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银川一中2013届高三年级第二次月考数学(理)


银川一中 2013 届高三年级第二次月考
数 学 试 卷(理)
2012.09

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.满足{a} ? M ? {a, b, c, d}的集合 M 共有 (
?



A.6 个

B.7 个

C.8 个 )

D.15 个

2.下列各组函数是同一函数的是( ① f (x) ?
3

?2 x 与 g ( x) ? x ?2 x ;
0

② f (x) ? x 与 g (x) ?
2

x ;
2

2

③ f (x) ? x 与 g ( x) ? A. ①②

1 x
0



④ f ( x ) ? x ? 2 x ? 1 与 g (t ) ? t ? 2 t ? 1 。 C. ③④ )
a ?a a ?a

B. ①③

D. ①④

3.下列各命题中,不正确的是(

A.若 f ( x ) 是连续的奇函数,则 ? B.若 f ( x ) 是连续的偶函数,则 ?

f ( x)dx ? 0 f ( x)dx ? 2 ? f ( x)dx
0 b a

C.若 f ( x ) 在 [ a, b ] 上连续且恒正,则 ? f ( x ) d x ? 0
a

D.若 f ( x ) 在 [ a, b ] 上连续,且 ? f ( x ) d x ? 0 ,则 f ( x ) 在 [ a, b ] 上恒正
a

b

4.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是偶函数,对 x ? R 都 有 f ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ),当 f ( ? 3 ) ? ? 2 时, f ( 2007 ) 的值为( A.2 B.-2 C.4 ) D.-4
1 2

5.已知扇形的周长是 3cm,面积是 A. 1 B. 1 或 4
2

cm ,则扇形的中心角的弧度数是( C. 4 ) B.最小正周期为 2 π 的偶函数 D. 最小正周期为 π 的偶函数
?
4 , 0 ) 处的切线的斜率为(
2 2

2



D. 2 或 4

6. y ? (sin x ? cos x ) ? 1 是( A. 最小正周期为 2 π 的奇函数 C. 最小正周期为 π 的奇函数 7.曲线 y ? A. ?
1 2 sin x sin x ? co s x ? 1 2

在点 M (
1 2


2 2

B.

C. ?

D.

8. ? ABC 的三边长分别为 a , b , c ,若 b cos C ? c cos B ? a sin A ,则△ABC 是(
1



A.直角三角形

B.等腰三角形
3

C.等腰直角三角形
2

D.无法确定

9.若 a>0,b>0,且函数 f ( x ) ? 4 x ? ax ? 2 bx ? 2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等 于( A.2 ) B.3 C.6
?
2

D.9 )的图象如图所示, )

10.函数 f ( x ) ? sin( ? x ? ? ) (其中 | ? |?

为了得到 y ? sin ? x 的图象,只需把 y ? f ( x ) 的图象上所有点( A. 向左平移 C. 向左平移
?
12

个单位长度 个单位长度

B. 向右平移 D. 向右平移

?
12

个单位长度 个单位长度

?
6

?
6

?1, x ? 0 ? 11. 已知函数 f ( x ) ? ? 1 , 则使方程 x ? f ( x ) ? m 有解的实数 m 的取值范围是 ( ? ,x ? 0 ?x



A. (1,2)

B. ( ? ? , ? 2 ]

C. ( ? ? ,1) ? (2, ? ? )

D. ( ? ? ,1] ? [ 2, ? ? )

12.已知 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时不等式 f ? x ? ? xf ' ? x ? ? 0 成立, 若 a ? 3 0 .3 ? f ? 3 0 .3 ? ,
a , b

, b ? lo g ? 3 ? f ? lo g ? 3 ? , c ? lo g 3 1 ? f ? lo g 3 1 ? , 则 ? ?
9 ? 9?

大 , 小关系是( c

) C. a ? c ? b D. b ? c ? a

A. b ? a ? c

B. a ? b ? c

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.由直线 x ?
1 2 , x ? 2 ,曲线 y ? 1 x

及 x 轴所围图形的面积为
? 6



14.设 f(sin?+cos?)=sin??cos?,则 f(sin 15.若在△ABC 中, ? A ? 6 0 , b ? 1, S ? A B C ?
0

)的值为______。
3, 则
a?b?c sin A ? sin B ? sin C

=_______。

16.已知下列命题: ①函数 y ? sin ? ? 2 x ?
? ?

? ?

? 5? ? ? ?k ? Z ? . ,? k? ? ? 的单调增区间是 ? ? k ? ? 3 ? 12 12 ? ? ?

②要得到函数 y ? cos( x ? 动
?
3

?
6

) 的图象,需把函数 y ? sin x 的图象上所有点向左平行移

个单位长度.

2

③ 已 知 函 数 f ( x ) ? 2 co s x ? 2 a co s x ? 3 , 当 a ? ? 2 时 , 函 数 f ( x ) 的 最 小 值 为
2

g (a ) ? 5 ? 2a .

④ y ? sin wx ( w ? 0 ) 在[0,1]上至少出现了 100 次最小值,则 w ? 其中正确命题的序号是____. 三、解答题(要求写出必要的计算步骤和思维过程。 ) 17. (本小题满分 12 分) 计算: tan 70 cos 10 ( 3 tan 20 ? 1)
0 0 0

399 2

? .

18. (本小题满分 12 分) 如图,在河的对岸可以看到两个目标物 M,N,但不能到达, 在河岸边选取相距 40 米的两个目标物 P,Q 两点,测得
? ? M P N ? 75 , ? N P Q ? 4 5 , ? M Q P ? 30 , ? M Q N ? 4 5 ,

?

