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成都七中实验学校高2015届高一下半期考试数学试题


成都七中实验学校高 2015 届高一下半期考试数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)题两部分,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

8.已知等比数列 ?an ? 的各项均为不等于 1 的正数,数列 ?bn ? 满足 bn=lg an ,

b3= ,b6= ,则数列 ?bn ? 前 n 项和的最大值等于 (

C ) 18 12
A.126


B.130

C.132

D.134

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. )

∵{an}为正项等比数列,∴{bn}为等差数列,且 d=-2,b1=22. 故 bn=22+(n-1)×(-2)=-2n+24.

? 1? 1.若不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ? x ?2 ? x ? ? ? ,则 a ? b ? ( 4? ?
A. -18 B. 8 C. -13 D. 1 A ) 2.已知△ABC 中, a ? 2 , b ? 2 3 ,∠B=60°,则 sin A ? (
1 A. 2

∴Sn=22n+

C



n(n-1) 23 529 ×(-2)=-n2+23n=-(n- )2+ . 2 2 4

又∵n∈N*,故 n=11 或 12 时,(Sn)max=132.

?(3 ? a) x ? 3 9.设函数 f ( x) ? ? x ?6 ?a

( x ? 7) ( x ? 7)

,数列 ?an ? 满足 an ? f (n), n ? N? ,且数


2 B. 2

3 C. 2

列 ?an ? 是递增数列,则实数 a 的取值范围是 ( B D.1
9 A. ( ,3) 4

B. (2,3)

C. (1,3)

D. (1, ??)

3.等差数列 ?an ? 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列 ?an ? 的公差为( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 B ) 4.等比数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 243 则 ?an ? 的前 4 项和为( A. 81 B.120 C.168 D.192

10.数列 ?an ? 满足: a= ,且对任意的 m,n ? N * 都有: am+n=am+an+mn , 1 1 则
1 1 1 1 ? ? ?? ? a1 a2 a3 a2012
2012 2013

(

B ) C.
2011 2012

5.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a, b, c, 并且 a ? 1 , b ? 3 , A=30°,则 c 的值为( D A .2 B.1 ) C.

A.

B.

4024 2013

D.

4022 2012

解:因为 an+m=an+am+mn,则可得 a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,?,则可猜得数

3或2
) B. sin x ?

D. 1 或 2

列的通项 an= ∴

n(n+1) , 2

1 ∴a =
n

2 1 1 =2(n- ), n(n+1) n+1

6.下列不等式一定成立的是 ( C
1? ? A. lg ? x 2 ? ? ? lg x 4? ? ( x ? 0)

1 ?2 sin x

( x ? k? , k ? Z )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 - ) ? ? ?? ? 2(1-2+2-3+?+ a1 a2 a3 a2012 a2012 a2013
=2(1-

1 a2013

C. x2 ? 1 ? 2 | x |

? x ? R?

1 ?1 D. 2 x ?1

? x ? R?
题号 答案 1 2

)=

4024 2013

7.关于 x 的一元二次方程 2ax2 ? 2 x ? 3a ? 2 ? 0 的一根大于 1,另一根小于 1, 则 a 的取值范围是( A ) A. a ? 0 或 a ? ?4 B. a ? ?4 C. a ? 0 D. ?4 ? a ? 0

选择题答题卡 3 4 5 6

7

8

9

10

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二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11.已知递减的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 4 ,则 an =_________.
2

解: 由 a3 ? a2 ? 4 得到 1 ? 2d ? (1 ? d )2 ? 4 ,即 d 2 ? 4 ,应为 ?an ? 是递增的等差
2

③数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 5 ; ④数列 ?bn ? 的异号数为 2 ; ⑤数列 ?bn ? 的异号数为 3 . 其中正确命题的序号为 ②⑤ . (写出所有正确命题的序号) 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步。) 16. (本小题满分 12 分)
4 . 5 (1)求 sin C 的值; (2)若 BC ? 10, 求 ?ABC 的面积.

数列,所以 d ? ?2 ,故 an ? ?2n ? 3 。 12.某观察站 C 与两灯塔 A 、 B 的距离分别为 300 米和 500 米,测得灯塔 A 在 观察站 C 北偏东 30 ? ,灯塔 B 在观察站 C 正西方向,则两灯塔 A 、 B 间的距 离为 米. 13.若正数 x, y 满足 x ? 3 y ? 5 xy ,则 3x ? 4 y 的最小值是_________. 解

在 ?ABC 中,已知 A ? 45? , cos B ?

解: (1) sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

? x+3y=5xy,

1 3 ? ?5, y x

7 2 10

13 1 1 3 1 3x 12 y 13 1 ) ? ? ? 2 ? 36 ? ? 5 . 3x ? 4 y = (3x ? 4 y ) ? ( ? ) ? ( ? 5 5 y x 5 y x 5 5

?1? 14.已知函数 f ( x) ? ? ? ,等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ? f ? n ?-c , ?3? 则 an 的最小值为_________. 1 2 解:数列{an}成等比数列,前 n 项和为 f(n)-c,所以 c=1, a1 ? ? q=3; 3

x

2?1? 从而 an= ? ? ? 3? 3?

n?1

?1? * ? ?2 ? ? ,n∈N , 3? ?

