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2014届数学试题选编23:椭圆(教师版) Word版含答案


2014 届数学试题选编 23:椭圆(教师版)
填空题 1 . ( 2013 江 苏 高 考 数 学 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直 a 2 b2
线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离为 d 2 ,若 d2 ? 6d1 ,则椭圆 C 的离心率为_______.
【答案】解析:本题主要考察椭圆的性质,以及化繁为简运算能力及数学思想方法.

Rt ?AOB 中 , 利 用 面 积 相 等 OA ? OB ? AB ? d1 或 者 利 用 原 点 O(0,0) 到 直 线

x y bc a2 ? ? 1 即 bx ? cy ? bc ? 0 的 距 离 公 式 得 d1 ? ?c 带 入 , 因 为 d2 ? c b a c

d2 ? 6d1 得

a2 bc ?c ? 6 c a a2 ? c2 b ? 6 ∴ 2 a c
左边分子分母同时除以 a 右边平方
2

a2 ? c2 bc ? 6 ∴ c a
再开方得: ∴

1 ? e2 a2 ? c2 ? 6 e2 a2
4 2



1 ? e2 ? 6 1 ? e2 2 e



1 ? e2 ? 6 e2

∴ 6e ? e ? 1 ? 0

∴e ?
2

1 2 1 3 ( e ? ? 舍)∴ e ? 3 2 3

a2 a2 b2 bc 法二:【解析】如图,l:x= , d2 = -c= ,由等面积得: d1 = .若 d 2 ? 6d1 ,则 a c c c b2 = c
得 :

6

bc , 整 理 得 : a
2

6a 2 ? ab ? 6b 2 ? 0 , 两 边 同 除 以 : a 2 ,
6 , 所 以 , 离 心 率 3

b ?b? ?b? = 6? ? ? ? ? ? 6 ? 0 , 解 之 得 : a ?a? ?a?
2

3 ?b? 为: e ? 1 ? ? ? ? 3 ?a?

1

y B b O c F a

l

x

x2 y2 2 . (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) a b
的左焦点为 F,直线 x ? m 与椭圆相交于 A,B 两点,若 ?FAB 的周长最大时, ?FAB 的面 积为 ab ,则椭圆的离心率为________.
【答案】

2 2

3 . ( 2009 高 考 ( 江 苏 ) ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系

xoy 中 , A1, A2 , B1, B2为 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

OT 与椭圆的交 四个顶点, F 为其右焦点,直线 A 1B2 与直线 B 1F 相交于点 T,线段
点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为_____★_____.
【答案】 【答案】 e ? 2

7 ?5

【解析】用 a, b, c 表示交点 T,得出 M 坐标,代入椭圆方程即可转化解得离心率.
4 . (南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题) 已知

F1 、 F2 分别是椭圆

| PF1 ? PF2 | x2 y2 ? ?1 PF1 8 4 的左、右焦点 , 点 P 是椭圆上的任意一点 , 则 的取值范围
是 .

2

【答案】 [0, 2 2 ? 2] 5 .( 江 苏 省 南 京 市 四 区 县 2013 届 高 三 12 月 联 考 数 学 试 题 )设椭圆

C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点为 A ,过点 A 与 AF2 垂 a2 b2

直的直线交 x 轴负半轴于点 Q ,且 2F1 F2 ? F2Q ? 0 .则椭圆 C 的离心率为___________

e? 【答案】

1 2

6 . (江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试数学(理)试题)在平面直角坐标

系 xOy 中,已知点 A 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一个动点,点 P 在线段 OA 的延长线上,且 25 9

??? ? ??? ? OA ? OP ? 72 ,则点 P 横坐标的最大值为______.
【答案】 15

提示:设 OP ? ?OA(? ? 1) ,由 OA ? OP ? ? ? OA ? 72 ,得 ? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?2

72 , OA2

xP ? ? ? xA ?

72 72 72 72 ? xA = ? xA = , ? xA = 2 9 2 16 2 9 16 x ? yA 2 9? ? xA ? xA 9? ? xA ? ? xA 25 25 x A 25
2 A

研究点 P 横坐标的最大值,仅考虑 0 ? xA ? 5 ,

xP ?

72 15 ? 15 (当且仅当 x A ? 时取“=”). 12 4 2? 5

7

. ( 扬 州 市 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 期 末 检 测 高 三 数 学 试 题 ) 已 知 椭 圆

x2 y 2 3 ,A、B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上不同 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 2 a b
于 A、B 的一点,直线 PA、PB 斜倾角分别为 ? 、 ? ,则

cos(? ? ? ) =____. cos(? ? ? )

【答案】 解答题

3 5

8 . (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题) 如图,已知椭圆 E1 方程为

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,圆 E2 方程为 x 2 ? y 2 ? a 2 ,过椭圆的左顶点 A 作斜率为 k1 直 2 a b

3

线 l1 与椭圆 E1 和圆 E2 分别相交于 B、C. (Ⅰ)若 k1 ? 1 时, B 恰好为线段 AC 的中点,试求椭圆 E1 的离心率 e ; (Ⅱ) 若椭圆 E1 的离心率 e = 值; (Ⅲ)设 D 为圆 E2 上不同于 A 的一点,直线 AD 的斜率为 k2 ,当

1 , F2 为椭圆的右焦点 , 当 | BA | ? | BF2 |? 2a 时 , 求 k1 的 2

k1 b 2 时,试问直线 BD ? k2 a 2

是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
y C D B A O x

【答案】 解:(Ⅰ)当 k1

a a ? 1 时,点 C 在 y 轴上,且 C (0, a) ,则 B(? , ) ,由点 B 在椭圆上, 2 2

a a (? ) 2 ( ) 2 2 ? 2 ? 1, 得 a2 b2


b2 1 2 c2 b2 2 6 , ? e ? ? 1 ? ? ,∴ e ? 2 2 2 3 3 3 a a a

(Ⅱ)设椭圆的左焦点为 F1 ,由椭圆定义知, | BF1 | ? | BF2 |? 2a , ∴ | BF1 |?| BA | ,则点 B 在线段 AF1 的中垂线上,∴ xB ? ? 又e ?

a?c , 2

3 c 1 1 3a a ,∴ xB ? ? , ? ,∴ c ? a , b ? 2 a 2 2 4

代入椭圆方程得 yB ? ?

yB 7 21 21 =? b=? a ,∴ k1 ? xB ? a 4 8 2

? y ? k1 ( x ? a ), x 2 ? a 2 k12 ( x ? a ) 2 ? 2 ? ? 0, (Ⅲ)法一:由 ? x 2 得 y 2 2 a b ? ? 1, ? 2 b2 ?a
∴ x ? ? a ,或 x ?

a (b 2 ? k12 a 2 ) , b 2 ? a 2 k12
4

∵ xB ? ? a ,∴ xB ?

a (b 2 ? k12 a 2 ) 2ab 2 k1 , 则 y ? k ( x ? a ) ? B 1 B b 2 ? a 2 k12 b 2 ? a 2 k12

由?

? y ? k2 ( x ? a ),
2 2 2 ?x ? y ? a ,

2 得 x 2 ? a 2 ? k2 ( x ? a)2 ? 0 ,

2 2 2ak2 a (1 ? k2 ) a (1 ? k2 ) y ? 得 x ? ? a ,或 x ? , 同理 , 得 , , x ? D D 2 2 1 ? k22 1 ? k2 1 ? k2

b4 2 k ) 2 2 2 k1 b 2 2ab 2 k2 a(a 2 ? b 2 k2 ) a 当 , , ? 2 时, xB ? y ? ? B 2 2 k2 a a 2 ? b 2 k2 b4 2 a 2 ? b 2 k2 2 b ? 2 k2 a a (b 2 ?

k BD

2ab 2 k2 2ak2 ? 2 2 2 2 a ? b k2 1 ? k2 1 ? ? ? ,∴ BD⊥AD,∵ E2 为圆, 2 2 2 2 k2 a (a ? b k2 ) a (1 ? k2 ) ? 2 2 2 2 a ? b k2 1 ? k2
∠ADB 所对圆 E2 的弦为直径,从而直线 BD 过定点(a,0)



法二:直线 BD 过定点 (a, 0) , 证明如下: 设 P (a, 0) , B ( xB , yB ) ,则:

xB 2 y B 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a2 b

k AD k PB ?

2 yB yB yB a2 a2 a2 a 2 b2 k k ? ? ? ? ? ? ( ? ) ? ?1 , 1 PB 2 b2 b 2 xB ? a xB ? a b 2 x B ? a 2 b2 a 2

所以 PB ? AD ,又 PD ? AD 所以三点 P, B, D 共线,即直线 BD 过定点 P (a, 0)
9 . (江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试(数学) (选修物理) )已知椭圆的中心为原

点 O,一个焦点为 F ( 3,0) ,离心率为

3 .以原点为圆心的圆 O 与直线 y ? x ? 4 2 互相 2

切,过原点的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,与圆 O 交于 C,D 两点. (1)求椭圆和圆 O 的方程; (2)线段 CD 恰好被椭圆三等分,求直线 l 的方程.

