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2013届高三数学二轮复习热点 专题一 高考中选择题、填空题解题能力突破26 考查空间角与距离 理


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【例 59】? (2012·陕西)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC ?A1B1C1,CA=CC1 =2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( A. 5 5 B. 5 3 2 5 C. 5 3 D. 5 ).

解析 设 CA=2,则 C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),B1(0,2,1),可得向 → → → → 量 AB1 = ( - 2,2,1) , BC1 = (0,2 , - 1) , 由 向 量 的 夹 角 公 式 得 cos 〈 AB1 , BC1 〉 = -2×0+2×2+1×? -1? = 1 5 = . 5 5

0+4+1· 4+4+1 答案 A

【例 60】? (2012·辽宁)已知正三棱锥 P?ABC, P,A,B, 都在半径为 3的球面上, 点 C 若 PA,PB,PC 两两相互垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________.

解析 先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥, 再利用正方体的性质解题. 如图, 满足题意的正三棱锥 P?ABC 可以是正方体的一部分,其外接球的直径是正方体的体对角线, 且面 ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点, 所以球心到平面 ABC 的距离等于体 1 1 3 对角线长的 ,故球心到截面 ABC 的距离为 ×2 3= . 6 6 3 答案 3 3

命题研究:1.两条异面直线所成的角的求解多以柱体为载体,计算较为简单,主要以选 择题或填空题的形式进行考查; 2.直线和平面所成的角多以多面体为载体, 在选择题或填空题中主要考查利用定义法求 解; 3.以特殊的柱体或锥体为载体, 直接考查点到面或面到面的距离, 多为选择题或填空题, 试题难度不大.

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[押题 50] 如图,已知三棱柱 ABC?A1B1C1 的各条棱长都相等,且 CC1⊥底面 ABC,M 是侧 棱 CC1 的中点,则异面直线 AB1 和 BM 所成的角为( A. C. π 2 π 6 π B. 4 π D. 3 ).

→ → → 答案: A [由题意可知该三棱柱为正三棱柱,设其棱长为 2,BA=a,BB1=b,BC=c, π π π 则|a|=|b|=|c|=2,且〈a,c〉= , a,b〉=〈b,c〉= ,所以 a·c=2×2×cos 〈 3 2 3 1 1 2 → → → → ? 1 ? =2, ·b=b·c=0.而AB1=b-a, =c+ b, a BM 所以AB1·BM=(b-a)·?c+ b?=b·c+ b 2 2 ? 2 ? 1 π π → → -a·c- a·b=0,故〈AB1,BM〉= ,即异面直线 AB1 与 BM 所成的角为 .] 2 2 2

[押题 51] 如图,△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD⊥平面 BCD,AB⊥ 平面 BCD,AB=2 3,则点 A 到平面 MBC 的距离等于________.

解析 取 CD 的中点 O,连接 OB、OM,则 OB⊥CD,OM⊥CD.又平面 MCD⊥平面 BCD,则 OM ⊥平面 BCD,所以 OM⊥OB.以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.由已

知得 OB=OM= 3,则各点坐标分别为 C(1,0,0),M(0,0, 3),B(0,- 3,0),A(0, → → → - 3,2 3).所以BC=(1, 3,0),BM=(0, 3, 3),BA=(0,0,2 3).设 n=(x,y,

z)是平面 MBC 的法向量,由 n⊥BC,得 x+ 3y=0;由 n⊥BM,得 3y+ 3z=0.令 x= 3,
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则 y=-1,z=1,所以 n=( 3,-1,1)是平面 MBC 的一个法向量.所以点 A 到平面 MBC 的 → |BA·n| 2 3 2 15 距离为 = = . |n| 5 5 答案 2 15 5

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