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数学排列组合常见题型及解法


排列组合常见题型及解法
排列组合问题,通常都是出现在选择题或填空题中,问题千变万化,解法灵活,条件隐晦,思维抽象,难以找到解题的突破口,实践证明, 解决问题的有效方法是:题型与解法归类、识别模式、熟练运用。 一.处理排列组合应用题的一般步骤为: ①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。

二.处理排列组合应用题的规律
(1) 两种思路:直接法,间接法。(2)两种途径:元素分析法,位置分析法。

1 重复排列“住店法”
重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复。把不能重复的元素看作“客” ,能重复的元素看作“店” ,则通过“住店 法”可顺利解题。 例 1 8 名同学争夺 3 项冠军,获得冠军的可能性有( ) [解析] 冠军不能重复, 但同一个学生可获得多项冠军。 把 8 名学生看作 8 家 “店” , 3 项冠军看作 3 个 “客” , 他们都可住进任意一家 “店” , 每个客有 8 种可能,因此共有 8 种不同的结果。 [评述]类似问题较多。如:将 8 封信放入 3 个邮筒中,有多少种不同的结果?这时 8 封信是“客” ,3 个邮筒是“店” ,故共有 3 种结果。 要注意这两个问题的区别。
8 3

2. 特殊元素(位置)用优先法:把有限制条件的元素(位置)称为特殊元素(位置),可优先将它(们)安排好,后再安排其它 元素。对于这类问题一般采取特殊元素(位置)优先安排的方法。 例 1. 6 人站成一横排,其中甲不站左端也不站右端,有多少种不同站法? 解法 1:(元素分析法)因为甲不能站左右两端,故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上,有 其余的 5 人站在其他 5 个位置上,有 种站法,故站法有: =480(种)
种;第二步再让剩余的 4 个人(含

种站法;第二步再让

解法 2: (位置分析法)因为左右两端不站甲,故第一步先从甲以外的 5 个人中任选两人站在左右两端,有 甲)站在中间 4 个位置,有 种,故站法共有: (种)

例 2(2000 年全国高考题)乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员,派 5 名参加比赛,3 名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余 7 名 队员选 2 名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有_________种(用数字作答) 。 [解析]3 名主力的位置确定在一、三、五位中选择,将他们优先安排,有 有
3 2 A7 =252 种。 A72 种排法。因此结果为 A3 3 种可能;然后从其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置, A3

例 3 5 个“1”与 2 个“2”可以组成多少个不同的数列? [解析]按一定次序排列的一列数叫做数列。由于 7 个位置不同,故只要优先选两个位置安排好“2” ,剩下的位置填“1” (也可先填“1” 再填“2” ) 。因此,一共可以组成 C7 C2 =21 个不同的数列。
2 2

3. 相邻问题用捆绑法:对于要求某几个元素必须排在一起的问题,可用“捆绑法”“捆绑”为一个“大元素:与其他元素进行排 列,然后相邻元素内部再进行排列。 例 1. 5 个男生和 3 个女生排成一排,3 个女生必须排在一起,有多少种不同排法?
解:把 3 个女生视为一个元素,与 5 个男生进行排列,共有 (种) 。 例 2(1996 年上海高考题)有 8 本不同的书,其中数学书 3 本,外文书 2 本,其他书 3 本,若将这些书排成一列放在书架上,则数学书恰好排 在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有____________种(结果用数字表示) 。 种,然后女生内部再进行排列,有 种,所以排法共有:

[解析]将数学书与外文书分别捆在一起与其它 3 本书一起排, 有 种,故共有
5 3 2 A5 A3 A2 =1440 种排法。

2 5 3 种排法, 再将 3 本数学书之间交换有 A3 种, 2 本外文书之间交换有 A2 A5

[评述]这里需要说明的是,有一类问题是两个已知元素之间有固定间隔时,也用“捆绑法”解决。 如:7 个人排成一排,其中甲乙两人之间有且只有一人,问有多少种不同的排法?可将甲乙两人和中间所插一人“捆绑”在一起做“大元 素” ,但甲乙两人位置可对调,且中间一人可从其余 5 人中任取,有 C5 A2
1 2 5 A5 ? 1200种排法。