5

【答案】

(2) 直线 l 的方程为 y ? kx ,由

? y ? kx 4 4 4 4 ? 2 解得 A( ,k ) , B(? , ?k ) ?x 2 2 2 2 2 4k ? 1 4k ? 1 4k ? 1 4k ? 1 ? ? y ?1 ?4

? AB ? (2

4 4k ? 1
2

)2 ? (2k

4 4k ? 1
2

) 2 ? 4(1 ? k 2 ) ?
4

4 4k ? 1
2

CD 恰好被椭圆三等分,

4(1 ? k 2 ) ?

1 4k ? 1 3
2

= ? 2R ?

8 3

35 1? k 2 2 ? ,k ? ? 2 7 4k ? 1 3

6

直线 l 的方程为 y ? ?

35 x 7

10. (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)如图,设 A , B 分别为

椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点和上顶点 , 过原点 O 作直线交线段 AB 于点 a 2 b2

M (异于点 A , B ),交椭圆于 C , D 两点(点 C 在第一象限内), ?ABC 和 ?ABD 的面
积分别为 S1 与 S2 . (1)若 M 是线段 AB 的中点,直线 OM 的方程为 y ? (2)当点 M 在线段 AB 上运动时,求

1 x ,求椭圆的离心率; 3

S1 的最大值. S2

y

B C O M A D

x

【答案】

7

11 . (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷) 已知左焦点为 F(-1,0) 的椭圆过点

E(1, 2 3 ).过点 P(1,1)分别作斜率为 k1,k2 的椭圆的动弦 AB,CD,设 M,N 分别为线段 3 AB,CD 的中点.
(1)求椭圆的标准方程;

8

(2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1; (3)若 k1+k2=1,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标.
【答案】解:依题设 c=1,且右焦点 F ? (1,0).

? ? 2 2 2 所以,2a= EF ? EF ? = (1 ? 1) 2 ? ? 2 3 ? ? 2 3 ? 2 3 ,b =a -c =2, 3 3 ? ?
2 y2 ?1 故所求的椭圆的标准方程为 x ? 3 2

2

(2)设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),则 ②-①,得 所以,k1=

x12 y12 x2 y 2 ? ? 1 ①, 2 ? 2 ? 1 ②. 3 2 3 2

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? ? 0. 3 2
y2 ? y1 2( x2 ? x1 ) 4x ?? ?? P ??2 x2 ? x1 3( y2 ? y1 ) 6 yP 3

(3)依题设,k1≠k2. 设 M( xM , yM ),直线 AB 的方程为 y-1=k1(x-1),即 y=k1x+(1-k1),亦即 y=k1x+k2, 代入椭圆方程并化简得 于是, xM ? 同理, xN ?

(2 ? 3k12 ) x 2 ? 6k1k2 x ? 3k22 ? 6 ? 0 .

?3k1k2 2k 2 , yM ? 2 ? 3k12 2 ? 3k12 ?3k1k2 2k1 , yN ? . 2 2 2 ? 3k2 2 ? 3k2
2 4 ? 6(k2 ? k2 k1 ? k12 ) 10 ? 6k2 k1 yM ? y N = ? ?9k2 k1 (k2 ? k1 ) xM ? xN ?9k2 k1

当 k1k2≠0 时, 直线 MN 的斜率 k=

直线 MN 的方程为 y ? 即 亦即
y?

2k 2 10 ? 6k2 k1 ?3k1k2 ? (x ? ), 2 ? 9 k k 2 ? 3k1 2 ? 3k12 2 1

10 ? 6k2 k1 10 ? 6k2 k1 3k1k2 2k 2 x?( ? ? ), ?9k2 k1 ?9k2 k1 2 ? 3k12 2 ? 3k12
10 ? 6k2 k1 x? 2 . ?9k2 k1 3

y?

此时直线过定点 (0, ? 2 ) 3 当 k1k2=0 时,直线 MN 即为 y 轴,此时亦过点 (0, ? 2 ) . 3 综上,直线 MN 恒过定点,且坐标为 (0, ? 2 ) 3 本题主要考查直线与椭圆的基础知识,考查计算能力与独立分析问题与解决问题的能力. 讲评本题时,要注意对学生耐挫能力的培养. 第(2)问,亦可设所求直线方程为 y-1=k1(x-1),与椭圆方程联立,消去一个变量或 x 或 y, 然后利用根与系数的关系,求出中点坐标与 k1 的关系,进而求出 k1 的值. 第(3)问,可有一般的情形:过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦,则两动弦的 中点所在直线过定值.此结论在抛物线中也成立.另外,也可以求过两中点所在直线的斜
9

率的最值. 近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势:多考一点“算”,少考一点“想”. 12 . ( 江 苏 省 淮 安 市 2013 届 高 三 上 学 期 第 一 次 调 研 测 试 数 学 试 题 ) 已 知 椭 圆

C:

x2 y 2 6 3 6 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,一条 准线方程为 x ? 2 a b 3 2

⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设 G , H 为椭圆 C 上的两个动点, O 为坐标原点,且 OG ? OH . ①当直线 OG 的倾斜角为 60 时,求 ?GOH 的面积;
?

②是否存在以原点 O 为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线 GH 相切?若存在,请求出 该定圆方程;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)因为

c 6 a2 3 6 2 2 2 , ,a ? b ?c , ? ? a 3 c 2
x2 y2 ? ?1 9 3

解得 a ? 3, b ? 3 ,所以椭圆方程为

? 2 9 ? y ? 3x x ? ? ? 2 ? 10 2 (2)①由 ? x ,解得 ? , y ?1 ? ? ? y 2 ? 27 3 ?9 ? 10 ?

? 3 ? 2 9 y?? x ? ?x ? 2 ? ? 3 由? 得? , 2 2 3 2 x y ?y ? ? ? ?1 ? ? 2 ? 3 ?9
所以 OG ?

3 10 3 15 , OH ? 6 ,所以 S ?GOH ? 5 5
2 2

②假设存在满足条件的定圆,设圆的半径为 R ,则 OG ? OH ? R ? GH 因为 OG ? OH ? GH ,故
2

1 1 1 ? ? 2, 2 2 OG OH R

当 OG 与 OH 的斜率均存在时,不妨设直线 OG 方程为: y ? kx ,

10

9 ? 2 xG ? ? y ? kx ? 9 ? 9k 2 ? 1 ? 3k 2 ? 2 2 OG ? 由 ? x2 , 得 , 所以 , ? y 2 1 ? 3k 2 ?1 ? y 2 ? 9k ? ? 3 ?9 G ? 1 ? 3k 2 ?
同理可得 OH ?
2

1 9k 2 ? 9 2 (将 OG 中的 k 换成 ? 可得) 2 k 3? k

1 1 4 1 3 ? ? ? 2 ,R ? , 2 2 9 R 2 OG OH
当 OG 与 OH 的斜率有一个不存在时,可得 故满足条件的定圆方程为: x ? y ?
2 2

1 1 4 1 ? ? ? 2 , 2 2 9 R OG OH

9 4
xoy 中,点 A 为椭

13. (江苏省徐州市 2013 届高三期中模拟数学试题) 如图,在平面直角坐标系

x2 2 y2 ? ?1 9 9 圆 的
右顶点, 点 D(1, 0) ,点 P, B 在椭圆上, BP ? DA . (1)求直线 BD 的方程; (2)求直线 BD 被过 P, A, B 三点的圆 C 截得的弦长; (3)是否存在分别以 PB, PA 为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程; 若不存在,请说明理由.

??? ?

??? ?

【答案】解: (1)因为 BP ? DA ,且 A(3,0),所以 BP ? DA =2,而 B, P 关于 y 轴对称,

??? ?

??? ?

