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排列组合问题经典题型


排列组合问题经典题型与通用方法
1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. 例 1. A, B, C, D, E 五人并排站成一排,如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边,则不同的排法有( A、60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种 )

2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把

无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的 几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是( ) A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种

1 ,2 ) ,3 例 3.已知集合 A ? {1, 2,3,?,19, 20} , 集合 B ? {a1 , a2 , a3 , a4 } , B ? A , | ai ? a j | ?(, i j1?,4 且 若
则满足条件的集合 B 有多少个? 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.



例 4.(1)A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边( A, B 可以不相邻)那么不同的排法 有( ) A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、120 种 (2)由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种



4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如 此继续下去,依次即可完成. 例 5.将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填 数字均不相同的填法有( ) A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法. 例 6.(1)有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需一人承担,从 10 人中选出 4 人承担这三项任务, 不同的选法种数是( ) A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种 (2) 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查, 12 若每个路口 4 人, 则不同的分配方案有 ( ) A、 C12C8 C4 种
4 4 4

B、 3C12C8 C4 种

4

4

4

C、 C12C8 A3 种

4

4

3

D、

4 C12C84C44 种 3 A3

6.全员分配问题分组法: 例 7.(1)4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种? (2)5 本不同的书,全部分给 4 个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( ) A、480 种 B、240 种 C、120 种 D、96 种 7.名额分配问题隔板法: 例 8:10 个三好学生名额分到 7 个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?

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例 9.马路上有编号为 1,2,3…,9 九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也 不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种? 8.限制条件的分配问题分类法: 例 10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、 司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都 能胜四项工作,则不同安排方案的种数是 A. 152 B. 126 C. 90 D. 54 9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例 11 (1)从 1,2,3…,100 这 100 个数中,任取两个数,使它们的乘积能被 7 整除,这两个数的取法 (不计顺序)共有多少种? (2)从 1,2,3,…,100 这 100 个数中任取两个数,使其和能被 4 整除的取法(不计顺序)有多少种? 例 12. 电子表 10 点 20 分 08 秒时,显示的数字是 10:20:08,那么,从 8 点到 10 点内,电子表 6

个数码均不相同的情况有多少种?
10. 交 叉 问 题 集 合 法 : 某 些 排 列 组 合 问 题 几 部 分 之 间 有 交 集 , 可 用 集 合 中 求 元 素 个 数 公 式 n( A ? B) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) 例 13.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4× 100 米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不 同的参赛方案? 11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。 例 14.现 1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种? 12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。 例 15.(1)6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法种数是( ) A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种 (2) 个不同的元素排成前后两排, 8 每排 4 个元素, 其中某 2 个元素要排在前排, 1 个元素排在后排, 某 有多少种不同排法? 13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: 例 16.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台,其中至少要甲型和乙 型电视机各一台,则不同的取法共 有( ) A、140 种 B、80 种 C、70 种 D、35 种 14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先取后排法. 例 17.(1)四个不同球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种? (2)9 名乒乓球运动员,其中男 5 名,女 4 名,现在要从中选 4 人进行混合双打训练,有多少种不同 的选法? 15.几何问题: 例 18.(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有( ) A、70 种 B、64 种 C、58 种 D、52 种 (2)四面体的顶点和各棱中点共 10 点,在其中取 4 个不共面的点,不同的取法共有( ) A、150 种 B、147 种 C、144 种 D、141 种 (3)记正方体的各条棱的中点构成的集合为 M,则过且仅过集合 M 的三个点的平面有多少个? (4)正方体 8 个顶点可连成多少对异面直线?
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16.圆排问题单排法:把 n 个不同元素放在圆周 n 个无编号位置上的排列,顺序(例如按顺时钟)不同的排 法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的,它与普通排列的区别在 于只计顺序而无首位、末位之分,下列 n 个普通排列:

a1 , a2 , a3 ?, an ; a2 , a3 , a4 ,?, an ,?; an , a1 ,?, an?1 在圆排列中只算一种, 因为旋转后可以重合, 故认为相同,n
个元素的圆排列数有 n ! 种.因此可将某个元素固定展成单排,其它的 n ? 1 元素全排列.
n

例 19.有 5 对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法? 17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可逐一安 排元素的位置,一般地 n 个不同元素排在 m 个不同位置的排列数有 m 种方法. 例 20.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法? 19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法: 例 21. 某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘,根据 需要,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,则不同的选购方法有( A.5 种 B.6 种 C.7 种 D.8 种 )
n

例 22.从 1 到 100 的一百个自然数中,每次取出两个数,使其和大于 100,这样的取法共有多少种?