4. 相离问题用插空法:元素相离(即不相邻)问题,可以先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间 和两端的空中。
例 5(2003 年北京春季高考题)某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原 节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 ( A 6 B 12 C 15 D 30 )

[解析]原来的 5 个节目中间和两端可看作分出 6 个空位。将两个新节目不相邻插入,相当于从 6 个位置中选 2 个让它们按顺序排列,故有
2 。 A6 ? 30 种排法,选(D)

[评述]本题中的原有 5 个节目不需要再排列,这一点要注意。请练习以下这道题:马路上有编号为 1、2、3、 ·10 的十盏路灯,为节约用电 又能照明,现准备把其中的三盏灯,但不能关掉相邻的两盏或三盏,两端的灯也不许关掉,求不同的关灯方式有多少种?可得结果为 C6 =20 种。你能很快求解吗?
3

例 3. 7 人排成一排,甲、乙、丙 3 人互不相邻有多少种排法? 解:先将其余 4 人排成一排,有 (种) 5. 定序(顺序一定)问题用除法:对于在排列中,当某些元素次序一定时,可用此法。
例 1、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号,现有 3 面红旗、2 面白旗,把 5 面旗都挂上去,可表示不同信号的种数是( ) (用 数字作答) 。 解:5 面旗全排列有
5 种挂,由于 3 面红旗与 2 面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法,故有 A5
5 A5 ? 10 3 2 A3 A2

种,再往 4 人之间及两端的 5 个空位中让甲、乙、丙插入,有

种,所以排法共有:

说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题,这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷

例 2. 由数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个?

解:不考虑限制条件,组成的六位数有

种,其中个位与十位上的数字一定,所以所求的六位数有:

(个)

6. 多排问题用直排法:对于把几个元素分成若干排的排列问题,若没有其他特殊要求,可采取统一成一排的方法求解。 例 5. 9 个人坐成三排,第一排 2 人,第二排 3 人,第三排 4 人,则不同的坐法共有多少种? 解:9 个人可以在三排中随意就坐,无其他限制条件,三排可以看作一排来处理,不同的坐标共有 种。

7. 至少问题正难则反“排除法”:有些问题从正面考虑较为复杂而不易得出答案,这时,可以采用转化思想从问题的反面入手考 虑,然后去掉不符合条件的方法种数往往会取得意想不到的效果。在应用此法时要注意做到不重不漏。 例 1. 四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点,取其中 4 个不共面的点,则不同的取法共有( ) A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种 解: 从 10 个点中任取 4 个点有 种取法, 其中 4 点共面的情况有三类。 第一类, 取出的 4 个点位于四面体的同一个面内, 有

种;第二类,取任一条棱上的 3 个点及该棱对棱的中点,这 4 点共面,有 6 种;第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对 边分别平行于四面体相对的两条棱),它的 4 个点共面,有 3 种。以上三类情况不合要求应减掉,所以不同的取法共有: (种)。

8.先选后排“综合法”:“先选后排”是解排列组合问题的一个重要原则。一般地,在排列组合综合问题中,我们总是先从几类元素中取出符
合题意的几个元素,再安排到一定位置上。 例. 对某产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品一一进行测试,至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第 5 次时被全部发现,则这样的 测试方法有多少种可能? [解析]第 5 次必测出一个次品,其余 3 个次品在前 4 次中被测出。从 4 个中确定最后一个次品有 C 4 种可能;前 4 次中应有 1 个正品 3 个 次品,有 C 6 C 3 种;前 4 次测试中的顺序有
1 3
4 1 1 3 4 种。分步计数原理得 C4 (C6 ? C3 ) A4 ? 576种。 A4 1