所以点 P 的横坐标为 1, 从而得 P(1, 2), B(?1, 2)

11

所以直线 BD 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 (2)线段 BP 的垂直平分线方程为 x=0,线段 AP 的垂直平分线方程为 y ? x ? 1 , 所以圆 C 的圆心为(0,-1),且圆 C 的半径为 r ? 10 又圆心(0,-1)到直线 BD 的距离为 d ? 2 ,所以直线 BD 被圆 C 截得的弦长 为2 r ?d ? 4 2
2 2

14. (苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试数学试卷)如图,在平面直角

坐标系 xOy 中,椭圆 E :

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,且过点 ( 2 ,

6 ). 2

(1) 求椭圆 E 的方程; (2) 若点 A , B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭圆 上异于 A , B 的任意一点,直线 AP 交 l 于点 M . (ⅰ)设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的斜率为 k 2 ,求证: k 1 k 2 为定值; (ⅱ)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m . 求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐标.

y P A
O

M

B
x
l

m

12

2 3 + 2 ? 1, 2 a 2b 1 消去 a 可得, 2b4 ? 5b2 ? 3 ? 0 ,解得 b2 ? 3 或 b2 ? ? (舍去),则 a 2 ? 4 , 2 2 2 x y ? ?1 所以椭圆 E 的方程为 4 3
【答案】⑴由题意得 2c ? 2 ,所以 c ? 1 ,又

⑵(ⅰ)设 P( x1 , y1 )( y1 ? 0) , M (2, y0 ) ,则 k1 ?

y1 y0 , k2 ? , x1 ? 2 2

因为 A, P, B 三点共线,所以 y0 ?

y0 y1 4 y12 4 y1 , 所以, k1k2 ? ,8 分 ? x1 ? 2 2( x1 ? 2) 2( x12 ? 4)

因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 y12 ? (4 ? x12 ) ,故 k1k2 ?

3 4

4 y12 3 ? ? 为定值 2 2( x1 ? 4) 2

(ⅱ)直线 BP 的斜率为 k2 ?

y1 2 ? x1 ,直线 m 的斜率为 km ? , x1 ? 2 y1 2 ? x1 ( x ? 2) , y1

则直线 m 的方程为 y ? y0 ?

y?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 4 y12 2 ? x1 2 ? x1 2(2 ? x1 ) 4 y1 ( x ? 2) ? y0 ? x? ? ? x? y1 y1 y1 x1 ? 2 y1 ( x1 ? 2) y1

?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 12 ? 3x12 2 ? x1 2 ? x1 2 ? x1 x? ( x ? 1) , x? = = y1 y1 y1 y1 ( x1 ? 2) y1

所以直线 m 过定点 (?1,0)
15. (苏北老四所县中 2013 届高三新学期调研考试)已知椭圆的中心为坐标原点 O,椭圆短半

轴长为 1, 动点 M (2, t ) (t ? 0) 在直线 x ? (1)求椭圆的标准方程 (2)求以 OM 为直径且被直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (3)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,求证: 线段 ON 的长为定值,并求出这个定值。

a2 (a为长半轴,c为半焦距) 上。 c

a2 1 ? c2 ? 2故 ?2, 【答案】解: (1)又由点 M 在准线上,得 c c
? c ? 1 从而 a ? 2 所以椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 2

13

(2)以 OM 为直径的圆的方程为 x( x ? 2) ? y( y ? t ) ? 0

即 ( x ? 1) ? ( y ? ) ?
2 2

t 2

t2 t t2 ? 1 其圆心为 (1, ) ,半径 r ? ?1 2 4 4

因为以 OM 为直径的圆被直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 所以圆心到直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离 d ? r 2 ?1 ?

t 2

所以

3 ? 2t ? 5 t ? ,解得 t ? 4 5 2

所求圆的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 (3) 设 N ( x0 , y0 ) ,则

???? ???? ? FN ? ( x0 ? 1, y0 ), OM ? (2, t ) ???? ? ???? MN ? ( x0 ? 2, y0 ? t ), ON ? ( x0 , y0 )

??? ? ???? ? ? FN ? OM ,?2( x0 ?1) ? ty0 ? 0,?2x0 ? ty0 ? 2 ???? ? ???? ? MN ? ON ,? x0 ( x0 ? 2) ? y0 ( y0 ? t ) ? 0,? x02 ? y0 2 ? 2x0 ? ty0 ? 2
所以, ON ?

????

x0 2 ? y0 2 ? 2 为定值

16. (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知

F1 , F2 分别是椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,A,B 分别是椭圆 E 的左、右 a 2 b2

顶点,且 AF2 ? 5 BF2 ? 0 . (1)求椭圆 E 的离心率; (2)已知点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点,M 为椭圆 E 上的动点(异于点 A 、B ),连接 MF1 并延长交椭圆 E 于点 N ,连接 MD 、 ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P 、 Q ,连接 PQ , 设直线 MN 、PQ 的斜率存在且分别为 k1 、k2 ,试问是否存在常数 ? ,使得 k1 ? ? k2 ? 0 恒成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

???? ?

???? ?

?

14

【答案】解:(1)?

???? ? ???? ? ? ???? ? ???? ? AF2 ? 5BF2 ? 0 ,? AF2 ? 5F2 B .? a ? c ? 5 ? a ? c ? ,化简得 2a ? 3c ,
2 . 3 4 . 点 D ?1, 0 ? 为 线 段 OF2 的 中 点 , ? c ? 2 , 从 而 7

故椭圆 E 的离心率为

(2) 存 在 满 足 条 件 的 常 数 ? , l ? ?

a ? 3 , b ? 5 , 左 焦 点 F1 ? ?2, 0? , 椭 圆

x2 y 2 ? ?1 . 设 9 5 x ?1 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , P ? x3 , y3 ? , Q ? x4 , y4 ? ,则直线 MD 的方程为 x ? 1 y ? 1 ,代入椭 y1

E 的 方 程 为







x2 y 2 ? ?1 9 5

,





得,

y ? x ? 1? 5 ? x1 2 x1 ? 1 4 y1 5x ? 9 y ? y ? 4 ? 0 .? y1 ? y3 ? 1 1 , ? y3 ? .从而 x3 ? 1 ,故点 2 x1 ? 5 y1 y1 x1 ? 5 x1 ? 5

? 5 x ? 9 4 y1 ? ? 5 x2 ? 9 4 y2 ? y y2 , F1 、N 共线,? 1 ? P? 1 , , ? .同理,点 Q ? ? .? 三点 M 、 x ? 2 x x ? 5 x ? 5 x ? 5 x ? 5 1 2 ?2 ? 1 1 ? ? 2 2 ?





x1 y2 ? x2 y1 ? 2 ? y1? y?2

.





4 y1 4 y2 ? x y ? x2 y1 ? 5 ? y1 ? y2 ? 7 ? y1 ? y2 ? 7k1 y ? y4 x ? 5 x2 ? 5 k2 ? 3 ? 1 ? 1 2 ? ? x3 ? x4 5 x1 ? 9 5 x2 ? 9 4 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? 5 x2 ? 5
k1 ? 4k 2 4 ? 0 ,从而存在满足条件的常数 ? , l ? ? . 7 7

.



17. (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)如图,圆 O 与离心率为

3 的 2

椭圆 T:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )相切于点 M (0,1) . a2 b2

⑴求椭圆 T 与圆 O 的方程;
15

⑵过点 M 引两条互相垂直的两直线 l1 、 l 2 与两曲线分别交于点 A、C 与点 B、D(均不重 合).
2 ①若 P 为椭圆上任一点,记点 P 到两直线的距离分别为 d1 、 d 2 ,求 d12 ? d 2 的最大值;

②若 3MA ? MC ? 4MB ? MD ,求 l1 与 l 2 的方程.

【答案】 解: (1)由题意知:

c 3 ? , b ? 1, c 2 ? b 2 ? a 2 解得 a ? 2, b ? 1, c ? 3 可知: a 2

椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 与圆 O 的方程 x 2 ? y 2 ? 1 4
2 x0 2 ? y0 ?1 4

2 2 (2)设 P( x0 , y0 ) 因为 l1 ⊥ l 2 ,则 d12 ? d 2 ? PM 2 ? x0 ? ( y0 ? 1) 2 因为

所以 d1 ? d 2 ? 4 ? 4 y 0 ? ( y 0 ? 1) ? ?3( y 0 ? ) ?
2 2 2 2 2

1 3

16 , 3

因 为 ? 1 ? y0 ? 1

所 以 当 y0 ? ?

1 16 2 2 时 d1 ? d 2 取 得 最 大 值 为 ,此时点 3 3

P(?

4 2 1 ,? ) 3 3
? y ? kx ? 1
2 2 ?x ? y ? 1

(3)设 l1 的方程为 y ? kx ? 1 ,由 ?

解得 A(?

2k 1 ? k 2 , ); k 2 ?1 1? k 2

? y ? kx ? 1 8k 1 ? 4k 2 ? 2 , ) 由?x 解得 C (? 2 2 4 k ? 1 1 ? 4k 2 ? ? y ?1 ?4
把 A, C 中的 k 置换成 ?

1 2k k 2 ? 1 8k k 2 ? 4 , 2 ) , D( 2 , ) 12 分 可得 B( 2 k k ?1 k ?1 k ? 4 k2 ? 4

所以 MA ? (?

2k ? 2k 2 8k ? 8k 2 , ) MC ( ? , ) , k 2 ?1 1? k 2 4k 2 ? 1 1 ? 4 k 2

16

MB ? (

2k ?2 8k ?8 , 2 ) , MD ? ( 2 , 2 ) k ?1 k ?1 k ?4 k ?4
2

由 3MA ?MC ? 4MB ? MD 得

???? ????? ?

