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商艳慧数学归纳法(2)


2.3.2 数学归纳法应用举例

多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示

数学归纳法:是一种证明与自然数有关的数学命题的重 要方法.对于用不完全归纳法得到的某些与自然数有关的 数学命题或猜想,可尝试采用数学归纳法来证明它们的正 确性: (1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时结论正确;
找准起点,奠基要稳

r />(2)假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时结论正确,证明当 n=k+1时结论也正确.

用上假设,递推才真

在完成了这两个步骤以后,就可以断定这个命题 或猜想对于从n0开始的所有正整数n都正确.
写明结论 才算完整

注:“观察、猜想、证明”是解决许多问题的有效途径.

练习1.用数学归纳法证明:
1 ?2 ?3 ?
2 2 2

n(n ? 1)(2n ? 1) ?n ? 6
2

证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1, 等式成立; (2)假设当n=k时,等式成立,即
1 ?2 ?3 ?
2 2 2

k (k ? 1)(2k ? 1) ?k ? 6
2

那么
1 ?2 ?3 ?
2 2 2

k (k ? 1)(2k ? 1) ? k ? (k ? 1) ? ? ( k ? 1) 2 6
2 2

k (k ? 1)(2k ? 1) ? 6(k ? 1) 2 (k ? 1)(2k 2 ? 7k ? 6) ? ? 6 6 (k ? 1)((k ? 2)(2k ? 3) (k ? 1)[(k ? 1) ? 1][2(k ? 1) ? 1] ? ? 6 6

这就是说,当n=k+1时,等式也成立, 由(1)和(2)可以断定,等式对任何 n∈N+都成立。

随堂练习: 1.用数学归纳法证明等式 1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,
当n=1时,左边所得项是

1+2+3
n? 2



1+2+3+4+5 当n=2时,左边所得项是__________________.
2.用数学归纳法证明:

1? a ? a ?
2

a

n?1

在验证n=1成立时,左边所得项为( C ) 2+a3 2 (D)1+ a + a (B)1 +a (C)1+ a + a (A)1

1? a * ? (n ? N , a ? 1) 1? a

练习、 求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n? 1? 3?… ?(2n-1)
证明: ① n=1时:左边=1+1=2,右边=21?1=2,左边=右边,等式成立 ? ② 假设当n=k((k∈N )时有: (k+1)(k+2)…(k+k)=2k? 1? 3?…? (2n-1), 当n=k+1时: 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)?
(2k+1)(2k+2) k+1

= 2k? 1? 3?…?(2k-1)(2k+1)?2 = 2k+1?1? 3?…? (2k-1) ?[2(k+1)-1]=右边, ∴当n=k+1时等式也成立。 ? 由 ①、②可知,对一切n∈N ,原等式均成立。

1 1 1 2.已知f (n) ? ? ? ... ? n ?1 n ? 2 3n ? 1 则f (k ? 1) ? f (k ) ?
1 1 1 1 答案: ? ? ? 3K ? 2 3K ? 3 3K ? 4 K ? 1

在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k) 的式子写出来,尤其是f(k+1)中的最后一项.除 此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清 楚.
?

例1.证明:平面上n个圆最多把平面分成 n2-n+2个区域。 证明:(1)一个圆将平面分成2个区域, 而当n=1时,n2-n+2=2,因此结论当n=1 时成立; (2)假设当n=k时,结论成立,即k个圆最 多把平面分成k2-k+2个区域。 在此基础上,为使区域最多,应使新增 加的圆与前k个圆都交于两点,于是新增2k 个交点,

这2k个交点将新圆分成2k段弧,这2k段弧 将所经过的区域一分为二,因此新增2k个区 域,这样k+1个圆最多把平面分成 (k2-k+2) +2k=(k+1)2-(k+1)+2个区域, 这就是说,当n=k+1时,结论也正确, 由(1)和(2)可以断定,结论对任何 n∈N+都正确。

练习 平面内有 n(n∈ N+ )条直线,其中任何两条不 平行,任何三条不共点,求证:这 n 条直线把平面 n2+n+2 分成 f(n)= 个部分. 2

证明:(1)当 n=1 时,一条直线把平面分成两部分, 2 1 +1+2 而 f(1)= =2,∴命题成立. 2 (2)假设当 n=k(k≥1)时命题成立,即 k 条直线把平 k2+k+2 面分成 f(k)= 个部分. 2

则当n=k+1时,即增加一条直线l,因为任何两条 直线不平行,所以l与k条直线都相交,有k个交点; 又因为任何三条直线不共点,所以这k个交点不同 于k条直线的交点,且k个交点也互不相同,如此k 个交点把直线 l 分成 k + 1 段,每一段把它所在的平 面区 域 分为 两 部分 , 故新增 加了 k + 1 个平面 部 分.

∴f(k+1)=f(k)+k+1 k2+k+2 = +k+1 2 k2+k+2+2k+2 = 2 ?k+1?2+?k+1?+2 = . 2 ∴当 n=k+1 时命题也成立. 由(1)(2)可知当 n∈N+时,命题成立.

例2.求证:当n≥5时,2n>n2,
证明:(1)当n=5时,25=32,52=25,因 此25>52,即n=5时,结论正确; (2)假设当n=k(k≥5)时,这个命题是正 确的,那么由2k>k2得 当n=k+1时
2
k ?1
2 2 2 ≥ k ? 5 k ? k ? 2 k ? 1 ? ( k ? 1) ? 2? 2 ? 2? k

k

2

这就是说,当n=k+1时,命题也是正确的 . 由(1)和(2)可以断定,这个命题对 于所有大于或等于5的正整数n都正确。

3.求证:

1 3 1 5 证:(1)当n=1时,左边= 1 ? 2 ? ,右边= 2 ? 2 ? 2 ,由于 2 4 5 3 ? ,故不等式成立. 4 2

1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2 ? ( n ? N , n ≥ 2). 2 3 n n

(2)假设n=k( k ? N , k ≥ 2)时命题成立,即
1 1 1 1 1? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 ? . 2 3 k k

1 1 1 1 1 1 1 1 2? ? ? 2? ? ? 2? ? ( ? ) ? 2? . 2 k (k ? 1) k k (k ? 1) k k k ?1 k ?1 即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)原不等式对一切 n ? N , n ≥ 2都成立.

1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? 2? ? 2 2 3 k ( k ? 1) k ( k ? 1)2

则当n=k+1时,

练习.求证:凸n边形的对角线的条数为
n(n ? 3) f ( n) ? , (n ≥ 4) 2

证明:(1)当n=4时,四边形的对角线 有2条,f(4)=2,所以对于n=2,命题成立. (2)设凸k边形的对角线的条数为
k (k ? 3) f (k ) ? , (k ≥ 4) 2

当n=k+1时,k+1边形比k边形多了一个顶点 ,


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