9.递推法
例八 一楼梯共 10 级,如果规定每次只能跨上一级或两级,要走上这 10 级楼梯,共有多少种不同的走法? 分析:设上 n 级楼梯的走法为 an 种,易知 a1=1,a2=2,当 n≥2 时,上 n 级楼梯的走法可分两类:第一类:是最后一步跨一级,有 an-1 种走 法 , 第 二 类 是 最 后 一 步 跨 两 级 , 有 an-2 种 走 法 , 由 加 法 原 理 知 : an=an-1+ an-2, 据 此 , a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上 10 级楼梯共有 89 种不同的方法。

10.用转换法解排列组合问题
例.某人连续射击 8 次有四次命中,其中有三次连续命中,按“中”与“不中”报告结果,不同的结果有多少种. 解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球,其中只有三个黑球相邻的排列问题. 例 2:个人参加秋游带 10 瓶饮料,每人至少带 1 瓶,一共有多少钟不同的带法. 解: 把问题转化为 5 个相同的白球不相邻地插入排好的 10 个相同的黑球之间的 9 个空隙种的排列问题. C9 =126 种 例 3. 从 1,2,3,…,1000 个自然数中任取 10 个不连续的自然数,有多少种不同的去法. 解 把稳体转化为 10 个相同的黑球与 990 个相同白球,其其中黑球不相邻的排列问题。 C991 例 4 某城街道呈棋盘形,南北向大街 5 条,东西向大街 4 条,一人欲从西南角走到东北角,路程最短的走法有多少. 解: 无论怎样走必须经过三横四纵,因此,把问题转化为 3 个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题. C7 =35(种) 例 5 一个楼梯共 18 个台阶 12 步登完,可一步登一个台阶也可一步登两个台阶,一共有多少种不同的走法. 解 根据题意要想 12 步登完只能 6 个一步登一个台阶,6 个一步登两个台阶,因此,把问题转化为 6 个相同的黑球与 6 个相同的白球的排列
6

A52 =20 种

5

10

3

问题. C12 =924(种) . 例 6 求(a+b+c)10 的展开式的项数. 解 展开使的项为 aα bβcγ ,且α +β+γ =10,把问题转化为 2 个相同的黑球与 10 个相同的白球的排列问题. C12 =66 例 7 亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有 5 名队员,按事先排好的顺序参加擂台赛,双方先由 1 号队员比赛,负者淘汰,胜者再与负方 2 号队员 比赛,直到一方全被淘汰为止,另一方获胜,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程有多少种? 解 设亚洲队队员为 a1,a2,…,a5,欧洲队队员为 b1,b2,…,b5,下标表示事先排列的出场顺序,若以依次被淘汰的队员为顺序.比赛过程转化 为这 10 个字母互相穿插的一个排列,最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员,所以比赛过程可表示为 5 个相同的白球和 5 个相 同黑球排列问题,比赛过程的总数为 C10 =252(种)
6
2

11.错位排列问题:错位排列问题是一个古老的问题,最先由贝努利(Bernoulli)提出,其通常提法是:n 个有序元素,全部改变其位置的排列
数是多少?所以称之为“错位”问题。 例 1.五个编号为 1、2、3、4、5 的小球放进 5 个编号为 1、2、3、4、5 的小盒里面,全错位排列(即 1 不放 1,2 不放 2,3 不放 3, 4 不放 4,5 不放 5,也就是说 5 个全部放错)一共有多少种放法? 【华图解析】直接求 5 个小球的全错位排列不容易,我们先从简单的开始。

小球数/小盒数 1 2 3 4 5 6

全错位排列 0 1 (即 2、1) 2 (即 3、1、2 和 2、3、1) 9 44 265

当小球数/小盒数为 1~3 时,比较简单,而当为 4~6 时,略显复杂,考生们只需要记下这几个数字即可(其实 0,1,2,9, 44,265 是一个有规律的数字推理题,9=(1+2)*3;44=(2+9)*4;265=(44+9)*5;(44+265)*6=1854)由上述分析可得,5 个小球的全错位排列为 44 种。
例 2.五个瓶子都贴了标签,其中恰好贴错了三个,则错的可能情况共有多少种? 【华图解析】做此类题目时通常分为两步:第一步,从五个瓶子中选出三个,共有 有 2 种贴法。则恰好贴错三个瓶子的情况有 种。 种选法;第二步,将三个瓶子全部贴错,根据上表

