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湖南省郴州市2017届高考数学三模试卷(理科)+Word版含解析


湖南省郴州市 2017 届高考数学三模试卷(理科)(解析版)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个 选项中,有且只有一项符合题目要求. 1.已知集合 A={0,1,2,3,4},B={x|x2﹣2x>0},则 A∩B=( A.(2,4] B.[2,4] C.{0,3,4} D.{3,4} 2.设 z=1﹣i(i 是虚数单位),若复数 量 A.1 的模是( B. ) C. D.2 在复平面内对应的向量为 ,则向 )

3.《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著,其中有这样一段表述:“远看巍巍 塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”,其意大致为:有一七层宝塔,每 层悬挂的红灯数为上一层的两倍,共有 381 盏灯,则塔从上至下的第三层有 ( )盏灯. D.10 )

A.14 B.12 C.8

4.运行如图所示的程序,若输入 x 的值为 256,则输出的 y 值是(

A.

B.﹣3 C.3

D.

5.某地市高三理科学生有 15000 名,在一次调研测试中,数学成绩 ξ 服从正态 分布 N(100,?2),已知 p(80<ξ≤100)=0.35,若按成绩分层抽样的方式取 100 份试卷进行分析,则应从 120 分以上的试卷中抽取( )

A.5 份 B.10 份 6.已知函数 f(x)= A. B. C.

C.15 份

D.20 份 的概率为( )

sinx+3cosx,当 x∈[0,π]时,f(x)≥ D.

7.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 为 A1D1 的中点,Q 为 A1B1 上任意一点,E,F 为 CD 上任意两点,且 EF 的长为定值,则下面的四个值中不 为定值的是( )

A.点 Q 到平面 PEF 的距离 B.直线 PE 与平面 QEF 所成的角 C.三棱锥 P﹣QEF 的体积 D.二面角 P﹣EF﹣Q 的大小 ,同时椭圆 C 上存在 )

8.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

一点与右焦点关于直线 x+y﹣1=0 对称,则椭圆 C 的方程为( A. B.

C.

D.

9.已知函数 f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0),f'(x)是 f(x)的导函数,若 f(α) =0,f'(α)>0,且 f(x)在区间[α, ( ) B.(0,3] C.(2,3] D.(2,+∞) +α)上没有最小值,则 ω 取值范围是

A.(0,2)

10.如图,在边长为 4 的长方形 ABCD 中,动圆 Q 的半径为 1,圆心 Q 在线段 BC(含端点)上运动,P 是圆 Q 上及内部的动点,设向量 为实数),则 m+n 的取值范围是( ) =m +n (m,n

A.

B.

C.

D. )

11.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为(

A. 12.已知函数

B.

C.4π D. ,若存在 k 使得函数 f(x)的值 )

域为[0,2],则实数 a 的取值范围是( A.

B.(0,1] C.[0,1] D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A, B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 14.已知 数为 . , = ,对平面内的任意一点 M,平面内 . +n﹣3 且 .

的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中含 x 的系

15.在直角三角形△ABC 中, 有一点 D 使得 ,则

16.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N+,Sn=(﹣1)nan+

(t﹣an+1)(t﹣an)<0 恒成立,则实数 t 的取值范围是



三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程. 17.(12 分)如图,在△ABC 中,∠B=30°,AC= (1)求△ABC 面积的最大值; (2)若 CD=2,△ACD 的面积为 2,∠ACD 为锐角,求 BC 的长. 18.(12 分)2017 年郴州市两会召开前夕,某网站推出两会热点大型调查,调 查数据表明, 民生问题时百姓最为关心的热点,参与调查者中关注此问题的约占 80%,现从参与者中随机选出 200 人,并将这 200 人按年龄分组:第 1 组[15, 25),第 2 组[25,35),第 3 组[35,45),第 4 组[45,55),第 5 组[55, 65),得到的频率分布直方图如图所示. (1)求出频率分布直方图中的 a 值,并求出这 200 的平均年龄; (2)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组用分层抽样的方法抽取 12 人,再从这 12 人中随机抽取 3 人赠送礼品,求抽取的 3 人中至少有 1 人的年龄在第 3 组的 概率; (3)若要从所有参与调查的人(人数很多)中随机选出 3 人,记关注民生问题 的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望. ,D 是边 AB 上一点.

