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选修1-1圆锥曲线专题复习


※高二文科班数学课堂学习单 73※ 班级 姓名 小组 (二)圆锥曲线专题复习(二) 一,学习目标: 1、 全面掌握圆锥曲线的知识要点 2、 能解解决圆锥曲线的相关问题 二,自学导航:

◇知识归纳:
一、圆锥曲线的定义: 1.椭圆的定义:平面内与两个定点 F1,F2 的距离 轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 等于常数(大于|F1F2|)的点的

,两焦点间的距离叫做椭圆的

距离和等于|F1F2|时, 动点的轨迹就是 ; 距离和小于|F1F2|时, 动点轨迹 . 2. 双曲线的定义: 平面内与两定点 F1, F2 的距离的 等于常数(小于|F1F2|) 的点的轨迹叫双曲线, 这两个定点叫做双曲线的 (1)定义中常数等于|F1F2|,动点的轨迹是以 (2)如果定义中常数为 0,此时动点轨迹为 (3)如果定义中常数大于|F1F2|,此时动点轨迹 (4)在定义中, 如果将“差的绝对值”改为“差”, 那么点的轨迹是 3.抛物线的定义:平面内与一定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离 迹叫做抛物线,点 F 叫做抛物线的 ,直线 l 叫做抛物线的 . 建立等式 设 进行分类 , 两焦点间的距离叫做双曲线的 . . . . . 的点的轨 .

特别强调:凡涉及圆锥曲线上的点与曲线焦点距离的问题,均可考虑 二、求圆锥曲线的方程 1.求标准方程时,要“先定型,再定量”,即要先判断 位置,再用 出适合题意的标准方程,最后由条件确定待定系数即可. 2.当所求曲线的焦点位置不能确定时,应按焦点在 和焦点 讨论,但要注意参数满足的条件,椭圆: ;双曲线:

;抛物线:

3.当已知椭圆、双曲线经过两点,求标准方程时,把方程设成 的形式,有两个优点:①列出的方程组中分母不含字母;②不用讨论焦点所在的位置,从而 简化求解过程. 4.(1)双曲线的渐近线为 Ax+By=0 时,可设双曲线方程为 x2 y2 (2)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)有共同焦点的双曲线的方程可设为 a b 5.焦点在 x 轴上的抛物线方程可统一设为 物线方程可统一设为 三、求点的轨迹方程的方法: 直接法:建、设、现(限) 、代、化; 定义法:分析几何图形所揭示的几何关系,判断动点的轨迹是圆锥曲线,然后根据题中 条件求出参数 a、b、p 的值,直接由标准方程写出即可; . ,焦点在 y 轴上的抛

1

相关点法:已知 P 的轨迹方程,求 M 的轨迹方程的步骤是先设出点 P 和 M 的坐标,根 据条件写出 P 点与 M 点的坐标之间的关系,然后用 M 点的坐标表示 P 点的坐标,并代入 P 点的坐标所满足的方程,整理即得 M 的轨迹方程.动点 M 与曲线上的点 P 称为相关点。 四、焦点三角形 1.由 2.利用 在解焦点三角形的有关问题时,一般地利用两个关系式: 可得|PF1|,|PF2|的关系式; 得|PF1|,|PF2|的关系式,然后求解得|PF1|,|PF2|,有时

也根据需要,把|PF1|+|PF2|,|PF1|-|PF2|,|PF1|· |PF2|等看成一个整体来处理. 五、离心率

b c 1.椭圆:e= = 1- 2 ,离心率越 a a b c 双曲线:e= = 1 ? 2 ,离心率越 a a 抛物线:e=1,p 越小,则开口 2.求椭圆离心率常用的有两种方法:
(1)求出 a,c,再求比.
2

2

,则椭圆越扁;越 ,则开口越小;越 ;p 越大,则开口 。

,则椭圆越圆。 ,则开口越大。

c (2)列出含有 a,c 的齐次方程,再利用 e= 转化为关于 e 的方程,解方程即可,此时要 a 注意:椭圆:0<e<1;双曲线:e>1;抛物线:e=1 六、直线与圆锥曲线的位置关系 x2 y2 1.直线 y=kx+m 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的位置关系,判断方法: a b y=kx+m, ? ? 2 2 联立?x y ∴消 y 得一元二次方程. ? ?a2+b2=1, 当 当 当 时,方程有 时,方程有 时,方程 ,直线与椭圆相交; ,直线与椭圆相切; ,直线与椭圆相离.

