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新题库--第三章 第09节:数列的综合应用(5)


数 列 (5)
一. 选择题: 1.在 100 内能被 3 整除,但不能被 7 整除的所有正整数之和为 A.1368 B.1470 C.1473 ( C D.1557 ( C ) )

2.在各项都为正数的等比数列 {an } 中,首项 a1 ? 3 ,前三项和为 21,则 a3 ? a4 ? a5 ? A.33 B.72 C.84 D.189 3.

设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n=1,2,…) ,则 q 的取值范围是 A. (-1,0)∪(0,+∞) B. (-1,0)∪(0,1)∪(1,+∞) C. (-1,1)∪(1,+∞) D. (0,+∞) 4.已知等比数列 {an } 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是 A. (??, ?1] B. (??,0) ? (1, ??) C. [3, ??)

( A )

( D ) D. (??, ?1] ? [3, ??)

解:设等比数列 {an } 的公比为 q ,则有 S3 ?

a2 1 ? a2 ? a2 q ? q ? ? 1 。当 q ? 0 时, q q

S3 ? 2 q ?

1 1 ? 1 ? 3 (当且仅当 q=1 时取等号) q ? 0 时, S3 ? ?2 (?q) ? (? ) ? 1 ? ?1 (当且仅当 ;当 q q

q=-1 时取等号) 。所以的取值范围是 (??, ?1] ? [3, ??) ,故选 D。 5.已知 an ?

n (n ? N * ) ,则数列 {an } 的最大项是 n ? 156
2

( D )

A.第 12 项 B.第 13 项 C.不存在 D.第 12 项或第 13 项 6.把数列{2n+1}依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括号四个数, 第五个括号一个数……循环分为: (3)(5,7)(9,11,13)(15,17,19,21)(23)(25,27) , , , , , , (29,31,33)(35,37,39,41)(43) , , ,…则第 104 个括号内各数之和为 ( D ) A.2036 B.2048 C.2060 D.2072 解:∵每 4 个括号有 10 个数,∴第 104 括号中有 4 个数,第 1 个为 515,∴和为 515+517+519+521=2072,选 D。 7.三个数 a、b、c 成等比数列,若有 a+b+c=1 成立,则 b 的取值范围是 ( B ) A. ?? 1,0? B. ?? 1,0 ? ? ? 0, ? 3

? ?

1? ?

C. ? 0, ? 3

? 1? ? ?

D. ? ,?? ?

?1 ?3

? ?

解:? a ? b ? c ?

b 1 ? bq ? b ? 1,当 b ? 0 时,有 1 ? 2b ? b ? 3b,? b ? (0, ] ;当 b ? 0 , q 3

有 1 ? ?2b ? b ? ?b,?b ?[?1,0) 。综上,有 b ? [?1, 0) ? (0, ] ,选 B。 8.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 m>1,且 am-1+am+1-a 2 =0, S2m-1=38,则 m 等于 m ( C )

1 3

A.38 B.20 C.10 D.9 9.若{an}是等差数列,首项 a1>0, a2003+a2004>0, a2003· 2004<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n a 是 ( B )
1

A.4005

B.4006

C.4007

D.4008

解:易知 a2003 ? 0, a2004 ? 0 ,且 a2003

n ?1 n(n ? 1) d ? 0 ,∴ na1 ? d 在 n ? 4006 时>0,故选 B。 2 2 10. 已知首项为-24 的等差数列, 从第 10 项起为正数, 则公差 d 的取值范围是 8 8 8 A. ( , ??) B. (??,3) C. [ ,3) D. ( ,3] 3 3 3 a1 ?

4005 ? ?a2004 ,?? d ? a1 ? ?2003d 。当 n ? 4006 时, 2

( D )

11.已知等差数列{an}的公差 d<0, a4· 6=24, a2+a8=10, 若 a 则该数列的通项 an 的最大值是 ( B ) A.3 B.9 C.10-n D.不存在 30 12. 设{an}是由正数组成的等比数列, 公比 q=2, a1· 2· 3·…·a30=2 , 且 a a 那么 a2· 5· 8·…·a29 的值为( A ) a a 10 20 15 16 A.2 B.2 C.2 D.2 13.设各项均为实数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10=10, S30=70,则 S40 等于 ( A ) A.150 B.-200 C.150 或-200 D.400 与-50 14.某种细胞开始时有 2 个,1 小时后分裂成 4 个,并死去 1 个,2 小时后分裂成 6 个并死去 1 个,3 小 时后分裂成 10 个并死去 1 个,按这种规律进行下去,6 小时后细胞的存活数为 ( C ) A.67 B.71 C.65 D.30 15.在等差数列{an}中, a10<0, a11>0,且|a10|<a11, Sn 为其前 n 项和,则 ( D ) A.S1,S2,…,S10 均小于零,S11,S12,…,均大于零 B.S1,S2,…,S5 均小于零,S21,S22,…,均大于零 C.S1,S2,…,S20 均小于零,S21,S22,…,均大于零 D.S1,S2,…,S19 均小于零,S20,S21,…,均大于零 16. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2-5n+2, 则数列{an}的前 10 项和为 ( C ) A.56 B.58 C.52 D.60 2 17. 在等比数列{an}中, 3 和 a5 是二次方程 x +kx+5=0 的两根, a2a4a6 的值为 a 则 ( A ) A. ?5 5 B. 5 5 C. ?5 5 D.25

18. 一个首项为正数的等差数列{an}, n 为前 n 项的和。 S 如果 S3=S11, 那么, Sn 取最大值时, 等于( B ) 当 n A.6 B.7 C.8 D.9 19.在数列{an}中,已知 a1=1,an+1=2an+1,则{an}的通项为 ( A ) n n n n-1 A.2 -1 B.2 C.2 +1 D.2 20.已知等差数列{an}的首项为 a1=1,公差 d≠0,如果 a1,a2,a5 成等比数列,那么 d 等于 ( C ) A.3 B.-2 C.2 D.2 或-2 21.等比数列 {an } 中,已知前 4 项之和为 1,前 8 项之和为 17,则等比数列的公比 q 为 A.2 B. ?2 C.2 或 ?2 D.2 或 ?1 ( A ) ( C )

3an ?1 1 (n ? 2) ,则数列 { } 是 22. 在数列 {an } 中 an ? 0 ,且满足 an ? 3 ? 2an ?1 an
A.递增等差数列

B.递减等差数列 C.摆动数列 D.以上都不对 n ?1 23.已知数列 {an } 的通项公式 an ? log 2 (n ? N * ) ,设前 n项和为Sn ,则使 Sn ? ?5 成立的自然数 n n?2 ( B ) A.有最大值 63 B.有最小值 63 C.有最小值 31 D.有最大值 31 24. 设函数 f(x)=

x2 ? x ? n n ?1 (x∈R, x≠ 且 , n∈N*), f(x)的最小值为 an, 最大值为 bn, cn=(1-an)· n), 记 (1-b 2 2 x ? x ?1
2

则数列{cn} A.是公差不为 0 的等差数列 C.是常数列 解: f ( x) ? y ? ? B.是公比不为 1 的等比数列 D.不是等差数列,也不是等比数列

( C )

x2 ? x ? n 4n ? b 4n? 1 2 ,∴ ?3 y ? (4n ? 6) y ? (1 ? 4n) ? 0 ,即 an ? bn ? , anbn ? 2 x ? x ?1 3 3

? Cn ? (1 ? an )(1 ? bn ) ? 1 ? (an ? bn ) ? anbn ? 1 ?

4n 4n 1 4 ?2? ? ? ? 是常数,选 C。 3 3 3 3
( B )

25.在数列{an}中,已知对任意正整数 n,都有 a1+a2+a3+…+an=2n-1,那么 a 2 等于 n A.4n B.4n
-1

C.2n

D.2n

-1

26.设 Sn, Tn 分别是两个等差数列的前 n 项和,若对任意 n∈N,都有 11 项与第二个数列的第 11 项之比是 A.4∶3 B.3∶2

Sn 7n ? 1 ,则第一个数列的第 ? Tn 4n ? 27
( A )

C.7∶4

D.78∶71

a n ?1 S n a1 ? an 7n ? 1 a 148 4 ? ? 2 ? ? ,选 A。 解: ,当 n ? 21 时,有 11 ? Tn b1 ? bn bn ?1 4n ? 27 b11 111 3
2

27.如果函数 f(x)满足:对于任意实数 a、b,都有 f(a+b)=f(a)f(b),且 f(1)=2,则

( A )

f(2) f(5) f(9) f(14) f(1274) 等于 ? ? ? ??? f(1) f(3) f(6) f(10) f(1225)
A.250-2 B.250-1 C.250+1
2 3 49

D.250+2

解:原式= f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (49) ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 二. 填空题:

?