19.(12 分)如图,C 是以 AB 为直径的圆 O 上异于 A,B 的点,平面 PAC⊥平 面 ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,F 分别是 PC,PB 的中点,记平面 AEF 与平面 ABC 的交线为直线 l. (Ⅰ)求证:直线 l⊥平面 PAC; (Ⅱ)直线 l 上是否存在点 Q,使直线 PQ 分别与平面 AEF、直线 EF 所成的角互

余?若存在,求出|AQ|的值;若不存在,请说明理由.

20.(12 分)已知抛物线 E:y2=8x,圆 M:(x﹣2)2+y2=4,点 N 为抛物线 E 上的动点,O 为坐标原点,线段 ON 的中点 P 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)点 Q(x0,y0)(x0≥5)是曲线 C 上的点,过点 Q 作圆 M 的两条切线,分 别与 x 轴交于 A,B 两点,求△QAB 面积的最小值. 21.(12 分)已知函数 f(x)=ax2﹣(2a﹣1)x﹣lnx. (1)当 a>0 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)当 a<0 时,求函数 f(x)在 上的最小值;

(3)记函数 y=f(x)的图象为曲线 C,设点 A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线 C 上的不同两点,点 M 为线段 AB 的中点,过点 M 作 x 轴的垂直交曲线 C 于点 N, 判断曲线 C 在点 N 处的切线是否平行于直线 AB,并说明理由.

[选修 4-4:参数方程与极坐标系] 22.(10 分)在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C 的参数方程为 (θ

为参数),直线 l 的参数方程为 轴的正半轴为极轴的极坐标系.

(t 为参数)以坐标原点 O 为极点,x

(1)写出直线 l 的普通方程以及曲线 C 的极坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 的两个交点分别为 M,N,直线 l 与 x 轴的交点为 P,求 |PM|?|PN|的值.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.在平面直角坐标系中,定义点 P(x1,y1)、Q(x2,y2)之间的“直角距离” 为 L(P,Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|,已知点 A(x,1)、B(1,2)、C(5,2)三 点. (1)若 L(A,B)>L(A,C),求 x 的取值范围; (2)当 x∈R 时,不等式 L(A,B)≤t+L(A,C)恒成立,求 t 的最小值.

2017 年湖南省郴州市高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个 选项中,有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合 A={0,1,2,3,4},B={x|x2﹣2x>0},则 A∩B=( A.(2,4] B.[2,4] 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由 B 中不等式变形得:x(x﹣2)>0, 解得:x<0 或 x>2,即 B=(﹣∞,0)∪(2,+∞), ∵A={0,1,2,3,4}, ∴A∩B={3,4}, 故选:D. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. C.{0,3,4} D.{3,4} )

2.设 z=1﹣i(i 是虚数单位),若复数 是( A.1 ) B. C. D.2

在复平面内对应的向量为

,则向量

的模

【考点】复数求模. 【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数 【解答】解:z=1﹣i(i 是虚数单位), 复数 向量 = 的模: = = . =1﹣i. ,然后求解向量 的模.

故选:B. 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,复数的模的求法,考查计算能力.

3.《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著,其中有这样一段表述:“远看巍巍塔七层,红 光点点倍加增,共灯三百八十一”,其意大致为:有一七层宝塔,每层悬挂的红灯数为上一 层的两倍,共有 381 盏灯,则塔从上至下的第三层有( A.14 B.12 C. 8 D.10 )盏灯.

【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】设第一层有 a 盏灯,则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以 a1 为首项, 以 为公比的等比数列,由此能求出结果. 【解答】解:设第一层有 a 盏灯, 则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以 a1 为首项,以 为公比的等比数列,



=381,

解得 a1=192,
4 ∴a5=a1×( ) =192×

=12,

故选:B. 【点评】本题考查顶层有几盏灯的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性 质的合理运用.

4.运行如图所示的程序,若输入 x 的值为 256,则输出的 y 值是(



A.

B.﹣3 C.3

D.

