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2016年宁波市海曙区中考数学一模试卷含答案解析(word版)


浙江省宁波市海曙区 2016 年中考数学一模试卷 (解析版)
(满分 120 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 48 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) 1.实数﹣2016 的绝对值是( ) A.2016 B.﹣2016 C.±2016 D. 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数,可得答案. 【解答】解:﹣2016 的绝对值是|﹣2016|=2016, 故选:A. 【点评】本题考查了实数的性质,利用了负数的绝对值它的相反数是解题关键. 2.下列各式中,属于最简二次根式的是( )

A. B. C. D. 【分析】根据最简二次根式的概念进行判断即可. 【解答】解: 被开方数含分母,不属于最简二次根式,A 错误;

=2,不属于最简二次根式,B 错误; =2 ,不属于最简二次根式,C 错误;

属于最简二次根式,D 正确; 故选:D. 【点评】 本题考查的是最简二次根式的概念, 最简二次根式的概念: (1) 被开方数不含分母; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 3.人工智能 AlphaGo 因在人机大战中大胜韩国围棋手李世石九段而声名显赫.它具有自我 对弈学习能力,决战前已做了两千万局的训练(等同于一个人近千年的训练量) .此处“两千 万”用科学记数法表示为( ) 7 7 8 8 A.0.2×10 B.2×10 C.0.2×10 D.2×10 n 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时, 要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数 绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 7 【解答】解:将“两千万”用科学记数法表示为:2×10 , 故选:B n 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法. 科学记数法的表示形式为 a×10 的形式, 其中 1≤|a| <10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 4.下列运算正确的是( ) 3 3 6 2 2 4 4 4 A.a +a =a B.a a =a C. =16a ,故原题计算错误; 6 3 3 D、a ÷a =a ,故原题计算错误;

故选:B. 【点评】此题主要考查了同底数幂的除法、乘法、积的乘方,以及合并同类项,关键是掌握 各计算法则. 5.已知三角形的两边长分别为 3,4,则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是( )

A. B. C. D. 【分析】根据三角形三边关系确定出第三条边长的范围,表示在数轴上即可. 【解答】解:已知三角形的两边长分别为 3,4,则第三边长的取值范围为 4﹣3<x<4+3, 即 1<x<7, 表示在数轴上为:

故选 B 【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集,以及三角形三边关系,求出第三边的范围 是解本题的关键. 6. 下表为宁波市 2016 年 4 月上旬 10 天的日最低气温情况, 则这 10 天中日最低气温的中位 数和众数分别是( ) 温度(℃) 11 13 14 15 16 天数 1 5 2 1 1 A.14℃,14℃ B.14℃,13℃ C.13℃,13℃ D.13℃,14℃ 【分析】利用众数的定义可以确定众数在第二组,由于 10 天天气,根据表格数据可以知道 中位数是按从小到大排序,第 5 个与第 6 个数的平均数. 【解答】解:∵13 出现了 5 次,它的次数最多, ∴众数为 13. ∵共 10 天天气, ∴根据表格数据可以知道中位数=(13+13)÷2=13,即中位数为 13. 故选 C. 【点评】本题属于基础题,考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.要明确定义,一些 学生往往对这个概念掌握不清楚, 计算方法不明确而误选其它选项, 注意找中位数的时候一 定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的 数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数. 7.如图,将长方体表面展开,下列选项中错误的是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】长方体的表面展开图的特点,有四个长方形的侧面和上下两个底面组成. 【解答】解:A、是长方体平面展开图,不符合题意; B、是长方体平面展开图,不符合题意; C、有两个面重合,不是长方体平面展开图,不符合题意; D、是长方体平面展开图,不符合题意. 故选:C. 【点评】 本题考查的是长方体的展开图, 关键是要注意上下底面的长和宽是否可以围成长方 体. 8.如图,在 6×6 的正方形网格中,连结两格点 A,B,线段 AB 与网格线的交点为 M、N, 则 AM:MN:NB 为( )

A.3:5:4 B.1:3:2 C.1:4:2 D.3:6:5 【分析】 过 A 点作 AE⊥BE, 交于点 E, 连接 MC、 ND、 BE, 根据已知条件得出 MC∥ND∥BE, 再根据平行线分线段成比例即可得出答案. 【解答】解:过 A 点作 AE⊥BE,交于点 E,连接 MC、ND、BE, ∵是一个正方形, ∴MC∥ND∥BE, ∴AM:MN:NB=AC:CD:DE=1:3:2, ∴AM:MN:NB=1:3:2. 故选:B.

