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解答椭圆中最值问题策略


解答椭圆中最值问题策略
椭圆是圆锥曲线这一章节中的重要内容, 而与椭圆有关的最值问题则是解析几何中最值 问题的一个组成部分.与椭圆有关的最值问题具有综合性强、涉及知识面广等特点,是学习 中的一个难点.要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数 学思想方法,将它转化为解不等式或求函数值域,以及利用函数单调性、各种平面几何中最 值的思想来解决. 一、

建立目标函数,利用函数性质 x2 y2 例 1 设 P(x,y)是椭圆 + =1 上的一点,F1 为椭圆的左焦点,求|PF1|的最大值和最 64 28 小值. 分析:由于点 F 的坐标为(-6,0),因此只须设出点 P 的坐标(x,y),结合椭圆方程即 可建立|PF1|关于横坐标 x 的目标函数,再结合函数的即可求解. 解:椭圆的左焦点 F1 坐标为(-6,0),根据两点的距离公式,得 |PF1|= (x+6)2+y2= 7 (x+6)2+(28- x2)= 16 9 32 3 32 (x+ )2= |x+ |, 16 3 4 3

3 32 由已知,得 x∈[-8,8],函数 |x+ |在[-8,8]上为增函数, 4 3 3 32 3 32 故|PF1|max= |8+ |=14,|PF1|min= |-8+ |=2. 4 3 4 3 点拨:函数法是探求最值问题的常用方法,尤其是二次函数,值得注意的是函数自变量 取值范围的确定不容忽视.同时通过本题的解答,可得结论:椭圆上的点到焦点的距离取得 最大值和最小值的点就是椭圆的两个端点. 二、利用定义转化,结合平面几何性质 例 2 已知 A(4,0)、B(2,2),M 是椭圆 9x2+25y2=225 上的动点,求|MA|+|MB|的最 大与最小值. 分析:由于 A(4,0)是椭圆的焦点,因此可以利用椭圆的定义对|MA|+|MB|转化,转化 为求解椭圆上一动点到定直线上两定点的距离之差的最值问题. 解析:如图所示,由题意,知点 A(4,0)恰为椭圆右焦点,则 A 关于 O 的对称 点 A1(-4,0)(左焦点), 由椭圆的第一定义,得|MA|+|MA1|=2a,|MA|=2a-|MA1|, ∴|MA|+|MB|=(2a-|MA1|)+|MB|=2a+(|MB-|MA1|), 在△A1BM 中,||MB|-|MA1||≤|A1B|=2 10,-2 10≤|MB|-|MA1|≤2 10, 又 2a=10.故|MA|+|MB|的最大值是 10+2 10,最小值为 10-2 10. 点评:(1)涉及椭圆的焦点问题,一般都可以利用定义引导思维,同时常起着转化的作 用;(2)注重使用平面几何知识“三角形中的三边关系”,三点共线为特例,从而确定最值. 三、巧妙设角,利用三角函数有界性 x2 y2 例 3 已知椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)两个焦点为 F1,F2,如果曲线 C 上存在一点 Q, a b 使 F1Q⊥F2Q,求椭圆离心率的最小值。 分析:根据条件可采用多种方法求解,但是若借用三角函数 的有界性求解, 会有不错的效果.由于 F1Q⊥F2Q, 因此可设∠PF1F2 =α,然后表示出相应的焦半径|QF1|、|QF2|,结合定义即可建立离 心率关于 α 的三角函数.