接下来, 考生们再想这样一个问题: 五个瓶子中, 恰好贴错三个是不是就是恰好贴对两个呢?答案是肯定的, 是。 那么能不能这样考虑呢? 第一步,从五个瓶子中选出二个瓶子,共有 种。 问题出来了,为什么从贴错的角度考虑是 20 种贴法,而从贴对的角度考虑是 10 种贴法呢? 答案是,后者的解题过程是错误的,这种考虑只涉及到两个瓶子而没有考虑其他三个瓶子的标签正确与否,给瓶子贴标签的过程是不完整的, 只能保证至少有两个瓶子的标签是正确的,而不能保证恰有两个瓶子的标签是正确的。所以华图公务员考试辅导专家王永恒老师建议各位考生 在处理错位排列问题时,无论问恰好贴错还是问恰好贴对,都要从贴错的角度去考虑,这样处理问题简单且不易出错。 例 3. 同室四人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的卡片,则不同的分配方法有 公式 1) an 种(9) 种选法;第二步,将两个瓶子全部贴对,只有 1 种方法,那么恰好贴对两个瓶子的方法有

? (n ? 1)(an?1 ? an?2 )

n=4 时 a4=3(a3+a2)=9 种 即三个人有两种错排,两个人有一种错排.

2) an =n!(1-

1 1 1 n 1 + +…+ ?? 1? 1! 2! 3! n!

练习 有五位客人参加宴会,他们把帽子放在衣帽寄放室内,宴会结束后每人戴了一顶帽子回家,回家后,他们的妻子都发现他们戴了别人的 帽子,问 5 位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种?(44)

12. 分球问题“隔板法”:常用于解决整数分解型排列、组合的问题。
例 1.求方程 x+y+z=10 的正整数解的个数。(即:10 个相同的小球分给三人,每人至少 1 个,有多少种方法?) 分析:将 10 个球排成一排,球与球之间形成 9 个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板) ,规定由隔板分成的左、中、右 三部分的球数分别为 x.y.z 之值(如图) ○○○ ○○○ ○○○○
2

则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系,故解的个数为 C9 一些技巧。 技巧一:添加球数用隔板法。 例 1.求方程 x+y+z=10 的非负整数解的个数。

? 36

个。实际运用隔板法解题时,在确定球数、如何插隔板等问题上形成了

分析:注意到 x 、y 、z 可以为零,故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢?只要添加三个球,给 x、 y、z 各 一个球。原问题就转化为求 x+y+z=13 的正整数解的个数了,故解的个数为 C12 =66 个。
2

【小结】本例通过添加球数,将问题转化为如例 1 中的典型的隔板法问题。 技巧二:减少球数用隔板法。 例.将 20 个相同的小球放入编号分别为 1,2,3,4 的四个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于它的编号数,求放法总数。 分析 1:先在编号 1,2,3,4 的四个盒子内分别放 0,1,2,3 个球,有 1 种方法;再把剩下的 14 个球,分成 4 组,每组至少 1 个,由例 25 知有
3 C13

=286 种方法。

分析 2:第一步先在编号 1,2,3,4 的四个盒子内分别放 1,2,3,4 个球,有 1 种方法;第二步把剩下的 10 个相同的球放入编号为 1, 2,3,4 的盒子里,由例 26 知有
3 C13