20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例 23.(1)30030 能被多少个不同偶数整除? (2)设 a1 , a2 ,? , an 是由 1, 2,?, n 的一个排列,把排在 ai 的左边且比 ai 小的数的个数称为 ai 的顺序数

(i ? 1, 2,?, n) 。如在排列 6, 4,5,3, 2,1 中,5 的顺序数为 1,3 的顺序数为 0. 则在由1, 2,?,8 这
八个数字构成的全排列中,同时满足 8 的顺序数为 2、7 的顺序数为 3、5 的顺序数为 3 的不同排 列的种数为多少? 21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的问题转化为简单 问题处理. 例 24.(1)圆周上有 10 点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个? (2)某城市的街区有 12 个全等的矩形组成,其中实线表示马路,从 A 到 B 的最短 路径有多少种? 22.全错位排列问题公式法:全错位排列问题(贺卡问题,信封问题)记住公式即可 瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式:用 A、B、C……表示写着 n 位友人名字的信封,a、b、 c……表示 n 份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作 f(n)。假设把 a 错装进 B 里了,包含着这个错误的 一切错装法分两类: (1)b 装入 A 里,这时每种错装的其余部分都与 A、B、a、b 无关,应有 f(n-2)种错装法。 (2)b 装入 A、B 之外的一个信封,这时的装信工作实际是把(除 a 之外的)n-1 个信纸 b、c……装入 (除 B 以外的)n-1 个信封 A、C……,显然这时装错的方法有 f(n-1)种。

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总之在 a 装入 B 的错误之下,共有错装法 f(n-2)+f(n-1)种。a 装入 C,装入 D……的 n-2 种错误之下, 同样都有 f(n-2)+f(n-1)种错装法,因此得到一个递推公式: f(n)=(n-1) ? [ f(n-1)+f(n-2) ] ,分别带入 n=2、3、 4 等可推得结果。也可用迭代法推导出一般公式: f (n) ? n !? [1 ?

1 1 1 1 ? ? ? ?????? ?(?1)n ] 1! 2! 3! n!

例 25.设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的盒子现将这 5 个球投入 5 个盒子要 求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法? 例 26、5 位同学原来坐成一排,现让他们重新坐,则至多有两位同学坐在其原来的位置的不同的坐法是多 少? 23.多人传球问题: (构造递推关系) 例 27、 a1 , a2 ,? , an ( n ? 3 ) n 个人传球,第一次由 a1 开始传球,可传给其他任何一个人,第二次由拿 球者再传给其他任何一个人,如此继续 ? ,则第 k 次球仍回到 a1 的手中的传球方法种数是多少?

24.上台阶问题: 例 28、10 级台阶,某人可一步跨一级,也可跨两级,也可跨三级。 (1)他 6 步就可上完台阶的方法数是多少? (2)他上完台阶的方法总数是多少? 25.方程的正整数解的个数问题: (隔板法) 例 29.方程 x1 ? x2 ? ? ? xn ? k ( k , n ? N * , k ? n )的正整数解有多少个?有多少非负整数解个? 例 30. 将 20 个完全相同的球放入编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子中。 (1)若要求每个盒子至少放一个球,则一共有多少种放法? (2)若每个盒子可放任意个球,则一共有多少种放法? (3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数,则一共有多少种放法? 26.配对(配凑)问题: 例 31. 5 双相异的鞋共 10 只,现随机地取出 6 只,恰好能配成 2 双鞋的取法是多少? 例 32. 50 名选手参加乒乓球淘汰赛比赛,需要打多少场才能产生冠军? 淘汰赛比赛规则是:要淘汰 1 名选手必 须进行 1 场比赛;反之,每进行 1 场比赛则淘汰 1 名选手。 例 33. 有 11 名翻译人员,其中 5 名是英语翻译人员,4 名是日语翻译人员,另 2 人英、日语均精通。现从 中选出 8 人组成两个翻译小组,其中 4 人翻译英语,另 4 人翻译日语,则有多少种不同的选派方式? 27.染色问题: 例 34. 把圆分成 10 个不相等的扇形,并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色,但不允许相邻的扇形有相同的 颜色,问共有多少种染色法? 例 35.在如图所示的六个空格里涂上红黄蓝三种颜色,每种颜色只能涂两次, 1 2 3 4 5 6 要求相邻空格不同色,请问一共有多少种涂法? 例 36. 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如图) ,现 要栽种 4 种不同颜色的花, 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样 颜色的花,则不同的栽种方法有多少种? (变式:若要栽种 5 种颜色的花?)
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排列组合问题经典题型答案 1.解析:把 A, B 视为一人,且 B 固定在 A 的右边,则本题相当于 4 人的全排列, A4 ? 24 种,答案: D .
4

2.解析:除甲乙外,其余 5 个排列数为 A5 种,再用甲乙去插 6 个空位有 A6 种,不同的排法种数是
5 2 A5 A6 ? 3600 种,选 B .