【点评】此题考查了平行线分线段成比例,作出辅助线,找准对应关系是解决本题的关键.

9.如图,△ ABC 中,BA=BC,BD 是三角形的角平分线,DE∥BC 交 AB 于 E,下列结论: ①∠1=∠3;②DE= AB;③S△ ADE= S△ ABC.正确的有( )

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【分析】根据等腰三角形三线合一可得∠1=∠2、BD⊥AC 且 AD=CD,由平行线性质及相 似三角形判定得∠2=∠3、△ ADE∽△ACB,继而可判断①②③. 【解答】解:∵BA=BC,BD 平分∠ABC, ∴∠1=∠2,BD⊥AC,且 AD=CD, ∵DE∥BC, ∴∠2=∠3,△ ADE∽△ACB, ∴∠1=∠3,故①正确; = = = ,即 DE= BC,故②正确;

由△ ADE∽△ACB,且

= 可得

=(

)= ,

2

即 S△ ADE= S△ ABC,故③正确; 故选:D. 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、平行线的性质及相似三角形的判定与性质,熟练 掌握等腰三角形三线合一与相似三角形的判定与性质是解题的关键. 10.定义:将一个图形 L 沿某个方向平移一段距离后,该图形在平面上留下的痕迹称之为 图形 L 在该方向的拖影.如图,四边形 ABB′A′是线段 AB 水平向右平移得到的拖影.则将 下面四个图形水平向右平移适当距离,其拖影是五边形的是( )

A. B. C. D. 【分析】将所给图形的各个顶点按平移条件找出它的对应点,顺次连接,即得到平移后的图 形. 【解答】解:只有三角形的拖影是五边形, 故选 A

【点评】本题考查了平移变换的作图知识,做题的关键是掌握平移变换的定义和性质,作各 个关键点的对应点. 11.如图,半径为 1cm 的⊙O 中,AB 为⊙O 内接正九边形的一边,点 C、D 分别在优弧与 劣弧上.则下列结论:①S 扇形 AOB= πcm ;② ④∠ADB=140°.错误的有( )
2

;③∠ACB=20°;

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【分析】由正九边形的性质求出中心角的度数,再由扇形面积公式和弧长公式、圆周角定理 以及圆内接四边形的性质即可得出①②③正确,④错误,即可得出结果. 【解答】解:∵AB 为⊙O 内接正九边形的一边, ∴∠AOB= =40°,
2

∴S 扇形 AOB=

= π (cm ) ,

的长=

= π (cm) ; ∠ACB= ∠AOB=20°;

∴①②③正确;∠ADB=180°﹣20°=160°; ∴④错误;错误的有 1 个, 故选:B. 【点评】本题考查了正九边形的性质、扇形面积公式和弧长公式、圆周角定理以及圆内接四 边形的性质;求出正九边形的性质是解决问题的关键. 12.如图,平面直角坐标系中,平行四边形 OABC 的顶点 C(3,4) ,边 OA 落在 x 正半轴 上,P 为线段 AC 上一点,过点 P 分别作 DE∥OC,FG∥OA 交平行四边形各边如图.若反 比例函数 的图象经过点 D,四边形 BCFG 的面积为 8,则 k 的值为( )

A.16 B.20 C.24 D.28 【分析】根据图形可得,△ CPF 与△ CPD 的面积相等,△ APE 与△ APG 的面积相等,四边 形 BCFG 的面积为 8,点 C(3,4) ,可以求得点 D 的坐标,从而可以求得 k 的值. 【解答】解:由图可得, 又∵S△ FCP=S△ DCP 且 S△ AEP=S△ AGP, S?ABCD,

∴S?OEPF=S?BGPD, ∵四边形 BCFG 的面积为 8, ∴S?CDEO=S?BCFG=8, 又∵点 C 的纵坐标是 4,则?CDOE 的高是 4, ∴OE=CD= , ∴点 D 的横坐标是 5, 即点 D 的坐标是(5,4) , ∴4= ,解得 k=20, 故选 B. 【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义、平行四边形的性质,解题的关键是明确题 意,找出所求问题需要的条件. 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分)

13.x 的值为 ﹣1 时,分式

无意义.

【分析】根据分母不为零分式有意义,可得答案.

