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四川省成都市新津中学2013届高三2月月考数学(文)试题


四川省成都市新津中学 2013 届高三 2 月月考 数学(文)试题
参考公式:球体的表面积公式 S ? 4? r ,其中 r 为球体的半径
2

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 1.若复数 A.0

1? i ? a ? bi ,则

a + b =( 1? i
B.1 )

) C.-1 D.2

2.函数 y ? ln( x ?1) 的定义域是 ( A. (1,2) B. (e, ??)

C. (1,??)

D. (1, e)

3.已知函数 f ( x ) ? ? A、1

? x( x ? 1), x ? 0 ,则函数 f ( x ) 的零点个数为( ? x( x ? 1), x ? 0
C、3 D、4



B、2

4.已知 ?an ? 是等差数列, a4 ? 15 , S5 ? 55 ,则过点 P(3, a3 ), Q(4, a4 ) 的直线的斜率为(



1 C.-4 D.-14 4 ? ? ? ? 5.已知向量 a ? ( x,1) , b ? (3,6) ,且 a ? b ,则实数 x 的值为( ) 1 1 A. B. ? 2 C. 2 D. ? 2 2
A.4 B. 6. 过点 P ( 0, 1 ) 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 相交的所有直线中,被圆截得的弦最长时的直线方程是 ( ) A. x ? 0 B.

y ?1

C. x ?

y ?1? 0

D. x ? y ? 1 ? 0

7. 已知 F1、 2 是椭圆 F 等于( A. 16 )

x2 y2 + =1 的两焦点, 经点 F2 的的直线交椭圆于点 A、 若|AB|=5, B, 则|AF1|+|BF1| 16 9

B. 11

C. 8

D. 3

8.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得该几何体的表面积是( ) A. 32? C. 12? B. 16? D. 8?
俯视图 ·1·

2 4
正(主)视图

4
侧(左)视图

9. 设向量 a 与 b 的夹角为 ? , 定义 a 与 b 的 “向量积” a ? b 是一个向量, : 它的模 a ? b ? a ? b ? sin ? , 若 a ? ? 3, ?1 , b ? 1, 3 ,则 a ? b ? ( ) A. 3 B.2 C. 2 3 D.4

?

?

?

?

? ?

? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

? ?

10. 已知函数: f ( x) ? x 2 ? bx ? c , 其中:0 ? b ? 4,0 ? c ? 4 , 记函数 f (x) 满足条件:? 为事件为 A,则事件 A 发生的概率为( A. ) C.

? f (2) ? 12 ? f (?2) ? 4

1 4

B.

5 8

3 8

D.

1 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分 11. 命题“ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是_________________ 12.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?)( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示, 则 f (1) ? f (2) +?+f(4006)的值为 。
开始
S ? 0, i ? 1, a ? 1
S? S?a i ? i?1

结束
输出 i

第 12 题

a ? a?i ? S



a ? 500?
第 13 题图



13.如图所示程序框图,输出结果是

14. 已知双曲线的焦点在 y 轴上,两条渐近线方程为 y ? 2 x ,则双曲线的离心率 e 等于 15.某邮局现只有邮票 0.6 元,0.8 元,1.1 元的三种面值邮票,现有邮资为 7.50 元的邮件一件,为使 粘贴的邮票张数最少;且资费恰为 7.50 元,则至少要购买___________张邮票. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)
·2·

已知函数 f(x)=2acos2x+bsinxcosx,且 f(0)=2,f( (1)求 f(x)的最大值与最小值;

?
3

)=

3 1 + . 2 2

(2)若α -β ≠kπ ,k∈Z,且 f(α )=f(β ),求 tan(α +β )的值. 17.(本小题满分 12 分) 某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当每辆车的月租金每 增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 200 元. (1)当每辆车的月租金为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少元?

18. (本小题满分12分) 如图 5,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等边 三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; A B E

C

F 图5

D

19. (本小题满分12分) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 2, an ?1 ? 2 ?

1 , n ? 1,2,3,4,? . an

(1)求证:数列 ?
n

? 1 ? ? 为等差数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; ? an ? 1 ?

(3)令 Tn ?

?
i ?1

3 ai ?1 ,证明: Tn ? n ? . 4 ai

·3·

20. (本小题满分13分) 已知圆 M : ( x ? m)2 ? ( y ? n)2 ? r 2 及定点 N (1, 0) ,点 P 是圆 M 上的动点,点 Q 在 NP 上, 点 G 在 MP 上,且满足 NP =2 NQ ,

??? ?

????

