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江苏省溧阳市戴埠高级中学高中数学 18直线的斜率(2)学案


直线的斜率(2)
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【学习目标】 1. 掌握直线的倾斜角的概念,了解直线的倾斜角的范围; 2. 理解直线的斜率与倾斜角之间的关系,能根据直线的倾斜角求出直线的斜率; 3. 通过操作体会直线的倾斜角变化时,直线斜率的变化规律. 【课前准备】 基础知识 1. 经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存

在,求其斜率. (1)?1, ?1? , ? ?3,2?

? 3,0? , ? 3,

3

?

; (2)?1, ?2? ,? 5, ?2?

; (3)? 3,4 ? ,? ?2, ?5?

; (4)



过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) , ( x1 ? x2 ) 的直线斜率公式: 【课堂学习】 一.重点难点 1. 重点:直线斜率和倾斜角的定义及计算; 2. 难点:直线的斜率与倾斜角之间的关系. 二.知识建构 引例 1.过原点并且与 x 轴正方向所成的角为 45 的直线 l1 在平面直角坐标系中的位置确定了. 2.过 P (- 2,0) 且与 x 轴正方向所成的角为 120 的直线 l2 在平面直角坐标系中的位置确定
o

o

了. 直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,把 绕着交点 按 (顺、逆)时针旋转到和直线重合时所转过的 称为这条直线的倾斜角, 并规定:与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 . 倾斜角的范围: . 直线的倾斜角与斜率的关系:当直线的倾斜角不等于 时,直线的斜率 k 与倾斜角 ? 之 间满足关系 .
? ? ? 当 倾 斜 角 ? ? 0 时 , 斜 率 k ? 0 ; 当 0 ? ? ? 90 时 , 斜 率 k ? 0 , ? 增 大 时 k 随



? ? ;当 90 ? ? ? 180 时,斜率 k ? 0 , ? 增大时 k 也是随之



三.典型例题 例 1 : 直 线 l1 , l 2, l 3 如 图 所 示 , 则 l1 , l2 , l3 的 斜 率 k1 , k2 , k3 的 大 小 关 系 为 ,倾斜角 ?1 , ? 2 , ? 3 的大小关系为 .

例 2: (1)经过两点 A(2,3), B(1, 4) 的直线的斜率为

,倾斜角为

; .

? (2) 经过两点 A(4, 2 y ? 1), B(2, ?3) 的直线的倾斜角为 120 , 则y?

1

例 3: (1)已知直线 l 的斜率 k ? [? 3,1) ,求倾斜角 ? 的取值范围. (2)已知直线 l 的倾斜角 ? ? (

? 2?
6 , 3

] ,求斜率 k 的取值范围.

例 4:已知 M (2m ? 3, m), N (m ? 2,1) , (1)当 m 为何值时,直线 MN 的倾斜角为锐角? (2)当 m 为何值时,直线 MN 的倾斜角为钝角? (3)当 m 为何值时,直线 MN 的倾斜角为直角?

例 5:若过原点 O 的直线 l 与连结 P(2, 2), Q(6, 2 3) 的线段相交,求直线 l 的倾斜角和斜率 的取值范围.

四.反馈练习 1.已知 A(?1,3), B( 3, ? 3) ,则直线 AB 的倾斜角 ? 为 ,斜率 k 为 . .

2.已知直线 l1 的倾斜角为 ? ,直线 l2 与 l1 关于 x 轴对称,则直线 l2 的倾斜角为

2

3.已知直线 l 的倾斜角的变化范围为 ? ? [

? ?

, ) ,则该直线斜率的变化范围是 6 3



4.设点 A(2, ?3), B (? 3, ? 2) ,直线 l 过点 P(1, 2) ,且与线段 AB 相交,求直线 l 的斜率的取 值范围.

五.学法指导 1.倾斜角是一个几何概念,它直观地描述且表现了直线的倾斜程度; 2.平面直角坐标系第一条直线都有一个确定的倾斜角, 且倾斜程度相同的直线, 其倾斜角相 等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等; 3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角, 二者缺一不可; 4.倾斜角 ? 不是 90 的直线都有斜率,而且倾斜角不同,直线的斜率也不同.因此,我们可 以用斜率表示直线的倾斜程度;
?

5.仅用倾斜角这个几何概念来刻画直线方向是不符合解析思想 (即用代数的方法研究几何问 题)的,由此想到三角函数,因为 tan ? ? R ,可设 k ? tan ? .这样,就可以从代数的角度 去刻画直线的倾斜程度. ?【课后复习】 六.巩固练习 1.判断下列命题的真假: (1)每一条直线都有倾斜角; (2)每一条直线都有斜率;

(3)一次函数 y ? kx ? 1 的图像是过定点 ? 0,1? 的所有直线;

(4)若两条直线的倾斜角相等,则他们的斜率也相等. 2.若直线 l 的斜率小于 0 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 3.已知直线 PQ 的斜率为 ? 3 ,将直线绕点 P 顺时针旋转 60 所得直线的斜率是
?



4.已知直线 l ,若斜率 k ? (?1,

3 ) ,则倾斜角 ? 的范围为 3 ? ? 5.若倾斜角 ? ? [45 ,135 ) ,则斜率 k 的取值范围为

?

. .

6. 若 过 点 P ?1 ? a,1? a? , Q ? 3,2a ? 的 直 线 的倾斜 角 为 钝 角, 那 么实 数 a 的 取 值 范围 是 7.经过两点 A(m,2), B(?m,2m ? 1) 的倾斜角是 60 ,则 m 的值为 (下面各题做在作业本上) 8.如图所示,菱形 ABCD 中 ?BAD ? 60 ,求菱形各边和两条对角线所 在直线的倾斜角和斜率.
?



3

9.已知直线过点 A(2m,3), B(2, ?1) ,根据下列条件,求实数 m 的值. (1)直线倾斜角为 135 ; (2)直线倾斜角为 90 ; (3)直线倾斜角为锐角.
? ?

10.已知经过点 A(m, 2), B(?m, 2m ?1) (m ? 0) 的直线的倾斜角为 45 ? ? ? 60 , 试求实数 m 的取值范围.
? ?

11.过原点的直线 l 与过点 P(2,2), Q(6,2 3) 的线段相交, 求直线 l 的斜率和倾斜角的取值范 围.

12.过 P ?1, ? 3 的直线 l 与 y 轴的正半轴没有公共点,求直线 l 的倾斜角的范围.

?

?

4


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