x2 y2 2.直线 l:y=kx+m(m≠0)①与双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)②的位置关系 a b 把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. (1)当 (2)当 b =0, 即 k=± 时, 直线 l 与 a b ≠0,即 k≠± 时, a 当 当 当 时,直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与双曲线 时,直线与双曲线有一个公共点,此时称直线与双曲线 时,直线与双曲线没有公共点,此时称直线与双曲线 ; ; . 平行, 直线与双曲线 C 相交于 点.

2

3.直线 l:y=kx+m,与抛物线 y2=2px(p>0),的位置关系 联立方程,整理成关于 x 的方程:k2x2+2(km-p)x+m2=0 (1)若 k=0,有 个交点,直线平行于抛物线的 或与抛物线的 重合.

(2)若 k≠0,当 Δ>0 时,直线与抛物线 当 Δ=0 时,直线与抛物线 当 Δ<0 时,直线与抛物线

,有两个交点; ,有一个交点; ,无公共点; . ,

七、弦长,当直线与圆锥曲线有两个公共点时,两交点间的距离,称为 (1)求弦长的方法:将 然后运用根与系数的关系,再求弦长。 斜率为 k(k≠0)的直线与圆锥曲线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|=|x1-x2|· 1+k2= 1 =|y1-y2|· 1+ 2= k 八、 在处理 间的关系,即: 有关的问题时, 常采用“点差法”, 建立了 联立,得到关于 x 的



x2 y2 如: ,直线与椭圆 2+ 2=1 其交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),且弦 AB 的中点为 M(x,y),则 a b

? ?x y ?a +b =1,
2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 + =1, a2 b2


2 2 2 2 ①-②:a2(y2 1-y2)+b (x1-x2)=0,

② 点差法在双曲线与抛物线中同样可以使用

y1-y2 b2 x1+x2 b2 x ∴k= =- 2· =- 2·. a y1+y2 a y x1-x2 九、抛物线的焦半径 抛物线上一点与焦点 F 的连线的线段叫做 得弦叫做

,过焦点的直线与抛物线相交所

,焦点弦与对称轴垂直时称谓通径,长为

。若 P(x0,y0)是
x2=-2py(p>0) |PF|=____ |AB|=____

抛物线上任意一点,焦点弦的端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),根据上述定义,完成以下表格。 标准方程 焦半径|PF| 焦点弦|AB| 十、其他 1.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它的渐近线是 y=± x. 离心率是 x2 y2 2.已知方程 + =1 当 m=n>0 时表示圆;当 m>n>0 或 n>m>0 时表示椭圆;当 mn<0 m n 时表示双曲线. y2=2px(p>0) |PF|=__ __ y2=-2px(p>0) |PF|=____ |AB|=____ x2=2py(p>0) |PF|=____ |AB|=____

|AB|=____

3

◇基础演练:
1 曲线
2 x 2 ? y ?1与曲线 25 9 2 x 2 ? y ?1 (0 <k<9) 25 ? k 9 ? k

具有(



A、相等的长、短轴 C、相等的离心率

B、相等的焦距 D、相同的准线
2 2

2、若 k 可以取任意实数,则方程 x +ky =1 所表示的曲线不可能是( ) A.直线 B.圆 C.椭圆或双曲线 D.抛物线 2 3、如果抛物线 y = ax 的准线是直线 x=-1,那么它的焦点坐标为( ) A. (1, 0) B. (2, 0) C. (3, 0) D. (-1, 0) 4 、 平 面 内 过 点 A ( -2 , 0 ) , 且 与 直 线 x=2 相 切 的 动 圆 圆 心 的 轨 迹 方 程 是 ( ) 2 2 2 2 A. y =-2x B. y =-4x C.y =-8x D.y =-16x 5、双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率 为 ( ) A. 3 B.

6 2

C.

6 3

D.

