) 由题意可得 sin?2x+ +2φ?=sin?2x+ -2φ? 整理 ?, 3 3 ? ? ? ? kπ 得 sin 2φ=0,即 φ= 2 ,k∈Z.因为 φ>0,所以 φ 的最小 π 值为 2 .
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第8讲 三角函数的图像与性质

[小结] (1)解决图像变换的问题时,要注意图像变换的先后 顺序,记住图像变换的法则; (2)三角函数为偶函数或奇 函数时,符合一般偶函数或奇函数的性质;(3)若两个正弦 类或者余弦类函数图像重合,则两个函数的变量可以相差 周期的整数倍.

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第8讲 三角函数的图像与性质
考向二 图像与解析式 例3 (1) 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0)的部分图像 如图 83 所示,则 f(x)的解析式可以为( )

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图 8-3
? π ? A.f(x)=3sin?2x- 4 ? ?x 3π ? C.f(x)=3sin? - 4 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? π ? B.f(x)=3sin?2x+ 4 ? ?x 3π ? D.f(x)=3sin? + 4 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ?

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第8讲 三角函数的图像与性质
(2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0)的部分图像如图 84 所 ?11π ? ? 示,则 f? ) ? 24 ?的值为( ? ?

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图 84 6 A.- 2 2 C.- 2 3 B.- 2 D.-1

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第8讲 三角函数的图像与性质
[答案] (1)D (2)D

π 1 1 [解析] (1)显然 A=3,2T= =2π,得 ω=2,则 f(x) ω
?1 ? =3sin?2x+φ?, 由 ? ? ? ? ? π? π ? ? ? f?- ?=3sin?- +φ? 得 ?=3, 2 4 ? ? ? ? ? ? π ? sin?- +φ? ? 4 ? ?

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3π =1,可取 φ= 4 ,所以 f(x)的一个解析式为 f(x)= ?1 3π? ? ? 3sin? x+ . 4 ? ?2 ?

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第8讲 三角函数的图像与性质
?7π? ?7π ? T π ? ? ? ? (2) 显然 A= 2.由 4 = 4 , 得 ω=2.由 f? = 2 sin + φ ? ? 6 ? ? 12 ? ? ? π π π =- 2,0<φ< 2 ,得 φ= 3 +2kπ,k∈Z,不妨取 φ= 3 , ? ?11π? ?11π π? π? ? ? ? ? ? ? 所以 f(x)= 2sin?2x+ ?,所以 f? = 2sin + ? ? 12 3? 3? ? ? 24 ? ? ? 5π π = 2sin 4 =- 2sin 4 =-1.

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第8讲 三角函数的图像与性质

[小结] 由图像求三角函数的解析式时, 先确定最小正周期 和振幅, 再根据函数图像上的特殊点(最好找最高点或最低 点)求出初相.

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第8讲 三角函数的图像与性质
考向三 从解析式到图像 例4 (1)[2016· 全国卷Ⅱ] 若将函数 y=2sin 2x 的图像向左 π 平移12个单位长度,则平移后图像的对称轴为( )

A.x=

kπ π - (k∈Z) 2 6

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π B.x= + (k∈Z) 2 6 π C.x= - (k∈Z) 2 12 π D.x= + (k∈Z) 2 12

kπ kπ kπ

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第8讲 三角函数的图像与性质
π ? (2) 已知函数 f x = sin 2x+φ 0<φ < ? ? 的图像的一个对称中心为 2 ? ? ?3π ? ? ? ? ? ) ? 8 ,0?, 则函数 f?x?的单调递减区间是( ? ? ? 3π π ? ? ? A.?2kπ - (k∈Z) , 2 k π + 8 8? ? ? ? π 5π ? ? ? B. ?2kπ + ,2kπ + (k∈Z) 8 8 ? ? ? ? 3π π ? ? ? C. ?kπ - (k∈Z) , k π + 8 8? ? ? ? π 5π ? ? ? D. ?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 8 8 ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??

?

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[答案] (1)B (2)D
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第8讲 三角函数的图像与性质
[解析] (1) 平移后的图像对应的解析式为 y=2sin 令
? π π? ? ? 2?x+ ?=kπ+ 2 (k∈Z) , 得对称轴方程为 12? ? ? π? ? 2?x+ ? , 12? ? ?

kπ π x= 2 + 6 π φ= 4 ,所

(k∈Z).
?3π? ?3π ? π ? ? ? ? (2)由 f? ?=sin? 4 +φ?=0,0<φ< 2 ,得 ? 8 ? ? ? ? π? ? 以 f(x)=sin?2x+ ? . ? 4? ?

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π π 3π π 由 2kπ+ 2 ≤2x+ 4 ≤2kπ+ 2 (k∈Z) ,解得 kπ+ 8 ≤ 5π x≤kπ+ 8 (k∈Z) ,故 f(x)的单调递减区间是 ? π 5π? ? ? (k∈Z). k π+ , k π+ ? 8 8 ? ? ?
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第8讲 三角函数的图像与性质

[ 小结 ] 正弦类、余弦类函数图像的对称轴均通过其极值 点,在图像没有上下平移的情况下,正弦类、余弦类函数 图像的对称中心的横坐标就是函数的零点.