2(1 ? 249 ) 50 2 ? 2 ,选 A。 1? 2

1.在等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 66, a2 an ?1 ? 128 ,且前 n项和Sn ? 126 ,则 q ?



2或

1 2

2. 已知数列 {an } :3,5,7,…, 2n ? 1 ,….另新作一数列 {bn } ,使得 b1 ? a1 ,当 n ? 2 时, bn ? abn?1 , 则数列 {bn } 的第 5 项是 .
63

3.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 an ? S n ? S n ?1 (n ? 2), a1 ?

2 , 则 a10 等于____________. 9
an ?

4 63

4.在数列{an}中,若 a1=1, an-an-1=n-1,则 an=___________. 解: an ? an ?1 ? n ? 1, an ?1 ? an ?2 ? n ? 2? a2 ? a1 ? 1(n ? 2) ,

n2 ? n ? 2 2

? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 )? ? (a2 ? a1 ) ? (n ? 1) ? (n ? 2)? ? 1 ? an ? a1 (n ? 2) 。

3

n(n ? 1) n2 ? n ? 2 n2 ? n ? 2 。 ? an ? a1 ? 1 ? 2 ? 3? ? (n ? 1) ? ,? an ? (n ? 2) ,将 a1 代入成立,? an ? 2 2 2
5.数列 1,

1 1 1 , ,?, ... 的前 n 项和为___________. 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n
2 2 2 1 2n 。 ? ??? ? 2(1 ? )? 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) n ?1 n ?1
*

2n n ?1

解: Sn ? 1 ?

6.在数列 {an } 中,a1 ? 2, an ? an ?1 ? 1(n ? N ) ,设 S n 是数列 {an } 的前 n 项和,则 S2009 ? 2S2008 ? S2007 的 值为 。
*

3

解:3 由 a1 ? 2, an ? an ?1 ? 1(n ? N ) ,可得 an ?

?2, n为奇数 ??1, n为偶数



? S2009 ? 2S2008 ? S2007 ? (S2009 ? 2S2008 ) ? ( S2008 ? S2007 ) ? a2009 ? a2008 ? 2 ? (?1) ? 3 。故填 3。
7. 数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第 100 项是_______________. 8.在数列{an}中,若 a1=1, an-an-1=n-1,则 an=_______________.
14

n2 ? n ? 2 2

9.已知数列{an}的通项为 an=-2[n-(-1)n].则 S10__________; S99=___________; Sn=_____________.

?110 ; ?9902 ; ?n(n ? 1) ? 2? (?1) n
i ?1

n

10.已知{an}是等差数列,且 a1-a4-a8-a12+a15=2,则 a3+a13= 11.等比数列 {an } 的首项 a1 ? ?1 ,前 n 项和为 S n ,若



-4

S10 31 ,则通项 an ? ______________. ? S5 32

解:依题意,

S10 31 S ? S5 31 ? 32 1 ? ? ? ,根据等比数列性质 ,而 a1 ? ?1 ,故 q ? 1 ,? 10 ? S5 32 32 S5 32

5 知 S5 , S10 ? S5 , S15 ? S10 ,? 也成等比数列,且公比为 q ? ?

1 1 1 n?1 ,即 q ? ? ,∴ an ? ?(? ) . 32 2 2

12.设等差数列{an}满足:S6=36, Sn=324, Sn-6=144(n>6),则项数 n=____________. 解: S6 ? a1 ? a2 ? ? a6 ? 36, Sn ?6 ? an ? an ?1 ? ? ? an ?5 ? 180 , ∴ Sn ?6 ? 180 ?

[an ? (n ? 6)d ? an ? (n ? 1)d ] ? 6 ? 180 , 2

∴ 2a1 ? (n ? 6)d ? (n ? 1)d ? 60 ? 2a1 ? (n ? 1)d \ 60 ? 24 ? 36 ,∴ a1 ? an ? 36 , ∴ Sn ?

(a1 ? an )n ? 324 ? n ? 18 。 2
?13a1 ? 78d ? 0 ?a1 ? 6d ? 0 ?? ,故前 7 项为正数。 ?14a1 ? 91d ? 0 ?a1 ? 7 d ? 0
4

13.若数列{an}为等差数列,Sn 为它的前 n 项和,且 S13>0, S14<0,则{an}的前____________项为正数. 解:据题意,有 ?

14.求和: S n ?

12 22 32 n2 =_______________. ? ? ??? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? (2n ? 1)

解: 2Sn ? 12 (1 ? ) ? 22 ( ? ) ? ? ? n2 (

1 3

1 1 3 5

1 1 ? ) 2n ? 1 2 n ? 1

1 1 1 n2 ? 12 ? (2 ? 1)(2 ? 1) ? ? (3 ? 2)(3 ? 2) ? ? ? ? (n ? n ? 1)(n ? n ? 1) ? ? 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 1? n ?1? n2 2n 2 ? n ? n 2 n 2 ? n n(n ? 1) 。 ? ? ,? Sn ? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 4n ? 2
1

15.若 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (?1)n?1 n(n ? N * ), 则S17 ? S33 ? S50 的值是______________. 16 一个等差数列共有 10 项, 其偶数项之和是 15, 奇数项之和是

25 , 则它的首项和公差分别为________. 2 1 1 , 2 2 7 3

17.设等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,若

S6 S =3,则 9 ? ______________. S3 S6

18.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足关系式 lg( Sn ? 2) ? 2n ,则该数列的通项公式为_____________.

?102,(n ? 1) an ? ? n ?1 ?99 ? 100 ,( n ? 2)
19.在等比数列 {an } 中,已知 a4 a7 ? ?512, a3 ? a8 ? 124 ,且公比为整数,则 a10 ? ____________. 512 20. 已知两个等差数列 8,11,14,…和 12,16,20,…都有 100 项,则它们有__________个公共项.24 21. 已知数列{an}满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2), 则{an}的通项 an=_____________.

? 1 (n ? 2) ? an ? ? n ! ? 2 (n ? 2) ?
22.已知数列 {an } 是递增数列,且对任意 n ? N * ,都有 an ? n 2 ? ? n 恒成立,则实数 ? 的取值范围是 ______________.
*

(?3, ??)

n n n ) 23.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ? logn ( ? 1)( ? 2, ? N 。定义:使乘积 a1 ? a2 ?? ? ak 为正整数的

k (k ? N* ) 叫做和谐数,则在区间[1,2009]内所有的和谐数的和为_______________。
解:? a1 ? 1, an ? log n (n ? 1) ?

2036

lg(n ? 1) (n ? 2, n ? N* ) , lg n

? a1 ? a2 ?? ? ak ? 1?

lg 3 lg 4 lg(k ? 1) lg(k ? 1) lg(k ? 1) ? ?? ? ? ( k ? N* ) 记 ? m( m ? N * ) , lg 2 3 lg k lg 2 lg 2
5

则 k ? 2 ? 1(m ? N , k ? N ) , ? 在 区 间 [1 , 2009] 内 的 正 整 数 k 为 2 ? 1, 2 ? 1,? 2 ? 1 , 其 和 为
m * * 1 2 10

(21 ? 1) ? (22 ? 1) ? ? ? (210 ? 1) ? (2 ? 22 ? ? ? 210 ) ? 10 ? 211 ? 12 ? 2036 。故填 2036。
24. 在

1 和 n+1 之间插入 n 个正数, 使这 n+2 个数依次成等比数列, 则插入的 n 个数之积是____________. n

(
25.数列 {an } 满足 a1 ?

n ?1 n )2 n

1 , a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? n 2 an ,则数列 {an } 的通项公式 an =_____________. 2
1 (n ? 1)( n ? 1)

26.若等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且

S5 1 T 1 ? ,等比数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,且 5 ? ,那么 S10 3 T10 2

S10 T10 ? 的值为 S20 T20



解:在等差数列 {an } 中, S5 , S10 ? S5 , S15 ? S10 , S20 ? S15 成等差数列,又由 S10 ? 3S5 ,可 得 S15 ? 6S5 , S 20 ? 10S5 ,?

