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高中数学


由数列的递推公式求通项公式 一 准备知识 所谓数列,简单地说就是有规律的(有限或无限多个)数构成的一列数,常记作{an}, an 的公式叫做数列的通项公式.常用的数列有等差数列和等比数列. 等差数列 数列{an}的后一项与前一项的差 an-an-1 为常数 d 等比数列 数 列 {an} 的 后 一 项 与 前 一 项 的 比 定义 an 为常数 q(q≠0) a n ?1 q 为公比 an=a1· qn Sn= -1 专有名词 通项公式 前 n 项和 d 为公差 an=a1+(n-1)d Sn= na1 ? n(n ? 1)d ?a1 ? an ?n ? 2 2 a1 1 ? q n 1? q ? ? 数列的前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系是:an=Sn-Sn-1(n≥2) . 有些数列不是用通项公式给出, 而是用 an 与其前一项或前几项的关系来给出的, 例如: an+1=2an+3,这样的公式称为数列的递推公式.由数列的递推公式我们可以求出其通项公 式. 数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形,然后将它看成新 数列(通常是等差或等比数列)的通项公式或递推公式,最后用新数列的性质解决问题. 二 例题精讲 例 1. (裂项求和)求 Sn= 8 ?1 8? 2 8? n ? 2 ??? . 2 2 1 ?3 3 ?5 (2n ? 1) 2 ? (2n ? 1) 2 2 解:因为 an= 8? n 1 1 ? = 2 2 2 (2n ? 1) ? (2n ? 1) (2n ? 1) (2n ? 1) 2 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ?1 所以 Sn= ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? =1- ? 2 2? ( 2n ? 1) 2 3 ? ?3 5 ? (2n ? 1) ? ?1 ? (2n ? 1) 例 2. (倒数法)已知数列{an}中,a1= an 3 ,an+1= ,求{an}的通项公式. 2a n ? 1 5 解: 1 1 a n ?1 ? 2a n ? 1 1 ? ?2 an an ?1 ? 1 5 5 6n ? 1 ∴ ? ? 是以 为首项,公差为 2 的等差数列,即 ? +2(n-1)= an 3 3 3 ? an ? ∴an= 3 6n ? 1 S n ?1 ,求{an}的通项公式. 2 S n ?1 ? 1 练习 1.已知数列{an}中,a1=1,Sn= 解: 1 2S n ?1 ? 1 1 ? ? ?2 Sn S n ?1 S n ?1 ?1 ? ∴ ? ? 是以 1 为首项,公差为 2 的等差数列. ?Sn ? ∴ 1 1 =1+2(n-1)=2n-1,即 Sn= . Sn 2n ? 1 2 1 1 =? ? (2n ? 1)( 2n ? 3) 2n ? 1 2n ? 3 ∴an=Sn-Sn-1= 1 ? ( n ? 1) ? 1 ∴an= ? 1 ? ( n ? 2) ? ? 2n ? 1 2n ? 3 例 3. (求和法,利用公式 an=Sn - Sn - 1 , n ≥ 2 )已知正数数列 {an} 的前 n 项和 1? 1 Sn= ? an ? ? 2? an ? ? ? ,求{an}的通项公式. ? 1? 1? 解:S1=a1= ? ,所以 a1=1. a1 ? ? ? 2? a1 ? ? ∵an=Sn-Sn-1 ∴2Sn=Sn-Sn-1+ 1 S n ? S n ?1 ∴Sn

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