???? ???? ?

3k 2 4 ? 2 解得 k ? ? 2 15 分 2 1 ? 4k k ?4

所以 l1 的方程为 y ?

2 x ? 1 , l2 的方程为 y ? ?

2 x ?1 2

或 l1 的方程为 y ? ? 2x ? 1 , l2 的方程为 y ?

2 x ? 116 分 2

18. (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题) 已知椭圆 E :
2 2

x2 ? y2 ? 1 的 4

左、 右顶点分别为 A , B ,圆 x ? y ? 4 上有一动点 P , P 在 x 轴的上方, C (1, 0) ,直线

PA 交椭圆 E 于点 D ,连结 DC , PB .
(1)若 ?ADC ? 900 ,求 ?ADC 的面积 S ; (2)设直线 PB , DC 的斜率存在且分别为 k1 , k2 ,若 k1 ? ? k2 ,求 ? 的取值范围.

y

D

P

A

O

C

B

x

【答案】

17

18

19. (2011 年高考 (江苏卷) ) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, M , N 分别是椭圆

x2 y2 ? ?1 4 2 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P, A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 C ,连接 AC ,并延长交椭圆于点 B ,设直线 PA 的斜率为 k . (1)若直线 PA 平分线段 MN ,求 k 的值; y (2)当 k ? 2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d ; (3)对任意 k ? 0 ,求证: PA ? PB.
【答案】 【命题立意】本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的
M O C

P B x

垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.
A

【解析】由题设知, a ? 2, b ?

2 ,故 M (?2.0), N (0,? 2 ) ,

N

所以线段 MN 的中点坐标为 (?1,?

2 ) ,由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 2
?

2 2 ? 2. 的中点,又直线 PA 过坐标原点,所以 k ? ?1 2
(2) 直线 PA 的方程为 y ? 2 x , 代入椭圆方程得

2 x 2 4x 2 ? ? 1 , 解得 x ? ? , 因此 3 4 2

4 2 4 2 4 2 3 ? 1 ,故直线 AB 的方程为 P( , ), A(? ,? ) .于是 C ( ,0) ,直线 AC 的斜率为 2 2 3 3 3 3 3 ? 3 3 0?
2 4 2 ? ? | 2 3 3 3 ?2 2. x ? y ? ? 0 .因此 d ? 2 3 3 1 ? 12 |
(3)将直线 PA 的方程 y ? kx 代入

x2 y2 2 ? ? 1 ,解得 x ? ? . 4 2 1 ? 2k 2



??

2 1 ? 2k 2

, 则 P( ? , ?k ), A(?? ,??k ) . 于 是 C ( ? ,0) . 故 直 线 AB 的 斜 率 为

0 ? ?k k ? ??? 2

, 其 方 程 为

y?

k (x ? ?) 2

, 代 入 椭 圆 方 程 得

19

(2 ? k ) x ? 2?k x ? ?
2 2 2

2

(3k ? 2) ? 0 , 解 得 x ?
2

? (3k 2 ? 2)
2? k2
线 PB

或 x ? ?? . 因 此

B(

? (3k 2 ? 2)
2? k2

,

?k 3
2? k2

)

,













k1 ?

? ?k k 3 ? k (2 ? k 2 ) 1 2? k2 ? ? ? .因此 k1k ? ?1 ,所以 PA ? PB 2 2 2 k ? (3k ? 2) 3k ? 2 ? (2 ? k ) ?? 2 2?k

?k 3

20. (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题) 已知椭圆 O 的中心在原点,长轴在 x 轴上,

右顶点 A(2,0) 到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为

3 . 不过 A 点的动直线 2

y?

1 x ? m 交椭圆 O 于 P,Q 两点. 2

(1) 求椭圆的标准方程; (2)证明 P,Q 两点的横坐标的平方和为定值; (3)过点 A,P,Q 的动圆记为圆 C,动圆 C 过不同于 A 的定点,请求出该定点坐标.

【答案】解:(1)设椭圆的标准方程为

3 x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? .由题意得 a ? 2, e ? 2 2 a b

?c ? 3 , b ? 1 ,

? 椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ?1 4

(2)证明:设点 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 将y?

1 1 x ? m 带入椭圆,化简得: x 2 ? 2mx ? 2(m 2 ? 1) ? 0 ○ 2
x1 x2 ? 2( m 2 ? 1) ,
2 2 2 ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 4 ,

? x1 ? x2 ? ?2m,

? P,Q 两点的横坐标的平方和为定值 4
2 2 (3)(法一)设圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则圆心为( ?

D 2

,?

E 2

),

PQ 中点 M( ? m,
圆心( ?

m 3 ), PQ 的垂直平分线的方程为: y ? ?2 x ? m , 2 2

E 3 D E 3 2, ,? )满足 y ? ?2 x ? m ,所以 ? ? D? m○ 2 2 2 2 2

圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F ? 0 ○ 3,

20

圆过 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y 2 ) , 则 ?

? x12 ? y12 ? Dx1 ? Ey1 ? F ? 0,
2 2 ? x2 ? y2 ? Dx2 ? Ey2 ? F ? 0,

两式相加得:

x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 2 ? Dx1 ? Dx2 ? Ey1 ? Ey 2 ? 2 F ? 0,
x12 ? x2 2 ? (1 ? x1 4
2

) ? (1 ?

x2 4

2

) ? D ( x1 ? x2 ) ? E ( y1 ? y 2 ) ? 2 F ? 0 ,

? y1 ? y2 ? m ,
因为动直线 y ?

4 ? 5 ? 2mD ? mE ? 2 F ? 0 ○

1 2

x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 ,
3( m ? 1) 4 , E? 3 2 m? 3 2 , 3 5 F ?? m? , 2 2

由○ 2○ 3○ 4 解得: D ?

3 3 3 5 x ? ( m ? )y ? m ? ? 0 , 4 2 2 2 2 3 3 5 3 3 3 整理得: ( x 2 ? y 2 ? x ? y ? ) ? m ( x ? y ? ) ? 0 , 4 2 2 4 2 2
代入圆的方程为: x 2 ? y 2 ?
3 3 5 ? 2 x ? y 2 ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2 所以: ? 3 3 3 ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2

3( m ? 1)

? x ? 0, ? x ? 2, 解得: ? 或? (舍). ? y ? 1, ? y ? 0

所以圆过定点(0,1)
2 2 (法二) 设圆的一般方程为 : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将 y ?

1 x ? m 代入的圆的方 2

程:

5 2 ? E? 5 x ? ? m ? D ? ? x ? m 2 ? mE ? F ? 0 ○ 4 2? ?

1 2m 2( m 2 ? 1) 方程○ 1 与方程○ 5 为同解方程. ? , ? 2 5 E m ? mE ? F m?D? 4 2
圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F ? 0 , 因为动直线 y ? 解得: D ?

1 x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 . 2

3( m ? 1) 3 3 3 5 , E ? m ? , F ? ? m ? , (以下相同) 4 2 2 2 2 【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系;考查定点定 值问题;考查运算求解能力和推理论证能力. 21 . ( 江 苏 省 2013 届 高 三 高 考 压 轴 数 学 试 题 ) 在 直 角 坐 标 系 xoy 上 取 两 个 定 点

A1 (?2,0), A2 (2,0) ,再取两个动点 N1 (0, m), N2 (0, n) ,且 mn ? 3 . (Ⅰ)求直线 A1 N1 与 A2 N 2 交点的轨迹 M 的方程; (Ⅱ)已知点 A(1, t ) ( t ? 0 )是轨迹 M 上 的定点, E, F 是轨迹 M 上的两个动点,如果直
21

线 AE 的斜率 k AE 与直线 AF 的斜率 k AF 满足 k AE ? k AF ? 0 ,试探究直线 EF 的斜率是 否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.
【答案】

22

22. (南京市、 盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题) 如图, 在平面直角坐标系 xOy

C:
中, 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 经 过 点 M (3 2, 2) , 椭 圆 的 离 心 率

e?

2 2 3 , F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 M 作两直线与椭圆 C 分别交于相异两点 A 、 B . ①若直线 MA 过坐标原点 O , 试求

?MAF2 外接圆的方程;
23

②若 ?AMB 的平分线与 y 轴平行, 试探究直线 AB 的斜率是否为定值?若是, 请给予 证明;若不是, 请说明理由.

e?
【 答 案 】 解 : (1) 由

2 2 c2 a 2 ? b2 8 ? ? a2 9 , 得 a 2 ? 9b 2 , 故 椭 圆 方 程 为 3 , a2

x2 y 2 ? ?1 9b 2 b 2 3分
18 2 ? 2 ?1 2 2 b 又 椭 圆 过 点 M (3 2, 2) , 则 9b ,解得 b ?4 ,所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 36 4

(2)① 记

?MF1 F2 的 外 接 圆 的 圆 心 为 T . 因 为

kOM ?

