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高中数学竞赛主要知识与方法概要讲座材料


数学竞赛讲座
1 抽屉原则 抽屉原则的常见形式 一,把 n+k(k≥1)个物体以任意方式全部放入 n 个抽屉中,一定存在一个抽屉中至少有两 个物体。 二,把 mn+k(k≥1)个物体以任意方式全部放入 n 个抽屉中,一定存在一个抽屉中至少有 m+1 个物体。 三,把 m1+m2+…+mn+k(k≥1)个物体以任意方式全部放入 n 个抽屉中,那么后在一个抽 屉里至少放入了

m1+1 个物体,或在第二个抽屉里至少放入了 m2+1 个物体,??,或在第 n 个抽屉里至少放入了 mn+1 个物体 四,把 m 个物体以任意方式全部放入 n 个抽屉中,有两种情况:①当 n|m 时(n|m 表示 n 整除 m) ,一定存在一个抽屉中至少放入了 个抽屉中至少放入了[

m 个物体;②当 n 不能整除 m 时,一定存在一 n

m ]+1 个物体([x]表示不超过 x 的最大整数) n

五,把无穷多个元素分成有限类,则至少有一类包含无穷多个元素。 注: 背下来上面的几种形式没有必要, 但应当清楚这些形式虽然不同, 却都表示的一个意思。 理解它们的含义最重要。在各种竞赛题中,往往抽屉原则考得不少,但一般不会很明显的让 人看出来, 构造抽屉才是抽屉原则中最难的东西。 一般来说, 题目中一旦出现了“总有” “至 少有” “总存在”之类的词,就暗示着我们:要构造抽屉了。 2 容斥原理 容斥原理常常使用, 其实说简单点, 就是从多的往下减, 减过头了在加回来, 又加多了再减, 减多了再加??,最终得到正确结果。对于计数中容易出现重复的题目,我们常常采用容斥 原理,去掉重复的情况。 容斥原理基本形式:

A1 ? A2 ? ? An ? ?| Ai | ?
i ?1

n

1?i ? j ?n

? A ?A
i

j

?

1?i ? j ?k ?n

? A ?A
i

j

? Ak ? ? ? ?? 1?

n ?1

A1 ? A2 ? ? An

其中|A|表示集合 A 中元素的个数。 3 递推方法 许多竞赛题目正面计算十分困难,于是我们避开正面计算,先考虑 n-1 时的情况,在计算 n 时的情况比 n-1 时的情况增添了多少, 然后写出一个递推式, 这样就可以利用数列的知识进 行解决,但一般要求根据递推式求通项的能力要比较强,是和擅长数列的同学使用。没什么 具体解释,多多练习吧 4 映射计数

个人认为映射计数绝对是计数方法中最经典的一种, 常常能将复杂至极的问题简单化, 变成 人人都会做的普通题目。但是想熟练掌握往往是不容易的,要求有大量的习题积累,才能形 成建立映射的能力。 明确概念:对于 y=f(x) 单射:不同的 x 对应不同的 y,即|x|≤|y| 满射:每个 y 至少有一个 x 映射,即|x|≥|y| 双射:即是单射又是满射,即|x|=|y|

倍数映射:|x|=m|y|

m? N ? ,m ? 1

注:双射即通常说的一一映射,有的人将双射理解为 m=2 的倍数映射或其他映射,这是不对 的。不要从感觉上去理解。双射应当是“单射”“满射”的综合。 利用映射解题,一般是建立双射,将要证明的问题转化为其他的问题,但是计算总数不变。 而我们不仅要会建立双射, 也应会建立单射和满射, 因为显然建立单射和满射是证明不等关 系的极好方法,不可以忽略。利用倍数映射解决的题目,我目前还没遇到多少,但还是要时 刻记着有这样一种方法。 一,建立双射 集合{1,2,??,2004}有多少个元素和为奇数的子集? 将正整数 n 写成若干个 1 与若干个 2 之和, 和项的顺序不同认为是不同的写法, 所有写法的 种数记为 A(n);将正整数 n 写成若干个大于 1 的正整数之和,和项顺序不同认为是不同的 写法,所有写法的种数记为 B(n),求证:A(n)=B(n+2) 注: 此题即为很好的映射计数例子。 因为即便不用映射我们可以把 A(n)求出来, 再把 B(n+2) 求出来,然后比较后会发现两者相等,但这显然是超大工作量,如果使用了映射计数,我们 只需用一些技巧,在 A(n)和 B(n+2)中建立双射,此题即得到证明。 二,建立单射或满射 注:映射计数可能会有一定难度,如果觉得掌握不了也不要灰心,只要多练,时间一长自然 就会了。

不等式与最值
1 平均不等式

H n ? Gn ? An ? Gn
等号成立当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an

注意:运用平均不等式需注意各项均为正数! 题外话:有很多同学十分“痛恨”

??