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第8讲 三角函数的图像与性质
抓不住三角函数图像变换的实质出错 ? π ? ? ? ? 范例 要得到函数 f?x?=sin?3x+ ? 的导函数 f′(x)的图像,只需 3? ? ? 将 f′(x)的图像( ) π A.向右平移 个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍 3 π B.向右平移 个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的 3 倍 6 π C.向左平移 个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的 3 倍 3 π D.向左平移 个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍 6 高考易失分题 7

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第8讲 三角函数的图像与性质
[答案] D

[ 解 析 ] f′ x = 3cos ( 3x + 3 ) = 3sin

? ?

? ?

π

? π π? ? ? 3x + + ? 3 2? ? ?



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? ? π? π? ? ? ? 3sin?3?x+ ?+ ? ,所以只需将 ? 3 6? ? ? ?

f x 的图像向左平移 6 个单 位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍,即可得 f′ (x)的图像.

? ?

? ?

π

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第8讲 三角函数的图像与性质

失分分析 (1)复合函数的导数求解不正确;(2)使用诱导公 式把余弦变换为正弦时出错;(3)用错图像变换法则.

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第8讲 三角函数的图像与性质
高考预测
?sin 2x ? ? ?cos 2x ?a1 (1) 定 义 运 算 ? ?a ? 3

π 的图像向右平移 6 个单位长度后,所得函数图像的一 1 ? ? 个对称轴是( ) 7π A.x= 12 π B.x= 2 5π C.x= 12 π D.x= 3 个单位长度,所得

3? ?

a2? ? = a1a4 - a2a3 , 将 函 数 f(x) = a4? ?

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(2) 若把函数

? π ω x - y = sin ? ? 6 ?

? π ? 的图像向左平移 ? 3 ?

到的图像与函数 y=cos ω x 的图像重合,则 ω 的一个可能取值是 ( A.2 ) B. 3 2 C. 2 3 D. 1 2

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第8讲 三角函数的图像与性质
[答案]

(1)A

(2)A
? π? ? f(x)=2sin?2x- ? ,将 3? ? ?

[解析] (1)由已知得

f(x)的图

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像向右平移 6 个单位长度后得到 ? 2π π 2 ? ? ? 数 y=2sin 2x-3π 的图像的对称轴为 2x- 3 =kπ+ 2 (k ? ? kπ 7π ∈Z) ,即 x= 2 + 12 (k∈Z) ,取 k=0,得图像的一条对 7π 称轴方程为 x= 12 .

π

? 2 ? ? y=2sin 2x-3π?的图像.函 ? ?

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第8讲 三角函数的图像与性质

? π π? ? ? (2)把函数 y=sin?ωx- ?的图像向左平移 3 个单位长度, 6? ? ? ? ? π? πω π? π? ? ? ? ? ? ? 得 y=sin?ω?x+ ?- ?=sin?ωx+ - ?的图像,由题 6 3 6 3 ? ? ? ? ? ?

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πω π π 意知 3 - 6 = 2 +2kπ,k∈Z,解得 ω=2+6k,k∈Z, ω的一个可能取值为 2.

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? 考点三 三角函数的性质

题型:选择、填空、解答 分值:5~12 分 难度:中等 热点:三角函数的性质,特别是单 调性

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例 5 (1)函数 )
?π f(x)=sin? ? 6 ? ? ? -2x?+cos ?

2x 的振幅和最小正周期

分别是(

A.

π 3, 2

B. 3,π

C.

π 2, 2

D. 2,π

(2)已知函数 f(x)=sin ω x-

3cos ω x(ω>0)的图像的两条

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? ? π π ? 相邻对称轴间的距离为 ,则当 x∈?- ,0? ?时,f(x)的最大 2 2 ? ?

值和单调递增区间分别为(
? π ? A.1,?- 2 ?

) π ? ,- ? 12? ?

π ,- 6
? ,0? ? ?

? ? ? ?

? π ? B.1,?- 2 ?

C.

? π ? 3,?- 6 ?

D.

? ? π ? 3,?- ,0? ? 12 ? ?

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第8讲 三角函数的图像与性质

[答案] (1)B

(2)D

[解析] (1)f(x)=sin 3 2 cos 2x - 3 2 sin

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6 cos 2x-cos 6 sin 2x+cos 2x= ? 3 ? 1 ? = 2x = 3 ? 3 cos 2x - sin 2x 2 ? 2 ? 3,最小正周期为π.

π

π

? π? ? cos?2x+ ? ?,故振幅为 6 ? ?

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第8讲 三角函数的图像与性质
? π? ? f(x)=2sin?ωx- ? ?, 3 ? ?

(2)f(x)的最小正周期 T=π,又

? 2π π? ? 所以 = π ,得 ω = 2 ,故 f ( x )= 2sin ?2x- ? ?.当 x∈ 3 ω ? ? ? ? 4π π π π ? ? ?- 2 ,0?时,- 3 ≤2x- 3 ≤- 3 ,故当 ? ?

4π 2x- 3 =- 3 ,

π

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即 x=- 2 时 f(x)取得最大值,故最大值为 3.由- 2 ≤2x - 3 ≤- 3 ,得-12 ≤x≤0,即 f(x )的单调递增区间为
? ? π ? ? - , 0 ? ?. 12 ? ?