【考点】程序框图. 【分析】由程序框图依次计算程序运行的结果,直到满足条件 x≤2 时,计算 y 的值. 【解答】解:输入 x=256>2,x=log2256=8, x=8>2,x=log28=3, x=3>2,x=log23<2, 此时 y= 故选:A. 【点评】本题是循环结构的程序框图,解答的关键是读懂框图的流程. = ,

5. 某地市高三理科学生有 15000 名, 在一次调研测试中, 数学成绩 ξ 服从正态分布 N (100, ?2),已知 p(80<ξ≤100)=0.35,若按成绩分层抽样的方式取 100 份试卷进行分析,则应 从 120 分以上的试卷中抽取( )

A.5 份 B.10 份 C.15 份 D.20 份 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【分析】由题意结合正态分布曲线可得 120 分以上的概率,乘以 100 可得. 【解答】解:∵数学成绩 ξ 服从正态分布 N(100,? ),P(80<ξ≤100)=0.35, ∴P(80<ξ≤120)=2×0.35=0.70, ∴P(ξ>120)= (1﹣0.70)=0.15, ∴100×0.15=15, 故选:C. 【点评】本题考查正态分布曲线,数形结合是解决问题的关键,属基础题.
2

6.已知函数 f(x)= A. B. C.

sinx+3cosx,当 x∈[0,π]时,f(x)≥ D.

的概率为(



【考点】几何概型. 【分析】利用三角函数的辅助角公式求出当 x∈[0,π]时,f(x)≥ 何概型的概率公式即可得到结论. 的等价条件,利用几

【解答】解:∵ ∴sin(x+

sinx+3cosx=2

sin(x+

)≥



)≥ , ∈[ , , ],

∵x∈[0,π],x+ ∴ ≤x+ ≤ ,

∴0≤x≤

∴发生的概率为 P= , 故选:B. 【点评】 本题主要考查几何概型的概率的计算, 利用辅助角公式求出不等式的等价条件是解 决本题的关键.

7. P 为 A1D1 的中点, Q 为 A1B1 上任意一点, 如图, 在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, E,F 为 CD 上任意两点,且 EF 的长为定值,则下面的四个值中不为定值的是( )

A.点 Q 到平面 PEF 的距离 B.直线 PE 与平面 QEF 所成的角 C.三棱锥 P﹣QEF 的体积 D.二面角 P﹣EF﹣Q 的大小 【考点】直线与平面所成的角. 【分析】根据线面平行的性质可以判断 A 答案的对错;根据线面角的定义,可以判断 C 的 对错;根据等底同高的三角形面积相等及 A 的结论结合棱锥的体积公式,可判断 B 的对错; 根据二面角的定义可以判断 D 的对错,进而得到答案. 【解答】解:A 中,取 B1C1 的中点 M,∵QEF 平面也就是平面 PDCM,Q 和平面 PDCM 都是 固定的,∴Q 到平面 PEF 为定值; B 中,∵P 是动点,EF 也是动点,推不出定值的结论,∴就不是定值.∴直线 PE 与平面 QEF 所成的角不是定值;

C 中,∵△QEF 的面积是定值.(∵EF 定长,Q 到 EF 的距离就是 Q 到 CD 的距离也为定长, 即底和高都是定值), 再根据 A 的结论 P 到 QEF 平面的距离也是定值, ∴三棱锥的高也是定值, 于是体积固定. ∴ 三棱锥 P﹣QEF 的体积是定值; D 中,∵A1B1∥CD,Q 为 A1B1 上任意一点,E、F 为 CD 上任意两点,∴二面角 P﹣EF﹣Q 的 大小为定值. 故选:B. 【点评】 本题考查的知识点是直线与平面所成的角, 二面角, 棱锥的体积及点到平面的距离, 其中两线平行时, 一条线的上的点到另一条直线的距离相等, 线面平行时直线上到点到平面 的距离相等,平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键.

8.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 焦点关于直线 x+y﹣1=0 对称,则椭圆 C 的方程为( A. B. )

,同时椭圆 C 上存在一点与右

C.

D.

【考点】椭圆的简单性质.
2 2 2 【分析】由椭圆的离心率,求得 b=c,则椭圆的标准方程转化成 x +2y =2b ,求得右焦点关

于直线 x+y﹣1=0 对称的点,代入椭圆方程,即可求得 b 和 a 的值,求得椭圆方程. 【解答】解:由椭圆的离心率 e= =
2 2 2 2 由 b =a ﹣c =c ,则 b=c, 2 2 2 则设椭圆方程为 x +2y =2b ,

,则 a=

c,

∴右焦点(b,0)关于 l:y=﹣x+1 的对称点设为(x′,y′),则

,解得


2 2 2 由点(1,1﹣b)在椭圆上,得 1+2(1﹣b) =2b ,b = 2 ,a = ,

∴椭圆的标准方程为: 故选:A.



【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,考查点关于直线对称的求法,考查计算 能力,属于中档题.