? ???? ??? NP GQ · = 0 . (1)若 m ? ?1, n ? 0, r ? 4 ,求点 G 的轨迹 C 的方程;
(2)若动圆 M 和(1)中所求轨迹 C 相交于不同两点 A, B ,是否存在一组正实数 m, n, r ,使得直 线 MN 垂直平分线段 AB ,若存在,求出这组正实数;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?
3

1 37 (sin ? ) x 2 ? 2 x ? c 的图象过点 (1, ) , [?2,1) 内单调递减, [1, ??) 上 且在 在 2 6

单调递增 (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若对于任意的 x1 , x2 ?[m, m ? 3](m ? 0) ,不等式 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 是否存在.若存在,请求出 m 的范围,若不存在,说明理由;

45 恒成立,试问这样的 m 2

·4·

新津中学高三数学(文)2 月月考试题
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 A 5 B 6 C 7 B 8 C 9 B 10 D

选择题参考答案: 1.解:

1? i ? i,? a ? 0, b ? 1,? a ? b ? 1 ,选 B. 1? i

2.解:由对数函数的定义域可得到: x ? 1 ? 0, 即 x ? (1, ??) 选 C 3. 当 x ? 0时,x( x ? 1) ? 0,? x ? ?1; 当 x ? 0时,x( x ?1) ? 0,? x ? 1或x = 0 ,共 3 个零点,选 C

a4 ? a3 a ?a ? d ,由 a4 ? 15 , S5 ? 1 5 ? 5 ? 55 ,化简可以得到公差 d ? 4 ,选 A 4?3 2 ? ? 5. 由 a ? b ,则 3x ? 6 ? 0,? x ? ?2 ,选 B
4. k ? 6.易知圆的直径所在直线符合题意,由圆心 O(1, 0) ,直线的斜率 k ? 为; x ? y ? 1 ? 0 ,选 C 7.由椭圆的定义可知: AF ? BF ? AB ? 4a ,则 AF ? BF =16-5=11 1 1 1 1 选B 8.从三视图中可以看出该几何体是半球体,则表面积 S ? ? ? 2 ?
2

1? 0 ? ?1 ,则根据点斜式方程 0 ?1

4? ? 22 ? 12? ,选 C 2

9.



? ? a ? ? 3, ?1 , b ? 1, 3

?

?

?

?





c

? ? ? 3? ab s o ? , 2?

3 ?? 2



3 2



s

? ? a nb i ?

, ?2

? ?

? ? 1 1 1 a ,故 a ?o ? 2 ? 2 ? ? 2 ,选 B ? c b b s , 2 2

10.本题为线性规划和几何概型的综合题,由条件可得到:
·5·

?2b ? c ? 8 ,以 b, c 为横纵坐标作出满足条件的平面区域; ? ??2b ? c ? 0
而总面积是由

?0 ? b ? 4 决定的正方形区域
0?c?4

面积之比为

8 1 ? ,选 D 16 2

二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其 中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 12. 0.35 13. 27 , 1005 14. 2 15. (0,1] 填空题参考答案: 11. ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0 ;本题考察 ?与? 的对立性
2

12.由统计知识,该组数据的平均值点 x, y ( )=(4.5,3.5),代入方程得到

a ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35
13.根据框图知识可得到点符合的特征为 (3 , ?2n) , ?2n?? 6 n 3 ? 3 ? 2 由 , ? ? t ? , 7
n 3

; 又因为 2010

之前的奇数共有 1005 个,则输出的组数为 1005 组 14.设半径为 x ,根据平面几何知识(切割线定理) 有 PA ? PB ? PC ? PD ? ( PO ? x)( PO ? x) , 代入数值可得 x ? 2

·6·

15.将曲线化简;得到 y ? x 2 (?1 ? x ? 1) ,作出图像可观察到 0 ? a ? 1

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知坐标平面上三点 A(2,0) , B(0,2) , C (cos? , sin ? ) . (1)若 (OA ? OC )2 ? 7 (O为原点) ,求向量 OB 与 OC 夹角的大小; 解: (1)∵ OA ? OC ? (2 ? cos?, sin ? ) ,

??? ??? ? ?

??? ??? 2 ? ? , (O A? O C ? 7 )
∴ (2 ? cos? ) 2 ? sin 2 ? ? 7 , ∴ cos ? ? ????? 2 分 ????? 4 分

1 . 2

又 B(0,2) , C (cos? , sin ? ) ,设 OB 与 OC 的夹角为 ? ,则:

cos? ?

OB ? OC OB OC

?

2 sin ? 3 , ? sin ? ? ? 2 2

∴ OB 与 OC 的夹角为

??? ?

????

