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§4.5三角函数求值


§4.5 三角函数求值

预备知识 ?已知锐角,求三角函数值 ?三角函数的几何意义 重点 ?从三角函数线得到特殊角的三角函数值 ?三角函数的周期性和周期 难点 ?对周期函数和周期的理解 学习要求 ?能熟记特殊角的三角函数值,并了解它们的来历 ?理解三角函数具有周期性的特点,并记住正弦、余 弦和正切函数的周期 ?会用计算器,求任意角的三角函数值

146

直到现在,还没有介绍,已知任意一个角 ?,怎么来求得三角函数值 sin?, cos?和 tan?.本节将学习一些特殊角度的三角函数值,如何利用计算 器求三角函数值. 1. 特殊角的三角函数值 所谓在[0, 2?]内的特殊 的角,就是表 4-1 中所列的 就是那些角.图 4-27 表示 所有这些特殊角及对应的正 弦线和余弦线及部分正切线. 对第一象限内的几个特 殊角,三角函数线的数值是 可以应用直角三角形知识, O 1
M
3

y

T?

?P
1
2 1 2

2

3 2 1 3

?

? A
?
6

x

? 直接算出来的.如特殊角 , 3
正弦线、余弦线和正切线依 次为其 MP,OM 和 AT(见图 4-27).因为直角三角形的一

? ? 3
4

1 2
2 2

? 个锐角为?OPM=30?= (另
6
一个锐角为 60?=

3 2

图 4-27

?
3

)时,边长之比是

对边:邻边:斜边=

1 : 3 :1, 2 2

在 Rt?OMP 中,两个锐角正是 30?和 60?,而 OP=1(单位圆半径),所以 MP=

1 3 ,OM= ;同样在 Rt?OAT 中,两个锐角也是 30?和 60?,而 2 2
2

? OA=1(单位圆半径),所以 OT=2,AT= 3 .这样 角的三条三角函数线的
3
数值就轻而易举地得到了. 图 4-27 中,特殊角

? ? ? , , 的正弦线、余弦线和正切线的长度,就是 6 4 3

这样计算出来的.只要改动符号,[0,2?]内所有特殊角的正弦线、余弦线及 有意义的正切线的数值,就可全部得到.例如 5? 的正弦线是 1 ,余弦线是 6 2

3 - 3 ,而正切线是,即 3 2

5? 3 1 3 sin 5? = , cos =, tan 5? =. 3 2 6 6 2 6
147

现在,请你自己把表 4-2 中所列的[0,2?]内的特殊角的三角函数值,全 部填写进去.在使 tan?无意义的某些特殊角栏内,填写“不存在”. 表 4-2 特殊角三角函数值表

?(度)
(弧度) sin? cos? tan?

0?

30?

45?

60?

90?

120?

135?

150?

180?

?(度)
(弧度) sin? cos? tan?

210?

225?

240?

270?

300?

315?

330?

360?

表 4-2 中所列的这些特殊角的三角函数值,是最经常使用的,你必须要 予以熟记.当然也不必硬背,你只要记住[0, ? ]内特殊角的三角函数值就行 2 了,其余均可以从图 4-27 和三角函数线的长度及值的符号推算出来. 例 1 计算下列各式: (1)4sin90?+3cos0?;(2)-3sin270?+10cos180?;(3)(sin (4)3tan?-5cos 5? ; (5)(sin
6

3? 3 ) -cos?; 2

? )2+(cos ? )2; (6)tan ? ?sin ? ?cos 3? ;
3
3

6

4

4

3? 5? (7)cos 2? ?cos ?tan . 6 2 3
解 (1)4sin90?+3cos0?= 4?1+3?1 =4+3=7 ▍ (2)-3sin270?+10cos180?=-3? (-1)+10?(-1)=-7 ▍ (3)(sin

3? 3 ) -cos?=(-1) 3 -(-1)=0 ▍ 2
3 5 3 5? =3?0-5?()= ▍ 2 2 6

(4)3tan?-5cos (5)(sin

? )2+(cos ? )2=( 3 )2+( 1 )2= 3 + 1 =1
3
3
2

2

4

4

(其实,本题根本不必计算,直接可以写出结果 1,你知道为什么吗?) ▍ (6)tan

?
6

sin

?
4

?cos

3? 3 = ? 2 (- 2 )=- 3 ▍ 3 2 2 4 6

148

1 3? 5? (7)cos 2? ?cos ?tan = (- )?0?(- 3 )=0 ▍ 2 3 6 2 3

课内练习 1 1. 计算下列各式: (1)4sin135?+3cos225?;(2)3sin180?+10cos135?;(3)(sin

5? 3 ) -cos 5? ; 6 6

3? ? (4)3tan 7? -5cos 5? ; (5)(sin 4? )2+(cos 4? )2; (6)tan ?sin ? ?cos ; 3 2 3 3 2 3 6
(7)cos 5? ?cos ? ?tan ? . 6 6 4