9.已知函数 f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0),f'(x)是 f(x)的导函数,若 f(α)=0,f'(α) >0,且 f(x)在区间[α, +α)上没有最小值,则 ω 取值范围是( )

A.(0,2) B.(0,3] C.(2,3] D.(2,+∞) 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】由题意, < ≤ T,即可得出结论.

【解答】解:由题意,f(α)=0,f'(α)>0, 且 f(x)在区间[α, ∴ < ∴ < ≤ T, ≤ ? , +α)上没有最小值,

∴2<ω≤3, 故选 C. 【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的周期性,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题.

10.如图,在边长为 4 的长方形 ABCD 中,动圆 Q 的半径为 1,圆心 Q 在线段 BC(含端点) 上运动,P 是圆 Q 上及内部的动点,设向量 范围是( ) =m +n (m,n 为实数),则 m+n 的取值

A.

B.

C.

D.

【考点】向量在几何中的应用. 【分析】如图所示, =( 4,0), =(0,4).可得 =m +n ,﹣ , =( 4m,4n).当 ). ).此时 m+n

圆心为点 B 时,AP 与⊙B 相切且点 P 在 x 轴的下方时,P( 4﹣ 此时 m+n 取得最小值;当圆心为点 C 时,AP 经过圆心时,P( 取得最大值.

【解答】解:如图所示,边长为 4 的长方形 ABCD 中,动圆 Q 的半径为 1,圆心 Q 在线段 BC(含端点)上运动,P 是圆 Q 上及内部的动点,向量 ( 4,0), =(0,4).可得 =m +n =m +n (m,n 为实数); =

=( 4m,4n). , ). . ,﹣ ).

当动圆 Q 的圆心经过点 C 时,如图:P( 此时 m+n 取得最大值:4m+4n=8+

,可得 m+n=2+

当动圆 Q 的圆心为点 B 时,AP 与⊙B 相切且点 P 在 x 轴的下方时,P( 4﹣ 此时,4m+4n=4﹣ ,m+n 取得最小值为:1﹣ . ;

∴则 m+n 的取值范围为 故选:A.

【点评】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系,考查了分类讨论思想方法,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题.

11.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为(



A.

B.

C.4π

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图知该几何体为四棱锥侧面为左视图,PE⊥平面 ABC,E、F 分别是对应边 的中点, 底面 ABCD 是边长是 2 的正方形, 设外接球的球心到平面 ABCD 的距离为 h, 则 h +2=1+
2 (2﹣h) ,求出 h,并求出球的半径,利用球的表面积公式求解. 2

【解答】解:由三视图知该几何体为四棱锥侧面为左视图, PE⊥平面 ABC,E、F 分别是对应边的中点, 底面 ABCD 是边长是 2 的正方形, 设外接球的球心到平面 ABCD 的距离为 h, 则 h +2=1+(2﹣h) ,
2 ∴h= ,R = 2 2

, π,

2 ∴几何体的外接球的表面积 S=4πR =

故选 B.

【点评】 本题考查三视图求几何体外接球的表面积, 由三视图正确复原几何体以及正确确定 外接球球心的位置是解题的关键,考查空间想象能力.

12.已知函数 2],则实数 a 的取值范围是( A. ) D.

,若存在 k 使得函数 f(x)的值域为[0,

B.(0,1] C.[0,1]

【考点】分段函数的应用. 【分析】 画出函数 f (x) 中两个函数解析式对称的图象, 然后求出能使函数值为 2 的关键点, 进而可得实数 a 的取值范围. 【解答】解:∵函数 示: ,∴函数 f(x)的图象如下图所

∴函数 f(x)在[﹣1,k)上为减函数,在[k,a]先减后增函数, 当﹣1<k≤ ,x= 时,
3 由于当 x=1 时,﹣x ﹣3x+2=0, 3 当 x=a(a≥1)时,﹣a ﹣3a+2≤2,可得 1≤a



故若存在 k 使得函数 f(x)的值域为[0,2], 则 a∈[1, 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的值域,数形结合思想,难度中档. ],

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. l 与 C 交于 A, B 两点, 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, |AB| 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 【考点】双曲线的简单性质. .

【分析】设双曲线方程,由题意可得丨 AB 丨=

=2×2a,求得 b2=2a2,根据双曲线的离

心率公式 e= =

,即可求得 C 的离心率.