1 3 , 所 以 MA 的 中 垂 线 方 程 为

y ? ?3 x ,

?7 2 2? ? ? 2 , 2 ? ? 4 2, 0 F MF M (3 2, 2) ? ,而 kMF2 ? ?1 , 2 1 又由 , ,得 的中点为 ?

?

?

?3 2 9 2 ? ? ? y ? ?3 x T? ? ? 4 ,? 4 ? ? y ? x ? 3 2 MF2 ? y ? x ? 3 2 ? 所以 的中垂线方程为 ,由 ? ,得 ?

? 3 2? ? 9 2? 5 5 4 2 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 4 ? 2 所以圆 T 的半径为 ? ,

2

2

? 3 2? ? 9 2 ? 125 x? ?? y? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 4 ? MAF ? ? ? ? 2 的外接圆的方程为 故

2

2

24

x2 ?
(说明:该圆的一般式方程为 (3)设直线 MA 的斜率为 k , 反数,

3 2 9 2 x ? y2 ? y ? 20 ? 0 2 2 )
, ,由题直线 MA 与 MB 的斜率互为相

A ? x1 , y1 ? B ? x2 , y2 ?

? y ? kx ? 2 ? 3 2k ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 直线 MB 的斜率为 ? k .联立直线 MA 与椭圆方程: ? 36 4 ,
整 理 得

? 9k

2

? 1? x 2 ? 18 2k ? 1? 3k? x ? 162k2 ? 108 k ? 18? 0

,



x1 ?

18 2 ? 3k 2 ? k ? 9k 2 ? 1

?3 2
,





x2 ?

18 2? 3 k2 ? k? 9k 2 ? 1

?3 2
, 整 理 得

x2 ? x1 ?

36 2k 108 2k 2 x ? x ? ?6 2 2 1 9k 2 ? 1 , 9k 2 ? 1



y2 ? y1 ? ?kx2 ? 2 ? 3 2k ? kx2 ? 2 ? 3 2k ? ? k ? x2 ? x1 ? ? 6 2k
12 2k y2 ? y1 9k 2 ? 1 1 ? ? ? x2 ? x1 36 2k 3 9k 2 ? 1 为定值

?

?

?108k 3 12 2k ? 12 2k ? 2 2 9k ? 1 ,所以 = 9k ? 1

k AB

23 .( 苏 州 市 第 一 中 学 2013 届 高 三 “ 三 模 ” 数 学 试 卷 及 解 答 ) 已 知 椭 圆

1 x2 y2 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (2, 3 ) , 且它的离心率 e ? . 直线 l : y ? kx ? t 与 2 a b
椭圆 C1 交于 M 、 N 两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)当 k ?

3 时,求证: M 、 N 两点的横坐标的平方和为定值; 2
2 2

(Ⅲ)若直线 l 与圆 C2 : ( x ? 1) ? y ? 1 相切 ,椭圆上一点 P 满足 OM ? ON ? ? OP , 求实数 ? 的取值范围.

25

y N

O M

x

【答案】解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

3 ?4 ?a2 ? b2 ? 1 ? ?c 1 由已知得: ? ? ,解得 ?a 2 ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ?
所以椭圆的标准方程为:

2 ? ?a ? 8 ? 2 ? ?b ? 6

x2 y2 ? ?1 8 6

? 3 y? x?t ? ? 2 2 2 (Ⅱ) 由 ? ,得 6 x ? 4 3tx ? 4t ? 24 ? 0 ,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) , 2 2 ?x ? y ?1 ? 6 ?8
则 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? (?
2 2 2

4 3t 2 4t 2 ? 24 ) ? 2? ? 8 ,为定值 6 6

2 2 (Ⅲ)因为直线 l:y ? kx ? t 与圆 ( x ? 1) ? y ? 1相切

1? t 2 所以, ? 1 ? 2k ? (t ? 0) t 1? k 2
把 y ? kx ? t 代入

|t ?k |

x2 y2 ? ? 1 并整理得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 24 ? 0 8 6
x1 ? x 2 ? ?

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则有

8kt 3 ? 4k 2 6t y1 ? y 2 ? kx 1 ? t ? kx 2 ? t ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2t ? 3 ? 4k 2

26

因为, ? OP ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 所以, P ? ?

?

? 6t ? 8kt ? , 2 2 ? ? (3 ? 4k ) ? (3 ? 4k ) ? ?

又因为点 P 在椭圆上, 所以,

8k 2 t 2 6t 2 ? ?1 (3 ? 4k 2 ) 2 ?2 (3 ? 4k 2 ) 2 ?2
因为 t 2 ? 0 所以 (

? ?2 ?

2t 2 2 ? . 2 1 2 1 3 ? 4k ( 2 ) ? 2 ?1 t t

1 2 1 ) ? ( 2 ) ?1 ? 1, 2 t t

所以

0 ? ?2 ? 2 ,所以 ? 的取值范围为 (? 2,0) ? (0, 2 )

24. (江苏省南京市 2013 届高三 9 月学情调研试题(数学)WORD 版)在平面直角坐标系 xOy 中,

x y 1 椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左? 右顶点分别为 A,B,离心率为 ,右准线为 l:x=4.M 为椭圆上 a b 2
不同于 A,B 的一点,直线 AM 与直线 l 交于点 P. (1)求椭圆 C 的方程; ? ? (2)若 AM = MP ,判断点 B 是否在以 PM 为直径的圆上,并说明理由; (3)连结 PB 并延长交椭圆 C 于点 N,若直线 MN 垂直于 x 轴,求点 M 的坐标. y M A O N B P

2

2

x

(第 18 题)

1 = , ?c a 2 ?a=2, 【答案】解:(1)由? 解得? 所以 b =3. a ?c=1. =4. ?c
2 2

所以椭圆方程为 + =1 4 3 ? ? 3 3 (2)因为 AM = MP ,所以 xM=1,代入椭圆得 yM= ,即 M(1, ), 2 2

x2 y2

27

1 所以直线 AM 为:y= (x+2),得 P(4,3), 2 ? 3 ? 所以 BM =(-1, ), BP =(2,3) 2 ? ? 5 因为 BM · BP = ≠0,所以点 B 不在以 PM 为直径的圆上 2 (3)因为 MN 垂直于 x 轴,由椭圆对称性可设 M(x1,y1),N(x1,-y1). 直线 AM 的方程为:y= 直线 BN 的方程为:y= 所以

y1 6y1 (x+2),所以 yp= , x1+2 x1+2

-y1 -2y1 (x-2),所以 yp= , x1-2 x1-2

6y1 -2y1 6 2 = .因为 y1≠0,所以 =.解得 x1=1. x1+2 x1-2 x1+2 x1-2

3 所以点 M 的坐标为(1, ) 2
25. (江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试数学(理)试题)椭圆 C 的右焦点

为 F ,右准线为 l ,离心率为 个公共点是 B, D .

3 ,点 A 在椭圆上,以 F 为圆心, FA 为半径的圆与 l 的两 2

(1)若 ?FBD 是边长为 2 的等边三角形,求圆的方程; (2)若 A, F , B 三点在同一条直线 m 上,且原点到直线 m 的距离为 2 ,求椭圆方程.[来源: 学.科.网]

【答案】解:设椭圆的半长轴是 a ,半短轴是 b ,半焦距离是 c ,

由椭圆 C 的离心率为

x2 y2 3 ,可得椭圆 C 方程是 2 ? 2 ? 1 , 4b b 2

(只要是一个字母,其它形式同样得分,) 焦点 F ( 3b,0) ,准线 x ?

4b ,设点 A( x0 , y0 ) , 3

(1) ?FBD 是边长为 2 的等边三角形,

28

则圆半径为 2 ,且 F 到直线 l 的距离是 3 , 又 F 到直线 l 的距离是 FM ?

a2 b2 b , ?c ? ? c c 3

所以,

b ? 3,b ? 3, 3

所以 c ? 3 3 所以,圆的方程是 ( x ? 3 3)2 ? y 2 ? 4 (2)因为 A, F , B 三点共线,且 F 是圆心,所以 F 是线段 AB 中点,

由 B 点横坐标是

a2 4 2 4b ? 2 3b ? 3b ? 3b , 得, x0 ? 2c ? c 3 3 3

再由

2 2 2 x0 y0 x0 2 6 2 2 ? ? 1 y ? b ? ? b 2 , y0 ? 得 : b, 0 2 2 4b b 4 3 3

6 b y0 ? 3 ?? 2 所以直线 m 斜率 k ? x0 ? c 3b ? 3
直线 m : y ? ? 2( x ? c) , 2x ? y ? 2c ? 0 原点 O 到直线 m 的距离 d ?

