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高一数学序言课


高一数学序言课
2012 年高考数学试题评析
这些年来,每当高考结束,专家们总会感到,数学高考复习教师做了那么多 的工作,学生做了那么多的习题,可效果并不见得多么好。看来,我们需要对高 中数学学习的有效性做一定的研究。怎么教,怎么学,基础怎么去落实,解答问 题的通法是什么,需要点滴体会、感悟。学习需要多做反复思考,多次重复。做 题时要问问“是什么,为什么,还有什么” 。在做中学,在学中思,在思中悟。 专家们共同认为, 基础知识十分重要, 具体说来, 那就是课本的定义、 定理、 例题、习题。要知道,万丈高楼平地起,如果基础打扎实了,那么复杂的的问题 就不复杂了,难的问题也不难了。

一、提出罗素悖论,激发学生的学习兴趣: 上海市某理发师宣布了这样一条原则: 他给上海市所有不给自己刮脸的人刮 脸,并且只给全市这样的人刮脸。 请问该理发师的脸由谁来刮? 二、了解数学发展史上的三次危机: 第一次数学危机──无理数的发现 第二次数学危机──无穷小是零吗? 第三次数学危机──悖论的产生 第一次数学危机──无理数的发现 大约公元前5世纪, 不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。 当时的毕达哥拉 斯学派重视自然及社会中不变因素的研究,把几何、算术、天文、音乐称为"四 艺",在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为:宇宙间一切事物都可归结为整 数或整数之比, 毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理, 但由此也发 现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比(不可通约)的情形,如 直角边长均为1的直角三角形就是如此。 这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信 条,导致了当时认识上的"危机",从而产生了第一次数学危机。 到了公元前 370 年, 这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的 方法解决了。他的处理不可通约量的方法,出现在欧几里得《原本》第5卷中。 欧多克斯和狄德金于 1872 年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中 学几何课本中对相似三角形的处理, 仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难 和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明,几何学 的某些真理与算术无关, 几何量不能完全由整数及其比来表示, 反之却可以由几 何量来表示出来,整数的权威地位开始动摇,而几何学的身份升高了。危机也表 明,直觉和经验不一定靠得住,推理证明才是可靠的,从此希腊人开始重视演译 推理,并由此建立了几何公理体系,这不能不说是数学思想上的一次巨大革命!

第二次数学危机──无穷小是零吗? 18 世纪,微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用,大部 分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。1734 年,英国哲学家、大主教贝 克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》,矛头指向微积分的基 础--无穷小的问题,提出了所谓贝克莱悖论。他指出:"牛顿在求 xn 的导数时, 采取了先给 x 以增量0,应用二项式(x+0)n,从中减去 xn 以求得增量,并除以 0以求出 xn 的增量与 x 的增量之比,然后又让0消逝,这样得出增量的最终比。 这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设 x 有增量,又令增量为零,也即假设 x 没有增量。"他认为无穷小 dx 既等于零又不等于零,召之即来,挥之即去,这是 荒谬,"dx 为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零?无穷小及其分析是否合 理?由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。 导致了数学史上的 第二次数学危机。 18 世纪的数学思想的确是不严密的,直观的强调形式的计算而不管基础的 可靠。其中特别是:没有清楚的无穷小概念,从而导数、微分、积分等概念也不 清楚,无穷大概念不清楚,以及发散级数求和的任意性,符号的不严格使用,不 考虑连续就进行微分,不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等 等。直到 19 世纪 20 年代,一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔 查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始,到威尔斯特拉斯、戴德金和康 托的工作结束,中间经历了半个多世纪,基本上解决了矛盾,为数学分析奠定了 严格的基础。 第三次数学危机──悖论的产生 数学史上的第三次危机,是由 1897 年的突然冲击而出现的,到现在,从整 体来看, 还没有解决到令人满意的程度。 这次危机是由于在康托的一般集合理论 的边缘发现悖论造成的。 由于集合概念已经渗透到众多的数学分支, 并且实际上 集合论成了数学的基础, 因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基 本结构的有效性的怀疑。 1897 年,福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后,康托发现了很相 似的悖论。1902 年,罗素又发现了一个悖论,它除了涉及集合概念本身外不涉 及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于 1919 年 给出的,它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则:他给所有不 给自己刮脸的人刮脸,并且,只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问 时, 就认识到了这种情况的悖论性质: "理发师是否自己给自己刮脸?"如果他不 给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸;如果他给自己刮脸,那么他就不符 合他的原则。 罗素悖论使整个数学大厦动摇了。 无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后, 在他 刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道:"一位科学家不会碰到比这更 难堪的事情了,即在工作完成之时,它的基础垮掉了,当本书等待印出的时候, 罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近 12 年的刻苦钻研。