π

π

π

π

π

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2π [小结] 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期为? ?,函 ?ω? ? ? 数 g(x)=Atan(ωx+φ)的最小正周期为? ?

π

? ? ?ω?

.当 ω>0 时, 不

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等式 2kπ- 2 ≤ωx+φ≤2kπ+ 2 (k∈Z)的解集为 f(x) =Asin(ωx+φ)的单调递增区间, 其他类型的单调区间可 类比 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的单调区间得出.

π

π

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第8讲 三角函数的图像与性质
变试题 对 (1)已知函数 f x =2sin 2x+φ
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? +1? ??φ ?

? ? ?

π ? ? ? 若 f? ?x?<1 < 2 ?, ? )

? π ? x∈?- 3 ?

?π ? π ? ? ? ? 恒成立, 则 f ,-12? ? 4 ?的最小值是( ? ? ?

A.1

B.2

C.-1

D.-

3+1

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(2)已知函数
? π ? f(x)=cos?4x- 3 ? ? ? 2 + 2cos 2x,将函数 ? ?

y=f(x)的

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图像上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变, π 再将所得函数图像向右平移 6 个单位长度,得到函数 y= g(x)的图像,则函数 y=g(x)的一个单调递增区间为( ) ? ? π π ? π π ? ? ? ? A.?- , ? B.?- , ? 3 6? 4 4? ? ? ? ?π ?π 2π ? 3π ? ? ? ? ? C.? , D. , ? 4 3 ? 4 ? ? 6 ? ? ?

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[答案] (1)B (2)B

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? π π? ? [解析] (1) 由题意知对任意 x∈?- ,- ? , sin (2x+φ) 3 12? ? ? ? ? 2π 2π π ? ? <0 恒成立, 因为 2x+φ∈?- 所以- 3 +φ,- 6 +φ?, 3 ? ? ?π? π π π ? + φ≥ - π 且- 6 + φ≤0 ,即- 3 ≤φ≤ 6 ,所以 f ? ? 4 ?= ? ? ?π ? ?π? π ? ? ? 2sin? +φ?+1=2cos φ+1,故当 φ=- 3 时,f? 最小, ? ? ? 2 ? ? 4 ?

最小值为 2.

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(2)将函数 y=f(x)的图像上所有点的横坐标伸长为原 来的 2 倍, 纵坐标不变, 得
? π? ? 2 y=cos?2x- ? + 2 cos x ? 3 ? ?

的图像,

再将所得函数图像向右平移 6 个单位长度,得 g ( x )= ? ? ? ? 2π? π? 2π? π? ? ? ? ? ? ? ? 2? cos ?2x- + 2 cos = cos + cos + x - 2x - 2x - ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 6? 3 ? 3? ? ? ? ?

π

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1= 3sin 2x+1 的图像,故 g(x)的一个单调递增区间为
? π π? ? ? - , ? ?. 4 4 ? ?

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第8讲 三角函数的图像与性质
? 考点四 三角函数图像与性质的综合应用

题型:选择、填空、解答 分值:5~12 分 难度:中等 热点:三角函数图像和性质的判断 与应用

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第8讲 三角函数的图像与性质
例 6 已知 m=(cos ω x, 3cos(ωx+π )),n=(sin ω x, cos ω x),其中 ω>0,f(x)=m· n,且 f(x)图像的两条相邻对 π 称轴之间的距离为 2 . (1)若
?α f? ? 2 ? ? ? ?=- ?
?

? π ? 3 ? ,α ∈?0, ? ?,求 cos α 的值; 2 4 ? ?
?

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? (2)将函数 y=f? ?x?的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2

π 倍,纵坐标不变,然后向左平移 个单位长度,得到函数 y 6
? ? ? =g? ?x?的图像,求函数 y=g?x?的单调递增区间. ? ? ? ?

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解: f (x) =m· n=cos ωxsin ωx+ 3cos (ωx+π) cos ω x= cos sin 2ωx ω x = - 2

ω xsin

ω x -

3 cos

ω xcos

? 3(cos 2ωx+1) π? 3 ? ? =sin?2ωx- ?- 2 . 2 3? ?

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π ∵f(x)的图像的两条相邻对称轴之间的距离为 2 ,∴最小 ? π? 3 ? ? 正周期 T=π,∴ω=1,∴f(x)=sin?2x- ?- 2 . 3? ? ?α? ? ? π? π? 3 3 3 ? ? ? ? ? ? (1)∵f? ?=sin?α- ?- 2 =- 4 ,∴sin?α- ?= 4 . 3? 3? ? 2 ? ? ? ? ? π ? π? π? π? 3 ? ? ? ? ? ∵α∈?0, ?,sin?α- ?= 4 ,∴α- 3 ∈?0, ? ?, 2 3 6 ? ? ? ? ? ?
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? π? 13 ? ? ∴cos?α- ?= 4 , 3? ? ? π π? ? ∴cos α=cos ?α- + ? = 3 3? ? ?