3 3


x2 2 6、过点 P(2,-2)且与 -y =1 有相同渐近线的双曲线方程是( 2
A.

y2 x2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 2 4 4 2 4 2 2 4
2

7、抛物线 y ? A、 (1,0)

1 x 关于直线 x ? y ? 0 对称的抛物线的焦点坐标是( 4 1 1 B、 ( ,0) C、 (0,0) D、 (0, ) 16 16



8、中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率 e ? 3 ,一条准线方程为 3x ? 6 ? 0 的双 曲线方程是 (A) ( (B) )

x2 y 2 ? ?1 3 4
2

y 2 x2 x2 y 2 ? ? 1 (C) ? ?1 5 3 2 4

(D)

y 2 x2 ? ?1 4 2

9、过抛物线 y =4x 的焦点作直线,交抛物线于 A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果 x1+ x2=6,那么|AB|= ( ) A.8 B.10 C.6 D.4

4

10、若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ?
2

y2 ? 1的离心率是为 m

◇能力提升:
x y 1、求椭圆 + =1(x?0,y?0)与直线 x-y-5=0 的距离的最小值。 9 4
2 2

2.椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A、B,C 是 AB 的中点,若|AB|=2 2,OC 的斜率为 2 ,求椭圆的方程. 2

3.(本小题满分 12 分)已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列且它们有一 个公共的焦点(4,0),其中双曲线的一条渐近线方程为 y= 3x,求三条曲线的标准方程

5

4、设双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 上两点 A、B,AB 中点 M(1,2) 2

(1)求直线 AB 方程;

(2)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 是否共圆, 为什么?

5.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,平 行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) , l 交椭圆于 A、B 两个不同点。 (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围;

6

◇课外练习:
1. 椭圆
x2 y2 点 P 在椭圆上, 如果线段 PF1 中点在 y 轴上, 那么|PF1| ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2, 12 3 是|PF2|的 ( ) A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点, 过F 1 且垂直于 x 轴 a 2 b2 的直线与双曲线交于 A , B 两点,若 ?ABF2 是钝角三角形,则该双曲线离心率 的取值
2. 已知点 F F2 分别是双曲线 1, 范围是( ) B. ( 3 ? 1, ??) ) C、钝角三角形 D、等腰三角形 C. (1 ? 2, ??) D. (1,1 ? 2) A. ( 2 ?1, ??)

3、已知双曲线 和椭圆 以 a、b、m 为边长的三角形是( A、锐角三角形 4、抛物线的焦点为椭圆

(a>0, m>b>0)的离心率互为倒数,那么

B、直角三角形

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程 9 4

为 . 5、 动点到直线 x=6 的距离是它到点 A(1,0)的距离的 2 倍,求动点的轨迹方程。

6,根据下列条件, 求双曲线方程。 (1)与双曲线 (2)与双曲线

x 2 y2 ? ? 1 有共同渐近线, 2 3) 且过点 (-3, ; 9 16

x 2 y2 ? ? 1 有公共焦点,且过点( 3 2 ,2) 。 16 4

7

x2 y2 7. P 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上且位于第一象限的一点,F 是椭圆的右焦点,O 是椭圆中心, a b a2 B 是椭圆的上顶点, H 是直线 x=- (c 为椭圆的半焦距)与 x 轴的交点, 若 PF⊥OF, HB∥OP, c 试求椭圆的离心率 e.

◇选作题:
椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,右顶点为 A,P 为椭圆 C 上任 → → 意一点,已知PF1· PF2的最大值为 3,最小值为 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 M、N 两点(M,N 不是左右顶点),且以线段 MN 为直径的圆过点 A,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标

x2 y2 a b

8

※高二文科班数学课堂学习单 73※ 班级 姓名 小组 (二)圆锥曲线专题复习(二) 一,学习目标: 2、 全面掌握圆锥曲线的知识要点 2、 能解解决圆锥曲线的相关问题 二,自学导航:

◇知识归纳:
一、圆锥曲线的定义: 1.椭圆的定义:平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 距离和等于|F1F2|时, 动点的轨迹就是线段 F1F2; 距离和小于|F1F2|时, 动点轨迹不存在. 2.双曲线的定义:平面内与两定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|) 的点的轨迹叫双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. (1)定义中常数等于|F1F2|,动点的轨迹是以 F1,F2 为端点的两条射线(包括端点). (2)如果定义中常数为 0,此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线. (3)如果定义中常数大于|F1F2|,此时动点轨迹不存在. (4)在定义中,如果将“差的绝对值”改为“差”,那么点的轨迹是双曲线的一支 3.抛物线的定义:平面内与一定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨 迹叫做抛物线,点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. 特别强调:凡涉及圆锥曲线上的点与曲线焦点距离的问题,均可考虑定义建立等式 二、求圆锥曲线的方程 1.求标准方程时,要“先定型,再定量”,即要先判断焦点位置,再用待定系数法设 出适合题意的标准方程,最后由条件确定待定系数即可. 2.当所求曲线的焦点位置不能确定时,应按焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上进行分类讨 论,但要注意参数满足的条件,椭圆:a>b>0;双曲线:a>0,b>0;抛物线:p>0 3.当已知椭圆、 双曲线经过两点,求标准方程时, 把方程设成 mx2+ny2=1(m>0,n>0, m≠n)的形式, 有两个优点: ①列出的方程组中分母不含字母; ②不用讨论焦点所在的位置, 从而简化求解过程. 4.(1)双曲线的渐近线为 Ax+By=0 时,可设双曲线方程为 Ax2-By2=λ(λ≠0) x2 y2 x2 y2 (2)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)有共同焦点的双曲线的方程可设为 2- 2=λ(λ≠0) a b a b 5.焦点在 x 轴上的抛物线方程可统一设为 y2=ax(a≠0),焦点在 y 轴上的抛物线方程 可统一设为 x2=ay(a≠0). 三、求点的轨迹方程的方法: 直接法:建、设、现(限) 、代、化; 定义法:分析几何图形所揭示的几何关系,判断动点的轨迹是圆锥曲线,然后根据题中 条件求出参数 a、b、p 的值,直接由标准方程写出即可;
9

相关点法:已知 P 的轨迹方程,求 M 的轨迹方程的步骤是先设出点 P 和 M 的坐标,根 据条件写出 P 点与 M 点的坐标之间的关系,然后用 M 点的坐标表示 P 点的坐标,并代入 P 点的坐标所满足的方程,整理即得 M 的轨迹方程.动点 M 与曲线上的点 P 称为相关点。 四、焦点三角形 在解焦点三角形的有关问题时,一般地利用两个关系式:

1.由圆锥曲线的定义可得|PF1|,|PF2|的关系式; 2.利用正余弦定理或勾股定理可得|PF1|,|PF2|的关系式,然后求解得|PF1|,|PF2|,有 时也根据需要,把|PF1|+|PF2|,|PF1|-|PF2|,|PF1|· |PF2|等看成一个整体来处理. 五、离心率

b c 1.椭圆:e= = 1- 2 ,离心率越接近于 1,则椭圆越扁;越接近于 0,则椭圆越圆。 a a b c 双曲线:e= = 1 ? 2 ,离心率越接近于 1,则开口越小;越大,则开口越大。 a a
抛物线:e=1,p 越小,则开口越小;p 越大,则开口越大。 2.求椭圆离心率常用的有两种方法: (1)求出 a,c,再求比. c (2)列出含有 a,c 的齐次方程,再利用 e= 转化为关于 e 的方程,解方程即可,此时要 a 注意:椭圆:0<e<1;双曲线:e>1;抛物线:e=1 六、直线与圆锥曲线的位置关系 x2 y2 1.直线 y=kx+m 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的位置关系,判断方法: a b y=kx+m, ? ? 2 2 联立?x y ∴消 y 得一元二次方程. 2+ 2=1, ? ?a b 当 Δ>0 时,方程有两解,直线与椭圆相交; 当 Δ=0 时,方程有一解,直线与椭圆相切; 当 Δ<0 时,方程无解,直线与椭圆相离. x2 y2 2.直线 l:y=kx+m(m≠0)①与双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)②的位置关系 a b 把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. b (1)当 b2-a2k2=0,即 k=± 时,直线 l 与渐近线平行,直线与双曲线 C 相交于一点. a b (2)当 b2-a2k2≠0,即 k≠± 时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). a 当 Δ>0 时,直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与双曲线相交; 当 Δ=0 时,直线与双曲线有一个公共点,此时称直线与双曲线相切;
2