? 5 或 ?. 6 6

???? 7 分

(2)若 AC ? BC ,求 sin 2? 的值. 解 :? AC ? (cos ? ? 2,sin ? ) ,

??? ?

BC ? ( c o?, s i n ? 2) , s ?
由 AC ? BC ,∴ AC ? BC ? 0 , 可得 cos ? ? sin ? ? ∴ (cos ? ? sin ? ) ?
2

??? 9 分

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?
1 ,① 2

???? 11 分

1 3 ,∴ 2 sin ? cos ? ? ? , 4 4
????12 分

sin 2? ? ?

3 4

·7·

17. (本小题满分12分) 甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个,甲、乙两人 依次各抽一题。 ① 甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少? 解: (1)记 “甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件A, 甲抽到选择题有 6 种抽法,乙抽到判断题有 4 种抽法, 所以事件 A 的基本事件数为 6 ? 4 ? 24 ∴ P ( A) ? ??????4 分 ??6 分 ??2分

6? 4 4 ? 10 ? 9 15

② 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少? 解: (2)记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件 B, “至少一人抽到选择题”为事件 C, 则 B 含基本事件数为 4 ? 3 ? 12 由古典概率公式得 P ( B ) ? ????8 分 ???10 分

12 2 ? 10 ? 9 15
2 3 ? 15 15

由对立事件的性质可得 P (C ) ? 1 ? P ( B ) ? 1 ?

??12 分

18. (本小题满分 14 分) 如图 5,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , △ ACD 为等边三角形, AD ? DE ? 2 AB , B E

F 为 CD 的中点.
(1)求证: AF // 平面 BCE ; C
·8·

A

F 图5

D

证明:(1) 证:取 CE 的中点 G ,连结 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中点, ∴ GF // DE 且 GF ?

1 DE . 2

∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , ∴ AB // DE ,∴ GF // AB . 又 AB ?

1 DE ,∴ GF ? AB . 2

???? 4 分

∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG . ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE . (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; 证:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点, ∴ AF ? CD ∵ DE ? 平面 ACD , ???? 9 分 ???? 7 分

AF ? 平面 ACD ,∴ DE ? AF .
又 CD ? DE ? D ,故 AF ? 平面 CDE .???? 11 分 ∵ BG // AF ,∴ BG ? 平面 CDE . ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE . ????14 分

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 2, an ?1 ? 2 ?

1 , n ? 1,2,3,4,? . an

·9·

(1)求证:数列 ?

? 1 ? ? 为等差数列; ? an ? 1 ?
1 , an

证明:? an ?1 ? 2 ?

?

1 an ?1 ? 1

?

1 1 1 ? = an ? 1 2 ? 1 ? 1 an ? 1 an
??????3 分

=

an a ?1 1 ? ?1. = n an ? 1 an ? 1 an ? 1

数列 ?

? 1 ? ? 为等差数列. an ? 1 ? ?

??????4 分

(2)求数列 ?an ? 的通项公式; 解: 由(1)得, ? 首项为 ?

? 1 ? ? 为等差数列,公差为 1, ? an ? 1 ?
??????6 分

1 ? 1. 2 ?1

1 ? 1 ? (n ? 1) ? n . an ? 1
1 n ?1 ? .???9 分 n n

??????8 分

? an ? 1 ?

(3)令 Tn ?

?
i ?1

n

3 ai ?1 ,证明: Tn ? n ? . 4 ai

? an ?1 ?

n?2 , ???10 分 n ?1
???11 分

?

an ?1 n(n ? 2) 1 ? 1? ? . 2 (n ? 1)2 an (n ? 1)

1 1 1 1 ???12 分 ? 2 ? 2 ? ...... ? ]. 2 2 3 4 (n ? 1)2 1 1 1 1 3 1 3 当 n ? 2 时, Tn ? n ? [ 2 ? ? ? ...... ? ]?n? ? ?n? . 2 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 4 n ?1 4 ?Tn ? n ? [
·10·

????13 分 当 n ? 1 时, T1 ? 1 ? 综上所述: Tn ? n ?

3 1 3 ? ? 1? . 2 4 2 4

3 . ???14 分 4

20. (本小题满分14分) 已知圆 M : ( x ? m)2 ? ( y ? n)2 ? r 2 及定点 N (1, 0) ,点 P 是圆 M 上的动点,点 Q 在 NP 上, 点 G 在 MP 上,且满足

??? ? ? ???? ???? ??? NP =2 NQ , GQ · = 0 . NP
(1)若 m ? ?1, n ? 0, r ? 4 ,求点 G 的轨迹 C 的方程; 解: (1)? NP ? 2 NQ,?点 Q 为 PN 的中点, 又? GQ ? NP ? 0 ,

??? ?