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13-3 13 1 3 3 . 4 ?2- 4 ? 2 = 8 ? π? 3 ? (2)f(x)的图像经过变换可得 g(x)=sin?x- ? - 的 ? 2 6 ? ? 图像, π π π π 令- 2 +2kπ≤x- 6 ≤ 2 +2kπ, k∈Z, 解得- 3 +2kπ≤ 2π x≤ 3 +2kπ,k∈Z, ? ? π 2π ? ? ∴ g ( x )的单调递增区间是 ?- +2kπ, + 2 k π ?,k∈ 3 3 ? ? Z.
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第8讲 三角函数的图像与性质

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[ 小结 ] 解三角函数综合问题的第一步是变换给出的关于 三 角 函 数 的 解 析 式 , 一 般 把 其 化 为 正 弦 型 函 数 f(x) = Asin(ωx+φ)+k, 再结合其他条件确定 A, ω, φ, k 的值, 得出函数解析式,其他问题可以利用正弦函数 y=sin x 的 图像与性质解决.

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选题理由: 下面各题从侧面考查了三角函数的图像与性质 及其应用.

例 1 (配例 1 使用)[2016· 江苏卷] 定义在区间[0,3π] 上的函数 y=sin 2x 的图像与 y=cos x 的图像的交点个数 是 .

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[解析] 7 方法一:令 sin 2x=cos x,即 2sin xcos x=cos x, 1 解得 cos x=0 或 sin x=2, 5 即 x=kπ+ 2 或 x=2kπ+ 6 或 x=2kπ+6π (k∈Z) , 又 π 3π 5π π 5π 13π 17π x∈[0, 3π], 故 x= 2 , 2 , 2 或 x= 6 , 6 , 6 , 6 , 共 7 个解,故两个函数的图像有 7 个交点.

π

π

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第8讲 三角函数的图像与性质

方法二: 在同一个坐标系内画出这两个函数的图像, 由图像 可得交点有 7 个.

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第8讲 三角函数的图像与性质
例 2 (配例 5 使用)[2016· 全国卷Ⅰ] 已知函数 f(x)=sin π π π (ωx+φ) (ω>0,|φ |≤ 2 ) ,x=- 4 为 f(x)的零点,x= 4 π 5π 为 y=f(x)图像的对称轴,且 f(x)在(18, 36 )单调,则 ω 的最大值为( ) A.11 B.9 C.7 D.5

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第8讲 三角函数的图像与性质
π π [解析] B 由已知可得- 4 ω +φ=kπ ,k∈Z, 4 ω +φ=m π π π π +2, m∈Z, 两式相加, 得 2φ= (k+m) π + 2 .因为|φ|≤ 2 , π 所以 k+m=0 或 k+m=-1,即 φ=±4 ,两式相减得 ω=2 (m-k)+1,即 ω 为正奇数. π 5π 因为函数 f(x)在区间(18, 36 )单调,所以只要该区间位 5π π 1 于函数 f (x) 图像的两条相邻对称轴之间即可, 且 36 -18≤2 2π × ,即 ω≤12. ω
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第8讲 三角函数的图像与性质
π π π π (1)当 φ= 4 时,f(x)=sin(ωx+ 4 ) ,则 kπ - 2 ≤18ω π 5π π π 36k-27 + 4 且 36 ω + 4 ≤ k π + 2 , k ∈ Z , 解 得 ≤ω ≤ 2 36k+9 .由于ω ≤12,故 k 最大取 1,此时 4.5≤ω≤9,此时 ω 5 的最大值为 9. π π π π (2)当 φ=- 4 时,f(x)=sin(ωx- 4 ) ,则 kπ - 2 ≤18 π 5π π π 36k-9 ω - 4 且 36 ω - 4 ≤ k π + 2 , k ∈ Z ,解得 ≤ω ≤ 2 36k+27 27 .由于 ω≤12,故 k 最大取 0,此时 ω≤ 5 ,此时 ω 的 5 最大值为 5.综上可知,ω 的最大值为 9.
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第8讲 三角函数的图像与性质
例 3 (配例 6 使用) [2016· 天津卷] 已知函数 ( f x) =4tan x· sin π π ( 2 -x)cos(x- 3 )- 3. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; π π (2)讨论 f(x)在区间[- 4 , 4 ]上的单调性.

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第8讲 三角函数的图像与性质
π 解: (1)f(x)的定义域为{x|x≠ 2 +kπ ,k∈Z}. π π f(x)=4tan xcos xcos(x- 3 )- 3=4sin xcos(x- 3 ) 1 3 - 3=4sin x(2cos x+ 2 sin x)- 3=2sin xcos x+2 3 sin2x- 3=sin 2x+ 3 (1-cos 2x) - 3=sin 2x- 3cos 2x π =2sin(2x- 3 ) , 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π .

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第8讲 三角函数的图像与性质
π π (2) 令 z=2x- 3 , 函数 y=2sin z 的单调递增区间是[- 2 + π 2kπ , 2 +2kπ ],k∈Z. π π π π 5π 由- 2 +2kπ ≤2x- 3 ≤ 2 +2kπ ,得-12+kπ ≤x≤ 12 + kπ ,k∈Z. π π π 5π 设 A=[- 4 , 4 ],B={x|-12+kπ ≤x≤ 12 +kπ ,k∈Z}, π π 易知 A∩B=[-12, 4 ]. π π π π 所以当 x∈[- 4 , 4 ]时,f(x)在区间[-12, 4 ]上单调递增, π π 在区间[- 4 ,-12)上单调递减.
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第9讲

三角恒等变换与解三角 形

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
1.[2016· 四川卷] cos 8 -sin 8 =________. 测试要点:二倍角余弦公式
2 2
2
2π 2π