=286 种方法。

【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例 25、例 26 中的典型问题。 技巧三:先后插入用隔板法。 例:为构建和谐社会出一份力,一文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有 4 个歌舞节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,拟再添 2 个小品节目,则不同的排列方法有多少种? 分析: 记两个小品节目分别为 A、 B。 先排 A 节目。 根据 A 节目前后的歌舞节目数目考虑方法数, 相当于把 4 个球分成两堆, 由例 26 知有 种方法。这一步完成后就有 5 个节目了。再考虑需加入的 B 节目前后的节目数,同上理知有 C6 种方法。故由乘法原理知,共有 C5C6 种方法。 【小结】对本题所需插入的两个隔板采取先后依次插入的方法,使问题得到巧妙解决。
1 1 1 1 C5

? 30

例. 有 10 个三好学生名额,分配到 6 个班,每班至少 1 个名额,共有多少种不同的分配方案? 解:6 个班,可用 5 个隔板,将 10 个名额并排成一排,名额之间有 9 个空,将 5 个隔板插入 9 个空,每一种插法,对应一种分 配方案,故方案有: 13.分球入盒问题
例 32:将 5 个小球放到 3 个盒子中,在下列条件下,各有多少种投放方法? ① 小球不同,盒子不同,盒子不空
1 2 2 C3 C5 C3 5C2 + ) ? A3 3 2 A2 A 2 2

(种)

解:将小球分成 3 份,每份 1,1,3 或 1,2,2。再放在 3 个不同的盒子中,即先分堆,后分配。有 ( ②小球不同,盒子不同,盒子可空 ③小球不同,盒子相同,盒子不空 解:只要将 5 个不同小球分成 3 份,分法为:1,1,3;1,2,2。共有 C5C2 + C5 C3 =25 种 2 2
3 1 2 2

解: 3 种

5

A2

A2

④小球不同,盒子相同,盒子可空 本题即是将 5 个不同小球分成 1 份,2 份,3 份的问题。共有 C 5 ? (C 4 ? C 3 ) ? ( C5C2 + C5 C3 ) ? 41 种 5 5 5 2 2
3 1 2 2

A2

A2

⑤小球相同,盒子不同,盒子不空 解: (隔板法) 。0 \ 00 \ 00 ,有

2 C4 种方法

⑥小球相同,盒子不同,盒子可空 解一:把 5 个小球及插入的 2 个隔板都设为小球(7 个球) 。7 个球中任选两个变为隔板(可以相邻) 。那么 2 块隔板分成 3 份的小球数对应
2 于 相应的 3 个不同盒子。故有 C7 =21

解:分步插板法。 ⑦小球相同,盒子相同,盒子不空 解:5 个相同的小球分成 3 份即可,有 3,1,1;2,2,1。 共 2 种 ⑧小球相同,盒子相同,盒子可空

解:只要将将 5 个相同小球分成 1 份,2 份,3 份即可。分法如下:5,0,0; 4,1,0;3,2,0; 3,1,1; 2,2,1。 例 33、有 4 个不同的小球,放入 4 个不同的盒子内,球全部放入盒子内 (1)共有几种放法?(答: 4 )
2 3 (2)恰有 1 个空盒,有几种放法?(答: C4 A4
4

? 144 )
2 3 C4 A4 ? 144 )

(3)恰有 1 个盒子内有 2 个球,有几种放法?(答:同上

3 2 2 2 (4)恰有 2 个盒子不放球,有几种放法?(答: C4 A4 ? C4 C4

? 84 )

14.分组问题与分配问题
①分组问题:均匀分组,除法处理;非均匀分组,组合处理 例 22。有 9 个不同的文具盒: (1)将其平均分成三组; (2)将其分成三组,每组个数 2,3,4。上述问题各有多少种不同的分法? 分析: (1)此题属于分组问题:先取 3 个为第一组,有 C9 种分法,再取 3 个不第二组,有 C6 种分法,剩下 3 个为第三组,有 C3 种
3 3 3 C9 C6 C3 2 3 4 3 种分法。 (2)同(1) ,共有 C9 C7 C4 种分法,因三组个数各不相同,故不必再除以 A3 。 3 A3