S10 3S5 3 ? ? 。在等比数列 {bn } 中, T5 , T10 ? T5 , T15 ? T10 , T20 ? T15 成等比数 S20 10S5 10 T10 2T5 1 S T 3 1 4 4 ? ? ,? 10 ? 10 ? ? ? 。故填 。 T20 4T5 2 S20 S20 10 2 5 5
S1 ? S2 ? ? ? Sn 为A 的―凯森和‖,如有 99 项的数列 n

列,又由 T10 ? 2T5 ,可得 T15 ? 3T5 , T20 ? 4T5 ,?

27.有限数列 A ? {a1 , a2 ,?, an }, Sn 为其前 n 项和,定义

{a1 , a2 ,?, a99 } 的―凯森和‖为 1000,则有 100 项的数列 {1, a1 , a2 ,?, a99 } 的―凯森和‖为____________.

S1 ? S2 ? ? ? S99 ? 1000,? S1 ? S2 ? ? ? S99 ? 99000.则{1, a1 , a2 ,?, a99 } 中的 S1 , S2 ,?, S100 中的每一 99 99100 项都加了一个―1‖.? S1 ? S2 ? ? ? S100 ? 99000 ? 100 ? 99100 ,∴此时的―凯森和‖为 ? 991. 100 三. 解答题:
解:? 1.等差数列{an}的前 n 项和 Sn 且 S5=-5,S10=15,求数列{

Sn }的前 n 项和 Tn n

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特级教师 王新敞
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解:设数列 n} {a 的公差为 d, 首项为 a1, 由已知得 5a1 + 10d = -5, 10a1 + 45d = 15, 解得 a1=-3, d=1。 ∴Sn = n(-3)+

S n(n ? 1) 1 2 7 1 7 ? n ? n ,∴ n ? n ? , n 2 2 2 2 2



S n ?1 S n ? 1 S S 7? ? 1 7? 1 1 ? ? ? ?n ? 1? ? ? ? ? n ? ? ? , ∴{ n }是等差数列且首项为 1 =-3、公差为 。 n ?1 n ?2 2? ? 2 2? 2 n 1 2
6

n(n ? 1) 1 1 2 13 ? n ? n 2 2 4 4 2 2. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? n (n ? N * ) ,数列 {bn } 为等比数列,且满足 b1 ? a1 , 2b3 ? b4 .
∴Tn = n×(-3)+
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(1)求数列 {a n } , {bn } 的通项公式;

(2)求数列 {a n bn } 的前 n 项和。

解:(1)由已知 S n ? n 2 ,得 a1 ? S1 ? 1.当 n ≥2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? (n ? 1) 2 ? 2n ? 1 ,所以

a n ? 2n ? 1(n ? N * ) ,由已知, b1 ? a1 ? 1 ,设等比数列 {bn } 的公比为 q ,由 2b3 ? b4 得 2q 2 ? q 3 ,所以

q ? 2 ,所以 bn ? 2 n ?1 .
(2)设数列 {a n bn } 的前 n 项和为 Tn ,则 Tn ? 1 ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 2 ? ... ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ,

2Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 2 3 ? ... ? (2n ? 1) ? 2 n ,两式相减得
? Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ... ? 2 ? 2 n?1 ? (2n ? 1) ? 2 n ? 1 ? 2(2 ? 2 2 ? ... ? 2 n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n

? 1 ? 4(2 n?1 ? 1) ? (2n ? 1) ? 2 n ? ?(2n ? 3) ? 2 n ? 3 ,所以 Tn ? (2n ? 3)2 n ? 3 .
3. 已知数列{an}满足 {

an n?2 } 是公差为 1 的等数列, 且 a n?1 ? a n ? 1. n n
英才苑

a (I)求数列{ a n }的通项公式 a n ; (Ⅱ)设 bn = (—1)n· n ,求数列{ bn }的前 n 项和 S n ;
? a 2 a1 a ?1 ? ? 解: (I)由条件 ? 2 , 解得a1 ? 1, a 2 ? 4. 又 { n } 是公差为 1 的等差数列, 1 n ?a 2 ? 3a1 ? 1 ?

?

an ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ,∴ a n =n2(n∈N*)。 n
解法二:由 a n ?1 ?

a a a an n?2 n ? 2 an 1 1 a n ? 1, 得 n?1 ? ? ? , 即 n ?1 ? n ? ,又 ? n ? 1 n n(n ? 1) n ? 1 n n ?1 n ?1 n n ?1

∵{

an a a an 1 } 是公差为 1 的等差数列,即 n ?1 ? n ? 1 ,∴ ? ? 1, 从而a n ? n 2 (n ? N *). n(n ? 1) n ? 1 n n ?1 n
a (II) bn =(—1)n· n ,∴ S n =—12+22—32+…+(—1)n· 2。 n

n (3 ? (2n ?1)) n(n ? 1) ① n 是偶数时, S n =(22—12)+(42—32)+…+[n2—(n—1)2]= 2 ; ? 2 2 (n ? 1) ? n n(n ? 1) n(n ? 1) ② n 是奇数时, S n ? S n ?1 ? a n ? 。? S n ? (?1) n ? ? n2 ? ? .( n ? N *) 2 2 2 a (an ? 1) (a 为常数,且 a ? 0, a ? 1 ) 4. 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: Sn ? . a ?1
(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; 解: (Ⅰ)? S1 ? (Ⅱ)设 bn ?

2Sn ? 1 ,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值; an

a a a (a1 ? 1), ∴ a1 ? a, 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? an ? an ?1 , a- 1 a ?1 a ?1

7

an ? a ,即 {an } 是等比数列.∴ an ? a ? a n ?1 ? a n ; an ?1
2? a (a n ? 1) (3a ? 1)a n ? 2a a ?1 ,若 {bn } 为等比数列, ?1 ? an a n (a ? 1)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ? 则有 b2 2 ? b1b3 , 而 b1 ? 3, b2 ?

1 3a ? 2 3a 2 ? 2a ? 2 3a ? 2 2 3a 2 ? 2a ? 2 ,解得 a ? , , b3 ? ,故( ) ? 3? 2 2 3 a a a a 1 1 再将 a ? 代入得 bn ? 3n 成立, 所以 a ? . 3 3 5. 写出下面数列的一个通项公式,使它的前 n 项分别是下列各数:?
(1)

2 4 6 8 10 , , , , ; 3 15 35 63 99

(2) ?1, , ?

(3) 0,1,0,1,0,1; (5)
1 5 7 17 31 65 127 , , , , , , ; 2 4 8 16 32 64 128

1 9 17 33 , ,? ; 3 35 63 99 1 2 1 2 (4) 1,1, , , , 3 4 5 6
(6)1,3,3,5,5,7,7,9,9.

2n 解: (1) an= ; (2n ? 1)( 2n ? 1)

2n ? 1 (2) an=(-1) · . (2n ? 1)( 2n ? 1)
n

(3) an=

1 ? (?1) ; 2
n

3 ? (?1) n 3 ? (?1) n 2 (4) an ? ? . n 2n
(6) an=n+

(5) an ?

2 n ? (?1) n ; 2n

1 ? (?1) n 2

6. 设数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3,分别求出{an}及{bn}的前 10 项 的和 S10 及 T10。 解:∵{an}是等差数列,∴a2+a4=2a3 ,∵a2+a4=b3,∴b3=2a3,∵{bn}是等比数列,∴b2b4=b23 , 1 1 1 3 55 ∵b2b4=a3 , ∴a3=b23 ,即 b3=2b23, ∵b3≠0,∴b3= ,a3= ,由 a1=1,a3= ,∴公差 d ? ? . ∴ S10 = ? , 2 4 4 8 8 由 b1 ? 1, b3 ?

1 2

,? 公比q ? ?

2 2

.

当q ?

2 2

时,T10= (2 ? 2) ;
32

31

当q ? ?

2 2

时,T10= (2 ? 2) .
32
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31

7.已知函数 f ( x) ?

x ,数列{an}满足 a1 = 1,an+1 = f(an) (n∈N*) 3x ? 1

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(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; 解: (Ⅰ) 由 a n ?1 ?