2

10

当 Δ<0 时,直线与双曲线没有公共点,此时称直线与双曲线相离. 3.直线 l:y=kx+m,与抛物线 y2=2px(p>0),的位置关系 方程联立整理成关于 x 的方程:k2x2+2(km-p)x+m2=0 (1)若 k=0,有一个交点,直线平行于抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴重合. (2)若 k≠0,当 Δ>0 时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当 Δ=0 时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当 Δ<0 时,直线与抛物线相离,无公共点; 七、弦长,当直线与圆锥曲线有两个公共点时,两交点间的距离,称为弦长. (1)求弦长的方法:将直线方程与圆锥曲线方程联立,得到关于 x 的一元二次方程,然 后运用根与系数的关系,再求弦长。 斜率为 k(k≠0)的直线与圆锥曲线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|=|x1-x2|· 1+k2= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 1 =|y1-y2|· 1+ 2= k 1 ?1+ 2?[?y1+y2?2-4y1y2] k

八、在处理与弦的中点有关的问题时,常采用“点差法”, 建立了中点坐标与直线的 斜率之间的关系,即: x2 y2 椭圆方程为 2+ 2=1,直线与其交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),且弦 AB 的中点为 M(x,y), a b

? 则? x y ?a +b =1,
2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 2+ 2=1, a b ②


2 2 2 2 ①-②:a2(y2 1-y2)+b (x1-x2)=0,

y1-y2 b2 x1+x2 b2 x ∴k= =- 2· =- 2·. a y1+y2 a y x1-x2 点差法在双曲线与抛物线中同样可以使用 九、抛物线的焦半径 抛物线上一点与焦点 F 的连线的线段叫做焦半径,过焦点的直线与抛物线相交所得弦 叫做焦点弦,焦点弦与对称轴垂直时称谓通径,长为 2p。若 P(x0,y0)是抛物线上任意一点, 焦点弦的端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),根据上述定义,完成以下表格。 标准方程 焦半径|PF| 焦点弦|AB| p 提示:x0+ 2 十、其他 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它的渐近线是 y=± x. 离心率是 y2=2px(p>0) |PF|=__ __ y2=-2px(p>0) |PF|=____ |AB|=____ x2=2py(p>0) |PF|=____ |AB|=____ x2=-2py(p>0) |PF|=____ |AB|=____ p-y1-y2

|AB|=____

p p p -x y + -y x +x +p p-x1-x2 y1+y2+p 2 0 0 2 2 0 1 2

11

x2 y2 已知方程 + =1 当 m=n>0 时表示圆;当 m>n>0 或 n>m>0 时表示椭圆;当 mn<0 m n 时表示双曲线.

◇基础演练:
1 曲线
2 x 2 ? y ?1与曲线 25 9 2 x 2 ? y ?1 (0 <k<9) 25 ? k 9 ? k

具有(

) D、相同的准线

A、相等的长、短轴

B、相等的焦距
2 2

C、相等的离心率

2、若 k 可以取任意实数,则方程 x +ky =1 所表示的曲线不可能是( ) A.直线 B.圆 C.椭圆或双曲线 D.抛物线 2 3、如果抛物线 y = ax 的准线是直线 x=-1,那么它的焦点坐标为( ) A. (1, 0) B. (2, 0) C. (3, 0) D. (-1, 0) 4、过点 A(-2,0) ,且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) 2 2 2 2 A. y =-2x B. y =-4x C.y =-8x D.y =-16x 5、双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2,∠F1MF2=120°,双曲线的离心率( ) A. 3 B.

6 2

C.

6 3

D.