3

3

3

分法,由于三组之间没有顺序,故有

练习:12 个学生平均分成 3 组,参加制作航空模型活动,3 个教师各参加一组进行指导,问有多少种分组方法? ②分配问题: 法? (1)此题是定额分配问题,先让甲选,有 C9 种;再让乙选,有 C7 种;剩下的给丙,有 C4 种,共有 C9 C7 C4 种不同的分法(2)此题 是随机分配问题:先将 9 本书分成 2 本,3 本,4 本共有三堆,再将三堆分给三个人,共有 C9 .C7 .C4 . A3 种不同的分法。 【评述】本题涉及一类重要问题:问题中既有元素的限制,又有排列的问题,一般是先选元素(即组合)后排列 练 1:3 名教师分配到 6 个班里,各人教不同的班级,若每人教 2 个班,有多少种分配方法? C6 C4 C2
2 2 2 2 3 4 3 2 3 4 2 3 4

定额分配,组合处理;

随机分配,先组后排。

例 23。有 9 本不同的书: (1)分给甲 2 本,乙 3 本,丙 4 本; (2)分给三个人,分别得 2 本,3 本,4 本。上述问题各有多少种不同的分

? 90

3 3 3 1 C10 C7 C4 C1 ? 4! 2.将 10 本不同的专著分成 3 本,3 本,3 本和 1 本,分别交给 4 位学者阅读,问有多少种不同的分法? 3!

例 25(06 湖南卷)某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有 ( ) A.16 种 B.36 种 C.42 种 D.60 种
1 2

解析:有两种情况,一是在两个城市分别投资 1 个项目、2 个项目,此时有 C3 ? A4 二是在在两个城市分别投资 1,1,1 个项目,此时有

? 36 ,

3 A4 ? 24 ,

15.合并单元格解决染色问题
例 7 (全国卷(文、理) )如图 1,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不 得使用同一颜色,现有四种颜色可供选择, 则不同的着色方法共有 下面分情况讨论: (ⅰ)当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时,将 2、4 合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于 4 个元素
2,4

种(以数字作答) 。

分析:颜色相同的区域可能是 2、3、4、5.

①③⑤的全排列数

A

4 4

(ⅱ)当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时,与情形(ⅰ)类似同理可得

A

4 4

种着色法.

(ⅲ)当 2、4 与 3、5 分别同色时,将 2、4;3、5 分别合并,这样仅有三个单元格 ①
2,4

3,5

从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格,计有 由加法原理知:不同着色方法共有 2 练习 1(天津卷(文) )将 3 种作物种植
4 4

C ? A 种方法.
4 3 3 3 3 4

3

3

A ? C A =48+24=72(种)
1 2 3 4 5

在如图的 5 块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 , 不同的种植方法共 种(以数字作答) (72) 种(以数字作答) . (120) 2. (江苏、辽宁、天津卷(理) )某城市中心广场建造一个花圃,花圃 6 分为个部分(如图 3) ,现要栽种 4 种颜色的花,每部分栽种一种且 相邻部分不能栽种 同一样颜色的话,不同的栽种方法有

5 6 2 1 3
图3 要求的不同着色种数. (540) 4.如图 5:四个区域坐定 4 个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜色的服装,且相邻两区域的颜色不同,不相 邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着色方法是 种(84)

4

B A C D E
图4

3.如图 4,用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一种颜色可以反复使用也可以不用,则符合这种

4 1 2
图5 16、比赛计数问题 根据比赛规则,比赛计数问题主要分为四类,每类比赛都有对应的解题方法,如下所示:

A
3

B C
图6

E D
种 (420)

5. 将一四棱锥(图 6)的每个顶点染一种颜色, 并使同一条棱的两端点异色, 若只有五种颜色可供使用, 则不同的染色方法共

注意:单循环赛,即任意两队打一场比赛,和顺序无关,所以是组合问题;双循环赛,即任意两个队打两场比赛,和顺序有关,所以是排 列问题。 例 1.100 名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛,要产生男、女冠军各一名,则要安排单打赛多少场?() A.90 B.95 C.98 D.100