(Ⅱ) 记 Sn = a1a2 +a2a3+…+anan+1 , 求 Sn.

an 1 1 ? 得 3anan+1 +an+1 = an ,从而 3 ? , 3a n ? 1 a n a n ?1



1 a n ?1

?

1 1 1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 2 , ? 3 ,数列 { } 是以 ? 1 为首项 3 为公差的等差数列,∴ an an an a1
8

∴ an ?

1 。 3n ? 2
1 1 1 1 ? ( ? ), (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1

(Ⅱ) 设 bn = anan+1 ,则 bn ? ∴ S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ), 3 1 4 4 7 7 10 3n ? 2 3n ? 1 1 1 n ∴ S n ? (1 ? . )? 3 3n ? 1 3n ? 1 8.数列 ?a n ?中, a1 ? 8, a4 ? 2 且满足 a n ? 2 ? 2a n ?1 ? a n , n ? N * ) (
⑴ 求数列 ?a n ?的通项公式; ⑵ 设 S n ?| a1 | ? | a 2 | ? ? ? | a n | ,求 S n ; 解: (1)由题意, a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ?1 ? a n ,?{a n } 为等差数列,设公差为 d ,由题意得

2 ? 8 ? 3d ? d ? ?2 ,? an ? 8 ? 2(n ? 1) ? 10 ? 2n . (2)若 10 ? 2n ? 0, 则n ? 5 , n ? 5时, S n ?| a1 | ? | a 2 | ? ? ? | an | 8 ? 10 ? 2n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? n ? 9n ? n 2 , 2 n ? 6 时, S n ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ? a6 ? a7 ? ? an ? S 5 ? ( S n ? S 5 ) ? n 2 ? 9n ? 40 。
故 Sn ?

9n ? n 2 n 2 ? 9n ? 40



n?5 n?6
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9.(1) 项数为奇数的等差数列,奇数项之和为 44,偶数项之和为 33,求这个数列的中间项及项数 (2) 等差数列{an}中,前 m 项之和(m 为奇数)为 77,其中偶数项之和为 33,a1─am=18,求此数列的通项 公式. 解:(1) 设数列共 2m+1 (m∈N*)把该数列记为{an} ,依题意 a1+a3+……+a2m+1=44 且
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a2+a4+……+a2m=33,



m (a2+a2m)=33. (1) 2

m ?1 (a1+a2m)=44. 2
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(2)

(1)÷(2)得

a ? a2m m 3 =11 即该数列有 7 项,中间项为 11 ? .∴m = 3.代入(1)得 a2+a2m = 22,∴am+1= 2 2 m ?1 4
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方法二: S 奇+S 偶=Sn; S 奇─S 偶=a 中;Sn=na 中 ?a 中=11 (2)

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m ?1 m ?1 两式相除得到: (m+1)/(m─1)=4/3 (a1 ? a m ) ? 44, (奇数项之和) (a 2 ? a m?1 ) ? 33 , 4 4
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?m=7,再联立方程组解得:a1=20,am=2?d=─3?an=─3n+23

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10. 已知等差数列 ?a n ?的公差大于 0,且 a 3 , a 5 是方程 x 2 ? 14 x ? 45 ? 0 的两根,数列 ?bn ?的前 n 项的和为

1 S n ,且 S n ? 1? bn . 2
(Ⅰ)求数列 ?a n ?, ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)记 c n ? a n ? bn ,求证: c n ?1 ? c n .

解: (Ⅰ)∵a3,a5 是方程 x 2 ? 14 x ? 45 ? 0 的两根,且数列 {a n } 的公差 d>0,∴a3=5,a5=9,公差

d?

a5 ? a3 1 2 ? 2. ∴ a n ? a5 ? (n ? 5)d ? 2n ? 1. 又当 n=1 时,有 b1=S1=1- b1 ,?b1 ? . 5?3 2 3

9

当 n ? 2时, 有bn ? S n ? S n ?1 ?

b 1 1 (bn ?1 ? bn ),? n ? (n ? 2). ∴数列{bn}是等比数列, 2 bn ?1 3

2 1 2 , q ? . ∴ bn ? b1 q n ?1 ? n . 3 3 3 2(2n ? 1) 2(2n ? 1) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 c n ? a n bn ? , cn?1 ? , n 3 3n?1 2(2n ? 1) 2(2n ? 1) 8(1 ? n) ∴ cn ?1 ? cn ? ? ? ? 0. ∴ cn ?1 ? cn . 3n?1 3n 3n?1 b1 ?
11.已知数列 ?a n ?的首项 a1 ? 5 ,前 n 项和为 S n ,且 Sn ?1 ? 2Sn ? n ? 5 (n ? N ) .
?

(Ⅰ)设 bn ? an ? 1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式;

(Ⅱ)求数列 ?a n ?的前 n 项和 S n .

? ? 解: (Ⅰ)由 Sn ?1 ? 2Sn ? n ? 5 (n ? N ) ,得 Sn ? 2Sn ?1 ? ? n ? 1? ? 5 (n ? N , n ? 2) , ? 两式相减得 an ?1 ? 2an ? 1 ,∴ an ?1 ? 1 ? 2 ? an ? 1? ,即 bn?1 ? 2bn (n ? N , n ? 2) ,

又 a2 ? S 2 ? S1 ? S1 ? 1 ? 5 ? a1 ? 6 ? 11 ,∴ b2 ? a2 ? 1 ? 12 , b1 ? a1 ? 1 ? 6 , ∴ b2 ? 2b1 , ∴数列 ?bn ? 是首项为 6 ,公比为 2 的等比数列 ,∴ bn ? 6 ? 2
n

n ?1

? 3 ? 2n .

2 n (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 3 ? 2 ? 1 ,∴ Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? ??? ? 3 ? 2 ? n

? 3?

2 ? 2n ? 1? 2 ?1

? n ? 6 ? 2n ? n ? 6 ? 3 ? 2n?1 ? n ? 6 .
?

方法二: 由已知 Sn ?1 ? 2Sn ? n ? 5 (n ? N ) 整理得 Sn ?1 ? 2Sn ? cn ? d ? c



设 Sn ?1 ? c ? n ? 1? ? d ? 2 ? Sn ? cn ? d ? ,

②, 由① 、②,得 c ? 1, d ? 6 .

即①等价于 Sn ?1 ? ? n ? 1? ? 6 ? 2 ? Sn ? n ? 6 ? ,∴数列 ?S n ? n ? 6? 是等比数列,首项 为 S1 ? 1 ? 6 ? a1 ? 1 ? 6 ? 12 ,公比为 q ? 2 ,∴ Sn ? n ? 6 ? 12 ? 2
n ?1

? 3 ? 2n ?1 ,∴ Sn ? 3 ? 2n ?1 ? n ? 6 .

12. 已知数列 ?an ? , S n 是其前 n 项和, an ? 7 Sn ?1 ? 2(n ? 2) , a1 ? 2 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) bn ? 设 最小正整数 m . 解: (1)∵ n ? 2时a n ? 7 S n ?1 ? 2 又 a1 ? 2 ∴ a2 ? 7a1 ? 2 ? 16 ? 8a1

1 l g 2 an ? l g o o

2

a n ?1

, Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和, 求使得 Tn ?

m 对所有 n ? N * 都成立的 20

? an?1 ? 7 S n ? 2,? an?1 ? an ? 7an ∴ a n ?1 ? 8a n (n ? 2) . ? an?1 ? 8an (n ? N *) .∴ ?an ? 是一个以 2 为首项, 为公比的等 8
10

比数列,∴ a n ? 2 ? 8 (2) bn ? ∴ Tn ?

n ?1

? 2 3n ? 2 .

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), log 2 a n ? log 2 a n ?1 (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 m 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ) ? .∴ ? 20 3 3 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 3 3n ? 1 3 ∴最小正整数 m ? 7 .

?m ?

20 3

13.设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且满足 a1=b1=1,a2=b2<0, a5+8=b3, (1)求{an}、{bn}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前 n 项和.