这两个符号,总是看不懂,其实这两个符号是

绝对好用的, 并且以后会常常遇到, 在大学课本中更是家常便饭, 多看几次自然也就习惯了。 例 a, b, c, d ? R ?,且a ? b ? c ? d ? 1 求证: 4a ? 1 ? 4b ? 1 ? 4c ? 1 ? 4d ? 1 ? 6 , 分析: 为了凑出 a+b+c+d,以便充分利用条件,将 4a+1,4b+1,4c+1,4d+1 视作整体,利用平均不等 式。 2 柯西不等式及其变形 设 ai , bi ? R (i=1,2,…,n),则

? n ? ? n ?? n ? ? ? ai bi ? ? ? ? ai2 ?? ? bi2 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?? i ?1 ?

2

其中等号成立,当且仅当

ai 为定值 bi

注:这个式子在竞赛中极为常用,只需简记为“积和方小于方和积” 。等号成立条件比较特 殊,要牢记。此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数,因此应用范围较广。 常用变形一:

若ai ? R,bi ? R ? (i=1,2,…,n),则
? n ? ? ? ai ? n ai2 ? i ?1 ? ?b ? n i ?1 i ? bi
i ?1 2

注:要求 bi 为正数

常用变形二:

若 ai,bi ? R ? (i=1,2,…,n),则

? n ? ? ? ai ? n ai ? i ?1 ? ?b ? n i ?1 i ? ai bi
i ?1

2

注:要求 ai,bi 均为正数。当然,这两个式子虽常用,但是记不记并不太重要,只要将柯西 不等式原始的式子记得很熟, 这两个式子其实是一眼就能看出来的, 这就要求我们对柯西不 等式要做到活学活用。 例:

,求3a ? 2b ? 5c ? d 的最小值。并指出等号成立的条件。 若 5a ? 6b ? 7c ? 4d ? 1
2 2 2 2

分析: 由于 a,b,c,d 各项系数不同,而且既有 1 次项,又有 2 次项,显然要用柯西不等式。而且使 用柯西不等式不受-7c 这项的影响。使用时,注意写明等号成立条件,检验最小值能否取到。 柯西不等式推广——赫尔德不等式

若 ai,bi ? R ? (i=1,2,…,n),p>1,q>1 且
1 1

1 1 ? ? 1则 p q

? n ?p? n ?q ? ai bi ? ? ? aip ? ? ? biq ? i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ?
n

注:这个式子成立的前提挺多,不难看出当 p=q=2 时,这个式子即为柯西不等式。 3 排序不等式 4 琴生不等式 首先来了解凸函数的定义 一般的,设 f(x)是定义在(a,b)内的函数如果对于定义域内的任意两数 x1,x2 都有

? x ? x2 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? f? 1 ?? 2 ? 2 ?
则称 f(x)是(a,b)内的下凸函数,一般说的凸函数,也就是下凸函数,例如 y=x2,从图像上即 可看出是下凸函数, 也不难证明其满足上述不等式。 如果对于某一函数上述不等式的等号总 是不能成立,则称此函数为严格凸函数。 注: 凸函数的定义为我们提供了极为方便地证明一个函数为凸函数的方法。 这个方法经常使 用。此外利用二阶求导也可以判断一个函数为凸函数,凸函数的二阶导数是非负数。 凸函数具有的常用性质 性质一: 对于(a,b)内的凸函数 f(x),有

? n ? ? xi f ? i ?1 ? n ? ?

? ? ?? ? ? ?

? f ?x ?
i ?1 i

n

n

注:此即常说的琴生不等式

性质二:加权的琴生不等式

对于(a,b)内的凸函数,若

?a
i ?1

n

i

? 1 ,则

? n ? n f ? ? a i xi ? ? ? a i f ? xi ? ? i ?1 ? i ?1
注:加权琴生不等式很重要,当 a i ?