罗素悖论问题出在集合定义太广泛了, 这种定义集合的方法, 不能随便使 用得有一个限制。1907 年,德国数学家策梅洛提出了公理化集合论,限制了构 造集合的方法,避免了罗素悖论中那种集合的出现。也就保证了不会再出现悖论 的集合。 由于策梅洛的公理化集合论的发展,人们把原来的集合论称为朴素集合 论。但是公理集合论只等于打了一道围墙,把引起悖论的“狼”拦在外面,里面 的“羊”就安全了。尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在 一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能 把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的。所以,第三次危机表面上解决 了,实质上更深刻地以其它形式延续着。1940 年和 1963 年,奥地利数学家哥德 尔和美国数学家科恩的研究结果使人大开眼界。科恩的研究结果是:集合论现 在分为康托尔型和非康托尔型。类似于欧氏几何与非欧几何一样,两种都对, 任君选择。 回顾数学的演进与纷争的历史,是人类从有限走向无限的认识历程。无限是 人类在数学上的最重要的对象, 也是哲学上最重要的范畴之一。这三次危机都与 无限有关:索斯的无理数悖论;贝克莱的无穷小悖论;罗素的集合论悖论,都是 对无限不循环量、无穷小量、无穷大量本身的矛盾的认识而引起的。而且第三次 危机又是第一次、 第二次危机的深化和发展。 人们对于危机的一次又一次的克服 或解决,促进了数学科学的繁荣和发展。 当然,世界上大多数数学家承认康托尔型集合论,数学大厦巍然屹立,但存 在着裂缝,还不到倒塌的境地,人们只能提心吊胆的住下去再说了,这些困难只 能留给比我们更聪明的子孙后代去解决了。 三、建国以后的数学发展(公元 1949~1976 年) 1949 年,新中国成立之初,国家虽然正处于资金匮乏、百废待兴的困境, 然而政府却对科学事业给予了极大关注。1949 年 11 月成立了中国科学院,1952 年 7 月数学研究所正式成立, 接着,中国数学会及其创办的学报恢复并增创了其 他数学专刊,一些科学家的专著也竞相出版,这一切都为数学研究铺平了道路。 解放后的 18 年间,发表论文的篇数占解放前总篇数的 3 倍多,其中不少论 文不但填补了我国过去的空白,有的还达到了世界先进水平。 正当数学家们奋起直追, 力图恢复中国数学在世界上的先进地位时,一场无 情的风暴席卷了中国。 在文化大革命的十年中, 社会失控, 人心混乱, 科学衰落。 在数学的园地里, 除了陈景润、 华罗庚、 张广厚等几个数学家挣扎着开了几朵花, 几乎是满目凋零,一片空白。 当 10 年政治灾难过去之后,人们抬头一看,别的国家数学研究早已是高峰 迭起,要想追上又需花费不少力气。