?1 ? d ? q ? 0 ?q ? 5 ?q ? ?1 解: (1)设{an}的公差为 d, {bn}的公比为 q,则 ? ,解得 ? (舍)或 ? . 2 ?d ? 4 ?d ? ?2 ?9 ? 4d ? q
∴an=1+(n-1)(-2)=3-2n, bn=(-1)n 1. - (2)设 Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,则 Sn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n 1an,


n - (-d)=n;当 n 为奇数时,Sn=Sn-1+(-1)n 1an=(n-1)+an=2-n. 2 方法二:Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn, qSn ? a1b2 ? a 2b3 ? ? ? a n ?1bn ? a n bnq , k-1 (1 ? q)Sn ? a1b1 ? d(b2 ? b3 ? ? ? bn ) ? a n bnq .将 q=-1, bk=(-1) , ak=3-2k, (k=1, 2, …,n),
当 n 为偶数时 Sn= d=-2,代入整理可得:Sn=1+(n-1)(-1)n. 14.已知 f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),f(an)和 g(an)满足:a1=2,且(an+1-an)g(an)+f(an)=0。 (1)是否存在常数 C,使得数列{an+C}为等比数列?若存在,证明你的结论;若不存在,请说明理由。 (2)设 bn=3f(an)-[g(an+1)]2,求数列{bn}的前 n 项和 Sn。 解: (1)由题意知:4(an+1-an)(an-1)+(an-1)2=0,∴(an-1)(4an+1-3an-1)=0 .∵a1=2,∴an-1≠0, 即 4an+1=3an+1.

1 1 a n + +c (1+c) 3 4 4 = + 假设存在常数 C,使{an+C}为等比数列,则: 为常数.∴c=-1,故存在 =4 a n +c a n +c 4 a n +c a n+1 +c
常数 c=-1,使{an-1}为等比数列.

3

3 n ?1 3 n ?1 (2)? a1 ? 2,? a1 ? 1 ? 1, 即a n ? 1=( ) ,? a n =( ) +1 , 4 4
从而 b n =3(a n ? 1) ? [4(a n+1 ? 1)] ? ?6(
2 2

9 16

) n ?1 ,∴ Sn ?

?6[1 ? ( 1?

9 16 9

)n ] ??

96 7

[1 ? (

9 16

)n ] .

16

15. 已知数列 {a n } ,其前 n 项和为 Sn ?

3 2 7 n ? n (n ? N ? ) . 2 2 (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式,并证明数列 {a n } 是等差数列;
(Ⅱ)如果数列 {bn } 满足 a n ? log 2 bn ,请证明数列 {bn } 是等比数列,并求其前 n 项和; 解: (Ⅰ)当 n ? 1时, a1 ? S1 ? 5 ,当 n ? 2 时,

3 7 3 7 an ? Sn ? Sn ?1 ? [n2 ? (n ? 1)2 ] ? [n ? (n ? 1)] ? (2n ? 1) ? ? 3n ? 2 . 2 2 2 2 ? 又 a1 ? 5 满足 an ? 3n ? 2 ,? an ? 3n ? 2 (n ? N ) .∵ an ? an?1 ? 3n ? 2 ? [3(n ? 1) ? 2] ? 3
(n ? 2, n ? N ? ) ,∴数列 ?an ? 是以 5 为首项, 3 为公差的等差数列.

11

(Ⅱ)由已知 bn ? 2

an

bn +1 2an+1 = an = 2an+1 -an = 23 = 8 (n ? N ? ) ,又 b1 ? 2a ? 32 , (n ? N ) ,∵ bn 2
?
1

32(1 ? 8n ) 32 n ? (8 ? 1) . ∴数列 {bn } 是以 32 为首项, 8 为公比的等比数列. ∴数列 {bn } 前 n 项和为 1? 8 7
?1 ? an , 1 ? 16. 设数列 {a n }的首项a1 ? a ? , 且a n ?1 ? ? 2 4 ?a ? 1 , ? n 4 ?
(Ⅰ)求 a2,a3; (Ⅱ)求 b1 , b2 , b3 ,判断数列 {bn } 是否为等比数列,并证明你的结论;

n为偶数, n为奇数 .

记 bn ? a 2 n?1 ? 1 , n ? 1,2,3,?. 4

1 1 1 1 1 ? a ? , a3 ? a 2 ? a ? . 4 4 2 2 8 1 1 3 1 1 3 (Ⅱ)∵ a 4 ? a3 ? ? a ? ,? a5 ? a 4 ? a ? . 4 2 8 2 4 16 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ b1 ? a1 ? ? a ? ? 0, b2 ? a3 ? ? (a ? ), b3 ? a5 ? ? (a ? ). 4 4 4 2 4 4 4 4 1 猜想: {bn } 是公比为 的等比数列. 证明如下: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ∵ bn ?1 ? a 2 n ?1 ? ? a 2 n ? ? (a 2 n ?1 ? ) ? ? (a 2 n ?1 ? ) ? bn , (n ? N ) , {bn } 是首项 ∴ 4 2 4 2 4 4 2 4 2 1 1 为 a ? , 公比为 的等比数列. 4 2
解: (Ⅰ) a 2 ? a1 ? 17.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? an 2 ? bn ? c, (n ? N ) ,且 S1 ? 3, S 2 ? 7, S 3 ? 13 。求数列 {a n } 的通项公式并求数列 {

1 } 的前 n 项和. a n a n ?1

?a ? b ? c ? 3 ?a ? 1 ? ? 解: (1)由已知有 ?4a ? 2b ? c ? 7 ,解得 ?b ? 1 ,所以 S n ? n 2 ? n ? 1 。 ?9a ? 3b ? c ? 13 ?c ? 1 ? ?
当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? n ? 1 ? [( n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1] ? 2n, ∴ a n ? ?

?3, (n ? 1) . ? 2 n, ( n ? 2)

(2)令 bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ?( ? )。 ,则 b1 ? ,当 n ? 2 时, bn ? ? a n ? a n?1 a1 a 2 12 2n ? 2(n ? 1) 4 n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 n ?1 ( ? ? ? ??? ? )? 。 4 2 3 3 4 n n ? 1 8(n ? 1) 1 n ?1 5n ? 1 ? ? (n ? N *) 。 12 8(n ? 1) 24(n ? 1)
12

∴ b2 ? ? ? bn ?

∴ b1 ? b2 ? ? ? bn ?

18. 设 ?a n ?是等差数列,求证:以 bn ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n (n ? N ? ) 为通项公式的数列 ?bn ? 是等差数列。 n n(a1 ? a n ) , 2

解:设等差数列的公差为 d ,前 n 项和为 S n ,则 S n ?

? bn ? bn ?1 ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 n(a1 ? a n ) (n ? 1)( a1 ? a n ?1 ) ? ? ? n n ?1 2n 2(n ? 1)

?

a n ? a n?1 d ? (常数)( n ? 2, n ? N ? ) ? ?bn ? 是等差数列。 2 2
解法二:设 ?a n ?的前 n 项和为 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d, 2

? bn ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ?1 d d ? a1 ? d ? n ? (a1 ? ) ,? ?bn ? 是等差数列。 n 2 2 2
*

19. 已知数列 {log 2 (a n ? 1)}n ? N ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)证明

1 1 1 ? ??? ? 1. a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n

解: (I)设等差数列 {log 2 (a n ? 1)} 的公差为 d.由 a1 ? 3, a3 ? 9得2(log 2 2 ? d ) ? log 2 2 ? log 2 8, 即 d=1.所以 log 2 (a n ? 1) ? 1 ? (n ? 1)? ? n, 即 a n ? 2 ? 1.
n

(II)∵

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? n ?1 ? n, ? ??? ? 1 ? 2 ? 3 ??? n n a n ?1 ? a n a ? 2 a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n 2 2 2 2 2

1 1 1 ? n? 2 ? 1 ? 1 ? 1. 2 ? 2 1 2n 1? 2
20.设正项等比数列 {a n } 的首项 a1 ? (Ⅰ)求 {a n } 的通项; 解: (Ⅰ)由 2 S 30 ? (2
10 10 10

1 10 10 ,前 n 项和为 Sn,且 2 S 30 ? (2 ? 1) S 20 ? S10 ? 0. 2
(Ⅱ)求 {nSn } 的前 n 项和 Tn.

? 1) S 20 ? S10 ? 0 得 210 ( S 30 ? S 20 ) ? S 20 ? S10 ,
10 10

即 2 (a 21 ? a 22 ? ? ? a30 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a 20 , 2 ? q (a11 ? a12 ? ? ? a20 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a20 . ∵ a n ? 0 ,∴ 2 q
10 10

? 1, 解得 q ?

