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1.3 简单的逻辑联结词(2课时)


1.3

简单的逻辑联结词
(第一课时)

问题提出

“甲是乙的父亲且甲是乙的老师”与 “甲是乙的父亲或甲是乙的老师”的含 义相同吗?在逻辑上如何理解、分辨类 似的问题?

且与或

探究(一):逻辑联结词“且”

思考1:下列三个语句是命题吗

?它们之 间有什么关系? (1)12能被3整除; (2)12能被4整除; (3)12能被3整除且能被4整除.

思考2:对于命题“矩形的对角线相等” 和“矩形的对角线互相平分”,用联结 词“且”联结这两个命题,得到的新命 题是什么?
矩形的对角线相等且互相平分.

知识形成:

一般地,用联结词“且”把命题p和 命题q联结起来,就得到一个新命题,记 作 p∧q,读作“p且q”。

思考3:在如图所示的串联电路中,开 关p、q处于什么状态时灯泡发亮?
p q

思考4:如果把上述电路图中开关p、q 的闭合与断开,分别对应命题p、q的真 与假,那么灯泡发亮与命题p∧q的真假 有什么关系?

知识形成:一般地,命题p、q的真假与 命题p∧q的真假有以下关系。

p 真 真 假 假

q 真 假 真 假

p ∧q 真 真 假 真 假 真 假

一 假 则 假

当p、q都是真命题时,p∧q为真命题;

当p、q中有一个是假命题时,p∧q为假命题.

探究(二):逻辑联结词“或”

思考1:下列三个语句是命题吗?它们之 间有什么关系? (1)27是9的倍数;
(2)27是7的倍数; (3)27是9的倍数或是7的倍数;

思考2:对于命题“有两个内角相等的三 角形是等腰三角形”和“有两个内角相 等的三角形是直角三角形”,用联结词 “或”联结这两个命题,得到的新命题 是什么? 有两个内角相等的三角形是等腰三角 形或直角三角形

知识形成: 一般地,用联结词“或”把命题p和 命题q联结起来,就得到一个新命题,记 作p∨q,读作“p或q。

思考3:在如图所示的并联电路中,开关 p、q处于什么状态时灯泡发亮?
p q

思考4:如果把上述电路图中开关p、q的 闭合与断开,分别对应命题p、q的真与 假,那么灯泡发亮与命题p∨q的真假有 什么关系?

知识形成:一般地,命题p、q的真假与 命题p∨q的真假有以下关系。

p 真 真 假 假

q 真 假 真 假

p∨q 真 真 真 假 假

一 真 则 真

当p、q中有一个是真命题时,p∨q为真命题.

当p、q都是假命题时,p∨q为假命题;

例题讲解
例1 将下列命题用“且”联结成新命题, 并判断它们的真假: (1)p:平行四边形的对角线互相平分, q:平行四边形的对角线相等; (2)p:菱形的对角线互相垂直, q:菱形的对角线互相平分; (3)p:35是15的倍数,q:35是7的倍数.

(1)p∧q:平行四边形的对角线互相平分且相等.(假)

(2)p∧q:菱形的对角线互相垂直且平分.(真)
(假)

(3)p∧q:35是15的倍数且是7的倍数.

例2 用逻辑联结词“且”改写下列命 题,并判断它们的真假。 (1)1既是奇数,又是素数; (2)2和3都是素数. (1)1是奇数且1是素数.(假) (2)2是素数且3是素数. (真)

例3 判断下列命题的真假: (1)2≤2; 真 (2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的 子集; 真 (3)周长相等的两个三角形全等或 面积相等的两个三角形全等. 假 (4)“p∧q真”的充分不必要条件是 “p∨q真”. 假

例 4. 在一次模拟射击游戏中,小李 连续射击了两次,设命题p:“第一次 射击中靶”,命题q:“第二次射击中 靶”,试用,p、q及逻辑联结词 “或”“且”表示下列命题: p∧ q (1)两次射击均中靶; (2)两次射击至少有一次中靶. p∨ q

小结 1.数学上,“且”与“或”叫做逻辑 联结词,不含有逻辑联结词的命题叫做 简单命题,由简单命题和逻辑联结词构 成的命题称为复合命题.