中华民族历来就有自强不息的光荣传统和坚韧不拔的耐力。浩劫以后,随着 郭沫若先生那篇文采横溢的《科学的春天》的发表,数学园地里又迎来了万物复 苏的春天。1977 年,在北京制订了新的数学发展规划,恢复数学学会工作,复 刊、创刊学术杂志,加强数学教育,加强基础理论研究?? 尽管我们目前在世界数学的赛场上已处落后地位,然而,路遥知马力,今后 鹿死谁手,仍然是个“x”。 中国古代的金牌得主 在中国古代数学发展史中, 祖先摘到的金牌足可以开一座陈列馆,这里我们 只想给大家开一个“清单”,使大家有一个直观印象。 (1) 十进位制记数法和零的采用。 源于春秋时代, 早于第二发明者印度 1000 多年。 (2)二进位制思想起源。源于《周易》中的八卦法,早于第二发明者德国 数学家莱布尼兹(公元 1646~1716)2000 多年。 (3)几何思想起源。源于战国时期墨翟的《墨经》,早于第二发明者欧几 里德(公元前 330~前 275)100 多年。 (4)勾股定理(商高定理)。发明者商高(西周人),早于第二发明者毕 达哥拉斯(公元前 580~前 500)550 多年。 (5)幻方。我国最早记载幻方法的是春秋时代的《论语》和《书经》,而 在国外,幻方的出现在公元 2 世纪,我国早于国外 600 多年。 (6)分数运算法则和小数。中国完整的分数运算法则出现在《九章算术》 中, 它的传本至迟在公元 1 世纪已出现。 印度在公元 7 世纪才出现了同样的法则, 并被认为是此法的“鼻祖”。我国早于印度 500 多年。 中国运用最小公倍数的时间则早于西方 1200 年。运用小数的时间,早于西 方 1100 多年。 (7)负数的发现。这个发现最早见于《九章算术》,这一发现早于印度 600 多年,早于西方 1600 多年。 (8)盈不足术。又名双假位法。最早见于《九章算术》中的第七章。在世 界上,直到 13 世纪,才在欧洲出现了同样的方法,比中国晚了 1200 多年。

(9)方程术。最早出现于《九章算术》中,其中解联立一次方程组方法, 早于印度 600 多年,早于欧洲 1500 多年。在用矩阵排列法解线性方程组方面, 我国要比世界其他国家早 1800 多年。 (10)最精确的圆周率“祖率”。早于世界其他国家 1000 多年。 (11)等积原理。又名“祖暅”原理。保持世界纪录 1100 多年。 (12) 二次内插法。 隋朝天文学家刘焯最早发明, 早于 “世界亚军” 牛顿 (公 元 1642~1727)1000 多年。 (13)增乘开方法。在现代数学中又名“霍纳法”。我国宋代数学家贾宪最 早发明于 11 世纪,比英国数学家霍纳(公元 1786~1837)提出的时间早 800 年 左右。 (14)杨辉三角。实际上是一个二项展开式系数表。它本是贾宪创造的,见 于他著作《黄帝九章算法细草》中,后此书流失,南宋人杨辉在他的《详解九章 算法》中又编此表,故名“杨辉三角”。 在世界上除了中国的贾宪、杨辉,第二个发明者是法国的数学家帕斯卡(公 元 1623~1662),他的发明时间是 1653 年,比贾宪晚了近 600 年。 (15)中国剩余定理。实际上就是解联立一次同余式的方法。这个方法最早 见于《孙子算经》,1801 年德国数学家高斯(公元 1777~1855)在《算术探究》 中提出这一解法,西方人以为这个方法是世界第一,称之为“高斯定理”,但后 来发现,它比中国晚 1500 多年,因此为其正名为“中国剩余定理”。 (16)数字高次方程方法,又名“天元术”。金元年间,我国数学家李冶发 明设未知数的方程法, 并巧妙地把它表达在筹算中。这个方法早于世界其他国家 300 年以上,为以后出现的多元高次方程解法打下很好的基础。 (17)招差术。也就是高阶等差级数求和方法。从北宋起我国就有不少数学 家研究这个问题,到了元代,朱世杰首先发明了招差术,使这一总是得以解决。 世界上,比朱世杰晚近 400 年之后,牛顿才获得了同样的公式。 如果说, 一部中国数学发展史像一条渊远流长的河流,那么几千年来祖先 们摘取的一块块世界金牌, 就是这河流中耀眼的浪花。以上我们掬起的只是一些 大的浪花,如果多读几本数学史书,你一定还会捧出其他的一些,并在前人的光 辉照耀下,创造出无愧于祖先,无愧于人类的更为卓越的成就!