5

2

3. 易知 a1 , a2 , a3 , a4 互不相等且不相邻,则有 C17 ? 2380 。
4

4.解析: (1) B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半, 即

1 5 A5 ? 60 种,选 B . 2
5

1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 (2)按题意,个位数字只可能是 0,1,2,3,4 共 5 种情况,分别有 A5 个, A4 A3 A3 , A3 A3 A3 , A2 A3 A3 , A3 A3

个,合并总计 300 个,选 B (

1 6 5 ( A6 ? A5 ) ? 300 种) 2

5.解析:先把 1 填入方格中,符合条件的有 3 种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格, 又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有 3× 1=9 种填法,选 B . 3× 6.解析: (1)先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务,再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务,第三步从另外
2 1 1 的 7 人中选 1 人承担丙项任务,不同的选法共有 C10C8C7 ? 2520 种,选 C .

(2)答案: A . 7.(1) C4 A3 ? 36
2 3

(2) C5 A4 ? 240 ,答案: B .
2 4

8.解析:10 个名额分到 7 个班级,就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆,每堆至少一个,可以 在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为

C96 ? 84 种.
9.解析:把此问题当作一个排对模型,在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 C5 种方法,所以满足条 件的关灯方案有 10 种. 说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒模型可使问题 容易解决. 10.
3

11.解析:(1)解析:被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时,他们的乘积就能被 7 整除,将这 100 个 数组成的集合视为全集 I,能被 7 整除的数的集合记做 A ? ?7,14, 21,?98? 共有 14 个元素,不能被 7 整除的

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数组成的集合记做 A ? ?1, 2,3, 4,? ,100? 共有 86 个元素;由此可知,从 A 中任取 2 个元素的取法有 C14 ,
2

从 A 中任取一个,又从 A 中任取一个共有 C14C86 ,两种情形共符合要求的取法有 C14 ? C14C86 ? 1295 种.
1 1 2 1 1

(2)解析:将 I ? ?1, 2,3? ,100? 分成四个不相交的子集,能被 4 整除的数集 A ? ?4,8,12,?100? ;能 被 4 除余 1 的数集 B ? ?1,5,9,? 97? ,能被 4 除余 2 的数集 C ? ?2, 6,?,98? ,能被 4 除余 3 的数集
D ? ?3, 7,11,? 99? ,易见这四个集合中每一个有 25 个元素;从 A 中任取两个数符合要;从 B, D 中各取一个

数也符合要求;从 C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有
2 1 1 2 C25 ? C25C25 ? C25 ? 1225 种.

12. 解: (1)08:a b :c d ,其中 a、c 位可填 1,2,3,4,5;b、d 位可填 1,2,3,4,5,6,7,9. (2)09:a b :c d ,其中 a、c 位可填 1,2,3,4,5;b、d 位可填 1,2,3,4,5,6,7,8. 先填 a、c,再填 b、d,共 2 A5 A6 ? 1200
2 2

13.解析:设全集={6 人中任取 4 人参赛的排列} ,A={甲跑第一棒的排列} ,B={乙跑第四棒的排列} , 根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:

n( I ) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) ? A64 ? A53 ? A53 ? A42 ? 252 种.
14.解析:老师在中间三个位置上选一个有 A3 种,4 名同学在其余 4 个位置上有 A4 种方法;所以共有
1 4 A3 A4 ? 72 种。.

1

4

15.解析: (1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排,共 A6 ? 720 种,
6

选C . (2)解析:看成一排,某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个,有 A4 种,某 1 个元素排在后半段的 四个位置中选一个有 A4 种,其余 5 个元素任排 5 个位置上有 A5 种,故共有 A4 A4 A5 ? 5760 种排法.
1 5 1 2 5 2

16.解析 1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取 法共有 C9 ? C4 ? C5 ? 70 种,选. C
3 3 3

解析 2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型 1 台乙型 2 台;甲型 2 台乙型 1 台;故不同 的取法有 C5 C4 ? C5C4 ? 70 台,选 C .
2 1 1 2

17.解析: (1)先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有 C4 种,再排:在四个盒中每次排 3 个 有 A4 种,故共有 C4 A4 ? 144 种.
3 2 3

2

(2) 先取男女运动员各 2 名, C5 C4 种, 有 这四名运动员混和双打练习有 A2 中排法, 故共有 C5 C4 A2 ? 120
2 2 2 2 2 2

种.