1 时,即为原始的琴生不等式。 n

注:另外,对于上面有关凸函数和琴生不等式的部分,如果将不等号全部反向,则得到的便 是凹函数,以及凹函数的琴生不等式。 例
n

设 xi>0(i=1,2,…,n) ,

?x
i ?1

i

? 1 ,求证: ?
i ?1

n

xi 1 ? xi

?

?
i ?1

n

xi

n ?1

注:不仅要用琴生不等式,注意知识综合利用。 5 利用二次函数的性质 一般来说,许多题目是涉及 x,y,z 三个量的证明题,由于二次函数的性质十分好用,因此 凑出一个关于其中一个字母的二次函数,进而利用二次函数的性质可以解决最值问题。 例 设 x,y,z≥0,且 x+y+z=1,求 xy+yz+zx-3xyz 的最大最小值。 提示:

4?3z ? 1? z ? z 2 ? 1 ? 4 z ? 3z 2 将 x=1-y-z 代入,整理成关于 y 的二次函数,最值即为 4?3z ? 1?
整理后不难得到 z=0 和 z=1 式分别取到最大值 即可。

?

? ?

?

2



1 和最小值 0, 然后只需举一例证明能够取到 4

1. x, y, z ? 0, 且 xyz ? 1. 求证:

x3 y3 z3 3 ? ? ? ?????(1) (1 ? y)(1 ? z ) (1 ? z )(1 ? x) (1 ? x)(1 ? y) 4
. 2.设f ? x ? y ? z ? xyz, 其中x, y, z ? 0, 且x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1. 求 f 的最大值与最小值

3.设a0 , a1 ,?, an ? 0且a0 ? 1. ai ? ai ?1 ? ai ?2 , i ? 0,1,2?, n ? 2, 其中n ? 2. 求a0 ? a1 ? ? ? an的最小值。
4.对于给定的正整数 n ,求最小的正整数 ? ,使得: 如果 a1 , a2 ,?, an ? ? ,2? , b1 , b2 ,?, bn是a1 , a2 ,?, an的一个排列。 1 就有
n ai3 ? ? ? ai2 . ?b i ?1 i ?1 i n

5.设 a1 ?
2002 k ?1

1 1 , a n ? (1 ? a n ?1 ) 2 , n ? 2. 求最小的实数 ? 使得 ?x1 , x2 ,?, x2002 ? 0. 4 4

?A

k

? ? ? a 2002 ,其中 Ak ?

xk ? k 1 ? ? ? xk ? xk ?1 ? ? ? x2002 ? k (k ? 1) ? 1? 2 ? ?
2

6 . 设 a1 ? a2 ? ? ? an ? 0. 且
n

? ai2 ? 1 . 求 证 :
i ?1

n

?
i ?1

n

ai i ? i ?1

? 1. 7 . 设

xi ? 0, i ? 1,2,?, n. 且

?x
i ?1

i

? 1. 设x0 ? 0 .求证:

1? ?
i ?1

n

xi 1 ? x1 ? x2 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn f ( x, y, z) ? x x 2 ? 8 yz x x 2 ? 8 yz ? ?

? y

?
2

.

8.







?x, y, z ? 0.

y 2 ? 8xz y y 2 ? 8xz ?

?

z z 2 ? 8xy z z 2 ? 8xy
? 1

? 1. 9 . 求 证 :

?x, y, z ? 0, f ( x, y, z) ?

? 2.

对原命题加强,证明: ?a, b, c ? 0, 且abc ? 1.

1 1 ? 2a

1 ? 2b

?

1 1 ? 2c

? 2. 10.设

x, y, z ? 0, x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1. 求 f ?

x y z ? ? 的 最 大 、 最 小 值 。 11 . 设 1 ? yz 1 ? xz 1 ? xy

求最小的正数 k , 使得 ?x, y, z ? 0, 有 x, y ? R. ( x 2 ? 1)( y 2 ? 1) ? 2. 求 x ? y 的最小值 12.

x x? y

?

y y?z

?

z z?x
2 i

?k x? y?z .
2

? n ? ? n ? ? n ? 13.设 xi , yi , zi ? 0, xi yi ? z ? 0. i ? 1,2,3,?, n. 且 ? ? xi ? ? ? ? y i ? ? ? ? z i ? ? 1. ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?


?x y
i ?1 i

n

1 的最小值。 2 i ? zi

14 . 设 0 ? a ? b, 令 f ? ?x1 ? x 2 ? ? ? x n ?? ?