四、中国数学家最新的成就:破解世界数学难题--“庞加莱猜想” 2006 年 6 月11日,香港中文大学数学科学研究所所长丘成桐教授﹐ 就中国数学家朱熹平﹑曹怀东教授破解世界数学难题-- “庞加莱猜想”与记者 见面。 当今世界上有七大数学难题﹐其中悬而未决逾百年的就是“庞加莱猜想”。 庞加莱猜想是法国数学家亨利·庞加莱1904年提出的拓扑学难题﹐百余年 来吸引世界无数数学家钻研﹐近年成为世界七大数学难题之一。中国数学家朱 熹平﹑曹怀东教授运用俄罗斯数学家佩雷曼的理论﹐利用两年时间为庞加莱猜 想作出完全的证明﹐结果对物理和工程学都有深远影响。丘成桐教授是朱熹平 教授的学生﹐朱熹平教授也是香港中文大学数学科学研究所访问学者。 庞加莱猜想: 任何一个封闭的三维空间,只要它里面所有的封闭曲线都可以 收缩成一点, 这个空间就一定是一个三维圆球———这就是法国数学家庞加莱于 1904 年提出的猜想。庞加莱猜想和黎曼假设、霍奇猜想、杨-米尔理论等一样, 被并列为七大数学世纪难题之一。2000 年 5 月,美国的克莱数学研究所为每道 题悬赏 100 万美元求解。 100 多年来,无数的数学家关注并致力于证实庞加莱猜想。20 世纪 80 年代 初, 美国数学家瑟斯顿教授因为得出了对庞加莱几何结构猜想的部分证明结果而 获得菲尔兹奖。 之后,美国数学家汉密尔顿在这个猜想的证明上也取得了重要进 展。2003 年,俄罗斯数学家佩雷尔曼更是提出了解决这一猜想的要领。 五、了解七大世界数学难题: “千僖难题”之一:P(多项式算法)问题对 NP(非多项式算法)问题 在一个周六的晚上,你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安,你想知 道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说,你一定认识那位正 在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟,你就能向那里扫视,并且发现你的 主人是正确的。然而,如果没有这样的暗示,你就必须环顾整个大厅,一个个地 审视每一个人, 看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的 解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是,如果某人 告诉你,数 13,717,421 可以写成两个较小的数的乘积,你可能不知道是否 应该相信他,但是如果他告诉你它可以因子分解为 3607 乘上 3803,那么你就 可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧,判定一 个答案是可以很快利用内部知识来验证, 还是没有这样的提示而需要花费大量时 间来求解,被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文 · 考克 (StephenCook)于 1971 年陈述的。 “千僖难题”之二: 霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。 基本想法 是问在怎样的程度上, 我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几 何营造块粘合在一起来形成。 这种技巧是变得如此有用,使得它可以用许多不同 的方式来推广; 最终导至一些强有力的工具,使数学家在对他们研究中所遇到的 形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是,在这一推广中,程序的 几何出发点变得模糊起来。 在某种意义下,必须加上某些没有任何几何解释的部 件。霍奇猜想断言,对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说,称作霍

奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。 “千僖难题”之三: 庞加莱(Poincare)猜想 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不 让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我们想象同样的橡 皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没 有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是。大 约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提 出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。 这个问题立 即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗。 “千僖难题”之四: 黎曼(Riemann)假设 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2,3,5,7, 等等。这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自 然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而,德国数学家黎曼 (1826~1866)观察到, 素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函 数 z(s$的性态。著名的黎曼假设断言,方程 z(s)=0 的所有有意义的解都在一 条直线上。这点已经对于开始的 1,500,000,000 个解验证过。证明它对于每一 个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。 “千僖难题”之五: 杨-米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口 量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世 界成立的。大约半个世纪以前,杨振宁和米尔斯发现,量子物理揭示了在基本粒 子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。 基于杨-米尔斯方程的预言已 经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈 文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此,他们的既描述重粒子、又 在数学上严格的方程没有已知的解。特别是,被大多数物理学家所确认、并且在 他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设, 从来没有得到一 个数学上令人满意的证实。 在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引 进根本上的新观念。 “千僖难题”之六: 纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光 滑性 起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船, 湍急的气流跟随着我 们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信,无论是微风还是湍流,都 可以通过理解纳维叶-斯托克斯方程的解,来对它们进行解释和预言。虽然这些 方程是 19 世纪写下的,我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出 实质性的进展,使我们能解开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘。 “千僖难题”之七:贝赫(Birch)和斯维讷通-戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 数学家总是被诸如 x^2 y^2=z^2 那样的代数方程的所有整数解的刻画 问题着迷。 欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答, 但是对于更为复杂的方程, 这就变得极为困难。事实上,正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出,希 尔伯特第十问题是不可解的, 即,不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一 个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时,贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为,有理 点的群的大小与一个有关的蔡塔函数 z(s)在点 s=1 附近的性态。特别是,这个 有趣的猜想认为,如果 z(1)等于 0,那么存在无限多个有理点(解),相反,如果 z(1)不等于 0,那么只存在有限多个这样的点。