2c , 3

依题意

2c ? 2 , c ? 6 ,所以 b ? 2 , 3
x2 y 2 ? ?1 8 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

所以椭圆的方程是

26. (江苏省徐州市 2013 届高三上学期模底考试数学试题) 已知椭圆 E:

左顶点为 A,左.右焦点分别为 F1.F2,且圆 C:

x2 ? y 2 ? 3x ? 3 y ? 6 ? 0 过 A,F2 两点.
(1)求椭圆 E 的方程; 2π (2)设直线 PF2 的倾斜角为 α ,直线 PF1 的倾斜角为 β ,当 β -α = 时,证明:点 3

29

P 在一定圆上.
2

【答案】解:(1)圆 x

? y2 ? 3x ? 3 y ? 6 ? 0 与 x 轴交点坐标为 A(?2 3,0) , F2 ( 3,0) ,
x2 y 2 ? ?1. 12 9

故 a ? 2 3, c ? 3 ,所以 b ? 3 ,∴椭圆方程是:

(2)设点 P(x,y),因为 F1 (- 3,0), F2 ( 3,0), 设点 P(x,y),则 k PF1 =tanβ =

y

x+ 3

, k PF2 =tanα =

y

x- 3

,

2π 因为 β -α = ,所以 tan(β -α )=- 3. 3 tanβ -tanα -2 3y 因为 tan(β -α )= = 2 , 2 1+tanα tanβ x +y -3 所以 -2 3y 2 2 = - 3.化简得 x +y -2y=3. x2+y2-3
2 2

所以点 P 在定圆 x +y -2y=3 上.
27. (徐州、 宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,A 右两个 1, A 2 分别是椭圆 E 的左、 2 a b 2 顶点,圆 A2 的半径为 a ,过点 A 1 作圆 A2 的切线 ,切点为 P ,在 x 轴的上方交椭圆 E 于点
已知椭圆 E :

Q. ⑴求直线 OP 的方程; PQ ⑵求 的值; QA 1
⑶设 a 为常数.过点 O 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆 E 于点 B , C ,分别交圆 A2 于 点 M , N ,记 △OBC 和 △OMN 的面积分别为 S1 , S2 ,求 S1 ? S 2 的最大值. y P Q B A2 C N
(第 18 题图)

M

A1

O

x

【答案】⑴连结 A2 P ,则 A2 P ? A1P ,且 A2 P ? a ,

又 A1 A2 ? 2a ,所以 ?A1 A2 P ? 60? . 所以 ?POA2 ? 60? ,所以直线 OP 的方程为 y ? 3 x
30

⑵由⑴知,直线 A2 P 的方程为 y ? ? 3( x ? a) , A1 P 的方程为 y ? 联立解得 xP ? 因为 e ?

3 ( x ? a) , 3

a 2

x2 4 y 2 3 c 3 3 1 ,即 ? ,所以 c2 ? a 2 , b2 ? a 2 ,故椭圆 E 的方程为 2 + 2 ? 1 . a a 2 a 2 4 4

? 3 ( x ? a) , ?y ? a ? 由? 2 3 2 解得 xQ ? ? , 7 ? x + 4y ?1 , 2 2 ? a ?a

a a ? (? ) PQ 7 ?3 ? 2 所以 QA 1 ? a ? (? a ) 4 7
⑶不妨设 OM 的方程为 y ? kx (k ? 0) ,

? y ? kx , a ak ? , ), 联立方程组 ? x 2 4 y 2 解得 B ( 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? 2 + 2 ?1 , a ?a
所以 OB ? a

1? k2 ; 1 ? 4k 2

用?

1? k2 1 代替上面的 k ,得 OC ? a . 4 ? k2 k
2a 1? k
2

同理可得, OM ?

, ON ?

2ak 1? k2

所以 S1 ? S2 ?

1 k ? OB ? OC ? OM ? ON ? a 4 ? 2 4 (1 ? 4k )(4 ? k 2 )

因为

k (1 ? 4k )(4 ? k )
2 2

?

1 1 ≤ , 1 4(k 2 ? 2 ) ? 17 5 k
a4 5

当且仅当 k ? 1 时等号成立,所以 S1 ? S 2 的最大值为

28. (江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试(数学) (选修历史) )如图,已知中心在原点

且焦点在 x 轴上的椭圆 E 经过点 A(3,1),离心率 e ?

6 . 3

(1)求椭圆 E 的方程; (2)过点 A 且斜率为 1 的直线交椭圆 E 于 A、C 两点,过原点 O 与 AC 垂直的直线交椭圆 E 于 B、D 两点,求证 A、B、C、D 四点在同一个圆上.

31

【答案】解(1) 设椭圆方程为

x2 y2 6 ? 2 ? 1 ,因为离心率 e ? ,所以 a 2 ? 3b2 , 2 a b 3

x2 y2 ? ?1, 3b 2 b 2 9 1 又因为经过点 A(3,1) ,则 2 ? 2 ? 1 , 3b b x2 y2 ? ?1 所以 b2 ? 4 ,所以椭圆的方程为 12 4
所以椭圆方程为

29. (南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

32

C:

a a x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A( , ), B ( 3,1) . 2 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,F 为椭圆的左焦点,直线的方程为 x0 x ? 3 y0 y ? 6 ? 0 . ①求证:直线与椭圆 C 有唯一的公共点; ②若点 F 关于直线的对称点为 Q,求证:当点 P 在椭圆 C 上运动时,直线 PQ 恒过定点,并 求出此定点的坐标.

【答案】

33

30. (江苏省泰州市 2012-2013 学年度第一学期期末考试高三数学试题)直角坐标系 xOy 中,已

知椭圆 C :

34

【答案】(1)P(

3a 4b , ), 5 5 1 ① 2

K A2 B2 ·KOP=-1,∴4b2=3a2=4(a2-c2), ∴a2=4c2, ∴e=
4 21 (2)MN= = 7
a 2 ? b2 7 ,∴ 2 2 ? ab 12 1 1 ? 2 2 a b
2
2



由①②得,a =4,b =3, ∴

2

x2 y 2 ? ?1 4 3
=

(3)cosα =cosβ ,∴

RF1· RQ RF1 · RQ

RF 2 · RQ RF 2 · RQ



(?1 ? x0 ,? y0 )(? x0 , t ? y 0 ) ( x0 ? 1) 2 ? y0
1 y0 3
2

?

(1 ? x0 ,? y0 )(? x0 , t ? y 0 ) ( x0 ? 1) 2 ? y 0
2

化简得: ∴t=-

∵0<y0< 3 ,t∈(-

3 ,0) 3
x2 y 2 ? =1 的离 a 2 b2

31. (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷)如图,已知椭圆 C:

心率为

3 ,过椭圆 C 上一点 P(2,1)作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于点 A、 B, 2

直线 AB 与 x 轴交于点 M,与 y 轴负半轴交于点 N. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程: (Ⅱ)若 S△PMN=

3 ,求直线 AB 的方程. 2
35

【答案】

32. (2012 年江苏理)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分 a 2 b2

e) 和 ? e , 0) .已知 (1 , 别为 F1 (?c , 0) , F2 (c ,
(1)求椭圆的方程;

? ? ?

3? ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 2 ? ?

(2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于 点 P.

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

36

【答案】解:(1)由题设知, a2 =b2 ? c2,e=

c e) 在椭圆上,得 ,由点 (1 , a

12 a
2

?

e2 b
2

?1?

1 a
2

?

c2 a b
2 2

=1 ? b 2 ? c 2 =a 2b 2 ? a 2 =a 2b 2 ? b 2 =1 ,∴ c 2 =a 2 ? 1 .

由点 ? e ,

? ? ?

3? ? 在椭圆上,得 2 ? ?
2 2

? 3? ? 3? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? e c a2 ? 1 3 ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 2 2 4 4 1 4 a b a a
∴椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

0) ,又∵ AF1 ∥ BF2 , (2)由(1)得 F1 (?1, 0) , F2 (1,
∴设 AF1 、 BF2 的方程分别为 my =x ? 1,my =x ? 1 , A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 .

? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ? m2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ∴? 2 . m2 ? 2 ?my =x ? 1 ? 1 1

?

?

∴ AF1 =

? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0?
2

2

= ? my1 ?

2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m2 ? 2 .① ? y = m ?1 ? ? m2 ? 2 m2 ? 2
2 1 2

同理, BF2 =

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m2 ? 2

.②

(i)由①②得, AF1 ? BF2 ?

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 = . 解 得 m 2 =2. 2 2 m ?2 m ?2 2

∵注意到 m > 0 ,∴ m= 2 . ∴直线 AF1 的斜率为

1 2 = . m 2

37

(ii)证明:∵ AF1 ∥ BF2 ,∴

BF PB ? PF1 BF2 ? AF1 PB BF2 PB ? ?1 ? 2 ?1? ? ,即 . PF1 AF1 PF1 AF1 PF1 AF1

∴ PF1 =

AF1 BF1 .(lby lfx) AF1 ? BF2 AF1 2 2 ? BF2 . AF1 ? BF2

由点 B 在椭圆上知, BF 1= 1 ? BF2 ? 2 2 ,∴ PF

?