【解答】解:设双曲线方程:

(a>0,b>0),

由题意可知,将 x=c 代入,解得:y=± 则丨 AB 丨= ,



由丨 AB 丨=2×2a,
2 2 则 b =2a ,

∴双曲线离心率 e= = 故答案为: .

=



【点评】本题考查双曲线的简单几何性质,考查双曲线通径的求法,考查计算能力,属于基 础题.

14.已知 41 .

的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中含 x 的系数为 ﹣

【考点】二项式定理的应用. 【分析】根据展开式中各项系数的和 2 求得 m 的值,再把二项式展开,求得该展开式中含 x 的系数. 【解答】解:∵已知 ∴ ﹣ ), ﹣ ?4=﹣41, =(x+ )?( 的展开式中各项系数的和为 m+1=2,∴m=1, ?(2x)5﹣ ?(2x)4+ ?(2x)3﹣ ?(2x)2+ ?2x

则该展开式中含 x 的系数为﹣ 故答案为:﹣41.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式, 求展开式中某项的系数,属于基础题.

15.在直角三角形△ABC 中, 使得 ,则

, = 6 .

,对平面内的任意一点 M,平面内有一点 D

【考点】向量在几何中的应用. 【分析】据题意,可分别以边 CB,CA 所在直线为 x 轴,y 轴,建立一平面直角坐标系,得 到 A(0,3),并设 M(x,y),D(x′,y′),B(b,0),这样根据条件 可得到 ,即得到 ,进行数量积的坐标运算即可求出 的值. 即

【解答】解:根据题意,分别以 CB,CA 为 x,y 轴,建立如图所示平面直角坐标系,则:

A(0,3),设 M(x,y),B(b,0),D(x′,y′); ∴由 得:

3(x′﹣x,y′﹣y)=(b﹣x,﹣y)+2(﹣x,3﹣y); ∴ ;





∴ 故答案为:6.



【点评】考查通过建立平面直角坐标系解决向量问题的方法,根据点的坐标求向量的坐标, 向量坐标的数乘和数量积运算.

16.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N+,Sn=(﹣1)nan+ (t﹣an)<0 恒成立,则实数 t 的取值范围是 (﹣ , 【考点】数列递推式. ) .

+n﹣3 且(t﹣an+1)

【分析】由数列递推式求出首项,写出 n≥2 时的递推式,作差后对 n 分偶数和奇数讨论, 求出数列通项公式,可得函数 an= 数 an=3﹣ ﹣1(n 为正奇数)为减函数,最大值为 a1=﹣ ,函 ,再由(t﹣an+1)(t﹣an)<0 恒

(n 为正偶数)为增函数,最小值为 a2=

成立求得实数 t 的取值范围.
n 【解答】解:由 Sn=(﹣1) an+

+n﹣3,得 a1=﹣ ; +n﹣3﹣(﹣1)
n﹣1

n 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(﹣1) an+

an﹣1﹣

﹣(n﹣1)+3

=(﹣1)nan+(﹣1)nan﹣1﹣ 若 n 为偶数,则 an﹣1=

+1, ﹣1(n 为正奇数); ﹣1)﹣ +1=3﹣ ,

﹣1,∴an= +1=2(

若 n 为奇数,则 an﹣1=﹣2an﹣ ∴an=3﹣ 函数 an= 函数 an=3﹣ (n 为正偶数).

﹣1(n 为正奇数)为减函数,最大值为 a1=﹣ , (n 为正偶数)为增函数,最小值为 a2= ,

若(t﹣an+1)(t﹣an)<0 恒成立, 则 a1<t<a2,即﹣ <t< 故答案为:(﹣ , ). .

【点评】本题考查数列递推式,考查了数列通项公式的求法,体现了分类讨论的数学思想方 法和数学转化思想方法,是中档题.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.(12 分)(2017?郴州三模)如图,在△ABC 中,∠B=30°,AC= (1)求△ABC 面积的最大值; (2)若 CD=2,△ACD 的面积为 2,∠ACD 为锐角,求 BC 的长. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】(1)由已知及余弦定理,基本不等式可得 形面积公式即可得解△ABC 的面积的最大值. ,利用三角 ,D 是边 AB 上一点.