n

2 因此,数列{an}是递增数列,n=1 时,an 最小值为-3. 15、已知二次函数 f ( x) ? x2 ? mx ? m( x ? R) 同时满足: (1)不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素; (2)在定义域内存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立. 8?m 设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? f (n) ,bn ? 1 ? ,我们把所有满足 bi ? bi ?1 ? 0 an 的正整数 i 的个数叫做数列 ?b ? 的异号数.
n

c a ? 有: sin C sin A 7 2 10 ? a sin C 10 ? 14 c? ? sin A 2 2 1 1 ? S? ABC ? ac sin B ? ?14 ?10 ? 70 2 2 17. (本小题满分 12 分) 1 设不等式 ? 1 的解集为 M . x (1) 求集合 M ; (2) 若 a , b ? M ,试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小. (3)当 x ? M ,不等式 2m ?1 ? x(m2 ?1) 恒成立,求 m 的取值范围. 1 1? x ? 0 ? x(1 ? x) ? 0 ,所以 M ? (0,1) 解:(1)由 ? 1 得: x x (2)由(Ⅰ)及 a , b ? M 知 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1,

(2)由正弦定理

所以 (ab ? 1) ? (a ? b) ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ,故 ab ? 1 ? a ? b

根据以上信息,给出下列五个命题: ①m ? 0; ②m ? 4;
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18. (本题满分 12 分) 已知 ?an ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列;若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1, b ? b ? 2an . (1)求数列 b 的通项公式 ;(2)求数列 b 的前 n 项和 T .
n?1 n

? n?
n

? n?

n

解: (1)由已知 an ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n

(1)引进该设备多少年后,开始盈利? (2)引进该设备若干年后,有两种处理方案:[来源: 第一种:年平均盈利达到最大值时,以 26 万元的价格卖出; 第二种:盈利总额达到最大值时,以 8 万元的价格卖出。 问哪种方案较为合算?并说明理由。 (注:年平均盈利= n 年的总盈利 ? n ) 解: (1)设引进该设备 n 年后,开始盈利, 第 n 年的费用为 12 ? 4 ? n ?1? ? 4n ? 8
? 50n ? 98 ? ?12 ? 16 ? ? ? ? 4n ? 8 ? ? ? 0 ? ?

?bn?1 ? bn ? 2

用累加可得: bn ? 2n ?1 (2)用分组求和得 Tn ? 2n?1 ? n ? 2

50n ? 98 ? (12 ?16 ? ...) ? 0?n2 ? 20n ? 49 ? 0?10 ? 51 ? n ? 10 ? 51?n ? 3 所以 3 年后开始盈利。

(2)方案一: 19(本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A ; (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ,证明 ?ABC 是正三角形. 解: (1)由正弦定理得: a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0

50n ? 98 ? (12 ? 16 ? ...) 49 ? 40 ? 2(n ? ) ? 12 n n 当且仅当 n=7 时取等, 所以方案一最后的利润为 7 ?12 ? 26 ? 110 ,

方案二: y ? ?2n2 ? 40n ? 98? n ? 10 时利润最大, 所以方案二的利润为 102+8=110,所以方案一合算 21. (本小题满分 14 分)
3 ) ? ? ) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 S n ? 3 ? ( n ?1 ? 1n( N , 数 列 ?bn ? 满 足 2 an?1 bn ? (n ? N ? ) . log 3 an ?1
2

? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C ?sin cos A C? 3 s i n C i n ? s i? ( A ? s A C n 1 ? 3 s i n ? c o ? ?1 A As s? n (? ? 3 0 ) Ai 2 ? ? ? ? A ? 3 0 ? 3 0? A ? 6 0 1 (2) S ? bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2 2 a ? b2 ? c 2 ? b c o s A 2 c ? b c4 ? ? ?b ? c ? 2
又 A ? 60?

C sin )

(1) 求数列 {an } 的通项公式,并说明 {an } 是否为等比数列; (2)求数列 { } 的前 n 项和前 Tn ; (3)求 bn 的最小值. 解: (1) n ? 1,时a1 ? S1 ? 3?1 ?1 ? 2 ??1 分
1 bn

? ?ABC 是正三角形

20.(本题满分 13 分) 某通讯设备厂为适应市场需求,提高效益,特投入 98 万元引进世界先进 设备“奔腾 6 号” ,并马上投入生产。在生产过程中,每年还需要投入,第一 年需要的各种费用是 12 万元,从第二年开始,所需费用会比上一年增加 4 万 元,而每年因引进该设备可获得的年利润为 50 万元。
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? 3? n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 3 ? ? ? ?2?
2   n ? 1 ?  ? ? an ? ? ? 3 ? n?1 ?   ?  n ? 2 ? ?? 2?

n ?1

? 3? ? 3?? ? ?2?

n ?2

? 3? ?? ? ?2?

n ?1

??3 分

??4 分

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?3? 由于 a1 ? 2 ? ? ? , ? {an } 不是等比数列 ??5 分 ?2?
?3? n ? ? ? 2 ? , ? 1 ? n? 2 ? ? ? ? bn n ?3?
n

1?1

? bn 的最小值为 b2 ? b3 ?

9 8

??14 分

(2)由已知 bn ?

an?1 log 3 an?1
2

??6 分

用错位相减求和

??10 分 (3)由(2)有
?3? ?3? ?3 ?   ?   ? n n n ? n ?1 ? ? ? ?3? ? n?2 ? ?2? ? ?2? ??3? ? 2 ? bn ?1 ? bn ? ? ? ?? ? ? ? ? ? n ?1 n ? 2 ? ? n ? n ? 1? ? ? 2 ? ? 2n ? n ? 1? ? ? ?
n ?1 n

??12 分

所以当 n ? 2 时有: bn?1 ? bn ? 0 ,即 b1 ? b2 ? b3 ; 当 n ? 2 时有: bn?1 ? bn ? 0 ,即 b3 ? b4 ? b5 ? ........ ??13 分

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