????

??? ??? ? ?

? GQ ? PN 或 G 点与 Q 点重合.∴| PG |?| GN | .
又 | GM | ? | GN |?| GM | ? | GP |?| PM |? 4. ∴ G 的轨迹是以 M , N 为焦点的椭圆, 点 且 a ? 2, c ? 1, ∴b ?

????2 分

a 2 ? c2 ? 3,? G 的轨迹方程是

x2 y2 ? ? 1. ????6 分 4 3

(2)若动圆 M 和(1)中所求轨迹 C 相交于不同两点 A, B ,是否存在一组正实数 m, n, r ,使得直 线 MN 垂直平分线段 AB ,若存在,求出这组正实数;若不存在,说明理由. 解:不存在这样一组正实数,下面证明: ??7 分

由题意,若存在这样的一组正实数,当直线 MN 的斜率存在时,

·11·

设之为 k ,故直线 MN 的方程为:

y ? k ( x ? 1) ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 中点 D( x0 , y0 ) ,

? x12 y12 ? ?1 ? ( x ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4 3 ? ? 0 .????9 分 则? ,两式相减得: 1 4 3 x2 2 y2 2 ? ? ?1 ? 4 3 ?
注意到

y1 ? y2 1 ?? , x1 ? x2 k

x1 ? x2 ? ? x0 ? 2 ? 且? ? y ? y1 ? y2 ? 0 ? 2




3x0 1 ? , 4 y0 k



又点 D 在直线 MN 上,? y0 ? k ( x0 ? 1) , 代入② 式得: x0 ? 4 . 因为弦 AB 的中点 D 在⑴ 所给椭圆 C 内,故 ?2 ? x0 ? 2 , 这与 x0 ? 4 矛盾,所以所求这组正实数不存在. ????13 分

当直线 MN 的斜率不存在时,直线 MN 的方程为 x ? 1 , 则此时 y1 ? y2 , x1 ? x2 ? 2 , 代入① 式得 x1 ? x2 ? 0 ,这与 A, B 是不同两点矛盾. 综上,所求的这组正实数不存在. ???14 分

21. (本小题满分 14 分) 对于定义域为 D 的函数 y ? f (x) ,若同时满足下列条件:① f (x) 在 D 内单调递增或单调递减;②存
·12·

在区间[ a, b ] ? D ,使 f (x) 在[ a, b ]上的值域为[ a, b ];那么把 y ? f (x) ( x ? D )叫闭函数。 (Ⅰ)求闭函数 y ? ? x 3 符合条件②的区间[ a, b ]; 解: (Ⅰ)由题意, y ? ? x 3 在[ a, b ]上递减,

?b ? ?a 3 ? 3 则 ?a ? ?b ?b ? a ?
解得 ?

?a ? ?1 ????3 分 ?b ? 1
?????????4 分

所以,所求的区间为[-1,1] (Ⅱ)判断函数 f ( x) ?

3 1 x ? ( x ? 0) 是否为闭函数?并说明理由; 4 x 7 76 ? f ( x2 ) , 解:取 x1 ? 1, x2 ? 10, 则 f ( x1 ) ? ? 4 10
即 f (x) 不是 (0,??) 上的减函数。????6 分

取 x1 ?

1 1 , x2 ? , 10 100 3 3 f ( x1 ) ? ? 10 ? ? 100 ? f ( x 2 ) , 40 400
即 f (x) 不是 (0,??) 上的增函数 ????8 分

所以,函数在定义域内不单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数。 ---------9 分 (Ⅲ)若 y ? k ? 解:若 y ? k ?

x ? 2 是闭函数,求实数 k 的取值范围。 x ? 2 是闭函数,则存在区间[ a, b ],

在区间[ a, b ]上,函数 f (x) 的值域为[ a, b ],

?a ? k ? a ? 2 ? ? 即 ?b ? k ? b ? 2 ,? a, b 为方程 ?

·13·

x ? k ? x ? 2 的两个实数根,????10 分
即方程 x2 ? (2k ? 1) x ? k 2 ? 2 ? 0( x ? ?2, x ? k ) 有两个不等的实根。

? ?? ? 0 ? 当 k ? ?2 时,有 ? f ( ?2) ? 0 , ? 2k ? 1 ? ? ?2 ? 2
解得 ?

9 ? k ? ?2 4

????12 分

? ?? ? 0 ? 当 k ? ?2 时,有 ? f ( k ) ? 0 ,无解 ? 2k ? 1 ? ?k ? 2
综上所述, k ? ( ?

??13 分

9 , ?2] 4

-----------14 分

·14·


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