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江西省德兴市第一中学2015-2016学年高一数学下学期第一次月考试题(1-4班)


德兴一中 2015-2016 学年下学期第一次月考 高一年级数学试卷(1—4 班)
共计 150 分, 时间 120 分钟 一、选择题:本题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项中只有一项是正 确的. 1.如果 θ =7rad,那么角 θ 所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.直线 y=-1 与

y=tan x 的图像的相邻两个交点的距离是( ) π A. B.π C.2π D.与 a 的值的大小有关 2 → → → → → → → → 3.已知向量 a , b 满足 a · b =0,| a |=1,| b |=2,则|2 a - b |=( ) A.0 B.2 2 C.4 D.8 3 4.满足 cosα cosβ = -sinα sinβ 的一组 α ,β 的值是( ) 2 13 3π π π A.α = π ,β = B.α = ,β = 12 4 2 6 π π π π C.α = ,β = D.α = ,β = 2 3 3 4 sinα +cosα 1 5.若 = ,则 sin ? cosα =( ) sinα -cosα 2 3 3 2 2 A.- B. C.- D. 10 10 5 5 6.tan19°+tan41°+ 3tan19°tan41°的值为( A.- 3 B. 3 C.3 ) D. 3 3 ( )

7.已知函数 f ( x ) ? ?

?sin x, sin x ? cos x, 则下面结论中正确的是 ?cos x, sin x ? cos x,
B. f ( x) 的值域是 [?1,1]

A. f ( x ) 是奇函数

C. f ( x) 是偶函数

D. f ( x) 的值域是 [ ?

2 ,1] 2
P B

A N

1 8. 如图,在 ?ABC 中, AN ? NC , P 是 BN 上的一点, 3 2 AC ,则实数 m 的值为( 若 AP ? m AB ? ) 11

C

A.

9 11

B. 5

11

C. 2

11

D. 3

11

9. 已知函数 y ? sin A.6

?x 在区间 ?0,t? 上至少取得 2 次最大值,则正整数t 的最小值是( 3
B.7 C.8 D.9

)

1

10.设 f ( x) ? a cos x ? b sin x 的一条对称轴方程为 x ? A.(

?

,则 y ? f ( ? x) 的一个对称中心为( ) 5 10 D.(

?

?
5

,0)

B.(

2? ,0) 5

C. (

3? ,0) 5

4? ,0) 5

) x ? R) (x ? 2) ? f(x ) , 且 x ? - 1, 11. 若 函 数 y ? f(x( 满足 f 1 时 , f(x ) ? x , 函 数

?

?

?sin?x, x ? 0 ? g(x ) ? ? 1 (x ) ? f(x ) ? g(x ) 在区间 - 5, ,则函数 h 5 上零点的个数为( ? ,x ? 0 ? ? x

?

?



? ? ?? ? ? 1 ? ? a ? b ? ( a b , a b ) m ? (2, ), n ? ( , 0) , 12 .设 a ? (a1 , a2 ), b ? (b 定义一种向量 。已知 , b ) 1 1 2 2 1 2 2 3 ???? ?? ??? ? ? 点 P( x, y ) 在 y ? sin x 的图像上运动,点 Q 在 y ? f ( x) 的图像上运动且满足 OQ ? m ? OP ? n(其
中 O 为坐标原点)则 y ? f ( x) 的最大值 A 及最小正周期 T 分别为( A.2, ? B.2, 4? C. )

A.7

B.8

C.9

D.10

1 ,? 2

D.