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18.解析: (1)正方体 8 个顶点从中每次取四点,理论上可构成 C8 四面体,但 6 个表面和 6 个对角面的四 个顶点共面都不能构成四面体,所以四面体实际共有 C8 ? 12 ? 58 个.
4

4

(2)解析:10 个点中任取 4 个点共有 C10 种,其中四点共面的有三种情况:①在四面体的四个面上, 每面内四点共面的情况为 C6 ,四个面共有 4C6 个;②过空间四边形各边中点的平行四边形共 3 个;③过 棱上三点与对棱中点的三角形共 6 个.所以四点不共面的情况的种数是 C10 ? 4C6 ? 3 ? 6 ? 141 种.
4 4 4 4

4

(3)56 个。 8 ?1? 4 ? 6 ? 2 ? 2 ? 6 ? 56 。 ①一个面内取 GH 两点,另一个点取 F 时,即 8 个角; ②一个面内取 GH 两点,另一个点取 K 时, 2 ? 2 ? 6 ? 24 个; ③一个面内取 HI 两点,那另一个点只能取 A 或 C, 2 ? 2 ? 6 ? 24 个

(4)因为四面体中仅有 3 对异面直线,可将问题分解成正方体的 8 个顶点可构成多少个不同的四面体, 从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有 C8 ? 12 ? 58 个,所以 8 个顶点可连成的异面直线有
4

3× 58=174 对. 19.解析:首先可让 5 位姐姐站成一圈,属圆排列有 A4 种,然后在让插入其间,每位均可插入其姐姐的左 边和右边,有 2 种方式,故不同的安排方式 24 ? 2 ? 768 种不同站法.说明:从 n 个不同元素中取出 m 个
5
4

元素作圆形排列共有 1 Am 种不同排法. n
m

20.解析:完成此事共分 6 步,第一步;将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案,第二步:将第二名实 习生分配到车间也有 7 种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有 7 种不同方案.
6

? x ? 3, y ? 2 ? 21. 解析: 设购买软件 x 片、 C。 磁盘 y 盒, ?60 x ? 70 y ? 500 , 则 所以 x ? 3, y ? 2,3, 4 ;x ? 4 ,y ? 2,3, 4 ; ? x, y ? N ?

x ? 5, y ? 2 。故共 7 种。
22. 解析: 2(1 ? 2 ? ? ? 49) ? 50 ? 2500 (包括两个数不同和相同的情形!) 23.解析: (1)先把 30030 分解成质因数的形式:30030=2× 5× 11× 3× 7× 13;依题意偶因数 2 必取,3,5,7, 11,13 这 5 个因数中任取若干个组成成积,所有的偶因数为
0 1 3 5 C5 ? C5 ? C52 ? C5 ? C54 ? C5 ? 32 个(或 1? 25 ? 32 ).

(2)分析知 7 必排在 8 之后,5 必排在 7 之后. 且 8 的前面只有 2 个数,8、7 之间只有一个小于 7 的数, 6 或在 7 之前,或在 7、5 之间,或在 5 之后。

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第一种情况:6 在 7 之前,形如:##8#7#5# , C3 A4 ? 72 ;
1 4

第 2 种情况: 6 在 7、5 之间 ,形如:##8#765# , A4 ? 24 ;
4

第 3 种情况:6 在 5 之后,形如:##8#75## , C2 A4 ? 48
1 4

所以共 144 种。 24.解析: (1)因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点,一个圆的内接四边形就对应着两条 弦相交于圆内的一个交点,于是问题就转化为圆周上的 10 个点可以确定多少个不同的四边形,显然有 C10 个,所以圆周上有 10 点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有 C10 ? 210 个.
4
4

(2)解析:可将图中矩形的一边叫一小段,从 A 到 B 最短路线必须走 7 小段,其中:向东 4 段,向北 3 段;而且前一段的尾接后一段的首,所以只要确定向东走过 4 段的走法,便能确定路径,因此不同走法 有 C7 ? 35 种.
4

25.解析:从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C5 种,还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不能对应,利用枚举法 分析,如果剩下 3,4,5 号球与 3,4,5 号盒子时,3 号球不能装入 3 号盒子,当 3 号球装入 4 号盒子时, 4,5 号球只有 1 种装法,3 号球装入 5 号盒子时,4,5 号球也只有 1 种装法,所以剩下三球只有 2 种装法, 因此总共装法数为 2C5 ? 20 种.
2