2. 三角函数的周期性和周期 到现在,你已经知道[0, 2?]内的特殊角的三角函数值了,那么对除此以 外的角,如何求它们的三角函数值呢?首先,求在[0,2?]以外的角的三角函数 值问题,都能转化成[0, 2?]内的角的三角函数值问题;对正切和余切函数, 甚至都能转化成[0,?]内的角的三角函数值问题,实行这种转化的依据,就是 三角函数的周期性. (1)正弦函数和余弦函数的周期性 从任意角三角函数的定义可知,如果任何一个角?与另一个角?1 的始边 y 和终边重合,那么这两个角的三角函数值是 P(x,y) 相等的,如图 4-28,?1=2?+?,因此

?

sin?1=sin(2?+?)=sin?, cos?1=cos(2?+?)=cos?. 更一般地,?与?1=2k?+? (k? Z),若始边重合, 则终边也是重合的,因此 sin(2k?+?)=sin?,cos(2k?+?)=cos?, 这说明 sin?, cos?在变化过程中,?每经过 图 4-28

?

?1
B

x

O A

2k? (k=?1,?2, ?3,...),函数值重复出现,因此我们称它们为周期函数;而称 ?,-4?,-2?,2?,4?,?为它们的周期,其中 T=2?称为它们的最小正周期. (2)正切函数的周期性 下面我们来考察正切函数 tan?. 从图 4-29 可以清楚地看出,若角? 的终边与 以顶点为圆心的单位圆交于点 P(x,y),那么?+? 的终边是角? 的终边的反向延长线,它与单位圆 交点必定是 P?(-x,-y),因为
y =?y , x ?x

y P(x,y)

?

?+?

O

?
?-?
B

x

? P?(-x,-y)
图 4-29
149

所以

tan?= tan(? +?). 这就是说,对正切函数而言,不但终边重合的角有相同的函数值,而且终边 在反向延长线上的角的函数值也是相同的.例如角-?+? 的终边在角?终边 的延长线上,因此等式 tan?=tan(-?+?) 也成立. 一般地,?与 k?+? ( k? Z)要么终边重合(当 k 为偶数),要么终边互为反 向延长线(当 k 为奇数),因此应该有 tan?= tan(k?+?), ( k?Z), 即 tan?在变化过程中,?每经过 k?(k=?1,?2,?3...) 函数值重复出现,因此它 也是周期函数.?, -2?, -?, ?, 2?,?都是它的周期,但是最小正周期是 T=?. 此后讲到周期函数的周期,都是指最小正周期.因此,sin?,cos?是以 2?为周期的周期函数,tan?是以?为周期的周期函数. 知道了三角函数的周期性,对不在[0,2?]内的角,只要加上或减去周期 的适当倍数,都可以转化为小于一个周期的正角,因此求三角函数值问题, 也就成为求小于一个周期内的正角的三角函数值问题了. 例 2 计算下列三角函数值: (1)sin405?; (2)cos750?; (3)tan225?; (4)tan600?. 解 (1)因为 405?=360?+45?,所以 sin405?=sin(360?+45?)= sin45= (2)因为 750?=2?360?+30?,所以 cos750?=cos(2?360?+30?)=cos30?= (3)因为 225?=180?+45?,所以 tan225?=tan(180?+45?)= tan 45?=1 ▍ (4)因为 600?=3?180?+60?,所以 tan600?=tan(3?180?+60?)= tan60?= 3 ▍ 例 3 计算下列值:
3 ▍ 2 2 ▍ 2

21? 10? (1)(sin 17? )2-cos 13? +3tan ; (2)sin 11? -cos17?; (3)cos(). 4 3 2 6 6 21? 解 (1)(sin 17? )2-cos 13? +3tan 4 6 6
=[sin(2?+

? ? 5? 2 ? )] -cos(2?+ )+3tan(5?+ )=[sin 5? ]2-cos ? +3tan 6 4 4 6 6 6

=( 1 )2- 3 +3?1= 13 ? 2 3 ▍ 4 2 2
150

(2)sin 11? -cos17?=sin(2?2?+ 3? )-cos(8?2?+?) 2 2 = sin 3? -cos?=-1-(-1)=0 ▍ 2 (3)cos(课内练习 2 1. 计算下列三角函数值: (1) sin780?; (2)cos(-600?); (3)tan