【解答】解:由分式

无意义,得

x+1=0, 解得 x=﹣1, 故答案为:﹣1. 【点评】本题考查了分式有意义的条件,利用分母为零分式无意义得出方程是解题关键. 14.正五边形的一个内角的度数是 108° . 【分析】先求出正五边形的内角和,再根据正五边形的每个内角都相等,进而求出其中一个 内角的度数. 【解答】解:∵正多边形的内角和公式为: (n﹣2)×180°, ∴正五边形的内角和是: (5﹣2)×180°=540°, 则每个内角是:540÷5=108°. 【点评】 本题主要考查多边形的内角和计算公式, 以及正多边形的每个内角都相等等知识点.

15. 如图, P (12, a) 在反比例函数

图象上, PH⊥x 轴于 H, 则 tan∠POH 的值为



【分析】利用锐角三角函数的定义求解,tan∠POH 为∠POH 的对边比邻边,求出即可.

【解答】解:∵P(12,a)在反比例函数 ∴a= =5, ∵PH⊥x 轴于 H, ∴PH=5,OH=12, ∴tan∠POH= ,

图象上,

故答案为: . 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征,锐角三角函数的定义及运用:在 直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.

16.如图,已知△ ABC 是一个水平放置圆锥的主视图,AB=AC=5cm, 圆锥的侧面积为 15π cm .
2

,则

【分析】利用三视图得到圆锥的母线长 5cm,根据余弦函数的定义求出底面圆的半径,然后 利用圆锥的侧面展开图为一扇形, 这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长, 扇形的半径等于圆 锥的母线长和扇形面积公式计算此圆锥的侧面积. 【解答】解:圆锥底面圆的半径=5× =3(cm) , 所以此圆锥的侧面积= 2π35=15π(cm ) . 故答案为 15π. 【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底 面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.也考查了三视图.
2

17.如图,矩形 ABCD 中,AD=6,CD=6+

,E 为 AD 上一点,且 AE=2,点 F,H 分

别在边 AB,CD 上,四边形 EFGH 为矩形,点 G 在矩形 ABCD 的内部,则当△ BGC 为直 角三角形时,AF 的值是 2 或 4 .

【分析】如图过点 G 作 MN⊥AB 垂足为 M,交 CD 于 N,作 GK⊥BC 于 K,先证明 △ HNG≌△FAE,得到 AE=NG=2,ED=GM=4,再由△ CGK∽△GBK 得到 = ,

GK=MB=CN=2 ,由△ AEF∽△MFG,得到 = ,列出方程即可解决问题. 【解答】解:如图过点 G 作 MN⊥AB 垂足为 M,交 CD 于 N,作 GK⊥BC 于 K. ∵四边形 EFGH 是矩形, ∴GH=EF,GH∥EF,∠A=90°, ∴∠DNM+∠NMA=90°, ∴∠AMN=∠DNM=90°, ∵CD∥AB, ∴∠NHG=∠AFE, 在△ HNG 和△ FAE 中,

, ∴△HNG≌△FAE, ∴AE=NG=2,ED=GM=4, ∵四边形 NGKC、四边形 GMBK 都是矩形, ∴CK=GN=2,BK=MG=4, 当∠CGB=90°时,∵△CGK∽△GBK, ∴ = , ,

∴GK=MB=CN=2

∴DN=AM=AB﹣MB=6, ∴四边形 AMND 是正方形,设 AF=x,则 FM=6﹣x, ∵△AEF∽△MFG, ∴ = ,


2

=

∴x ﹣6x+8=0, ∴x=2 或 4. ∴AF=2 或 4. 故答案为 2 或 4

【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形得到和性质、相似三角形的判定和性质,解题的 关键是添加辅助线,构造全等三角形或相似三角形,学会转化的思想,把问题转化为方程去 思考,属于中考常考题型. 18. 已知抛物线 y=2x +bx+c 与直线 y=﹣1 只有一个公共点, 且经过 A (m﹣1, n) 和B (m+3, n) ,过点 A,B 分别作 x 轴的垂线,垂足记为 M,N,则四边形 AMNB 的周长为 22 . 【分析】根据抛物线 y=2x +bx+c 与直线 y=﹣1 只有一个公共点,可知该抛物线顶点的纵坐 标是﹣1,由 A(m﹣1,n)和 B(m+3,n) ,可得抛物线的对称轴和 AB 的长度,从而可以 得到关于 b,c 的关系式,通过转化即可求得 n 的值,从而可以求得四边形 AMNB 的周长.
2 2