2

26.解:错排问题,分类解决: C5 f (5) ? C5 f (4) ? C5 f (3) ? 109
0 1 2

1 ) 27. 解析: 设第 k 次球仍回到 a1 的手中的传球方法种数是 ak , a1 ? 0, a2 ? n ? 1 , ak ? (n ? 则 且

k ?1

? ak ?1 ,

(n ? 1) k ? (?1) k ? (n ? 1) 1 1 k k ?1 所以 ak ? ? (n ? 1) ? ?[ak ?1 ? ? (n ? 1) ] ? ak ? ( k ? N *) 。 n n n
? x ? 2, 3, 4 ?x ? y ? z ? 6 ? 28. 解析: (1)设跨 1 级、2 级、3 级的步数分别为 x, y, z ,则 ? ,解得 ? y ? 4, 2, 0 ,故 ? x ? 2 y ? 3 z ? 10 ? z ? 0,1, 2 ?
方法数为 C6 ? C6 C3 ? C6 ? 15 ? 60 ? 15 ? 90
2 3 2 4

( 2 ) 设 上 完

n

级 台 阶 的 方 法 数 为 f (n) , 则 f ( 1?)

f , ? ( 2 f) 1

?, 且3 ) 2 , (

4

f ( n) ?

f ( ? 1?) n

f ? (n

? ) f ?( , 3 n) ( 2 n ?

4 )

? f (4) ? 7, f (5) ? 13, f (6) ? 24, f (7) ? 44, f (8) ? 81, f (9) ? 149, f (10) ? 274
29.解析: C k ?1 ; Ck ? n ?1 30.解析: (1) C19 ? 3876 ; (2) C24 ; (3)先在编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子中依次放入 0,1,2,3,4
4

n ?1

n ?1

4

个球,再只要保证余下的 10 个球每个盒子至少放一个,则 C9 ? 126
4

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31. 解析: C5 ? C3 ? 2 ? 120
2 2 2

32. 解析:49. 33. 解析: C4 C7 ? C4 C2C6 ? C4 C2 C5 ? 35 ? 120 ? 30 ? 185
4 4 3 1 4 2 2 4

34. 解析:前 9 个扇形依次染色并不难,但第 10 个扇形既与第九个相邻也与第 1 个相邻,这两个扇形颜色可 能相同也可能不相同,所以直接用记数原理有困难,但建立递推关系并不难. 设将圆分成 n 个不相等的扇形时,满足题设的染法有

a

n

种. 依次记 n 个扇形为 s 1 ,…s n .显然 a1=3.当 n=2 时,

先对 s1 染色,有 3 种方法;s1 染色后再对 s2 染色,有 2 种方法,故 a2=6.当 n≥3 时,我们依次对 s 1 ,s2,…s n 染色.对 s1 染色,有 3 种方法,对 s1 染色后再对 s2 染色有 2 种方法,同样的对 s3,s4…,sn 分别有 2 种方法, 由乘法原理共有 3· n-1 种染色方法.但这样做 sn 与 s1 有可能同色.即在 3· n-1 种染色方法中包含了 sn 与 s1 2 2 同色的染色方法.对于 sn 与 s1 同色的情形,拆去 sn 与 s1 的边界使 sn 与 s1 合并,便得到将圆分为 n-1 个扇 形时同色不相邻的染色方法,这样的情况有 an-1 种. 故 an=3· 2
n-1

-an-1

(n≥3).所以 a3 ? 6 ,n≥3 时,

an ? 2n ? 2 ? (?1)n ,∴a10=210+2=1026.
35.解:由题意,红黄蓝三种颜色,每种颜色恰好涂了两次,分为两类: 第一类可按一下步骤进行: 第 1 步:涂第一格,有 3 种方法; 第 2 步:涂第二格,有 2 种方法; 第 3 步:用与第一格不同的颜色涂第三格,有 1 种方法; 第 4 步:第四格可以涂与第三格颜色不同的,有 2 种方法。 第 5 步:用不同的两色涂剩下的两格,有 2 种方法; 所以有 3*2*1*2*2=24 种 第二类可按一下步骤进行: 第 1 步:涂第一格,有 3 种方法; 第 2 步:涂第二格,有 2 种方法; 第 3 步:用与第一格相同的颜色涂第三格,有 1 种方法; 第 4 步:第四格只能用没有用过的颜色涂,有种方法。 第 5 步:第五格只能用涂第二格的颜色,第六格只能用涂第四格的颜色,有 1 种方法; 所以有 3*2*1*1*1=6 种 所以,共有 24+6=30 种涂法。 36.解析:注意 4 种颜色的花都有种上。 A4 (1 ? 1 ? 1 ? 2) ? 120
3

(变式: A5 [C3C2 ? (3 ? 2) ? 2] ? 960 )
3 1 1

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