?

同理. PF2 =

BF2 2 2 ? AF1 . AF1 ? BF2 AF1 BF2 2 AF ?BF2 2 2 ? BF2 ? 2 2 ? AF1 ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2

?

?

∴ PF1 +PF2 =

?

?

?

?

由①②得, AF1 ? BF = ∴ PF1 +PF2 =2 2 ? ∴ PF1 ? PF2 是定值.

2 2 m2 ? 1 m ?2
2

?

? , AF ?BF = m

2

?1

m ?2

2

,

2 3 = 2. 2 2

33. (2010 年高考(江苏) )在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右顶 9 5

O椭 圆 分 别 A 线 TA,TB 与 F 交B 点 为 A,B, 右 焦 点 为 F, 设 过 点 T( t , m ) 的 直 于点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) ,其中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 ①设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹
2 2

②设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标 3

③设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点 (其坐标与 m 无关)
【答案】(1)由题知 F (2,0), A(3,0), 设P( x, y) ,则

( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4 9 化简整理得x ? 2
(2)把 x1 ? 2, x2 ? 直线 AM : y ?

1 5 1 20 代入椭圆方程分别求出 M (2, ), N ( , ) 3 3 3 9


1 ( x ? 3) 3

38

5 ( x ? 3) 6 9 10 ①、②联立得 T ( , ) 7 7
直线 BN : y ? ? (3) T (9, m) 直线 TA : y ?



m 3(m2 ? 80) 40 ( x ? 3) ,与椭圆联立得 M (? , 2 ), 2 12 m ? 80 m ? 80

m 3(m2 ? 20) 20 ,? 2 ), 直线 TB : y ? ( x ? 3) ,与椭圆联立得 N ( 2 6 m ? 20 m ? 20

40 20 ? 2 20 3(m2 ? 20) m ? 80 m ? 20 直线 MN : y ? 2 ? (x ? ), m ? 20 3(m2 ? 80) 3(m2 ? 20) m2 ? 20 ? m2 ? 80 m2 ? 20
2

化简得 y ?

20 10 3(m2 ? 20) ? ? ( x ? ) m2 ? 20 m2 ? 40 m2 ? 20

令 y ? 0, 解得x ? 1,即直线MN 过x轴上 定点(1,0).
34. (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦 a 2 b2 ??? ? ??? ? 1 点, A , B , C 分别为椭圆 E 的右、下、上顶点,满足 FC ?BA ? 5 ,椭圆的离心率为 . 2
如图 , 在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知点 F 是椭圆 E : (1)求椭圆的方程; (2)若 P 为线段 FC (包括端点)上任意一点,当 PA?PB 取得最小值时,求点 P 的坐标; (3) 设 点 M 为 线 段 BC ( 包 括 端 点 ) 上 的 一 个 动 点 , 射 线 MF 交 椭 圆 于 点 N , 若

??? ? ??? ?

???? ???? ? NF ? ? FM ,求实数 ? 的取值范围.

39

y

C M A O N B

x

【答案】

40

35 . ( 连 云 港 市 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 高 三 期 末 考 试 数 学 试 卷 ) 已 知 椭 圆

4 b x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的上顶点为 A,左,右焦点分别为 F1,F2,且椭圆 C 过点 P( , ),以 AP 2 3 3 a b 为直径的圆恰好过右焦点 F2.

C:

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,试问:在 x 轴上是否存在两定点,使其到直 线 l 的距离之积为 1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.

y A P F1 O
1

F2

x

(第 18 题图)

【答案】解:(1)因为椭圆过点 P( , ),所以

4 b 3 3

16 1 2 2+ =1,解得 a =2, 9a 9

b b 3 2 又以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2.所以 AF2?F2P,即? ? =?1, b =c(4?3c) c4 ?c 3
而 b =a ?c =2?c ,所以 c ?2c+1=0,解得 c =1,
2 2 2 2 2 2

故椭圆 C 的方程是 +y =1 2 (2)①当直线 l 斜率存在时,设直线 l 方程为 y=kx+p,代入椭圆方程得 2 2 2 (1+2k )x +4kpx+2p -2=0. 因为直线 l 与椭圆 C 有只有一个公共点,所以 2 2 2 2 2 2 △=16k p -4(1+2k )(2p -2)=8(1+2k ―p )=0, 2 2 即 1+2k =p 设在 x 轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线 l 的距离之积为 1,则 2 2 |ks+p| |kt+p| |k st+kp(s+t)+p | ? = =1, 2 k +1 k2+1 k2+1 即(st+1)k+p(s+t)=0(*),或(st+3)k +(s+t)kp+2=0 (**). 由(*)恒成立,得?
?st+1=0, ?s+t=0.
2

x2

2

解得?

?s=?1 ,或? , ?t=?1 ?t=1 ?s=1

而(**)不恒成立. ②当直线 l 斜率不存在时,直线方程为 x=? 2时, 定点(-1,0)、F2(1,0)到直线 l 的距离之积 d1? d2=( 2-1)( 2+1)=1. 综上,存在两个定点(1,0),(?1,0),使其到直线 l 的距离之积为定值 1
36. (江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)如图,

41

2 y2 0) ,离心率为 2 . 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, 2 a b

分别过 O , F 的两条弦 AB , CD 相交于点 E (异于 A , C 两点),且 OE ? EF . (1)求椭圆的方程;(2)求证:直线 AC , BD 的斜率之和为定值.

y
C

A E
O

F

D

x

B

(第 18 题)

【答案】(1)解:由题意,得 c ? 1 , e ? c ?

a

2 ,故 a ? 2 , 2

从而 b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , 所以椭圆的方程为 x ? y 2 ? 1 . 2 (2)证明:设直线 AB 的方程为 y ? kx , 直线 CD 的方程为 y ? ?k ( x ? 1) , ③ 由①②得,点 A , B 的横坐标为 ?
2

① ②

2 , 2k 2 ? 1

由①③得,点 C , D 的横坐标为

2k 2 ? 2(k 2 ? 1) , 2k 2 ? 1

kx2 ) , C ( x3, k (1 ? x3 )) , D( x4, k (1 ? x4 )) , kx1 ) , B( x2, 记 A( x1,

则直线 AC , BD 的斜率之和为 kx1 ? k (1 ? x3 ) kx2 ? k (1 ? x4 ) ? x1 ? x3 x2 ? x4

?k? ?k?

( x1 ? x3 ? 1)( x2 ? x4 ) ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ? 1) ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) 2( x1 x2 ? x3 x4 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x3 ? x4 ) ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 )

2 ?2 ? 2(k ? 1) ? ? 0 ? 4k 2 2? ? 2 ? 2 2k 2 ? 1 ? k ? ? 2k ? 1 2 k ? 1 ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 )

?0
37. (江苏省徐州市 2013 届高三考前模拟数学试题)已知椭圆 E :

x2 y 2 + 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离 2 a b 1 心率为 ,右焦点为 F ,且椭圆 E 上的点到点 F 距离的最小值为 2. 2
42

⑴求椭圆 E 的方程; ⑵设椭圆 E 的左、 右顶点分别为 A, B ,过点 A 的直线 l 与椭圆 E 及直线 x ? 8 分别相交于 点M,N . (ⅰ)当过 A, F , N 三点的圆半径最小时,求这个圆的方程;

65 ,求 △ ABM 的面积. 65 c 1 2 2 2 【答案】⑴由已知, ? ,且 a ? c ? 2 ,所以 a ? 4 , c ? 2 ,所以 b ? a ? c ? 12 , a 2 x2 y2 + ?1 所以椭圆 E 的方程为 16 12 ⑵(ⅰ)由⑴, A(?4,0) , F (2,0) ,设 N (8, t ) .
(ⅱ)若 cos ?AMB ? ? 设圆的方程为 x2 + y 2 + dx + ey + f ? 0 ,将点 A, F , N 的坐标代入,得

? d ? 2, ?16 ? 4d + f ? 0, ? 72 ? ? 解得 ?e ? ?t ? , ?4 + 2d + f ? 0, t ? ? 2 ?64 + t + 8d + et + f ? 0, f ? ? 8, ? ?

72 )y ?8 ? 0, t 1 72 1 72 即 ( x + 1)2 + [ y ? (t + )]2 ? 9 + (t + )2 , 2 t 4 t 72 2 72 因为 (t + ) ≥ (2 72)2 ,当且仅当 t + ? ?12 2 时,圆的半径最小, t t
所以圆的方程为 x2 + y 2 + 2 x ? (t + 故所求圆的方程为 x2 + y 2 + 2x ? 12 2 y ? 8 ? 0 (ⅱ)由对称性不妨设直线 l 的方程为 y ? k ( x + 4)(k ? 0) .