1 1 n ?1 ,∴ a n ? a1 q ? n , n ? 1,2,?. 2 2

13

1 1 (1 ? n ) 1 1 2 ? 1 ? 1 , nS ? n ? n . 则 (Ⅱ)∵ {a n } 是首项 a1 ? 、公比 q ? 的等比数列,故 S n ? 2 n 1 2 2 2n 2n 1? 2 1 2 n 数列 {nSn } 的前 n 项和 Tn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ), 2 2 2
Tn 1 1 2 n ?1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 ). 前两式相减, 2 2 2 2 2 2

1 1 (1 ? n ) Tn 1 1 1 1 n n(n ? 1) 2 2 ? n , 得 ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? n?1 ? ? 1 2 2 2 2 4 2 2 2 n ?1 1? 2 n(n ? 1) 1 n 即 Tn ? ? n ?1 ? n ? 2. 2 2 2
21.已知{ a n }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a 2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设{ bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大 小,并说明理由. 解: (Ⅰ)由题设 2a3 ? a1 ? a 2 , 即2a1 q ? a1 ? a1 q, ? a1 ? 0,? 2q ? q ? 1 ? 0. ? q ? 1或 ?
2

2

1 . 2

( Ⅱ ) 若 q ? 1, 则S n ? 2n ? 故 S n ? bn . 若q ? ?

n(n ? 1) n 2 ? 3n (n ? 1)( n ? 2) ?1 ? . 当 n ? 2时, S n ? bn ? S n?1 ? ? 0. 2 2 2

1 n(n ? 1) 1 ? n 2 ? 9n (n ? 1)( n ? 10) , 则S n ? 2n ? (? ) ? . 当 n ? 2时, S n ? bn ? S n?1 ? ? , 2 2 2 4 4

故对于 n ? N ? ,当2 ? n ? 9时, S n ? bn ;当n ? 10时, S n ? bn ;当n ? 11时, S n ? bn . 22.设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1, a3 ? b5 ? 21, a5 ? b3 ? 13 。 (1)求 {an },{bn} 的通项公式; (2)求数列 {

an } 的前 n 项和 Sn; bn
?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? 2 ?1 ? 4d ? q ? 13 ?

解: (1)设 {an } 是公差为 d, {bn } 的公比为 q,则依题意有 q>0 且 ? 解之得 d ? 2, q ? 2,? an ? 1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1, bn ? q (2)∵
n ?1

? 2n ?1 。


an 2 n ? 1 3 5 2n ? 3 2 n ? 1 ? n ?1 ,∴ Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 , bn 2 2 2 2 2

14

5 2n ? 3 2n ? 1 2 S n ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?3 ? n ? 2 , ② 2 2 2

②-①得: Sn ? 2 ? 2 ?

2 2 2 2n ? 1 ? 2 ? ? ? n?2 ? n?1 2 2 2 2

1 1 ? n ?1 1 1 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 ? 2 ? 2 ? (1 ? ? 2 ? ? ? n?2 ) ? n?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 ? 6 ? n ?1 . 1 2 2 2 2 2 2 1? 2
23. 已知数列{ a n }中, a1 ? 2 ,且点 P( a n , a n ?1 ) (n ? N *) 在斜率为 1,纵截距为 2 的直线上. (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)设 bn ?

2 2 2 ? ??? (n ? N *) ,求数列 {bn } 最小项的值. 2n ? a1 2n ? a 2 2n ? a n
即 an ?1 ? a n ? 2, ?{a n }

解: (1)斜率为 1,纵截距为 2 的直线方程为: y ? x ? 2, ? a n ?1 ? a n ? 2, 是以 2 为公差,2 为首项的等差数列,?a n ? 2n. (2)? bn ?

2 2 2 1 1 1 ? ??? ? ? ??? , 2n ? 2 2n ? 4 2n ? 2n n ? 1 n ? 2 n?n

? bn ?1 ?

1 1 1 ,于是 ? ??? n?2 n?3 (n ? 1) ? (n ? 1)

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 0 ,? bn ?1 ? bn ,即 {bn } 为递增数列,?{bn } 的 2n ? 1 2 n ? 2 n ? 1 2n ? 1 2n ? 2 1 最小项为 b1 ? . 2 24. 某地区森林原有木材存量为 a ,且每年增长率为 25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为 b ,设 an 为 n 年后该地区森林木材的存量, (1)求 an 的表达式; 7 19a (2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材存量不少于 a ,如果 b ? ,那么 9 72 该地区今后会发生水土流失吗?若会,需要经过几年?(参考数据: lg 2 ? 0.3 ) 解: (1)设第一年的森林的木材存量为 a1 ,第 n 年后的森林的木材存量为 an ,则 1 5 5 5 5 5 5 5 5 a1 ? a(1 ? ) ? b ? a ? b , a2 ? a1 ? b ? ( )2 a ? ( ? 1)b , a3 ? a2 ? b ? ( )3 a ? [( )2 ? ? 1]b , 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 n 5 n?1 5 n?2 5 n 5 n * ……… an ? ( ) a ? [( ) ? ( ) ? ? ? 1] ? ( ) a ? 4[( ) ? 1]b(n ? N ) . 4 4 4 4 4 19 7 5 n 5 n 19 7 5 (2)当 b ? a 时,有 an ? a 得 ( ) a ? 4[( ) ? 1] ? a ? a 即 ( ) n ? 5 , 72 9 4 4 72 9 4 lg 5 1 ? lg 2 ? ? 7.2 .即经过 8 年后该地区就开始水土流失. ∴n ? lg 5 ? 2lg 2 1 ? 3lg 2 25.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16 ,第 二个数与第三个书的和是 12 ,求这四个数. bn?1 ? bn ?

15

? (a ? d )2 ?a ? 4 ? a ? 9 ? 16 (a ? d ) 2 ?a ? d ? 解:设这四个数为:a ? d , a, a ? d , ,则 ? ,解得:? 或? , a a ? d ? 8 ? d ? ?6 ?2a ? d ? 12 ?
所以所求的四个数为: ?4, 4,12,36 ;或 15,9,3,1 . 26.若数列 {a n } 的前 n 项和 Sn 满足: S n ? 2a n ? 4(n ? N ? ) , bn ?1 ? a n ? 2bn , 且b1 ? 2 。 (1)求 {a n } 的通项公式; (2)求 {bn } 的通项公式; (3)求 {bn } 的前 n 项和 Bn.

解: (1)当 n=1 时, S1 ? 2a1 ? 4,? a1 ? 4 ,当 n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2an ? 4 ? 2a n?1 ? 4 ,

? a n ? 2a n ?1 ,?{a n } 是以 2 为公比,4 为首项的等比数列,? a n ? 4 ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 ,即a n ? 2 n ?1 。
(2) bn ?1 ? 2
n ?1

? 2bn ,?

bn ?1 bn b ? n ? 1 ,?{ n } 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列, n ?1 2 2 2n

?

bn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n, ,? bn ? n ? 2 n 。 2n
(3) Bn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 , 2 Bn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1)2 ? n ? 2
2 3 n 2 3 n n ?1



两式相减得: ? Bn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 3 n

n ?1

2(2 n ? 1) ? ? n ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 ? 2 ? n ? 2 n ?1 。 2 ?1

? Bn ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 ,即 {bn } 的前 n 项和为: (n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 。
27. 设数列 {an } 的首项 a1 ? (0,,an ? 1) (1)求 {an } 的通项公式; 解: (1)由 an ?

3 ? an ?1 ,n ? 2,4,… . 3, 2

(2)设 bn ? an 3 ? 2an ,证明 bn ? bn ?1 ,其中 n 为正整数.

3 ? an ?1 1 整理得 1 ? an ? ? (1 ? an ?1 ) . 1 ? a1 ? 0 , 又 所以 {1 ? an } ,n ? 2,4,…, 3, 2 2
n ?1

1 ? 1? 是首项为 1 ? a1 ,公比为 ? 的等比数列,得 an ? 1 ? (1 ? a1 ) ? ? ? 2 ? 2?
(2)由(1)可知 0 ? an ? 则b
2 n ?1 2 n
2 n ?1

3 ,故 bn ? 0 . 2
2 2 n

3 ? an ? 2 9an ? 3 ? an ? ? (an ? 1) 2 . ? b ? a (3 ? 2an ?1 ) ? a (3 ? 2an ) ? ? ? ?3 ? 2? ? ? an (3 ? 2an ) ? 2 ? ? 2 ? 4 ?
2 2

又由(1)知 an ? 0 且 an ? 1 ,故 bn ?1 ? bn ? 0 ,因此 bn ? bn ?1,n 为正整数.