2000 年 5 月 24 日,千年数学会议在著名的法兰西学院举行。会上,美国克 雷数学研究所公布和介绍了 7 个“千年大奖问题”。 并邀请有关研究领域的专家对 每一个问题进行了较详细的阐述。克雷数学研究所对“千年大奖问题”的解决与获 奖作了严格规定。每一个“千年大奖问题”获得解决并不能立即得奖。任何解决答 案必须在具有世界声誉的数学杂志上发表两年后且得到数学界的认可, 才有可能 由克雷数学研究所的科学顾问委员会审查决定是否值得获得百万美元大奖。 这 7 个“千年大奖问题”是:P-NP 完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼 假设、杨-米尔斯理论、纳卫尔-斯托克斯方程、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想。 其中庞加莱猜想和黎曼假设是两个最大的猜想,剩余下的难题中,很多人攻 关的黎曼假设还没有看到破解的希望;引起很多著名数学家兴趣的霍奇猜想 “进 展不大”; 和流体有关的纳卫尔-斯托克斯方程“离解决也相差很远”; P 与 NP 问题 “没什么进展”;杨-米尔理论“太难,几乎没人做”。

另外几个数学难题: 难题一:哥德巴赫猜想 提出者:哥德巴赫提出时间:1742 年;研究进展:尚未破解 内容表述:命题 A:每一个大于或者等于 6 的偶数,都可以表示为两个奇素数 的和。 命题 B:每一个大于或者等于 9 的奇数,都可以表示为三个奇素数 的和。 1742 年,德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封 信,在信中提出了这两个问题。它是数论中的一个著名问题,常被称为数学皇冠 上的明珠。 实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法, 因为每个大 于 7 的奇数显然可以表示为一个大于 4 的偶数与 3 的和。1937 年,苏联数学家 维诺格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为 3 个奇质数之和,基本上解决了第二个问题。但是第一个问题至今仍未解决。由于 问题实在太困难了, 数学家们开始研究较弱的命题:每个充分大的偶数可以表示 为质因数个数分别为 m、n 的两个自然数之和,简记为“m+n”。1920 年,挪威 数学家布龙证明了“9+9”;以后的 20 几年里,数学家们又陆续证明了“7+7”, “6+6”,“5+5”,“4+4”,“1+c”,其中 c 是常数。1956 年,中国数学家王元证明 了“3+4”,随后又证明了“3+3”,“2+3”。60 年代前半期,中外数学家将命题推 进到“1+3”。1966 年,中国数学家陈景润证明了“1+2”,这一结果被称为“陈氏定 理”,至今仍是最好的结果。陈景润的杰出成就使他得到广泛赞誉,不仅仅是因 为“陈氏定理”使中国在哥德巴赫猜想的证明上处于领先地位。 难题二:费马大定理

提出者:费马提出时间:1637 年;研究进展:于 1995 年被成功证明 内容表述: x n ? y n ? z n 在 n 是大于 2 的自然数时没有正整数解。 在 360 多年前的某一天,当费马阅读古希腊名著《算术》时,突然心血来 潮在书页的空白处,写下这样一段话:“将一个立方数分成两个立方数,一个四 次幂分成两个四次幂, 或者一般地将一个高於二次幂的数分成两个相同次幂,这 是不可能的。我对这个命题有一个美妙的证明,这里空白太小,写不下。” 这个世纪数论难题由普林斯顿大学英国数学家安德鲁 ·怀尔斯和他的学 生理查·泰勒于 1995 年成功证明。 证明利用了很多新的数学理论, 包括代数几何 中的椭圆曲线和模形式,以及伽罗华理论和 Hecke 代数等。 难题三:四色猜想 提出者:格斯里提出时间:1852 年;研究进展:于 1976 年被计算机验证 内容表述:每幅地图都可以用 4 种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的 颜色。 四色猜想于 1852 年由英国学生格斯里提出,这一猜想的证明得益于计算机 技术的发展。1976 年 6 月,美国伊利诺斯大学的数学家阿佩尔和哈肯在 3 台不 同的计算机上用了 1200 个小时,分析了 2000 个构形后成功证明这一猜想。它 是第一个人机合作完成的著名数学证明,在数学界、计算机界,乃至哲学界都引 起了广泛关注,引发了关于数学的本质、数学证明的意义等问题的深入讨论。另 外,四色难题的研究还对平面图理论、代数拓扑学、有限射影几何和计算机编码 程序设计等发展起到了重要的推动作用。 难题四:女生散步问题 提出者:柯克曼提出时间:1850 年;研究进展:已被破解 内容表述:某学生宿舍共有 15 名女生,每天 3 人一组进行散步,问怎样安排, 才能使每位女生有机会与其他每一位女生在同一组中散步, 并恰好每 星期一次。 英国数学家柯克曼于 1850 年提出“女生散步”问题,提出后得到多种解答, 其中较有代表性的是假定一位女生固定在某一组,再将其他 14 位女生编上号码 (1 至 14 号),并按照一定规律安排星期天的分组散步,则其他 6 天星期 r 散 步(r=1,2,3,4,5,6)分组可按原编号与 r 的数字之和安排(和数超过 14 则减去 14)。 另外,有些数学家更将问题扩展成组合论中的难题:设有 N 个元素,每三 个一组分成若干组。这些组分别组成一个系列,现称为柯克曼序列。若每一元素