(2)设∠ACD=θ,利用三角形面积公式可解得

,可求

,由余弦定

理得即可解得 AD 的值,利用正弦定理可求 sinA,进而利用正弦定理可求 BC 的值. 【解答】(本题满分为 12 分) 解:(1)∵ ∴ 由 余 , 弦 定 理 可 得 : …(2 分) ∴ ∴ 所以△ABC 的面积的最大值为 (2)设∠ACD=θ,在△ACD 中, ∴ 由余弦定理得: ∴ ∵ ,…(9 分) ,∴ , ,解得: ,∴ ,…(4 分) , …(6 分) , …(7 分) ,

∴ ∴

,此时

, .…(12 分)

【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,基本不等式,同角三角函 数基本关系式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.

18.(12 分)(2017?郴州三模)2017 年郴州市两会召开前夕,某网站推出两会热点大型 调查,调查数据表明,民生问题时百姓最为关心的热点,参与调查者中关注此问题的约占 80%,现从参与者中随机选出 200 人,并将这 200 人按年龄分组:第 1 组[15,25),第 2 组[25,35),第 3 组[35,45),第 4 组[45,55),第 5 组[55,65),得到的频率分布 直方图如图所示.

(1)求出频率分布直方图中的 a 值,并求出这 200 的平均年龄; (2)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组用分层抽样的方法抽取 12 人,再从这 12 人中随机 抽取 3 人赠送礼品,求抽取的 3 人中至少有 1 人的年龄在第 3 组的概率; (3)若要从所有参与调查的人(人数很多)中随机选出 3 人,记关注民生问题的人数为 X, 求 X 的分布列和数学期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 【分析】(1)由频率分布直方图中小矩形的面积之和为 1,能求出 a. (2)分层抽样的方法在第 3 组中应抽取 7 人,设事件“抽取 3 人中至少有 1 人年龄在第 3 组”为 A,则 为“抽取的 3 人中没有 1 人年龄有第 3 组”,由此能求出抽取的 3 人中至少有 1 人的年龄在第 3 组的概率. (3)X 的所有可能值为 0,1,2,3,依题意得 X~B(3, ),由此能求出 X 的分布列和 数学期望. 【解答】解:(1)由频率分布直方图得: (0.01+0.015+0.03+a+0.01)×10=1, 解得 a=0.035. (2)分层抽样的方法在第 3 组中应抽取 设事件“抽取 3 人中至少有 1 人年龄在第 3 组”为 A, 则 为“抽取的 3 人中没有 1 人年龄有第 3 组”, 则抽取的 3 人中至少有 1 人的年龄在第 3 组的概率: P(A)=1﹣P( )=1﹣ = . =7 人,

(3)X 的所有可能值为 0,1,2,3,依题意得 X~B(3, ),

且 P(X=k)= ∴X 的分布列为: X P EX=np=3× = . 0

,k=0,1,2,3,

1

2

3

【点评】 本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 是中档题, 解题时要认真审题,注意频率分布直方图、对立事件概率乘法公式、二项分布的合理运用.

19.(12 分)(2017?郴州三模)如图,C 是以 AB 为直径的圆 O 上异于 A,B 的点,平面 PAC⊥平面 ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,F 分别是 PC,PB 的中点,记平面 AEF 与平面 ABC 的交线为直线 l. (Ⅰ)求证:直线 l⊥平面 PAC; (Ⅱ)直线 l 上是否存在点 Q,使直线 PQ 分别与平面 AEF、直线 EF 所成的角互余?若存在, 求出|AQ|的值;若不存在,请说明理由.

【考点】平面与平面垂直的判定. 【分析】(Ⅰ)利用三角形中位线定理推导出 BC∥面 EFA,从而得到 BC∥l,再由已知条件 推导出 BC⊥面 PAC,由此证明 l⊥面 PAC. (2)以 C 为坐标原点,CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,过 C 垂直于面 ABC 的直线为 z 轴,建立空 间直角坐标系,利用向量法求出直线 l 上存在点 Q,使直线 PQ 分别与平面 AEF、直线 EF 所 成的角互余,|AQ|=1. 【解答】(Ⅰ)证明:∵E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴BC∥EF, 又 EF? 平面 EFA,BC 不包含于平面 EFA,

∴BC∥面 EFA, 又 BC? 面 ABC,面 EFA∩面 ABC=l, ∴BC∥l, 又 BC⊥AC,面 PAC∩面 ABC=AC, 面 PAC⊥面 ABC,∴BC⊥面 PAC, ∴l⊥面 PAC. (2)解:以 C 为坐标原点,CA 为 x 轴,CB 为 y 轴, 过 C 垂直于面 ABC 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系, A(2,0,0),B(0,4,0),P(1,0, E( ),F( , 设 Q(2,y,0),面 AEF 的法向量为 ), , , ),





取 z=

,得





|cos<

>|=

=



|cos<

>|=

=



依题意,得|cos< ∴y=±1.

