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学高中数学第二章平面向量.向量应用举例练习北师大版讲义


§7
1.在四边形 ABCD 中,=0,,则四边形 ABCD 是( A.直角梯形 C.矩形 解析:由=0 知. 由知 BCAD,故四边形 ABCD 是矩形. 答案 C B.菱形 D.正方形

向量应用举例
)

2.(2016 江西吉安高中检测)在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,∠B=45°,AB=2CD=2,M 为腰 BC 的 中点,则=( A.1 ) B.2 C.3 D.4

解析:以 A 为原点,AB,AD 所在直线分别为 x,y 轴建立直角坐标系,则

A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),∴中点 M 的坐标为,∴. ∴=2.
答案:B 3.当两人提起重量为|G|的旅行包时,夹角为 θ ,两人用力分别为 F1,F2,若|F1|=|F2|=|G|,则 θ 的值 为( A.30° 答案:D 4.设 a,b,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a 与 b 不共线,a⊥c,|a|=|c|, 则|b·c|的值一定等于( ) A.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积 B.以 b,c 为邻边的平行四边形的面积 C.以 a,b 为两边的三角形的面积 D.以 b,c 为两边的三角形的面积 解析:设 a 与 b 的夹角为 θ ,则|b·c|=|b||c||cos(90°-θ )|=|b||a||sin θ |,则|b·c|的值一定 等于以 a,b 为邻边的平行四边形的面积. 答案:A 5. 导学号 03070117 已知△ABC 的三个顶点 A,B,C 的坐标分别为(0,1),(,0),(0,-2),O 为坐标原点, 动点 P 满足||=1,则||的最小值是( A.4-2 B.-1
2 2

) B.60° C.90° D.120°

解析:作=F1,=F2,=-G,则,当|F1|=|F2|=|G|时,△OAC 为正三角形,∴∠AOC=60°,从而∠AOB=120°.

) C.+1 D.

解析:设 P(x,y),由||=1 可知 x +(y+2) =1,所以点 P 的轨迹是以 C(0,-2)为圆心,1 为半径的圆, 又||=的最小值表示点 P 与点(-,-1)之间的距离的最小值,由点和圆的位置关系可知,||的最小 值为-1=-1. 答案:B

1

6.点 P 在平面上做匀速直线运动,速度向量 v=(4,-3)(即点 P 的运动方向与 v 相同,且每秒移动的距 离为|v|个单位).设开始时点 P 的坐标为(-10,10),则 5 秒后点 P 的坐标为 解析:设 P 点坐标为(x,y), 则有∴P(10,-5). 答案:(10,-5) 7.(2015 湖北武汉高中联考)已知 A(7,1),B(1,4),直线 y=ax 与线段 AB 交于点 C,且=2,则实数

.

a=

. ∵=2,∴解得∴点 C 的坐标为(3,3).
又∵点 C 在直线 y=ax 上,∴3=a·3,∴a=2.

解析:设点 C 的坐标为(x,y),则=(x-7,y-1),=(1-x,4-y).

答案:2 8.三个力 F1,F2,F3 同时作用于点 O,且处于平衡状态,已知 F1 与 F2 的夹角为 120°,又|F1|=|F2|=20 N, 则|F3|=

.

解析:∵F1+F2+F3=0,∴F3=-(F1+F2),

∴|F3|2==202+202+2×20×20cos 120°=202,∴|F3|=20 N.
答案:20 N 9. 导学号 03070118 设 O 为△ABC 的外心,已知 AB=3,AC=4,非零实数 x,y 满足=x+y,且 x+2y=1,求 cos∠BAC 的值. 解:设 AC 的中点为 D,则=x+y=x+2y,∵x+2y=1,∴O,B,D 三点共线,由 O 为△ABC 的外心知 OD⊥AC,即

BD⊥AC,在 Rt△ADB 中,AB=3,AD=AC=2,所以 cos∠BAC=.
10.在重 300 N 的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为 30°,60°(如图①所示),求重物平衡时,两根绳子拉力的大小.

解:如图②所示,两根绳子的拉力之和,且||=||=300 N,∠AOC=30°,∠BOC=60°.在△OAC 中,∠ACO= ∠BOC=60°,∠AOC=30°,则∠OAC=90°,从而||=||cos 30°=150(N),||=||sin 30°=150(N),||=||=150 N. 答:与铅垂线成 30°角的绳子的拉力大小是 150 N,与铅垂线成 60°角的绳子的拉力大小是 150 N.

2


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