与其他元素恰有一次同组的机会,问将 N 分成这种序列要满足的充分必要条件 是什么,怎样组成此序列?在女生问题中,序列数为 7,N=15 是适合条件的数。 但 N 的一般解答直到 20 世纪 60 年代后才有突破。我国数学家陆家羲对此曾作 出过重要的贡献。 难题五:七桥问题 提出者:起源于普鲁士柯尼斯堡镇(今苏联加里宁格勒) 提出时间:十八世纪初;研究进展:于 1736 年被圆满解决 内容表述:一条河的两支流绕过一个岛,有七座桥横跨这两支流,问一个散步者 能否走过每一座桥,而每座桥却只走过一次。 这个问题起源于 18 世纪初的普鲁士柯尼斯堡镇(今苏联加里宁格勒)。欧 拉在 1736 年圆满地解决了这一问题,证明这种方法并不存在。他在圣彼得堡科 学院发表了图论史上第一篇重要文献。 欧拉把实际的抽象问题简化为平面上的点 与线组合,每一座桥视为一条线,桥所连接的地区视为点。这样若从某点出发后 最后再回到这点,则这一点的线数必须是偶数。 七桥问题引发了网络理论之研究,被认为是拓扑学理论基本应用题,对解决 最短邮路等问题很有帮助。 六、高一年级数学学科学习要求:
1 1、作业格式:作业纸总宽度 15.6cm,左边 (距左边 5.2cm 作垂线)留下 3 作为作图和订正用,凡是作图必须用铅笔和直尺,不符合要求的一律重 做。 2、上课认真听讲,不扰乱课堂纪律;积极思维,参与讨论;抓住关键,记 好笔记; 3、回家作业要求独立完成,如有不会的题目第二天主动找老师说明;回家 作业的订正必须当天完成且交老师批阅后方可回家;凡是订正不管填空 选择还是解答题都必须写详细解题过程;错得多的要主动向老师提出面 批,否则问题积压太多不利于后续内容的学习; 4、笔记本定期检查,每月检查一次,作为平时成绩记入学期总评分; 5、周练考试订正试卷格式另行通知,凡是订正必须要写详细过程,另外准 备一本错题集,每次回家订正试卷时只抄题,不用写解题过程,一段时 间后由老师抽查部分同学的错题集,当场把解题过程写出来,若解不出 来,则会有相应的措施帮助你掌握这一类型的题目。

七、思考题: 1 、 已 知 p1p2= 2(q1+q2), 求 证 : 二 次 函 数 y ? x 2 ? p1 x ? q1 和 y=x +p2x+q2 的图象至少有一个与 x 轴相交。
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2、设集合 A={1,2,?,10},求集合 A 的所有非空子集 元素和的和。 3、设集合 A={1,2,?,n},其中 n 是大于 2 的正整数, 求集合 A 的所有非空子集元素和的和。 4、考虑由 10 个元素组成的集合 M={19,99,-1,0,25, -36, -91, 1, -2, 11} , 记 M 的所有非空子集为 Mi,i=1,2,?,1023 。 每一个 Mi 中所有元素的乘积为 mi,i=1,2, ?,1023,求 m1+m2+? +m1023 的值。


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