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[答案]

2 [解析] 由题可知,cos 8 -sin 8 =cos 4 = 2 .
2

π

π

π

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1 2. [2015· 江苏卷] 已知 tan α =-2, tan(α+β)=7, 则 tan β 的值为________. 测试要点:差角正切公式、角变换技巧
[答案] 3

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[解析] 因为 β=(α+β)-α,所以 tan β=tan[(α+β) 1 tan(α+β)-tan α 7+2 -α]= = 2=3. 1+tan(α+β)tan α 1-7

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
3.[2016· 天津卷改编] 在△ABC 中,若 AB= 13,BC= 3,∠C=120°,则 AC=________. 测试要点:余弦定理解三角形、方程思想
[答案] 1

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x2+9-13 [解析] 设 AC=x,由余弦定理得 cos 120°= = 2· x· 3 1 -2,则 x2-4=-3x?x2+3x-4=0,解得 x=1 或 x=- 4(舍) ,∴AC=1.

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4.[2016· 全国卷Ⅱ] △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别 4 5 为 a, b, c, 若 cos A=5, cos C=13, a=1, 则 b=________. 测试要点:同角三角函数关系、和角正弦公式、正弦定 理
21 [答案] 13 4 5 [解析] ∵cos A=5, cos C=13, 且 A, C 为三角形的内角, 3 12 ∴sin A=5,sin C=13, 63 ∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=65. b a 21 由正弦定理得sin B=sin A,解得 b=13.
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第9讲 三角恒等变换与解三角形
5.[2015· 北京卷] 在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 sin 2A sin C =________. 测试要点:余弦定理的综合运用
[答案] 1

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b2+c2-a2 52+62-42 3 [ 解析 ] 根据题意, cos A = = =4.因 2bc 2?5?6 7 1-cos2A= 4 .同理可求 sin C= 3 7 sin 2A 2sin Acos A ,所以 =1. 8 sin C = sin C 为 0<A<π,所以 sin A=
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π 3 6.[2016· 全国卷Ⅱ改编] 若 cos( 4 -α)=5,则 sin 2α = ________. 测试要点:二倍角余弦公式的应用、诱导公式
7 -25

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[答案]

π 3 [解析] ∵cos( 4 -α)=5,∴sin 2α=cos( 2 -2α)= π 7 2 2cos ( 4 -α)-1=-25.

π

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π 7.[2016· 全国卷Ⅲ改编] 在△ABC 中,B= 4 ,BC 边上的高 1 等于3BC,则 cos A=________. 测试要点:余弦定理解三角形
[答案] 10 - 10

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[解析] 如图所示,作 AD⊥BC 交 BC 于点 D,设 BC=3, 则 AD=BD=1,AB= 2,AC= 5.由余弦定理得 32= 10 ( 2)+ ( 5)-2× 2× 5×cos A, 解得 cos A=- 10 .
2 2

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π 4 8.[2016· 江苏卷改编] 在△ABC 中,cos B=5,C= 4 , π 则 cos(A- 6 )=________. 测试要点:同角三角函数关系、差角余弦公式

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[答案]

7 2- 6 20

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
4 [解析] 因为 cos B=5,0<B<π,所以 sin B= 1-cos2B= 4 2 3 1-(5) =5.在△ABC 中,A+B+C=π,所以 A=π -(B+C) ,于是 cos A=-cos(B+C)=-cos(B+ 4 ) π π 4 3 =-cos Bcos 4 +sin Bsin 4 ,又 cos B=5,sin B=5,故 cos 4 2 3 2 2 A =- 5 ? 2 + 5 ? 2 =- 10 . 因为 0<A< π ,所以 sin A = π π 7 2 2 1-cos A = 10 ,因此 cos ( A - 6 )= cos Acos 6 + sin π 2 3 7 2 1 7 2- 6 Asin 6 =- 10 ? 2 + 10 ?2= . 20
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π

第9讲 三角恒等变换与解三角形

——知识必备 ——

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第9讲 三角恒等变换与解三角形

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
? 考点一 三角恒等变换

题型:选择、填空 分值:5 分 难度:中等 热点:利用三角恒等变换公式求值

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
例1 2sin 47°- 3sin 17° (1) =( cos 17° )

A.- 3 C. 3

B.-1

D.1

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3 (2)[2016·全国卷Ⅲ] 若 tan α= ,则 cos2α+2sin 2 4 α=( 64 A. 25 ) 48 B. 25 16 D. 25

C.1

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
[答案] (1)D (2)A

2sin(17°+30°)- 3sin 17° [解析] (1)原式= = cos 17° cos 17°+ 3sin 17°- 3sin 17° =1. cos 17°

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2 cos α+4sin αcos α 1+4tan α 2 (2) cos α+2sin 2α= = cos2α+sin2α 1+tan2α

3 1+4× 4 64 = ?3?2=25. 1+?4? ? ?
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第9讲 三角恒等变换与解三角形

[小结] 三角函数求值时常用的基本公式有: 三角函数定义、 同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公 式、二倍角公式.要特别注意二倍角余弦公式的升降幂作 用.

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
π π 2 x 变式题 (1)已知 x∈ 0,π , sin( 3 -x)=cos (2+ 4 ), 则 tan x 等于 ( )
? ? ? ? ? ?