1 , 4? 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13 .一个半径 为 R 的扇形,若它的周长等于它所在圆的周长的一半,则扇形圆心角的大 小 为 rad。 14、已知函数 f ( x ) ? 2cos (

x ) ? 4 ,则 f (2) ? f (4) ? f (6) ? ? ? f (20) ? 。 4 ??? ? ??? ? ??? ? ? 15.已知 P 为 ?ABC 内一点, PA ? 2PB ? 3PC ? 0 则 S?PAB : S?PBC : S?PAC ? 。 ? 16.关于函数 f ( x) ? 3cos(2 x ? )( x ? R ) ,下列命题中正确的是 。 6 ①由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 且 x1 ? x2 ,可得 x1 ? x2 必是 ? 的整数倍;② y ? f ( x) 的图像关于点 ? ? ( , 0) 对 称 ; ③ y ? f ( x) 的 图 像 关 于 直 线 x ? 对 称 ; ④ y ? f ( x) 的 表 达 式 可 以 改 写 成 6 3 ? ? ? y ? 3sin(2 x ? ) ;⑤ y ? f ( x) 在区间 [ ? , ? ] 上是增加的。 3 3 6
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
π ? (k∈Z), 17.(10 分)已知角 α 的终边经过点 P(-3cos ? ,4cos ? ),其中 ? ? ? ? 2kπ ? , 2kπ ? π ? ? 2 ?

?

(1)求角 α 的正弦函数值及余弦函数值;
3π ? ? sin(? ? π)cos(2π ? ? )sin ? ?? ? ? 2 ? 的值。 ? (2)求 cos(π ? ? )sin(π ? ? )

2

18.(12 分)已知 OA ? a, OB ? b ,且 a ? b ? 4 , ?AOB ? 60 ,
0

??? ?

? ??? ?

?

?

?

求:① 3a ? 2b ; ② a ? b 与 a 的夹角。

?

?

? ?

?

→ → → → → → → → → 19.(12 分)设 a =(-1,1), b =(x,3), c =(5,y), d =(8,6),且 b ∥ d ,(4 a + d )⊥ c .

→ → (1)求 b 和 c ;
→ → (2)求 c 在 a 方向上的射影; → → → (3)求 λ 1 和 λ 2,使 c =λ 1 a +λ 2 b .

20.(12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(x ? ? ) ( A ? 0,0 ? ? ? ? ) , x ? R 的最大值是 1,其图像经过 点

?π 1? M ? , ?. ? 3 2?
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ? , ? ? (

?
2

,? ),且 f(? ?

2? 3 ? 12 ) ? ,f(? ? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 3 5 3 13

3

π 21.(12 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ),x∈R(其中 A>0,ω >0,0<φ < )的周期为 π ,且图像 2 2π 上一个最低点为 M( ,-2). 3 (1)求 f(x)的解析式; π (2)当 x∈[0, ]时,求 f(x)的最大值和最小值. 12

22.(12 分)已知函数

f ( x) ? ? sin 2 x ? 2a sin x ? 5

(1)若 x ? R ,有 1 ? f ( x) ? 8 ,求 a 的取值范围; (2)当 f ( x) ? 0 有实数解时,求的 a 取值范围。

4

德兴一中 2015-2016 学年下学期第一次月考 高一年级数学试卷参考答案(1—4 班) 一、选择题:本题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 C 5 A 6 B 7 C 8 D 9 C 10 B 11 C 12 D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. ? ? 2 14、38 1 5.3:1:2 16. ②⑤ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 π ? 17.(10 分)解:(1)∵θ ∈ ? ? 2kπ ? , 2kπ ? π ? (k∈Z), 2 ? ? ∴cos θ <0.又 x=-3cosθ ,y=4cosθ , ∴r= x2 ? y 2 = (-3cos? )2 ? (4cos? )2 =-5 cos θ . ∴sin α =- 4 ,cos α = 3 5 5 (2 )f(α )= (-sin? )cos? (-cos? ) =-cos α =- 3 (-cos? )sin? 5 18.(12 分)解: (1) 4 7 (2) 30 ? …………………6 分 …………………12 分 .…………………2 分 ..…………………4 分 …………………5 分

.…………………10 分

19.(12 分)解:(1)∵b∥d,∴6x-24=0.∴x=4 ∵4a+d =(4,10) ∵(4a+d )⊥c,∴5 ×4+10y=0.∴y=-2 ∴b=(4,3),c=(5,-2). a·c (2)cos<a,c>= |a|·|c| = -5-2 7 58 =- , 58 2· 29

7 ∴c 在 a 方向上的射影为|c|cos<a,c>=- 2 2 (3)∵c=λ 1a+λ 2b,
? ?5=-λ 1+4λ ∴? ? ?-2=λ 1+3λ
2 2

..…………………8 分



23 3 解得 λ 1=- ,λ 2= 7 7 20.(12 分)解: (1)由已知:A=1, ? ?