? y ? k ( x + 4), 12 ? 16 k 2 24 k ? , ), 由 ? x2 y 2 得M( 3 + 4k 2 3 + 4k 2 ? 1, ? + ?16 12
???? 32k 2 ?24k ?24 ?24k MB ? ( , ), , , ) 2 2 2 3 + 4 k 3 + 4k 2 3 + 4k 3 + 4k ???? ???? MA?MB ?8 ? 24k 65 ?? 所以 cos ?AMB ? ???? ???? ? , 2 2 2 65 MA MB 24 1 + k ? (32k ) + 24
所以 MA ? ( 化简,得 16k 4 ? 40k 2 ? 9 ? 0 ,

????

1 9 1 3 ,或 k 2 ? ,即 k ? ,或 k ? , 4 4 2 2 1 此时总有 yM ? 3 ,所以 △ ABM 的面积为 ? 8 ? 3 ? 12 . 2
解得 k 2 ?
38 . ( 江 苏 省 盐 城 市 2013 届 高 三 10 月 摸 底 考 试 数 学 试 题 ) 如 图 , 直 线 AB 与 椭 圆

43

x2 y ? 2 ?1 2 b ?: a ( a ? b ? 0 )交于 A, B 两点,与 x 轴和 y 轴分别交于点 P 和点 Q ,点
C 是点 A 关于 x 轴的对称点,直线 BC 与 x 轴交于点 R .
(1)若点 P 为(6,0),点 Q 为(0,3),点 A , B 恰好是线段 QP 的两个三等分点. ①求椭圆的方程; ②过坐标原点 O 引 ?ABC外接圆的切线,求切线长; (2)当椭圆 ? 给定时,试探究 OP ? OR 是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明 理由.

2

【答案】解: (1)①设点

A? x, y ?

??? ? ??? ? ? 6, ?3? ? 3? x, y ? 3? , QP ? 3 QA ,由题意知 ,则有

解得 x ? 2, y ? 2 ,即

A? 2,2?

,又点 B 为 A 、 P 中点,可得点

B ? 4,1?

?4 4 ? ?1 ? ? a 2 b2 ?? 2 x2 y ?16 ? 1 ? 1 ? ?1 2 2 ? ? a 2 b2 ,解得: a ? 20, b ? 5 ,? 椭圆的方程为 20 5

②由点

A? 2, 2? B ? 4,1?
,

可求得线段 AB 的中垂线方程为

y ? 2x ?

9 2 ,令 y ? 0 ,得

x?

9 4.



?ABC 外 接 圆 的 圆 心 为
2

M

,







r

,





65 2 ?9 ? ?9 ? M ? , 0 ? r ? AM ? ? ? 4 ? ? ? 0 ? 1? ? 4 ?4 ? ? 4 ?,
44

? 切线长为
(2)设点

OM 2 ? r 2 ?

81 65 ? ?1 16 16
,则

B ? x0 , y0 ? A ? x1 , y1 ?
,

C ? x1 , ? y1 ?

.

所以直线 BC 的方程为

y ? y0 ?

y0 ? y1 x y ?x y x? 0 1 1 0 ? x ? x0 ? x0 ? x1 y0 ? y1 , ,令 y ? 0 ,得

?x y ?x y ? ?x y ?x y ? R? 1 0 0 1 ,0? P? 1 0 0 1 ,0? y0 ? y1 ? ,同理 ? y0 ? y1 ? 即点 ?
2 2 2 x1 y0 ? x0 y1 x1 y0 ? x0 y1 x12 y0 ? x0 y1 OP ? OR ? ? ? 2 2 y0 ? y1 y0 ? y1 y0 ? y1

,

? x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 1 (1) ?a b ? 2 2 ? x1 ? y1 ? 1 (2) ? 2 b2 (1) ? y12 得 又 ? ?a ,
2 2 y12 y0 x12 y0 2 ? ? y0 2 2 a b ,

2 2 x0 2 y12 y0 y1 ? ? y12 2 2 2 (2) ? y0 a b , 得

2 2 2 2 2 2 x12 y0 ? x0 y1 x12 y0 ? x0 y1 2 2 ? a2 ? y0 ? y1 2 2 2 y0 ? y1 a 两式相减得 ,即 ,?当椭圆 ? 给定

时, OP ? OR 为定值 a

2

39. (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

x2 y2 C: + =1. m 8-m
(1)若椭圆 C 的焦点在 x 轴上,求实数 m 的取值范围; (2)若 m=6, ①P 是椭圆 C 上的动点, M 点的坐标为(1,0),求 PM 的最小值及对应的点 P 的坐标; ②过椭圆 C 的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆 C 于 A,B 两点,线段 AB 的垂直 平分线 l 交 x 轴于点 N,证明:

AB 是定值,并求出这个定值. FN

【答案】解(1)由题意得,m>8-m>0,解得 4<m<8.

即实数 m 的取值范围是(4,8) (2)因为 m=6,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 6 2

x2 y2

45

①设点 P 坐标为(x,y),则 + =1. 6 2 因为点 M 的坐标为(1,0),所以

x2 y2

x2 2x2 PM2=(x-1)2+y2=x2-2x+1+2- = -2x+3
3 3 2 3 2 3 = (x- ) + ,x∈[- 6, 6] 3 2 2 3 6 3 5 所以当 x= 时,PM 的最小值为 ,此时对应的点 P 坐标为( ,± ). 2 2 2 2 ②由 a =6,b =2,得 c =4,即 c=2, 6 . 3
2 2 2

从而椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为(2,0),右准线方程为 x=3,离心率 e= 设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 H(x0,y0),则

x12 y12
6 所以 + 2

=1,

x22 y22
6 + 2

=1,

x12-x22 y12-y22
6 + 2

=0,即 kAB=

y1-y2 x0 =x1-x2 3y0 k

1 令 k=kAB,则线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y-y0=- (x-x0). 2 令 y=0,则 xN=ky0+x0= x0. 3 2 因为 F(2,0),所以 FN=|xN-2|= |x0-3| 3 2 6 因为 AB=AF+BF=e(3-x1)+e(3-x2)= |x0-3|. 3

故 即

AB 2 6 3 = × = 6. FN 3 2 AB 为定值 6 FN x2 y2 + =1(a>b>0)的左焦点 a2 b2

40. (江苏省 2013 届高三高考模拟卷(二) (数学) )已知椭圆 C:

为 F1(-3,0),过点 F1 作一条直线 l 交椭圆于 A,B 两点,点 A 关于坐标原点 O 的对称点为

A1,两直线 AB,A1B 的斜率之积为- .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 D(m,0)为 F1 右侧的一点,连 AD,BD 分别交椭圆左准线于 M,N 两点,若以 MN 为直 径的圆恰好过点 F1,求 m 的值. 【答案】解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A1(-x1,-y1). 所以, k AB =

16 25

y2-y1 y2+y1 y22-y12 , k A1B = ,于是 k AB · k A1B = 2 , x2-x1 x2+x1 x2 -x12
46

y + =1, ?x a b x 由? 得 x y ? a + b =1,
2 2 2 2 2 2 2

2 1 2

2 1 2

2 2

-x1

2

a2

+

y12-y12 b2 =0, 所以 · =k k AB A1 B b2 a2

b 16 b 4 2 2 所以, 2= ,所以 = .设 b=4k,a=5k,其中 k>0.由 c=3,得 25k -16k =9,所以 k=1 a 25 a 5
所以,椭圆 C: + =1 25 16 (2)①若 l 存在斜率 k 时,设 l:y=k(x+3),A(x1,y1),B(x2,y2),

x2

y2

k(x+3), ? ?y= 2 2 2 2 2 x y2 由? 消去 y,得(16+25k )x +150k x+225 k -400=0. + = 1 ? ?25 16
所以 x1 ? x2 ? ? 设 M (?

150k 2 225k 2 ? 400 256k 2 2 , x x ? ? y y ? k ( x ? 3)( x ? 3) ? ? 1 2 1 2 1 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2

(3m ? 25) y1 25 25 , , y3 ), N (? , y4 ) ,由 M、A、D 共线,得 y3 ? 3(m ? x1 ) 3 3 (3m ? 25) y2 3( m ? x2 )

同理 y4 ?

又 F1M ? (? 得

?????

???? ? ????? ???? ? ????? ???? ? 16 16 , y3 ), F1 N ? (? , y4 ),由已知得F1M ? F1 N ? F1M ? F1N ? 0 , 3 3

y3 y 4? ?
整理得

256 256k 2 (3m ? 25)2 y1 y2 256 (3m ? 25)2 , 而y 3 y 4 ? ,即 ? · =- , 2 9 16 ? 25k 9 9(m ? x1 )(m ? x2 ) 9(m ? x1 )(m ? x2 )

(1 ? k 2 )(16m2 ? 400) ? 0 ,所以 m=±5,因为 m>-3,所以 m=5

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