1 A. 2

B.-2

2 C. 2
?π ? ? 6 ?

D. 2
3 sin α =

(2) 已 知 tan

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α? - ? = 6 , 则 cos α + 2? ?

________.
[答案] 70 (1)D (2)- 37

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
[解析] (1)由 sin
? π? ? 1+cos?x+ ? 2? ? ? ?π ? ? π? ? ? ? 2?x = cos - x + ? 3 ? ?2 ?,得 4 ? ? ? ? ?π ? ? sin? -x? ?= 3 ? ?

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3 1 1 1 ,即 cos x - sin x = 2 2 2 2-2sin x,所以 cos x 3 6 = 3 ,又 x∈(0,π) ,所以 sin x= 1-cos2x= 3 ,所以 sin x tan x=cos x= 2.

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
?π α? ? ? 2 tan - ? 6 ?π ? 2? 12 ? ? ? ? (2)tan? -α?= =- . ? ? 35 3 π ? ? α? 1-tan2? - ? 6 2? ? ?

因为

?π α? ? tan? - ? =6>0, 所以 2? ? 6 ?

α π kπ< 6 - 2 <kπ+ 2(k∈Z) ,

π

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π 则 2kπ< 3 -α<2kπ+π(k∈Z) , ?π ? π ? ? 又 tan? -α?<0,所以 3 -α 为第二象限角, ? 3 ? 所以 cos α+ 3sin 70 37.
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?π ? ? α=2cos? 3 -α? ?=-2× ? ?

35 =- 352+122

第9讲 三角恒等变换与解三角形
?

考点二

正、余弦定理在解三角形中的应用

题型:选择、填空、解答 分值:5~12 分 难度:中等 热点:解三角形,与不等式等结合的最值问题

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
考向一 求解三角形中的角

例 2 [2016· 浙江卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的 边分别为 a,b,c,已知 b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; a2 (2)若△ABC 的面积 S= 4 ,求角 A 的大小.

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
解: (1)证明:由正弦定理得 sin B+sin C=2sin Acos B, 故 2sin Acos B=sin B+sin ( A +B ) =sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是 sin B=sin(A-B). 又 A,B∈(0,π) ,故 0<A-B<π, 所以 B=π-(A-B)或 B=A-B, 因此 A=π(舍去)或 A=2B,所以 A=2B. a2 1 a2 (2)由 S= 4 ,得2absin C= 4 ,

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
1 故有 sin Bsin C=2sin 2B=sin Bcos B, 由 sin B≠0,得 sin C=cos B. 又 B,C∈(0,π) ,所以 C= 2 ±B. 当 B+C= 2 时,A= 2 ;

π

π π

π π

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当 C-B= 2 时,A= 4 . 综上,A= 2 或 A= 4 .

π

π

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第9讲 三角恒等变换与解三角形

[小结] 求解三角形中的角,关键是利用正弦定理或余弦定 理求得 sin A=m 或 cos A=m(其中|m|≤1),再根据角的范围 求出对应的角的大小.解题时要注意利用三角形内角和定 理,即 A+B+C=π.

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
变式题 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,且 2bcos C+c=2a. (1)求角 B 的大小; 1 c (2)若 cos A= ,求 的值. 7 a

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
解: (1)方法一: (正弦定理转化法)由 2bcos C+c=2a 及正弦定理,得 2sin Bcos C+sin C=2sin A, 因为 A+B+C=π, 所以 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 所以 2sin Bcos C+sin C=2(sin Bcos C+cos Bsin C) , 即 sin C=2cos Bsin C.

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1 因为 0<C<π,所以 sin C≠0,所以 cos B= . 2 因为 0<B<π,所以 B=

π
3

.

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
方法二: (余弦定理转化法)由 2bcos C+c=2a 及余弦定 a2+b2-c2 理,得 +c=2a,即 a2+c2-b2=ac. a a +c -b 1 由余弦定理,得 cos B= = , 2ac 2 又 0<B<π,所以 B=
2 2 2

π
3

.

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1 4 3 (2)在△ABC 中,B= ,cos A= ,所以 sin A= , 3 7 7 因为 sin C=sin (A+B) =sin c sin C 5 所以 = = . a sin A 8
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π

5 3 Acos B+cos Asin B= , 14

第9讲 三角恒等变换与解三角形
? 考向二 求解三角形的边与面积

例 3 已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 1 (1)若 = 且(2-cos C)sin A=cos B+ ,求角 C cos A cos B 2
2 2

a

b

的大小;

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π (2)若△ABC 为锐角三角形,且 A= ,a=2,求△ABC 面 4 积的取值范围.