2? 2? 1 10? )=cos(-2?2?+ )=cos =▍ 2 3 3 3

8? ; 3

(4)tan(-

19? ). 6

2. 计算下列三角函数值: (1)sin

11? 17? 21? -cos +tan(); (2)sin 17? +cos 17? . 4 4 4 3 3

4. 非特殊角的三角函数值 至此,还没有彻底解决求任何角的三角函数值问题,因为虽说可以把求 任何角的三角函数值问题,转化为求一个周期内正角的三角函数值问题,但 至今能知道的,仍然是一个周期内的一些特殊角的三角函数值,对于非特殊 角(包括正角和负角)的三角函数值,很难通过三角函数线来得到.计算器正 好有计算三角函数值的功能,我们又可以借助计算器了. 使用计算器求三角函数值时,角 ? 不一定是一个周期内的正角,它的 大小、正负可以是任意的;给出的方式,既可以以角度制给出,也可以以弧 度制给出.因此在计算三角函数值之前,必须先使用 MODE 键,把计算器 调到相应的状态.后继的计算三角函数值的按键操作顺序是:先键入角(角 度或弧度),再按相应的三角函数键. 例 4 计算下列各函数值或各式的值(保留四个有效数字): (1)sin(- 6 ? );(2)cos1840.2?;(3)tan9.3?cot9.3;(4)(sin960?)2+(cos960?)2; 7

1 (5)tan(-7.55?);(6)2sin 1 ? ?cos(- ? );(7)tan(-22?30?)?cos22?30?. 12 12
解 列表给出结果. 题 序 1 2 3 MODE 状态 RAD DEG RAD 6?7? 按键顺序 2ndF ? = +/sin 显 示 -0.433883739 0.763796028 = 1 答案 -0.4339 0.7638 1

1840.2 cos 9.3 tan ? 9.3 cos ? 9.3 sin

151

4 5 6

DEG RAD RAD

不必按键 7.55 +/- ? 2ndF ? = tan ( 2ndF ? ? 12 ) sin ? 6.31375151 0.5

1 6.314 0.5

( 2ndF ? ? 12 +/- ) cos ? 2 = 22.30 2ndF DMS? +/- tan ? 22.30 2ndF DMS? cos =

7

DEG

-0.382683432

-0.3827

例 4 的计算方法可以是多种多样的. 现在对这里的计算方法作一些说明.

第(3)题,因为计算器上没有“cot”键,所以把 cot9.3 化为 cos9.3?sin9.3;其实更聪明一点,这题根本不必用计算器计算,因为
由同角三角函数的倒数关系,tan??cot?=1,所以 tan9.3?cot9.3=1; 第(6)题,在目前阶段,我们还只能仰仗计算器得到结果,其实,在以 后学了负角公式和倍角公式后,可以证明 2sin 1 ? ?cos(- 1 ? )=2sin 1 ? ?cos 1 ? =sin(2? 1 ? )= sin( 1 ? )= 1 , 12 12 12 12 12 2 6 因此也可不使用计算器,就能得到结果. 课内练习 3 1. 计算下列各函数值或各式的值: (1)sin(-372?); (2)tan483?36?; (3)sin(-15)?sin(-15); (6)cos 9 ? ?cot(- 9 ? ).
7 7

(4)cos(-30?)?tan30?; (5)tan(- ? ); 7

注意,在你掌握了使用计算器能计算三角函数值后,不能疏远对三角函 数周期公式的感情.周期公式不仅是为计算函数值才引进的,它作为三角函 数的基本性质,在任何有关三角函数的地方,都是很有用的.即使就计算三 角函数值而言,有时适当运用周期性,也能事半功倍的功效.例如 sin25??sin(-695?)+cos745??cos(-335?) =sin25??sin(25?-720?)+cos(720?+25?)?cos(25?-360?)=sin225?+ cos225?=1, 绝对比使用计算器快捷准确. 课外习题 A组 1. 利用单位圆,求下列各角的三角函数值: (1)

5? ; 6

(2)

7? . 4

2. 计算下列各式: (1)4sin270?-4cos180?; (2)3sin45?+10tan180?; (3)(sin 3? )3-cos 3? ; 4 4

152

(4)3tan 3? -5cos 7? ;
4
4

(5)(sin 5? )2+cos( 5? )2; 3 3

(6)2tan

7? 5? ?sin ?cos 3? ;(7)tan 2? ?cos 5? ?tan 5? . 6 4 3 6 4 3

3. 计算下列各式: (1)[sin(-

34? 4 )] +[cos(- 35? )]4; 3 6

(2)tan(-

13? 1 )- cos 28? ; 8 4 3

9? 11? 15? 17? (3)tan(- 14? )?sin()?cos();(4)cos ?tan . 2 2 6 3 4
4. 利用计算器,计算下列各函数值或各式的值(保留四个有效数字): (1)sin(-1352?); (2)cos540?14?; (3)tan652?36? (5)tan((4)sin(-5)?cos(-5);

11? ); 7

(6)cot(-

? );
8

(7)tan 9 ? ?cot(- 7 ? ). 7 9

B组 1. 计算 1-sin80??sin(-280?)-cos800??cos(-280?).

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