..…………………12 分

?
2

5

(x ) ? cos x …………………………………………………4 分 则f
(2)?

? 2? 2? 3 ? ? 12 ? ?,? ? ?,f( ? ? ) ? cos (? ? ) ? ? 0,f( ? - ) ? cos (? - ) ? ?0 2 3 3 5 3 3 13

?

3? 2? 5? 2? 4 ? ? ? ? ,sin(? ? ) ? - ……………………………. 6 分 2 3 3 3 5



?
6

? ? -

?
3

?

?
2

,sin(? -

?
3

)?

5 ……………………………………8 分 13

? 2? ? ? 16 ? f(? - ? ) ? -cos( ? ? ? 3 )-(? - 3 ) ? ? - 65 …………………….. 12? ? ?
21.(12 分)解析: (1)由最低点为 M?

?2π ,-2?,得 A=2; ……………1 分 ? ? 3 ?

2π 2π 由周期 T=π ,得 ω = = =2. ………………….3 分 T π ?2π ,-2?在图像上,得 2sin?4π +φ ?=-2, 由点 M? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ?4π +φ ?=-1,所以4π +φ =2kπ -π (k∈Z), 即 sin? ? 3 2 ? 3 ? 11π π ? π? 故 φ =2kπ - (k∈Z),又 φ ∈?0, ?,所以 φ = . 2 6 6 ? ? π ? ? 所以函数解析式为 f(x)=2sin?2x+ ?. ………………….6 分 6? ? π ?π π ? ? π? ( 2)因为 x∈?0, ?,所以 2x+ ∈? , ?,………………….8 分 6 ?6 3? ? 12? π π 所以当 2x+ = ,即 x=0 时,函数 f(x)取得最小值 1; ………………….10 分 6 6 π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,函数 f(x)取得最大值 3. ………………….12 分 6 3 12 22.(12 分)解: (1)设 t ? sin x , 则设 y ? f ? x ? ? g (t ) ? ?t ? 2at ? 5
2

t ???1,1? 其对称轴为 t ? a 。…………………. 1 分

① a ? 1 时,函数在 t ? ? ?1,1? 上单调递增,所以函数值域为 ?4 ? 2a,4 ? 2a? 。

3 ? 3 ? 4 ? 2a ? 1 ? a ? 因此有 ? 2 ?1? a ? 2 ? ? 4 ? 2a ? 8 ? a ? 2

………………….2 分

6

? ? g (a) ? 8 ? ? 3 ? a ? 3 ? 3 ? ② ?1 ? a ? 1 时,有 ? g (1) ? 1 ? a ? ? ,所以此时函数恒成立。 …… …….4 分 2 ? 3 ? g (?1) ? 1 ? a ? ? ? 2
3 ? 3 ? 4 ? 2a ? 1 ? a ? ? ③ a ? ?1 时,函数在 t ? ? ?1,1? 上单调递减,有 ? 2 ? ? ? a ? ?1 2 ? ?4 ? 2a ? 8 ? a ? ?2
综上所述: ?

3 3 ?a? 2 2

………………….6 分

(2)① a ? 1 时,函数在 t ? ? ?1,1? 上单调递增, 因此有 ?

?4 ? 2a ? 0 ? a ? 2 ?a?2 ?4 ? 2a ? 0 ? a ? ?2

……….8 分

② ?1 ? a ? 1 时,有 , ?

? f (a) ? 0 ? a ? R 所以此时无解。……….10 分 ? f (1) ? 0或f (?1) ? 0 ? a ? 2或a ? ?2
?4 ? 2a ? 0 ? a ? ?2 ? a ? ?2 ?4 ? 2a ? 0 ? a ? 2
………………….12 分

③ a ? ?1 时,函数在 t ? ? ?1,1? 上单调递 减,有 ? 综上所述: a ? 2或a ? ?2

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