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
a b 解: (1) 由cos A=cos B及正弦定理可得 sin Acos B-cos Asin B=0,即 sin(A-B)=0, ∵A,B∈(0,π) ,∴A=B, π C 1 ∴A=B= 2 - 2 .又(2-cos C)sin2A=cos2B+2, 1+cos C 1 2C 2C ∴(2-cos C)cos 2 =sin 2 +2,即 (2-cos C)= 2 1-cos C 1 +2, 2 ∴(2-cos C)cos C=0. 又 2-cos C≠0,∴cos C=0,又 C 是三角形的内角, ∴C= 2 .
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π

第9讲 三角恒等变换与解三角形
a b c (2) ∵sin A=sin B=sin C=2 2, ∴b=2 2sin B, c=2 2sin 1 C,∴△ABC 的面积 S=2bcsin A=2 2sin Bsin C=2 2sin ?3π ? ? π? ? ? ? ? Bsin? = 2 sin +1.∵△ABC 为锐角三角形, - B 2B - ? ? 4? ? 4 ? ? ? π π ? ? 3π ?0<C< 2 , ?0< 4 -B< 2 , π π ∴? 即? 解得 4 <B< 2 , ?0<B<π, ?0<B<π, 2 2 ? ? ? π π 3π π? 2 ? ∴ 4 <2B- 4 < 4 ,∴ 2 <sin?2B- ? ?≤1, 4 ? ? ∴2<S≤ 2+1,即△ABC 面积的取值范围是(2, 2+1].
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第9讲 三角恒等变换与解三角形

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[小结] (1)正弦定理、余弦定理与三角形面积公式的综合考 查是高考命题的趋势, 解题时要综合分析其中的数量关系, 得出方程(组), 通过解方程(组)求得目标值. (2)解三角形中 的范围问题的基本方法:①把求解目标化为三角形某个内 角的三角函数,利用三角函数的性质得出目标的范围;② 利用基本不等式求解.

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
考向三 变换的综合 例 4 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,且满足(2b-a)·cos C=c·cos A. (1)求角 C 的大小; 解三角形与三角函数性质、 三角恒等

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(2)设 y=-4

A 3sin +2sin(C-B),求 y 的最大值并判断 2
2

当 y 取得最大值时△ABC 的形状.

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第9讲 三角恒等变换与解三角形

解: (1) 由正弦定理得, (2sin B-sin A) · cos C=sin C? cos A, 即 2sin Bcos C=sin Acos C+sin Ccos A=sin (A+C) =sin B, 1 又 sin B≠0,∴cos C=2,

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∵C∈(0,π) ,∴C= 3 .

π

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
A (2)y=-4 3sin2 2 +2sin(C-B) =-2 3(1-cos
? π? ? A)+2sin?A- ? 3? ? ?

=-2 3(1-cos A)+sin A- 3cos A =sin A+ 3cos A-2 3
? π? ? =2sin?A+ ? ?-2 3, 3 ? ? ? ? π ? 2π ? ? ? ?π ? 由 A∈?0, 得, A + ∈ , π ? ? 3 ?,当 3 3 ? ? ? ?

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A= 6 时,y 取

π

得最大值 2-2 3,此时△ABC 为直角三角形.

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第9讲 三角恒等变换与解三角形

[小结] 利用解三角形知识求出三角形中的部分元素, 结合 三角函数性质、三角恒等变换公式等解决问题.

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
?

考点三

正、余弦定理的实际应用

题型:选择、填空 分值:12 分 难度:中等 热点:解平面图形中的相关问 题、实际问题中解三角形

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
如图 9?1 所示,某海洋观测船开始位于灯塔 B 的北 ? ? ? π ? 2?π ? ? 偏东 θ ?0<θ < ?方向的 A 处, 且 2sin ? +θ ? ?- 3cos 2θ = 2 4 ? ? ? ? 1, 例5

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图 9?1 补给站 D 在灯塔 B 的正东方向, 且 AB=AD.在接到上级命令后, 该观测船从 A 点出发沿 AD 方向开往 D 点补充物资,之后沿 BD 方向行驶一段距离投放浮标 C,已知该观测船从接到命令后行 驶的距离为 8 km,浮标 C 与 A 点的距离为 4 (1)求 θ 的值; (2)求浮标 C 到补给站 D 的距离.
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3 km.

第9讲 三角恒等变换与解三角形
解: ( 1 )根据题意知, 2sin
2?

?π ? ? + θ ? 4 ?- ? ?

3 cos 2 θ= [1 - 2θ=

?π ? ? cos? +2θ? ?]- 3cos 2θ=(1+sin 2θ)- 3cos 2 ? ? ? π π? ? ? 2sin?2θ- ?+1=1,所以 2θ- 3 =kπ,k∈Z, 3? ?

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kπ π π π 所以 θ= 2 + 6 ,k∈Z,又 0<θ< 2 ,所以 θ= 6 .

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
π (2)由(1)得∠ABC= 3 ,由 AB=AD,知△ABD 是正 三角形,所以 AB=AD=BD, 所以 AD+DC=BD+DC=BC=8 km. AC BC 在△ABC 中,由正弦定理得, = , π sin∠BAC sin 3 4 3 8 所以 = ,所以 sin∠BAC=1,所以∠BAC= π sin∠BAC sin 3 π 2. 在直角三角形 ABC 中,可得 AB=4 km,所以 CD=4 km, 即浮标 C 到补给站 D 的距离为 4 km.
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第9讲 三角恒等变换与解三角形

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[小结] (1)解三角形的实际应用有两类:一类是求解平面图 形中的几何元素;一类是在具有实际背景的问题中抽象出 平面图形后求解其中的几何元素. (2)解三角形问题的关键 是把求解目标纳入一个可解三角形(满足正弦定理、 余弦定 理解三角形的条件)中,利用正弦定理、余弦定理求解.