3 3


6、过点 P(2,-2)且与

x2 2 -y =1 有相同渐近线的双曲线方程是( 2

A.

y2 x2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 2 4 4 2 4 2 2 4
2

7、抛物线 y ? A、 (1,0)

1 x 关于直线 x ? y ? 0 对称的抛物线的焦点坐标是( 4 1 1 B、 ( ,0) C、 (0,0) D、 (0, ) 16 16



8、中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率 e ? 3 ,一条准线方程为 3x ? 6 ? 0 的双 曲线方程是 (A) ( (B) )

x2 y 2 ? ?1 3 4
2

y 2 x2 x2 y 2 ? ? 1 (C) ? ?1 5 3 2 4

(D)

y 2 x2 ? ?1 4 2

9、过抛物线 y =4x 的焦点作直线,交抛物线于 A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果 x1+ x2=6,那么|AB|= ( ) A.8 B.10 C.6 D.4

y2 ? 1的离心率是为 10、若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ? m
2

1、B

2、D

3、A 4、C 5、B 6、A 7、D 8、C 9、A,10、

3 或 5 2

◇能力提升:

12

x y 1、椭圆 + =1(x?0,y?0)与直线 x-y-5=0 的距离的最小值为____-8______ 9 4 2.椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A、B,C 是 AB 的中点,若|AB|=2 2,OC 的斜率为 2 ,求椭圆的方程. 2 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),

2

2

?ax2+by2=1 ? 解:由? 得(a+b)x2-2bx+b-1=0. ? x + y = 1 ?
2 2

4b2-4(a+b)(b-1) 则|AB|= (k +1)(x1-x2) = 2· . a+b a+b-ab =1.① a+b x1+x2 b a 2 a 2 设 C(x,y),则 x= = ,y=1-x= ,∵OC 的斜率为 ,∴ = . 2 2 b 2 a+b a+b 2 1 2 x 2 代入①,得 a= ,b= . ∴椭圆方程为 + y2=1. 3 3 3 3 3.(本小题满分 12 分)已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列且它们有一 ∵|AB|=2 2, ∴ 个公共的焦点(4,0),其中双曲线的一条渐近线方程为 y= 3x,求三条曲线的标准方程 解:双曲线的焦点在 x 轴上,故其方程可设为 2- 2=1(a>0,b>0),又因为它的一条渐近线 方程为 y= 3x,所以 = 3,即

b a

b2 = a2

因为 c=4,所以 a=2,b= 3a=2 3,所以双曲线方程为 - =1. 4 12 因为椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列,所以这个等比数列的中间项一 定是抛物线的离心率 1,由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率互为倒数,因此,椭圆 1 x2 y2 2 2 2 的离心率为 ,设椭圆方程为 2+ 2=1(a1>b1>0),则 c=4,a1=8,b1=8 -4 =48. 2 a1 b1 所以椭圆的方程为 + =1,易知抛物线的方程为 y =16x. 64 48 2 y ? 1 上两点 A、B,AB 中点 M(1,2) 4、设双曲线 x 2 ? (1)求直线 AB 方程; 2 (2)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 是否共圆, 为什么? (1)法一:显然 AB 斜率存在 ? y ? kx ? 2 ? k ? 2 2 2 设 AB:y-2=k(x-1) 由 ? 2 y 2 得:(2-k )x -2k(2-k)x-k +4k-6=0 ?1 ?x ? 2 ? 当△>0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 1 ? ∴ k=1,满足△>0

x2 y2 a b 2 c -a2 2 = e -1= 3.解得 e=2, a2 x2 y2

x2

y2

2

x1 ? x2 k (2 ? k ) ? 2 2 ? k2

∴ 直线 AB:y=x+1 ? 2 y1 2 ?1 ?x 1 ? ? 2 法二:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 ? 2 ? 2 y2 x ? ?1 2 ? 2 ? 1 两式相减得:(x1-x2)(x1+x2)= (y1-y2)(y1+y2) 2
13

∵ x1≠x2 ∴ 代入 x 2 ?

y1 ? y 2 2( x 1 ? x 2 ) ? x1 ? x 2 y1 ? y 2

∴ k AB ?