【解答】解:y=2x +bx+c=
2

2



∵抛物线 y=2x +bx+c 与直线 y=﹣1 只有一个公共点,


2

,得



∵抛物线 y=2x +bx+c 经过 A(m﹣1,n)和 B(m+3,n) ,

∴该抛物线的对称轴为:直线 x= ∴b=﹣4(m+1) ,

=




2 2

=2m +4m+1,
2

2

∴y=2x +bx+c=2x ﹣4(m+1)x+2m +4m+1, 2 2 ∴n=2×(m﹣1) ﹣4(m+1) (m﹣1)+2m +4m+1=7, 即 AM=BN=7, ∵A(m﹣1,n) ,B(m+3,n) , ∴AB=(m+3)﹣(m﹣1)=4, ∴四边形 AMNB 的周长为是:AM+MN+NB+BA=7+4+7+4=22, 故答案为:22. 【点评】本题考查二次函数的性质,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利 用数形结合的思想解答. 三、解答题(第 19 题 6 分,第 20、21 题每题 8 分,第 22、23、24 题每题 10 分,第 25 题 12 分,第 26 题 14 分,共 78 分)

19.先化简,后求值:

,其中 x=3.

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把 x 的值代入进行计算即可.

【解答】解:原式=

=

=



当 x=3 时,原式= . 【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键. 20.已知关于 x 的方程 x ﹣5x+3a+3=0 (1)若 a=1,请你解这个方程; (2)若方程有两个不相等的实数根,求 a 的取值范围. 【分析】 (1)把 a=1 代入原方程,然后利用因式分解法解方程即可; (2)根据方程两个不相等的实数根,得到根的判别式△ >0,列出 a 的不等式即可. 2 【解答】解: (1)当 a=1 时,x ﹣5x+6=0, (x﹣2) (x﹣3)=0, ∴x1=2,x2=3; (2)∵方程有两个不相等的实数根, 2 ∴△=(﹣5) ﹣4(3a+3)>0, 解得 a< . 【点评】 本题主要考查了根的判别式的知识, 解答本题的关键是熟练掌握根的判别式与根数 量之间的关系,此题难度不大. 21.在一个箱子里放有 1 个白球和 2 个红球,它们除颜色外其余都相同. (1)判断下列甲乙两人的说法,认为对的在后面括号内答“√”,错的打“×”. 甲:“从箱子里摸出一个球是白球或者红球”这一事件是必然事件 √ ; 乙:从箱子里摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀,这样连续操作三次,其中必有一次摸到 的是白球 × ; (2)小明说:从箱子里摸出一个球,不放回,再摸出一个球,则“摸出的球中有白球”这一 事件的概率为 ,你认同吗?请画树状图或列表计算说明. 【分析】 (1)由必然事件与随机事件的定义,即可求得答案; (2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的球中有白球 的情况,再利用概率公式即可求得答案. 【解答】解: (1)甲:“从箱子里摸出一个球是白球或者红球”这一事件是必然事件.√ 乙:从箱子里摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀,这样连续操作三次,其中必有一次摸到 的是白球.× 故答案为:√;×; (2)不认同. 画树状图得:
2

∵共有 6 种等可能的结果,摸出的球中有白球的有 2 种情况, ∴P(摸出的球中有白球)= . 故不认同. 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情 况数之比. 22.李克强总理连续三年把“全民阅读”写入《政府工作报告》 ,足以说明阅读的重要性.某 校为了解学生最喜爱的书籍的类型, 随机抽取了部分学生进行调查, 并绘制了如下的条形统 计图(部分信息未给出) .已知,这些学生中有 15%的人喜欢漫画,喜欢小说名著的人数是 喜欢童话的 ,请完成下列问题: (1)求本次抽取的学生人数; (2)喜欢小说名著、喜欢童话故事的学生各有多少人?并补全条形统计图; (3)全校共有 2100 名学生,请估计最喜欢“小说名著”的人数有多少?

【分析】 (1)根据漫画的人数和所占的百分比即可求出总人数; (2)先求出喜欢小说名著和童话故事的总人数,再根据喜欢小说名著的人数是喜欢童话的 ,分别求出喜欢小说的人数和喜欢童话的人数,从而补全统计图; (3)用全校的总人数乘以最喜欢“小说名著”的人数所占的百分比,即可得出答案. 【解答】解: (1)根据题意得: 9÷15%=60(人) . 答:本次抽取的学生人数是 60 人; (2)喜欢小说名著和童话故事的人数是:60﹣9﹣12=36(人) , 喜欢小说的人数是:36× 喜欢童话的人数是:36× =15(人) , =21(人) ,

补图如下:

(3)根据题意得: 2100× =525(人) . 答:最喜欢“小说名著”的人数有 525 人. 【点评】本题考查的是条形统计图和,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题 的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.