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
变式题 如图 9?2 所示,正三角形 ABC 的边长为 2, D,E,F 分别在三边 AB,BC 和 CA 上,且 D 为 AB 的中点, 3 ∠EDF=90°, ∠BDE=θ (0°<θ <90°). 当 tan∠DEF= 2 时,求 θ 的大小;

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图 9?2

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
BDsin 60° 解:在△BDE 中,由正弦定理得 DE= = sin(120°-θ) 3 . 2sin(60°+θ) ADsin 60° 在 △ADF 中 , 由 正 弦 定 理 得 DF = = sin(30°+θ)

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3 . 2sin(30°+θ) sin(60°+θ) 3 3 由 tan∠DEF= 2 , 得 = 2 , 整理得 tan θ sin(30°+θ) = 3, 所以 θ=60°.
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—— 教师备用例题 ——
选题理由: 解三角形的考查往往是综合性的, 下面各例突出 该点,可在相应考点、考向选用.
例 1(配例 2 使用)[2016· 北京卷] 在△ABC 中,a2+c2=b2 + 2ac. (1)求∠B 的大小; (2)求 2cos A+cos C 的最大值.

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
解: (1)由余弦定理及题设得 a2+c2-b2 2ac 2 cos B= = 2ac = 2 . 2ac π 又因为 0<∠B<π ,所以∠B= 4 . 3π (2)由(1)知∠A+∠C= 4 . 3π 2 2cos A+cos C= 2cos A+cos ( 4 -A ) = 2cos A- 2 cos A π 2 2 2 + 2 sin A= 2 cos A+ 2 sin A=cos(A- 4 ). 3π 因为 0<∠A< 4 , π 所以当∠A= 4 时, 2cos A+cos C 取得最大值 1.
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例2 (配例 2、 例 3 使用) [2016· 四川卷] 在△ABC 中, 角 A, cos A cos B sin C B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a + b = c . (1)证明:sin Asin B=sin C; 6 2 2 2 (2)若 b +c -a =5bc,求 tan B.

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第9讲 三角恒等变换与解三角形
a b c 解: (1)证明:根据正弦定理,可设sin A=sin B=sin C=k (k>0) , 则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C, cos A cos B sin C 代入 a + b = c 中,有 cos A cos B sin C ksin A+ksin B=ksin C,变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B). 在△ABC 中,由 A+B+C=π ,有 sin(A+B)=sin(π -C)=sin C, 所以 sin Asin B=sin C.

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6 (2)由 b +c -a =5bc 及余弦定理,得 b2+c2-a2 3 cos A= =5, 2bc 4 所以 sin A= 1-cos2A=5. 由(1)知,sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 4 4 3 所以5sin B=5cos B+5sin B, sin B 故 tan B=cos B=4.
2 2 2

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例 3(配例 4 使用)[2016· 山东卷] 在△ABC 中,角 A,B, tan A C 的对边分别为 a, b, c, 已知 2 (tan A+tan B) =cos B+ tan B cos A. (1)证明:a+b=2c; (2)求 cos C 的最小值.

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sin A sin B sin A 解: (1)证明:由题意知 2(cos A+cos B)=cos Acos B+ sin B cos Acos B, 化简得 2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即 2sin(A+B)=sin A+sin B. 因为 A+B+C=π , 所以 sin(A+B)=sin(π -C)=sin C, 从而 sin A+sin B=2sin C. 由正弦定理得 a+b=2c.

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a+b (2)由(1)知 c= 2 , a+b 2 a2+b2-c2 a +b -( 2 ) 所以 cos C= = = 2ab 2ab 3 a b 1 1 8(b+ a )-4≥2, 当且仅当 a=b 时,等号成立. 1 故 cos C 的最小值为2.
2 2

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例 4(配例 4 使用)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别 是 a,b,c,且(a2+b2-c2)sin A=ab(sin C+2sin B) , a=1. (1)求角 A 的大小; (2)求△ABC 的周长的取值范围.

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解: (1)由(a2+b2-c2)sin A=ab(sin C+2sin B)及余 弦定理可得 2abcos Csin A=ab(sin C+2sin B) , 即 2cos Csin A=sin C+2sin(A+C) , 化简得 sin C(1+2cos A)=0. 1 因为 sin C≠0,所以 cos A=-2, 2π 又 A∈(0,π ) ,所以 A= 3 . 2π (2)因为 A= 3 ,a=1,所以由正弦定理可得 asin B 2 3 2 3 b= sin A = 3 sin B,c= 3 sin C,

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2 3 2 3 所以△ABC 的周长 l=a+b+c=1+ 3 sin B+ 3 sin C= ?π ?? 2 3? ? ? ? 1+ 3 ?sin B+sin? -B? ??= ? ? 3 ?? ? 2 3?1 3 1+ 3 ? sin B+ cos B?= 2 2 ? ? ? π ? 2 3 ? 1+ 3 sin?B+ ? . 3? ? ? ? ?π π π ? 2π ? ? ? ? ? 因为 B∈?0, ?,所以 B+ 3 ∈? , ?, 3 3 3 ? ? ? ? ? ? 3 ? π ? ? ? 则 sin?B+ ?∈? ,1?, 2 3 ? ? ? ? ? ? π ? 2 3 2 3? ? ? ?. 则 l=1+ 3 sin?B+ ?∈?2,1+ 3 ? 3? ? ?
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