?1 1 1? ? ? ? ? ? , xi ? ?a, b? , xn ? ? x1 x2 ?

i ? 1,2,3,?, n. 求 f 的最大值和最小值。
15.若 x, y, z ? R, 且x ? y ? z ? 2. 则 x ? y ? z ? xyz ? 2.
2 2 2

三角函数
一、常用公式 由于是讲竞赛,这里就不再重复过于基础的东西,例如六种三角函数之间的转换,两角和与 差的三角函数,二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多,有些还是不能 不写。先从最基础的开始(这些必须熟练掌握) : 半角公式

sin

?
2

??

1 ? cos? 2

cos ?? 2

?

1? c o ? s 2

tan

?
2

??

1 ? cos? 1 ? cos? sin ? ? ? 1 ? cos? sin ? 1 ? cos?

积化和差

sin ? cos ? ?

1 ? ? ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? c o s s i n? ? 1 ?s i n? ? ? ? ? s i n? ? ? ?? ? 2 2 1 cos ? cos ? ? ?cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ?? 2 1 ? ? s i n s i n ? ? ?c o s? ? ? ? ? c o s? ? ? ?? ? ? 2

和差化积

sin ? ? sin ? ? 2 sin

???

2 2 ??? ??? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2
2 tan ? 1 ? tan 2 ?

cos

???

s i n ? s i n ? 2c o s ? ?

???
2

sin

???
2

c o s ? c o s? ? ?2 s i n ?

???
2

sin

???
2

万能公式

sin 2? ?

c o s? ? 2

2 1 ? t a n? 2 1 ? t a n?

t an ? ? 2

2t an ? 2 1? t a n ?

三倍角公式

sin 3? ? 3sin ? ? 4 sin 3 ? ? 4 sin 60? ? ? sin ? sin 60? ? ?

?

?

?

? ?

cos3? ? 4 cos3 ? ? 3 cos? ? 4 cos 60? ? ? cos? cos 60? ? ?

?

?

?

三、三角函数求值 给出一个复杂的式子,要求化简。这样的题目经常考,而且一般化出来都是一个具体值。要 熟练应用上面的常用式子,个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的,如果看到一些 不常用的角,应当考虑用和差化积、积化和差,一般情况下直接使用不了的时候,可以考虑 先乘一个三角函数,然后利用积化和差化简,最后再把这个三角函数除下去 举个例子

2? 4? 6? ? cos ? cos 7 7 7 2? 提示:乘以 2 sin ,化简后再除下去。 7
求值: cos 求值: cos 10? ? cos 50? ? sin 40? sin 80?
2 2

来个复杂的 设 n 为正整数,求证

? sin 2n ? 1 ?
i ?1

n

i?

2n ? 1 2n

另外这个题目也可以用复数的知识来解决,在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是:x 为锐角,则 sin x ? x ? tan x ;还有就是正余弦的有界性。

数列

1 给递推式求通项公式 (1)常见形式即一般求解方法 注:以下各种情况只需掌握方法即可,没有必要记住结果,否则数学就变成无意义的机械劳 动了。 ① an?1 ? pan ? q 若 p=1,则显然是以 a1 为首项,q 为公差的等差数列, 若 p≠1,则两边同时加上

q q ,变为 a n ?1 ? ? p ?1 p ?1

? q ? ? p? a n ? ? p ?1? ? ?

显然是以 a1 ?

q 为首项,p 为公比的等比数列 p ?1
若 p=1 , 则 显 然

② an?1 ? pan ? f ?n? , 其 中 f(n) 不 是 常 数

an=a1+

? f ?i ? ,n≥2
i ?1

n ?1

若 p≠1,则两边同时除以 pn+1,变形为

an?1 an f ?n? ? n ? n?1 n ?1 p p p

利用叠加法易得

n ?1 ? an a1 n?1 f ?i ? f ?i ?? ? ? ? i ?1 ,从而 a n ? p n ?1 ?a1 ? ? i ? n p i ?1 p p i ?1 p ? ?