23.如图,⊙O 中,点 A 为

中点,BD 为直径,过 A 作 AP∥BC 交 DB 的延长线于点 P.

(1)求证:PA 是⊙O 的切线; (2)若 ,AB=6,求 sin∠ABD 的值.

【分析】 (1)根据垂径定理得出 AO⊥BC,进而根据平行线的性质得出 AP⊥AO,即可证得 结论; (2)根据垂径定理得出 BE=2 ,在 RT△ ABE 中,利用锐角三角函数关系得出

sin∠BAO=

,再根据等腰三角形的性质得出∠ABD=∠BAO,即可求得求

sin∠ABD=sin∠BAO= . 【解答】 (1)证明:连结 AO,交 BC 于点 E. ∵点 A 是 的中点

∴AO⊥BC, 又∵AP∥BC, ∴AP⊥AO,

∴AP 是⊙O 的切线; (2)解:∵AO⊥BC, ∴ 又∵AB=6 ∴ ∵OA=OB ∴∠ABD=∠BAO, ∴ . , ,



【点评】此题主要考查了切线的判定,垂径定理的应用,等腰三角形的性质以及锐角三角函 数关系,正确转化角度得出 是解题关键.

24.张师傅驾车从甲地去乙地,途中在加油站加了一次油,加油时,车载电脑显示还能行驶 50 千米.假设加油前、后汽车都以 100 千米/小时的速度匀速行驶,已知油箱中剩余油量 y (升)与行驶时间 t(小时)之间的关系如图所示. (1)求张师傅加油前油箱剩余油量 y(升)与行驶时间 t(小时)之间的关系式; (2)求出 a 的值; (3)求张师傅途中加油多少升?

【分析】 (1)直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案; (2)首先求出 y=0 时,t 的值,进而得出 a 的值; (3)根据汽车的耗油量以及剩余油量和加油量之间关系得出等式求出答案. 【解答】解: (1)设加油前函数解析式为 y=kt+b(k≠0) , 把(0,28)和(1,20)代入,





解得:



故张师傅加油前油箱剩余油量 y(升)与行驶时间 t(小时)之间的关系式为:y=﹣8t+28; (2)当 y=0 时,﹣8t+28=0, 解得:t= , 故 a= ﹣ =3;

(3)设途中加油 x 升,则 28+x﹣34=8× , 解得:x=46, 答:张师傅途中加油 46 升. 【点评】此题主要考查了一次函数的应用,正确求出一次函数解析式是解题关键. 25.定义:有一个内角为 90°,且对角线相等的四边形称为准矩形.

(1)①如图 1,准矩形 ABCD 中,∠ABC=90°,若 AB=2,BC=3,则 BD=



②如图 2,直角坐标系中,A(0,3) ,B(5,0) ,若整点 P 使得四边形 AOBP 是准矩形, 则点 P 的坐标是 (5,3) , (3,5) ; (整点指横坐标、纵坐标都为整数的点) (2)如图 3,正方形 ABCD 中,点 E、F 分别是边 AD、AB 上的点,且 CF⊥BE,求证: 四边形 BCEF 是准矩形; (3)已知,准矩形 ABCD 中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,AB=2,当△ ADC 为等腰三角形 时,请直接写出这个准矩形的面积是 + , + ,2 .

【分析】 (1)利用准矩形的定义和勾股定理计算,再根据准矩形的特点和整点的特点求出即 可; (2)先利用正方形的性质判断出△ ABE≌△BCF,即可; (2)分三种情况分别计算,用到梯形面积公式,对角线面积公式,对角线互相垂直的四边 形的面积计算方法. 【解答】解: (1)①∵∠ABC=90, ∴BD= 故答案为 , = = ,

②∵A(0,3) ,B(5,0) , ∴AB= =6,

设点 P(m,n) ,A(0,0) , ∴OP= =6,

∵m,n 都为整数, ∴点 P(3,5)或(5,3) ; 故答案为 P(3,5)或(5,3) ; (2)∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=BC∠A=∠ABC=90°, ∴∠EAF+∠EBC=90°, ∵BE⊥CF, ∴∠EBC+∠BCF=90°, ∴∠EBF=∠BCF, ∴△ABE≌△BCF, ∴BE=CF, ∴四边形 BCEF 是准矩形; (3) , ,

