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专题限时集训16 导数的应用 Word版含答案


专题限时集训(十六) 导数的应用 (对应学生用书第 109 页) (限时:40 分钟) 题型 1 利用导数研究函数的单调性 题型 2 利用导数研究函数的极值、最值问题 题型 3 利用导数解决不等式问题 一、选择题 1.(2017·豫南九校联考)已知 f′(x)是定义在 R 上的连续函数 f(x)的导函数,满足 f′(x)- 2f(x)<0,且 f(-1)=0,则 f(x)>0 的解集为( A.(-∞,-1) C.(-∞,0) A [设 g(x)= ) 5,6,10 2,3,4,7,9,13 1,8,11,12,14 B.(-1,1) D.(-1,+∞) f x e 2x ,则 g′(x)= f x -2f x e 2x <0 在 R 上恒成立,所以 g(x)在 R 上递减,又因为 g(-1)=0,f(x)>0?g(x)>0,所以 x<-1.] e 2.(2017·郑州第三次质量预测)设函数 f(x)满足 2x f(x)+x f′(x)=e ,f(2)= ,则 x∈[2, 8 2 3 2 x +∞)时,f(x)的最小值为( ) 【导学号:07804116】 A. D e 2 2 3e B. 2 2 e C. 4 2 e D. 8 2 e -2x f 2 3 x [对于等式 2x f(x)+x f′(x)=e , 因为 x>0, 故此等式可化为 f′(x)= 3 x 2 x x , 且 f′(2)= e -8f 8 e x 2 = 0. 令 g(x) = e - 2x f(x) , g(2) = 0.g′(x) = e - 2[2xf(x) + e x x 2 x x2f′(x)]=ex-2 = (x-2).当 x≥2 时,g′(x)≥0,g(x)单调递增,故 gmin(x)=g(2) x x =0, 因此当 x≥2 时, g(x)≥0 恒成立. 因为 f′(x)= g x , 所以 f′(x)≥0 恒成立. 因 x3 2 e 此 f(x)在[2,+∞)上单调递增,f(x)的最小值为 f(2)= .故选 D.] 8 e ?2 ? 3.(2017·安庆模拟)已知函数 f(x)= 2-k? +ln x?,若 x=2 是函数 f(x)的唯一一个极值点, x x ?x ? 则实数 k 的取值范围为( A.(-∞,e] C.(-∞,e) ) B.[0,e] D.[0,e) x e -2xe ? 2 1? A [f′(x)= -k?- 2+ ?= x4 ? x x? 则 g′(x)= 2 x x x- x2 ?e -k? ?x ? ? ? x e (x>0).设 g(x)= , x x x- x2 x ,则 g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. x e ∴g(x)在(0,+∞)上有最小值,为 g(1)=e, 结合 g(x)= 与 y=k 的图象可知,要满足 x 题意,只需 k≤e,选 A.] 4. (2017·金华十校联考)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 有两个极值点 x1, x2.若 f(x1)=x1<x2, 则关于 x 的方程 3(f(x)) +2af(x)+b=0 的不同实根个数为( A.3 A B.4 C.5 2 2 3 2 ) D.6 2 [f′(x)=3x +2ax+b,原题等价于方程 3x +2ax+b=0 有两个不等实数根 x1,x2,且 x1<x2,x∈(-∞,x1)时,f′(x)>0,f

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