2 ?1 ? 1 ∴ AB:y=x+1 2

y2 ? 1 得:△>0 2 评注:法一为韦达定理法,法二称为点差法,当涉及到弦的中点时,常用这两种途径处 理。在利用点差法时,必须检验条件△>0 是否成立。 (2)探索性命题常肯定满足条件的结论存在,然后求出该结论,并检验是否满足所有条件。 设 A、B、C、D 共圆于⊙OM,因 AB 为弦,故 M 在 AB 垂直平分线即 CD 上;又 CD 为弦, 故圆心 M 为 CD 中点。因此只需证 CD 中点 M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD| ?y ? x ? 1 ? 由 ? 2 y2 得:A(-1,0) ,B(3,4) ?1 ?x ? 2 ? ?y ? ?x ? 3 ? 2 又 CD 方程:y=-x+3 由 ? 2 y 2 得:x +6x-11=0 ?1 ?x ? 2 ? x ? x4 设 C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,CD 中点 M(x0,y0)则 x 0 ? 3 ? ?3, y 0 ? ?x 0 ? 3 ? 6 2 1 ∴ M(-3,6)∴ |MC|=|MD|= |CD|= 2 10 又|MA|=|MB|= 2 10 2 ∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD|

∴ A、B、C、D 在以 CD 中点,M(-3,6)为圆心, 2 10 为半径的圆上 5.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,平 l l 行于 OM 的直线 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) , 交椭圆于 A、B 两个不同点。 (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围;

x2 y2 解: (1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
?a ? 2b 2 ? ? ?a ? 8 解得? 2 则? 4 1 ? 2 ?1 ? ? ?b ? 2 2 b ?a

x2 y2 ? ?1 ∴椭圆方程为 8 2
1 2

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m ; 又 KOM=

1 ? y ? x?m ? 1 ? ? l的方程为: y ? x ? m 由 ? 2 2 2 ? x 2 ? 2m x ? 2m 2 ? 4 ? 0 2 ?x ? y ?1 ? 2 ?8

? ? ? (2m) 2 ? 4(2m 2 ? 4) ? 0,
∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

解得 ? 2 ? m ? 2, 且m ? 0

◇课外练习:
1. 椭圆
x2 y2 点 P 在椭圆上, 如果线段 PF1 中点在 y 轴上, 那么|PF1| ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2, 12 3 是|PF2|的 ( A ) A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍
14

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点, 过F 1 且垂直于 x 轴 a 2 b2 的直线与双曲线交于 A , B 两点,若 ?ABF2 是钝角三角形,则该双曲线离心率 的取值
2. 已知点 F F2 分别是双曲线 1, 范围是( C ) A. ( 2 ?1, ??) B. ( 3 ? 1, ??) C. (1 ? 2, ??) D. (1,1 ? 2)

3、已知双曲线 和椭圆 以 a、b、m 为边长的三角形是( B ) A、锐角三角形 B、直角三角形 4、抛物线的焦点为椭圆
y 2 ? ?4 5x .

(a>0, m>b>0)的离心率互为倒数,那么 C、钝角三角形 D、等腰三角形

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为 9 4

5、 动点到直线 x=6 的距离是它到点 A(1,0)的距离的 2 倍,那么动点的轨迹方程是 3x2+4y2+4x?32=0. 6,根据下列条件,求双曲线方程。 x 2 y2 ? ? 1 有共同渐近线,且过点(-3, 2 3 ) (1)与双曲线 ; 9 16 x 2 y2 ? ? 1 有公共焦点,且过点( 3 2 ,2) (2)与双曲线 。 16 4 x 2 y2 4 ? ? 1 的渐近线为 y ? ? x 法一: (1)双曲线 9 16 3 4 令 x=-3,y=±4,因 2 3 ? 4 ,故(-3, 2 3 )在射线 y ? ? x (x≤0)及 x 轴负半轴之间, 3 x 2 y2 ∴ 双曲线焦点在 x 轴上,设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 , (a>0,b>0) a b ?b 4 ? 2 9 ?a ? 3 x 2 y2 ?a ? ? 4 解之得: ∴ 双曲线方程为 ? ?1 ? ? 2 2 9 4 ?b 2 ? 4 ? (?3) ? (2 3 ) ? 1 ? ? 4 b2 ? a2 (2)设双曲线方程为
?a 2 ? b 2 ? 20 ? 则 ? (3 2 ) 2 2 2 ? 2 ?1 ? b ? a2
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 (a>0,b>0)
x 2 y2 ? ?1 12 8

2 ? ?a ? 12 解之得: ? 2 ? ?b ? 8

∴ 双曲线方程为

法二: (1)设双曲线方程为 ∴
(?3) 2 (2 3 ) 2 ? ?? 9 16

x2 y2 ? ? ? (λ ≠0) 9 16

∴ ??