>|=|cos<

>|,

∴直线 l 上存在点 Q,使直线 PQ 分别与平面 AEF、直线 EF 所成的角互余,|AQ|=1.

【点评】本题考查直线与平面垂直的证明,考查满足条件的点是否存在的判断与求法,解题 时要认真审题,注意向量法的合理运用.

20.(12 分)(2017?郴州三模)已知抛物线 E:y2=8x,圆 M:(x﹣2)2+y2=4,点 N 为抛 物线 E 上的动点,O 为坐标原点,线段 ON 的中点 P 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)点 Q(x0,y0)(x0≥5)是曲线 C 上的点,过点 Q 作圆 M 的两条切线,分别与 x 轴交 于 A,B 两点,求△QAB 面积的最小值. 【考点】圆锥曲线的综合;轨迹方程. 【分析】(1)利用代入法,求曲线 C 的方程; (2)设切线方程为 y﹣y0=k(x﹣x0),圆心(2,0)到切线的距离 d= =2,

整理可得 球心最小值.

,表示出面积,利用函数的单调性

2 【解答】解:(1)设 P(x,y),则点 N(2x,2y)在抛物线 E:y =8x 上, 2 ∴4y =16x, 2 ∴曲线 C 的方程为 y =4x;

(2)设切线方程为 y﹣y0=k(x﹣x0). 令 y=0,可得 x= ,

圆心(2,0)到切线的距离 d=

=2,

整理可得



设两条切线的斜率分别为 k1,k2,则 k1+k2=

,k1k2=



∴△QAB 面积 S= |(x0﹣

)﹣(x0﹣

)|y0=2?

设 t=x0﹣1∈[4,+∞),则 f(t)=2(t+ +2)在[4,+∞)上单调递增, ∴f(t)≥ ,即△QAB 面积的最小值为 .

【点评】本题考查直线与抛物线的综合运用,具体涉及到抛物线的基本性质及应用,直线与 抛物线的位置关系、 圆的简单性质等基础知识, 轨迹方程的求法和点到直线的距离公式的运 用.

21.(12 分)(2017?郴州三模)已知函数 f(x)=ax2﹣(2a﹣1)x﹣lnx. (1)当 a>0 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)当 a<0 时,求函数 f(x)在 上的最小值;

(3)记函数 y=f(x)的图象为曲线 C,设点 A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线 C 上的不同两 点,点 M 为线段 AB 的中点,过点 M 作 x 轴的垂直交曲线 C 于点 N,判断曲线 C 在点 N 处 的切线是否平行于直线 AB,并说明理由. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】(1)求出函数 f(x)的导函数,由 a>0,定义域为(0,+∞),再由 f′(x)>0 求得函数 f(x)的单调增区间; (2)当 a<0 时,求出导函数的零点﹣ ,1,分﹣ >1, ≤﹣ ≤1,﹣ < ,

讨论函数 f(x)在区间[ ,1]上的单调性,求出函数的最小值,最后表示为关于 a 的分段 函数; (3)设出线段 AB 的中点 M 的坐标,得到 N 的坐标,由两点式求出 AB 的斜率,再由导数

得到曲线 C 过 N 点的切线的斜率,由斜率相等得到 ln

=

,令

=t 后构造函

数 g(t)=lnt﹣

(t>1),根据函数的单调性判断不成立.

2 【解答】解:(1)∵f(x)=ax +(1﹣2a)x﹣lnx,

∴f′(x)=2ax+(1﹣2a)﹣ = ∵a>0,x>0, ∴2ax+1>0,解 f′(x)>0,得 x>1, ∴f(x)的单调增区间为(1,+∞); (2)当 a<0 时,由 f′(x)=0,得 x1=﹣ ①当﹣



,x2=1,

>1,即﹣ <a<0 时,f(x)在(0,1)上是减函数,

∴f(x)在[ ,1]上的最小值为 f(1)=1﹣a. ②当 ≤﹣ ≤1,即﹣1≤a≤﹣ 时, ]上是减函数,在[﹣ )=1﹣ ,1]上是增函数,

f(x)在[ ,﹣

∴f(x)的最小值为 f(﹣ ③当﹣

+ln(﹣2a).