?

?

试求两个目标物M,N之间的距离. 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 轴间的距离为
? 4
3 s i( ? - x) c o s? x ? c o s ? x ? n ? ?
2

1 2

(? ? 0 ) 的图象的两相邻对称

.

(1)求 ? 值; (2)若 cos x ?
1 2 , x ? (0, ? ) ,且 f ( x ) ? m 有且仅有一个实根,求实数 m 的值.

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? (log
2

x ? 2 )(log

4

x?

1 2

).

(1)当 x∈[2,4]时.求该函数的值域; (2)若 f ( x ) ? m log
2

x 对于 x ? [ 4 ,16 ] 恒成立,求 m 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 (Ⅰ)若 x
f ( x ) ? ln ( 1 2 ? 1 2 ax ) ? x ? ax
2

( a 为常数, a

?0

).

?

1 2

是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值;
a ?2

(Ⅱ)求证:当 0 ?

时, f ( x ) 在 [

1 2

, ?? )

上是增函数;
1

(Ⅲ)若对任意的 a ? (1,2) ,总存在 x 0 ? [ ,1] ,使不等式 f ( x 0 ) ? m (1 ? a 2 ) 成立,求 .. .. 2 实数 m 的取范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时
3

用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的 延长线交于 E 点,且 EC=ED. (I)证明:CD//AB; (II)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG, 证明:A,B,G,F 四点共圆. 23. (本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为
? x ? 3co s ? ? (?为参数) ? ? y ? sin ? ?


?
2

(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴 正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 24. (本小题满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 ? x ? 5 . (I)证明: ? 3 ? f ( x ) ? 3 ; (II)求不等式 f ( x ) ? x ? 8 x ? 15 的解集.
2

银川一中 2013 届高三第二次月考数学(理科)参考答案
一、选择题:BCDBB CBADD AD 二、填空题 (13)2ln2 (14) 3 8

(15)

2 39 3

(16)②③④

三、解答题 17 题: (本题满分 12 分) 解:原式=
cos 20 sin 20
0 0

cos 10 (

0

3 sin 20

0

? cos 20
0

0

)?

cos 20 cos 10 ( ? 2 sin 10 )
0 0 0

cos 20

sin 20 cos 20

0

0

? ?1

18 题: (本题满分 12 分)

4

19 题: (本题满分 12 分) 解: (1) f ( x ) ?
T ? 3 sin wx cos wx ? cos
2

wx ?

1 2

? sin( 2 wx ?

?
6

)

?
2

,? w ? 2 ,? f ( x ) ? sin( 4 x ?

?
6

)

(2)易知 x ? ( 0 ,

?
3

] ,? 4 x ?

?
6

? (?

?
6

,

7?

? ? 1 ? ] ,? f ? 4 x ? ? ? [ ? ,1] ? m ? 1 6 ? 2 6 ?

20 题: (本题满分 12 分) 解: (1) f ( x ) ? ( 2 log 此时, y ? ( 2 t ? 2 )( t ?
2

4

x ? 2 )(log
2

4

x?

1 2

) , 令 t ? log 1 8
1 t

4

x , x ? [ 2 , 4 ]时, t ? [

1 2

,1]

1 2

) ? 2 t ? 3 t ? 1 ,? y ? [ ?

,0 ]
? 3 对 t ? [1, 2 ]恒成立 ,

(2)即 2 t ? 3 t ? 1 ? mt 对 t ? [1, 2 ]恒成立, ? m ? 2 t ? 易知 g ( t ) ? 2 t ?
1 t

? 3 在 t ? [1, 2 ]上单调递增, ? g ( t ) min ? g (1) ? 0 ,? m ? 0 .

21 题: (本小题满分 12 分)

5

22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解:

6

(I)因为 EC=ED,所以∠EDC=∠ECD. 因为 A,B,C,D 四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA, 所以 CD//AB. …………5 分 (II)由(I)知,AE=BE,因为 EF=FG,故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC. 连结 AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE, 又 CD//AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180° . 故 A,B,G,F 四点共圆 …………10 分 23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
P (4,

?

解: (I)把极坐标系下的点

) 2 化为直角坐标,得 P(0,4) 。

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上, (II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 co s ? , sin ? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为
2 co s(? ? ? 2

?
6

d ?

|

3 co s ? ? sin ? ? 4 | 2

)?4 ? 2 co s(? ?

?
6

)?2 2



co s(? ?

?
6

) ? ?1

由此得,当

时,d 取得最小值,且最小值为 2 .

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
? ? 3, ? f ( x ) ? | x ? 2 | ? | x ? 5 |? ? 2 x ? 7 , ? 3, ? 解: ) x ? 2, 2 ? x ? 5, x ? 5.

当 2 ? x ? 5时 , ? 3 ? 2 x ? 7 ? 3. (II)由(I)可知,

所以 ? 3 ? f ( x ) ? 3 .

………………5 分

当 x ? 2时 , f ( x ) ? x ? 8 x ? 15 的解集为空集;
2
2 当 2 ? x ? 5时 , f ( x ) ? x ? 8 x ? 1 5的 解 集 为{ x | 5 ?

3 ? x ? 5}



当 x ? 5时 , f ( x ) ? x ? 8 x ? 15的 解 集 为{ x | 5 ? x ? 6} .
2
2 综上,不等式 f ( x ) ? x ? 8 x ? 15的 解 集 为{ x | 5 ?

3 ? x ? 6} .

…………10 分

7

8


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