∵∠ABC=90°,∠BAC=60°,AB=2, ∴BC=2 ,AC=4,

准矩形 ABCD 中,BD=AC=4, ①当 AC=AD 时,如图 1,作 DE⊥AB,

∴AE=BE AB=1, ∴DE= = = ,

∴S 准矩形 ABCD=S△ ADE+S 梯形 BCDE = DE×AE+ (BC+DE)×BE = × = + + (2 ; + )×1

②当 AC=CD 时,如图 2,

作 DF⊥BC, ∴BD=CD, ∴BF=CF= BC= ∴DF= , = = ,

∴S 准矩形 ABCD=S△ DCF+S 梯形 ABFD = FC×DF+ (AB+DF)×BF = × = + × ; + (2+ )×

③当 AD=CD,如图 3,

连接 AC 中点和 D 并延长,连接 BG,过 B 作 BH⊥DG, ∴BD= AC=4, ∴AG= AC=2, ∵AB=2, ∴AB=AG, ∵∠BAC=60°, ∴∠ABG=60°, ∴∠CBG=30° 在 Rt△ BHG 中,BG=2,∠BGH=30°, ∴BH=1, 在 Rt△ BHM 中,BH=1,∠CBH=30°, ∴BM= ,HM= ,

∴CM= , 在 Rt△ DHB 中,BH=1,BD=4, ∴DH= ,∴DM=DH﹣MH= ∴S 准矩形 ABCD=S△ DCF+S 四边形 AMCD = BM×AB+ AC×DM = × =2 ; + , + ,2 . ×2+ ×4×( ﹣ ) ﹣ ,

故答案为

【点评】此题是四边形综合题,主要考查了新定义,勾股定理,梯形面积公式,对角线面积 公式,三角形面积公式,分情况计算是解本题的难点. 26.如图,平面直角坐标系中,O 为菱形 ABCD 的对称中心,已知 C(2,0) ,D(0,﹣1) , N 为线段 CD 上一点(不与 C、D 重合) . (1)求以 C 为顶点,且经过点 D 的抛物线解析式; (2)设 N 关于 BD 的对称点为 N1,N 关于 BC 的对称点为 N2,求证:△ N1BN2∽△ABC; (3)求(2)中 N1N2 的最小值; (4)过点 N 作 y 轴的平行线交(1)中的抛物线于点 P,点 Q 为直线 AB 上的一个动点, 且∠PQA=∠BAC,求当 PQ 最小时点 Q 坐标.

【分析】 (1)用待定系数法求,即可; (2)由对称的特点得出∠N1BN2=2∠DBC 结合菱形的性质即可; (3)先判定出,当 BN⊥CD 时,BN 最短,再利用△ ABC∽△N1BN2 得到比例式,求解, 即可; (4)先建立 PE= m ﹣ m+2 函数解析式,根据抛物线的特点确定出最小值. 【解答】解: (1)由已知,设抛物线解析式为 y=a(x﹣2) 把 D(0,﹣1)代入,得 a=﹣ ∴y=﹣ (x﹣2)
2 2 2

(2)如图 1,连结 BN.

∵N1,N2 是 N 的对称点 ∴BN1=BN2=BN,∠N1BD=∠NBD,∠NBC=∠N2BC ∴∠N1BN2=2∠DBC ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AB=BC,∠ABC=2∠DBC

∴∠ABC=∠N1BN2, ∴△ABC∽△N1BN2 (3)∵点 N 是 CD 上的动点, ∴点到直线的距离,垂线段最短, ∴当 BN⊥CD 时,BN 最短. ∵C(2,0) ,D(0,﹣1) ∴CD= ,

∴BNmin= ∴BN1min=BNmin=

= ,



∵△ABC∽△N1BN2

∴ N1N2min= , (4)如图 2,



过点 P 作 PE⊥x 轴,交 AB 于点 E. ∵∠PQA=∠BAC ∴PQ1∥AC ∵菱形 ABCD 中,C(2,0) ,D(0,﹣1) ∴A(﹣2,0) ,B(0,1) ∴lAB:Y= x+1 不妨设 P(m,﹣ (m﹣2) ) ,则 E(m, ∴PE= m ﹣ m+2 ∴当 m=1 时,
2 2

m+1)

此时,PQ1 最小,最小值为

= ,

∴PQ1=PQ2= . 【点评】此题是二次函数综合题,涉及到菱形的性质,待定系数法求解析式,相似三角形的 性质和判定,对称的特点,解本题的关键是判断出达到极值是的位置.


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