? x ? 0, ? 28. 设不等式 ? y ? 0, 所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内的格点( x , y ) x 、 y ∈z)的个数 ( ? y ? ? nx ? 3n ?
16

为 f (n) ( n ∈ N ? ). (Ⅰ) 求 f (1) , f (2) 的值及 f (n) 的表达式; (Ⅱ)记 Tn ?

f (n) f (n ? 1) ,若对于任意 n ∈ N ? ,总有 Tn ≤m 成立,求实数 m 的取值范围; 2n

解: (Ⅰ) f (1) =3, f (2) =6. 由 x >0,0< y ≤ ? nx ? 3n ,得 0< x <3,又 x ∈ N ? ,∴ x =1, 或 x =2.当 x =1,0< y ≤2 n 时,共有 2 n 个格点;当 x =2,0< y ≤ n 时,共有 n 个格点. 故 f (n) ? n ? 2n ? 3n .

9n(n ? 1) 9(n ? 1)( 2 ? n) ,则 Tn ?1 - Tn = .∴当 n ≥3 时, Tn ?1 < Tn . n 2 2 n ?1 27 27 27 又 T1 =9< T2 = T3 = ,所以 Tn ≤ ,故 m ≥ . 2 2 2
(Ⅱ)由(1)知 Tn = 29. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,a1 ? 1 ? 2,S3 ? 9 ? 3 2 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an 与前 n 项和 S n ; (Ⅱ)设 bn ?

Sn (n ? N? ) ,求证:数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n

解: (Ⅰ)由已知得 ?

?a1 ? 2 ? 1, ? ?3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2 ?

,? d ? 2 ,故 an ? 2n ? 1 ? 2,S n ? n(n ? 2) .

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ?
2

Sn ? n ? 2 .假设数列 {bn } 中存在三项 bp,bq,br ( p,q,r 互不相等)成 n

2 2 等比数列,则 bq ? bp br .即 (q ? 2) ? ( p ? 2)(r ? 2) .? (q ? pr ) ? (2q ? p ? r ) 2 ? 0

? q 2 ? pr ? 0, ? p ? r ? 2 ?? ( ? ? p,q,r ? N ,? ? ? ? pr,p ? r ) ? 0, p ? r .与 p ? r 矛盾.所以数列 ? 2q ? p ? r ? 0, ? 2 ?
2

?

{bn } 中任意不同的三项都不可能成等比数列.
30. 已知数列 ?a n ?中 a1 ? 3, a2 ? 5 ,其前 n 项和为 满足 Sn ? Sn ? 2 ? 2Sn ?1 ? 2n ?1 (n ? 3) . (1)试求数列 ?an ? 的通项公式.

2n ?1 1 , Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,证明: Tn ? . (2)令 bn ? an ? an ?1 6
n ?1 n ?1 解: (1)由 Sn ? Sn ? 2 ? 2Sn ?1 ? 2 (n ? 3) 得 Sn ? Sn ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? 2 ? 2 (n ? 3)

? an ? sn ? sn ?1 , ? an ? an ?1 ? 2n ?1 (n ? 3) , 即 an ? an ?1 ? 2n ?1 (n ? 3 ) 又 a2 ? a1 ? 5 ? 3 ? 2(n ? 2) , ,
? an ? an ?1 ? 2n ?1 (n ? 2) , an ? ? an ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? ? ? a2 ? a1 ? ? a1
17

?2

n ?1

?2

n?2

?2

n ?3

( ? 2n ?1) 21 n ?? ? 2 ? 3 ? ? 3 ? 2n ? 1 故数列 ?a n ?的通项公式为 an ? 2 ? 1 . 1? 2
1

(2)? bn ?

2n ?1 2n ?1 1? 1 1 ? ? n ? ? n ? n ?1 ? , n ?1 an an ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 ?? 3 ? 5 ? ? ? 5 ? 9 ? ? ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ?1 ? 1 ? ? ? 2 ? 3 ? 2n?1 ? 1 ? ? 6 . 2 ?? ? ? ? ? ?? ? ?

?Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?
31.将函数 f ( x) ? ?

1 sin 3x 在区间 (0, ??) 内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列 {an }(n ? N* ) 。 4

(1) 求函数 f ( x) 的图象上第 10 个极值点的坐标; (2) 又设 bn ? sin an ? sin an ?1 ? sin an ? 2 ,求数列 {bn } 的通项公式。 解:(1) 化简 f ( x) ,得 f ( x) ? ?

1 k? ? sin 3x ,其极值点为 x ? ? ( k ? Z) 4 3 6 19? 19? 1 当 k ? 9 时,得 x ? ,∴ f ( x) 的图象上第 10 个极值点的坐标是 ( , )。 6 6 4 ? ? (2) f ( x) 在区间 (0, ??) 内的全部极值点按从小到大的顺序排成以 为首项, 为公差的等差数, 6 3

? an ?

?
6

? (n ? 1) ?

?
3

?

b sin an ?3 sin(an ? ? ) 2n ? 1 ? ? ?1 ,且 ? (n ? N* ) 。? sin an ? 0,? bn ? 0, n ?1 ? bn sin an sin an 6

b1 ?

(?1) n ?1 1 1 ( n ? N* ) 。 。?{bn } 是以 为首项,-1 为公比的等比数列,即 bn ? 4 4 4
3 3 3 2

32. 设数列{an}的各项都为正数,且对任意的 n∈N+都有 a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? S n ,其中 Sn 为数列{an}的前 n 项和。 ⑴ 求证: a n ? 2 S n ? a n .
2

⑵ 求数列{an}的通项公式。
n

⑶ 设 bn ? 3 ? (?1)
n

n ?1

? ? 2 a (λ 为非零整数, n∈N+) 试确定 λ 的值, 使得对任意 n∈N+都有 bn+1>bn

成立。 解:⑴ 由已知当 n=1 时,a13=a12 ,又 a1>0,∴a1=1,当 n≥2 时 a13+a23+…+an3=Sn2,a13+a23+…+an-13=Sn-12,∴an3=(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=an(Sn+Sn-1) ,又 an>0,∴an2=Sn+Sn-1 , 而 Sn-1=Sn-an,∴an2=2Sn-an,n=1 时,a1=1 也满足上式。 ⑵ 由⑴可知 an2=2Sn-an 当 n≥2 时 a n ?1 ? 2S n ?1 ? a n ?1 .
2

∴ a n ? a n ?1 ? 2( S n ? S n ?1 ) ? a n ? a n ?1 ? a n ? a n ?1 ,又 an+an-1>0,∴an-an-1=1,则数列{an}是等差数列,首项
2 2

为 1,公差为 1,∴an=n. ⑶ ∵an=n bn=3n+(-1)n-1·λ·2n,要使 bn+1>bn 恒成立.
18

bn+1-bn=3

n+1

-3 +(-1) λ·2

n

n

n+1

-(-1) ·λ·2 =2×3 -3λ(-1) · >0 恒成立,∴ ?? 1? 2
n-1 n n n-1 n
n ?1

n ?1

?3? ? ?? ? ?2?

n ?1

恒成立

当 n 为奇数时, ? ? ? ?

?3? ?2?

恒成立,又 ? ?
n ?1

?3? ?2?

n ?1

的最小值为 1,∴λ<1.
n ?1

?3? 当 n 为偶数时, ? ? ?? ? ?2?
∴?

?3? 恒成立,又 ? ? ? ?2?

的最大值为 ? ?

3 ? 3? ? ,∴ ? ? ? . 2 ? 2?