【华图解析】设有男运动员 a 人,女运动员 b 人。因为是淘汰赛,则要产生男冠军需要 a-1 场比赛,产生女冠军需要 b-1 场比赛,总的 比赛场次需要 a+b-2 场。 例 2.足球世界杯决赛圈有 32 支球队参加,先平均分成八组,以单循环方式进行小组赛;每组前两名的球队再进行淘汰赛。直到产生冠、 亚、季军,总共需要安排()场比赛。 A.48 B.63 C.64 D.65 ,则八组总共需要 ;

【华图解析】首先将 32 人平均分成八组,则每组有 4 支球队,每组球队要进行单循环赛,则每组有

又因为在小组赛中每组决出前两名,八组一共决出 16 支队,也就是再对这 16 支队伍进行淘汰赛,直到产生冠、亚、季军,则有 16 场比赛。 所以总比赛场次为 48+16=64。

17.多元问题用分类法 对于多个元素问题,有时有多种情况需要进行分类讨论,然后根据分类计数原理将各种可能性相加即得。需要注意的是,分 类时要不重复不遗漏。
例 1 在一块并排 10 垄的田地中,选择 2 垄分别种植 A、B 两种作物,每种作物种植一垄。为有利于作物生长,要求 A、B 两种作物的间隔 不小于 6 垄,则不同的选垄方法共有____________种 [解析]先考虑 A 种在左边的情况,有三类:A 种植在最左边第一垄上时,B 有三种不同的种植方法;A 种植在左边第二垄上时,B 有两种不 同的种植方法;A 种植在左边第三垄上时,B 只有一种种植方法。又 B 在左边种植的情况与 A 在左边时相同。故共有 2 ? (3 ? 2 ? 1) =12 种 不同的选垄方法。 例 2 有 11 名翻译人员,其中 5 名英语翻译员,4 名日语翻译员,另 2 人英语、日语都精通。从中找出 8 人,使他们组成两个翻译小组, 其中 4 人翻译英文,另 4 人翻译日文,这两个小组能同时工作。问这样的分配名单共可开出多少张? [解析]假设先安排英文翻译,后安排日文翻译。第一类,从 5 名只能翻译英文的人员中选 4 人任英文翻译,其余 6 人中选 4 人任日文翻译 (若“多面手”被选中也翻译日文) ,则有 C5 C6 ;第二类,从 5 名只能翻译英文的人员中选 3 人任英文翻译,另从“多面手”中选 1 人任英 文翻译,其余剩下 5 人中选 4 人任日文翻译,有 C5 C2 C5 ;第三类,从 5 名只能翻译英文的人员中选 2 人任英文翻译,另外安排 2 名“多面 手”也任英文翻译,其余剩下 4 人全部任日文翻译,有 C5 C2 C4 。三种情形相加即得结果 185(张) 。 [评述]本题当然也可以先安排日文翻译再安排英文翻译,请大家自己列式看看。
2 2 4 3 1 4 4 4

例 3. 已知直线

中的 a,b,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元素,并且该直线

的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数。 解:设倾斜角为 (2)若 ,由 为锐角,得 ,即 a,b 异号。 , , ),故有:3×3-2=7(条)。

(1)若 c=0,a,b 各有 3 种取法,排除 2 个重复( 3×4=36(条)。 从而符合要求的直线共有:7+36=43(条) 八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略 处理排列、组合综合性问题一般是先选元素,后排列。

,a 有 3 种取法,b 有 3 种取法,而同时 c 还有 4 种取法,且其中任意两条直线均不相同,故这样的直线有:3×

例 4. 将 4 名教师分派到 3 所中学任教,每所中学至少 1 名教师,则不同的分派方案共有多少种?

解:可分两步进行:第一步先将 4 名教师分为三组(1,1,2),(2,1,1),(1,2,1),共有:

(种),

第二步将这三组教师分派到 3 种中学任教有 因此共有 36 种方案。

种方法。 由分步计数原理得不同的分派方案共有:

(种) 。


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