1 4

∴ 双曲线方程为

x 2 y2 ? ?1 9 4 4

(3)设双曲线方程为

?16 ? k ? 0 ? y2 x2 ? ?1 ? ?4 ? k ? 0 ? ? 16 ? k 4 ? k ? ?

15

(3 2 ) 2 x 2 y2 22 ? ?1 ? ?1 解之得:k=4 ∴ 双曲线方程为 12 8 16 ? k 4?k x 2 y2 x 2 y2 评注:与双曲线 2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线方程为 2 ? 2 ? ? (λ ≠0) ,当λ >0 a b a b x 2 y2 时,焦点在 x 轴上;当λ <0 时,焦点在 y 轴上。与双曲线 2 ? 2 ? 1 共焦点的双曲线为 a b 2 2 y x 2 2 ? 2 ? 1 (a +k>0,b -k>0) 。比较上述两种解法可知,引入适当的参数可以提高 2 a ?k b ?k 解题质量, 特别是充分利用含参数方程的几何意义, 可以更准确地理解解析几何的基本思想。



x2 y2 7. P 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上且位于第一象限的一点,F 是椭圆的右焦点,O 是椭圆中心, a b a2 B 是椭圆的上顶点, H 是直线 x=- (c 为椭圆的半焦距)与 x 轴的交点, 若 PF⊥OF, HB∥OP, c 试求椭圆的离心率 e. a ? 依题意,知 H? ?- c ,0?,F(c,0),又由题设得 B(0,b),xP=c,代入椭圆方程结合题设 b 解得 yP= . a
2 2

因为 HB∥OP,所以 kHB=kOP.

b2 b-0 a 由此得 = ?ab=c2, a2 c 0+ c

a2-c2 - c b 从而得 = ?e2= 2 =e 2-1. a c c

∴e4+e2-1=0,又 0<e<1,解得 e=

5-1 . 2

◇选作题:
x2 y2 椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,右顶点为 A,P 为椭圆 C 上任 a b
→ → 意一点,已知PF1· PF2的最大值为 3,最小值为 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 M、N 两点(M,N 不是左右顶点),且以线段 MN 为直径的圆过点 A,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标 解:(1)∵P 为椭圆上任意一点, ∴|PF1|+|PF2|=2a 且 a-c≤|PF1|≤a+c, 1 → → → → → → 令 y=PF1· PF2=|PF1||PF2|cos∠F1PF2= (|PF1|2+|PF2|2-4c2) 2 1 → 2 → 2 2 2 2 2 = [|PF1| +(2a-|PF1|) -4c ]=(|PF1|-a) +a -2c , 2 2 2 2 2 当|PF1|=a 时,y 有最小值 a -2c ; 当|PF1|=a-c 或 a+c 时,y 有最大值 a -c , 2 2 2 ?a -c =3 ?a =4 ? ? x2 y2 2 2 2 ? ∴? 2 . ∴ , b = a - c = 3 , ∴椭圆方程为 + =1. 2 2 4 3 ? ? ?a -2c =2 ?c =1 (2)证明:设 M(x1,y1),N(x2,y2),将 y=kx+m 代入椭圆方程得 2 -8km 4m -12 2 2 2 (4k +3)x +8kmx+4m -12=0, ∴x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , 4k +3 4k +3 2 2 ∵y1=kx1+m,y2=kx2+m, y1y2=k x1x2+km(x1+x2)+m , 又以 MN 为直径的圆过点 →→ A(2,0), ∴AM· AN=0,即 x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,∴7m2+16km+4k2=0, 2 ∴m=- k 或 m=-2k,且满足 Δ>0,若 m=-2k,直线 l 恒过定点(2,0),不合题舍, 7 2 2 2 若 m=- k,直线 l:y=k(x- )恒过定点( ,0) 7 7 7

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