注: 还有一些递推公式也可以用一般方法解决, 但是其他情况我们一般使用其他更方便的方 法,下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法” 。 (2)不动点法 当 f(x)=x 时,x 的取值称为不动点,不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子: a n ?1 ?

a ? an ? b c ? an ? d

注:我感觉一般非用不动点不可的也就这个了,所以记住它的解法就足够了。 我们如果用一般方法解决此题也不是不可以,只是又要待定系数,又要求倒数之类的,太复 杂,如果用不动点的方法,此题就很容易了 令x ?

a?x?b 2 ,即 cx ? ?d ? a?x ? b ? 0 , c?x? d

令此方程的两个根为 x1,x2, 若 x1=x2 则有

1 1 ? ?p a n ?1 ? x1 a n ? x1
其中 k 可以用待定系数法求解,然后再利用等差数列通项公式求解。

注:如果有能力,可以将 p 的表达式记住,p=

2c a?d

若 x1≠x2 则有

an?1 ? x1 a ? x1 ? q? n an?1 ? x2 an ? x2 a ? cx1 a ? cx2

其中 k 可以用待定系数法求解,然后再利用等比数列通项公式求解。 注:如果有能力,可以将 q 的表达式记住,q=

(3)特征根法 特征根法是专用来求线性递推式的好方法。 先来了解特征方程的一般例子,通过这个来学会使用特征方程。 ① an?2 ? pan?1 ? qan 特征方程为 x2=px+q,令其两根为 x1,x2
n n 则其通项公式为 an ? A ? x1 ? B ? x2 ,A、B 用待定系数法求得。

② an?3 ? pan?2 ? qan?1 ? ran 特征方程为 x3=px2+qx+r,令其三根为 x1,x2,x3
n n n 则其通项公式为 an ? A ? x1 ? B ? x2 ? C ? x3 ,A、B、C 用待定系数法求得。

注: 通过这两个例子我们应当能够得到特征方程解线性递归式的一般方法, 可以试着写出对 于一般线性递归式的特征方程和通项公式, 鉴于 3 次以上的方程求解比较困难, 且竞赛中也 不多见,我们仅需掌握这两种就够了。 (4)数学归纳法 简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证。 这样的题虽说有不少但 是要提高不完全归纳的水平实在不易。大家应当都会用数学归纳法,因此这里不详细说了。 但需要记得有这样一个方法,适当的时候可以拿出来用。 (5)联系三角函数 三角函数是个很奇妙的东西,看看下面的例子

an?1 ?

2an 2 1 ? an

看起来似乎摸不着头脑,只需联系正切二倍角公式,马上就迎刃而解。 注:这需要我们对三角函数中的各种公式用得很熟,这样的题目竞赛书中能见到很多。 例 数列 ?an ? 定义如下: a1 ?
2 2 , an?1 ? 2 ? 4 ? an ,求 ?an ? 通项

注:这个不太好看出来,试试大胆的猜想,然后去验证。 (6)迭代法 先了解迭代的含义

f 0 ?x? ? x,f 1 ?x? ? f ?x?,f 2 ?x? ? f ? f ?x??,f 3 ?x? ? f ? f ? f ?x???, ? ?

f 右上角的数字叫做迭代指数,其中 f 再来了解复合的表示

?n

?x ? 是表示 f n ?x? 的反函数

f ? g ?x? ? f ?g ?x?? , f ? g ? h?x ? ? f ?g ?h?x ???
如果设 F ?x ? ? g ?1 ? f ? g ?x ? ,则 F n ?x? ? g ?1 ? f
n

? g ?x? ,就可以将求 F(x)的迭代转变为

求 f(x)的迭代。这个公式很容易证明。使用迭代法求值的基础。 而在数列中我们可以将递推式看成 an?1 ? F ?an ?,因此求通项和求函数迭代就是一样的了。 我们尽量找到好的 g(x),以便让 f(x)变得足够简单,这样求 f(x)的 n 次迭代就很容易得到了。 从而再得到 F(x)的 n 次迭代式即为通项公式。 2 数列求和 求和的方法很多, 像裂项求和, 错位相减等等, 这些知识就算单纯应付高考也应该都掌握了, 这里不再赘述。主要写竞赛中应当掌握的方法——阿贝尔恒等式。 阿贝尔(Abel)恒等式 有多种形式,最一般的是

? ak bk ? ? S k ?bk ? bk ?1 ? ? S n bn
k ?1 k ?1

n

n ?1

其中 S k ?

?a
i ?1

k

k

注:个人认为,掌握这一个就够了,当然还有更为一般的形式,但是不容易记,也不常用。 Abel 恒 等 式 就 是 给 出 了 一 个 新 的 求 和 方 法 。 很 多 时 候 能 简 化 不 少 。 例 : 假 设

a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 ,且 ? ai2 ? 1 ,求证: ?
i ?1 i ?1

n

n

ai i ? i ?1

?1


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