解:设∠QF1F2=α,则 |QF1|=|F1F2|cosα=2ccosα,|QF2|=|F1F2|sinα=2csinα, 由椭圆定义知|QF1|+|QF2|=2a,即 2ccosα+2csinα=2a, c 1 1 2 故 e= = )= ≥ (当 α=45?时取“=”), a sinα+cosα 2 2sin(α+45?) 故椭圆离心率的最小值为 2 . 2

点评: 本题建立离心率 e 关于 α 的目标函数的关键是利用三角函数处理 Rt△QF1F2 边角 的关系.另外,利用三角函数的有界性求最值时,一定要注意角的范围. 四、利用椭圆的几何性质,建立变量不等式 x2 y2 例 4 若 A、B 为椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的长轴两端点,Q 为椭圆上一点,使∠AQB a b =120?,求此椭圆离心率的最小值. 分析:建立 a、b、c 之间的不等式是解决离心率最值问题常规思路.此题也就要将角转 化为边的思想,但条件又不是与焦点有关,很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化 为坐标形式运用椭圆中 x、y 的取值进行求解离心率的最值. y y 解:不妨设 A(a,0),B(-a,0),Q(x,y),则 kAQ= ,kBQ= , x+a x-a y y - x+a x-a -2ay 利用到角公式及 AQB=120?,得 =tan120?(x=± a),即 2 2 2= 3 y y x +y -a 1+ · x+a x-a a2y2 2ab2 又点 A 在椭圆上,故 x2-a2= 2 ,消去 x 得 y= , b 3c2 2ab2 又 y≤b,即 ≤b,则 4a2(a2-c2)≤3c4, 3c2 6 从而转化为关于 e 的高次不等式 3e4+4e2-4≥0,解得 ≤e<1. 3 6 故椭圆离心率的最小值为 . 3 点评:对于此类最值问题关键是如何建立 a、b、c 之间的关系.常用椭圆上的点(x,y) 表示成 a、b、c,并利用椭圆中 x,y 的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解. 五、利用均值不等式,建立不等式 根据题设条件建立不等式,再根据均值不等式转化为不等式,建立 a、c 的不等式,求 e 的范围. x2 y2 例 5 设椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的两焦点为 F1、F2,问当离心率 e 在什么范围取值时, a b 当椭圆上恒存在点 P 使∠F1PF2=120?时,求离心率最小值. 分析:利用余弦定理建立|F1F2|与|PF1|、|PF2|的等式,利用均值定理 解:设椭圆的焦点为 2c,由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a,在△F1PF2 中,由余弦定理得建立 a、c 的不等式,通过解不等式可求得离心率的最小值. |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|cos120? 2 =(|PF1|+|PF2|) -|PF1|· |PF2|, |PF1|+|PF2| 2 2 2 c2 3 c 3 所以 4a2-4c2=|PF1|· |PF2|≤( ) =a , 3a -4c2≤0,即 3a2≤4c2, 2≥ , ≥ , 2 a 4 a 2 又 0<e<1,所以 3 3 ≤e<1,故离心率最小值 . 2 2

点评:本题所涉及的三角形是一个一般的三角形,因此利用了余弦定理进行转化.另外 本题还可以利用一条直线到另一条直线到角公式求解,不过过程要较为复杂些. x2 例6 已知椭圆 C: +y2=1,设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直 3 3 线 l 的距离为 ,求△AOB 面积的最大值. 2 分析:△AOB 的高是已知的,因此只要用直线的斜率 k 结合弦长公式表示线段 AB 的 长,即可将△AOB 面积 S 表示为 k 的函数,再利用求函数值域方法就可求得最大值. 解:当 AB⊥x 轴时,|AB|= 3. 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m, |m| 3 3 2 2 由已知 2= 2 ,得 m =4(k +1), 1+k 把 y=kx+m 代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0, 2 2 2 2 36k2m2 12(m -1) 12(k +1)(3k +1-m ) ∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)[ 2 ]= 2- 2 2 2 (3k +1) 3k +1 (3k +1) 3(k2+1)(9k2+1) 12k2 12 12 = =3+ 4 =3+ (k≠0)≤3+ =4, 1 (3k2+1)2 9k +6k2+1 2× 3+6 9k2+ 2+6 k 1 3 当且仅当 9k2= 2,即 k=± 时等号成立,当 k=0 时,|AB|= 3, k 3 1 3 3 综上所述|AB|max=2,∴当|AB|最大时,△AOB 面积取最大值 S= × |AB|max× = . 2 2 2 点评: 解答本题的关键就是利用弦长公式确定直线斜率及利用均值不等式确定函数的最 值.


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