3 ? ? ? 1又? ? 0 ,λ 为整数,∴λ=-1. 2

π x ? )+cos2x, 4 2 (1)求使 f(x)>0 的 x 的取值集合; π (2)若 10 个互不相等正数 xi 满足 f(2xi+ )=3 且 xi<10 π (i=1, 2, …,10),求 S=x1+x2+…+x10 的值; 6 π 2π (3)设集合 A={x| ≤x≤ }, B={x||f(x)–m|<2},若 A ? B,求实数 m 的取值范围. 6 3 π 1 解: (1)f(x)=2sinx[1–cos( +x)]+cos2x=2sinx(1+sinx)+1–2sin2x=2sinx+1.由 f(x)>0 得 sinx>– , 2 2 π 7π ∴x∈(2k π – , 2k π + ), k∈Z. 6 6 π π π π π π (2)由 f(2xi+ )=3, 得 2sin(2xi+ )+1=3, ∴sin(2xi+ )=1, 即 2xi+ =2k π + , ∴xi=k π + (k∈Z). 6 6 6 6 2 6 π 140π ∵0<xi<10 π , ∴x1+x2+…+x10=(1+2+…+9) π +10× = . 6 3 π 2π ( 3 ) 由 |f(x)–m|<2 , 得 –2<f(x)–m<2 , 即 f(x)–2<m<f(x)+2,∵A ? B , ∴ 当 ≤x≤ 时,不等式 6 3 π π f(x)–2<m<f(x)+2 恒成立.∴[f(x)–2]max<m<[f(x)+2]min, ∵f(x)min=f( )=2, f(x)max=f( )=3, ∴m∈(1, 4) . 6 2
33.已知函数 f(x)=4sinxsin2( 34. 已知: f n ( x) ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a n x n , f n (?1) ? (?1) n ? n, n ? 1,2,3? (Ⅰ)求

a1 , a 2 , a3 ;

(Ⅱ)求数列 ?a n ?的通项公式;

(Ⅲ)求证: f n ( ) ? 1

1 3

解: (Ⅰ)由已知 f1 (?1) ? ?a1 ? ?1, 所以a1 ? 1 .

f 2 (?1) ? ?a1 ? a2 ? 2所以a2 ? 3, f 3 (?1) ? ?a1 ? a2 ? a3 ? ?3 ,∴ a3 ? 5 .
(Ⅱ)? (?1)
n ?1

? a n?1 ? f n?1 (?1) ? f n (?1) ? (?1) n?1 ? (n ? 1) ? (?1) n ? n

? a n?1 ? (n ? 1) ? n,即a n?1 ? 2n ? 1 ∴对于任意的 n ? 1,2,3.......... , a n ? 2n ? 1 .
2 3 n (Ⅲ) f n ( x) ? x ? 3x ? 5 x ? .... ? (2n ? 1) x ,? f n ( ) ?

1 3

1 1 1 1 ? 3( ) 3 ? 5( ) ? .... ? (2n ? 1)( ) n 3 3 3 2

1 ○

1 1 1 1 1 1 2 ? f n ( ) ? ( ) 2 ? 3( ) 3 ? 5( ) 4 ? ... ? (2n ? 1)( ) n?1 ○ 3 3 3 3 3 3
19

①-②得

2 1 1 1 1 1 1 f n ( ) ? ? 2( ) 2 ? 2( ) 3 ? ... ? 2( ) n ? (2n ? 1)( ) n?1 3 3 3 3 3 3 3

2? 1 n ?1 ? ?1 ? ( 3 ) ? 1 9 1 1 n ?1 ? ? (2n ? 1)( 1 ) n ?1 ? 2 ? 2n ? 2 ( 1 ) n , ? ? ? ? f n ( ) ? 1 ? n .∴ f n ( ) ? 1 . 1 3 3 3 3 3 3 3 3 1? 3
35. 已知 a ? 0 ,且 a ? 1 ,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,它满足条件

an ?1 1 ? 1 ? .数列 {bn } 中, Sn a

bn ? an ? lg a n 。
(1)求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; (2)若对一切 n ? N * 都有 bn ? bn ?1 ,求 a 的取值范围。 解: (1)?

an ?1 1 a(a n ? 1) a(a1 ? 1) ? 1 ? ,? S n ? . 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?a. Sn a a ?1 a ?1

a(a n ? 1) a(a n ?1 ? 1) ? ? a n ,? an ? a n (n ? N * ) . a ?1 a ?1 2 3 n lg n an 此时 bn ? an ? lg a n ? a n · a = n · lg a ,? Tn ? b1 ? b2 ? …… bn = (a ? 2a ? 3a ? ??? ??? ? na ) ? lg a .
当 n ≥2 时, an ? Sn ? Sn ?1 = 设 un ? a ? 2a 2 ? 3a 3 ? ……+ na n , (1 ? a)un ? a ? a 2 ? a 3 ? ……+ a n ? na n?1 ? ?

a(a n ? 1) ? na n ?1 , a ?1

na n ?1 a(a n ? 1) na n ?1 a(a n ? 1) ? . ? Tn ? [ ? ] ? lg a . a ? 1 (a ? 1) 2 a ? 1 (a ? 1) 2 (2)由 bn ? bn ?1 ? na n lg a ? ( n ? 1) a n ?1 lg a 可得: n n n 当 a ? 1 时,由 lg a ? 0 可得 a ? ,? 对一切 n ? N * ? 1(n ? N * ), a ? 1, ? a ? n ?1 n ?1 n ?1 都成立,?此时的解为 a ? 1 . n n 1 当 0 ? a ? 1时,由 lg a ? 0 可得 n ? (n ? 1)a, a ? ≥ (n ? N * ), 0 ? a ? 1, ,? n ?1 2 n ?1 n 1 对一切 n ? N * 都成立,?此时的解为 0 ? a ? . ?0? a ? n ?1 2 1 0 0 由 1 , 2 可知,对一切 n ? N * 都有 bn ? bn ?1 的 a 的取值范围是 0 ? a ? 或 a ? 1 . 2

? un ?

36.设函数 f1(x)= (1)记 a n ?

2 , fn+1(x)=f1[fn(x)],其中 n∈N*. 1? x

f n (0) ? 1 (n∈N*).试确定 an 与 an-1 的关系,并求数列{an}的通项公式; f n (0) ? 2 f n (x) ? 1 (n∈N*).若存在 x∈[2, +∞ ) ,使得不等式|an(x)|<r(r>0)成立,则 an(x)至少 f n (x) ? 2

(2)记 a n (x) ?

是数列{an(x)}中的第几项?
2

2 f (0) ? 1 1 ? f n ?1 (0) 1 f (0) ? 1 ? ? ? ( n ?1 ) 解: (1)∵fn+1(0)=f1[fn(0)]= , ∴an= n 2 f n (0) ? 2 2 f n ?1 (0) ? 2 1 ? f n (0) ?2
1 ? f n ?1 (0)

?1

20

f (0) ? 1 1 1 1 1 1 ? ,∴an= (? ) n ?1 ? (? ) n ?1 . ? ? a n ?1 (n≥2, n∈N).又 a1= 1 f 1 (0) ? 2 4 4 2 2 2
(2)仿(1)可得 a n (x)=( ? 2 ) 则|an(x)|<r ? ( )n
n

1

n ?1

f1 (x) ? 1 1 n x ?1 ,∴ a n (x)=( ? 2 ) x ? 2 .由 x∈[2, +∞ ) , f1 (x) ? 2
(*)

1 2

x ?1 + <r ? (1-2nr)x<2n 1r+1 x?2

10 当 1-2 r≤0 即 n≥log2

1 时, (*)成立, r
n ?1 n ?1 1 时,由(*)可得 x ? 2 r ? 1 ,于是 2 r ? 1 ? 2 ,∴n>log 1 2 , 1 ? 2n r 1 ? 2n r 4r r

20 当 1-2 r>0 即 n<log2

n

由 10 、 20 知,要使(*)成立,n 的取值范围是 n>log2 为 1,当 log2

1 1 1 且 n∈N*,故当 log2 <1 即 r> 时,n 的最小值 4r 4r 8

1 1 1 ≥1 即 0<r≤ 时,n 的最小值为[log2 ]+1. 4r 8 4r 3 3 1 x ?1 方法二:∵x≥2, ∴|an(x)|<r ? ( )n <r ? 1- <r· n,而 y=1- 2 在[2, +∞ ) 上 2 x?2 x?2 x?2 1 1 1 的最小值为 ,故必须且只需 <r· n,∴n>log2 且 n∈N*. ( 下同 ) 2 4 4 4r

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