2.若p∧q为真,则p∨q为真,反之不 成立.

1.3

简单的逻辑联结词

(第二课时)

问题提出 1.命题“p∧q”和“p∨q”的含义分 别是什么?

p∧q:用联结词“且”把命题p和命题q 联结起来得到的命题.
p∨q:用联结词“或”把命题p和命题q 联结起来得到的命题.

2.命题p、q的真假与命题“p∧q” 和“p∨q”的真假分别有什么关系?

当且仅当p、q都是真命题时,p∧q为真 命题;
当且仅当p、q都是假命题时,p∨q为假 命题.

3.逻辑联结词不只是“且”与“或”, 其中“非”也是一个常用的逻辑联结词, 对此,我们再作些理论分析.

探究(一):逻辑联结词“非” 思考1:下列各组语句是命题吗?它们之 间有什么关系?并判明真假. 真 (1)35能被5整除, 假 35不能被5整除; (2)函数y=lgx是偶函数, 假 函数y=lgx不是偶函数; 真 真 (3)|a|≥0, 假 | a| < 0 ; (4)方程x2-4=0无实根, 假 真 方程x2-4=0有实根.

知识形成:

一般地,对一个命题p全盘否定,就 得到一个新命题,记作﹁p,读作“非p” 或“p的否定。 ﹁p的否定是p

思考2:命题p与﹁p的真假有什么关系? p与﹁p必有一个是真命题, 另一个是假命题.

练习:写出下列命题的否定,并判明真假. 1.矩形的对角线相等且相互平分;

2.三角形的三个内角至少有一个小于60 ; 3.若f(x)是偶函数,则对任意的x∈R 恒有f(-x)=f(x);
4.如果f(x)在区间D上单调递增,则存在 x1 , x2∈D,当x1>x2时有f(x1) <f(x2).

思考3:命题p:“大于1的数是正数”的 否定是什么?其否命题是什么?

﹁p:大于1的数不是正数.
否命题:不大于1的数不是正数. 命题的否定只否定结论

否命题则既否定条件也否定结论

探究(二):三种命题的逻辑拓展

思考1:如何从集合的交、并、补运算理 解p∧q、p∨q、﹁p的真假关系?
若x∈P且x∈Q,则x∈P∩Q; 若p为真且q为真,则p∧q为真.

若x∈P或x∈Q,则x∈P∪Q;
若p为真或q为真,则p∨q为真. 若x∈P,则x ? ? ; P U

若p为真,则﹁p为假.

思考2:对于命题p、q,如何确定 ﹁p∧q,﹁p∨q的真假? 当且仅当p为假命题,q为真命题时, ﹁p∧q为真命题;

当且仅当p为真命题,q为假命题时, ﹁p∨q为假命题.

例题讲解

例1 已知命题p:负数有平方根,写 出命题﹁p,p的否命题,并判断其真假.

﹁p:负数没有平方根;

否命题:如果一个数是非负数,则 这个数没有平方根.

例2 写出下列命题的否定,并判断 它们的真假: (1)p:y=sinx是周期函数; ( 2 ) p: 3 < 2 ; (3)p:空集是集合A的子集. (1)﹁p:y=sinx不是周期函数. 假命题. (2)﹁p:3≥2. 真命题. (3)﹁p:空集不是集合A的子集. 假命题

例3 已知p:函数 f ( x) ? (a ? a) x 在
2

R上单调递减,q:函数 y ? lg(ax ? x ? a)
2

的定义域为R,如果﹁p∨q为假命题, 求实数a的取值范围.

1 a ? (0, ] 2

小结 1.命题的否定即﹁p,它是对命题p的 全盘否定,与p的否命题有本质的区别, 二者不能混为一谈.

2.命题p与﹁p有且只有一个为真命题, 命题p与p的否命题的真假关系不确定. 3.对于p∧q,p∨q和﹁p相互渗透的 真假命题,一般应转化为p、q的真假来 解决.


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