< ,即 a<﹣1 时,f(x)在[ ,1]上是增函数,

∴f(x)的最小值为 f( )= ﹣ a+ln2. 综上,函数 f(x)在区间[ ,1]上的最小值为:

f(x)min=



(3)设 M(x0,y0),则点 N 的横坐标为 x0=



直线 AB 的斜率 k1=

=

[a(x1 ﹣x2 )+(1﹣2a)(x1﹣x2)+lnx2﹣lnx1]

2

2

=a(x1+x2)+(1﹣2a)+



=2ax0+ 曲线 C 在点 N 处的切线斜率 k2=f′ (x0) (1﹣2a) ﹣ 假设曲线 C 在点 N 处的切线平行于直线 AB,则 k1=k2, 即 =﹣ ,

=a (x1+x2) + (1﹣2a) ﹣



∴ln

=

=



不妨设 x1<x2,

=t>1,则 lnt=



令 g(t)=lnt﹣

(t>1),则 g′(t)= ﹣

=

>0,

∴g(t)在(1,+∞)上是增函数,又 g(1)=0, ∴g(t)>0,即 lnt= 不成立,

∴曲线 C 在点 N 处的切线不平行于直线 AB. 【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间,考查了利用导数求函数的最值,体现了分类 讨论的数学思想方法,训练了利用构造函数法证明等式恒成立问题,特别是对于(3)的证 明,要求学生较强的应变能力,是压轴题.

[选修 4-4:参数方程与极坐标系] 22. (10 分) (2017?郴州三模) 在平面直角坐标系 xoy 中, 曲线 C 的参数方程为

(θ 为参数),直线 l 的参数方程为

(t 为参数)以坐标原点 O 为极点,x 轴的

正半轴为极轴的极坐标系.

(1)写出直线 l 的普通方程以及曲线 C 的极坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 的两个交点分别为 M,N,直线 l 与 x 轴的交点为 P,求|PM|?|PN| 的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.

【分析】(1)直线 l 的参数方程为

(t 为参数),消去参数 t 可得普通方程.曲

线 C 的参数方程为

2 2 2 (θ 为参数) , 利用平方关系可得直角坐标方程. 把 ρ =x +y ,

y=ρsinθ,可得 C 的极坐标方程. P 0) (II) (1, . 把直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程为: +1=0, |PM|?|PN|=|t1?t2|.

【解答】解:(1)直线 l 的参数方程为

(t 为参数),消去参数 t 可得:x+y﹣

1=0. 曲线 C 的参数方程为
2 2 (θ 为参数),利用平方关系可得:x +(y﹣2) =4.

2 2 2 把 ρ =x +y ,y=ρsinθ,可得 C 的极坐标方程为:ρ=4sinθ.

(II)P(1,0).把直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程为: t1+t2=3 ,t1?t2=1,

+1=0,

∴|PM|?|PN|=|t1?t2|=1. 【点评】本题考查了极坐标方程的应用、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.(2017?郴州三模)在平面直角坐标系中,定义点 P(x1,y1)、Q(x2,y2)之间的“直 角距离”为 L(P,Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|,已知点 A(x,1)、B(1,2)、C(5,2)三点. (1)若 L(A,B)>L(A,C),求 x 的取值范围; (2)当 x∈R 时,不等式 L(A,B)≤t+L(A,C)恒成立,求 t 的最小值. 【考点】两点间距离公式的应用;函数恒成立问题. 【分析】(1)根据定义写出 L(A,B),L(A,C)的表达式,最后通过解不等式求出 x 的

取值范围; (2)当 x∈R 时,不等式 L(A,B)≤t+L(A,C)恒成立即当 x∈R 时,不等式|x﹣1|≤|x ﹣5|+t 恒成立,运用分离变量,即有 t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立,可用绝对值不等式的性质, 求得右边的最大值为 4,令 t 不小于 4 即可. 【解答】解:(1)由定义得|x﹣1|+1>|x﹣5|+1, 即|x﹣1|>|x﹣5|,两边平方得 8x>24, 解得 x>3; (2)当 x∈R 时,不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t 恒成立, 也就是 t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立, 因为|x﹣1|﹣|x﹣5|≤|(x﹣1)﹣(x﹣5)|=4,所以 t≥4,tmin=4. 故 t 的最小值为:4. 【点评】本题考查新定义:直角距离的理解和运用,考查绝对值不等式的解法,以及不等式 恒成立问题,转化为求函数的最值,属于中档题.


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