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2017届湖北省黄石市高三9月份调研考试数学(文)试题


2017 届湖北省黄石市高三 9 月份调研考试数学(文)试题 文科数学试题卷
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? ? x | ?3 ? x ? 1? , B ? x | x 2 ? 2 x ? 0 ,则 A ? B ? ( A. ? x | 0 ? x ? 1? B. ? x | 0 ? x ? 1? C. ? x | ?3 ? x ? 2?

?

?



D. ? x | ?3 ? x ? 2? )

2.已知向量 a ? ?1,3? , b ? ? sin ? , cos ? ? 且 a / / b ,则 tan ? ? ( A.3 B.-3 C.

?

?

?

?

1 3

D. ?

1 3


3.若复数 z 满足 z ? 2 ? i ? ? A. 1 ? 3i B. 1 ? 3i

10 ,则 z 的共轭复数 z ? ( 1? i
C. 3 ? i D. 3 ? i

4.已知函数 f ? x ? ? ? A.

? 2 x ? 1, x ? 1 ,若 f ? f ? 0 ? ? ? 4a ,则实数 a 等于( 2 ? x ? ax, x ? 1
C.2 D.9



1 2

B.

4 5

5.已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? A.向右平移 C.向左平移

? ?

??

? ,为了得到 g ? x ? ? sin 2 x 的图象,则只需将 f ? x ? 的图象( 3?
B.向右平移 D.向左平移



? ?
3

个长度单位 个长度单位

? ?
6 3

个长度单位 个长度单位

6

6.下图的程序框图所描述的算法称为欧几里德辗转相除法.若输入 m ? 209, n ? 121 ,则输出的 m 的值为 ( )



1第

A.0

B.11

C.22

D.88 )

7.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a2 ? a7 ? a12 ? 24 ,则 S13 ? ( A.52 B.78 C.104 D.208

8.在矩形 ABCD 中, AB ? 2, BC ? 1, E 为 BC 的中点,若 F 为该矩形内(含边界)任意一点,则 AE ?AF 的最大值为( A. ) C.

??? ? ??? ?

7 2

B.4

9 2

D.5

9.相距 1400m 的 A、B 两个哨所,听到炮弹爆炸的时间相差 3s ,已知声速 340m / s ,则炮弹爆炸点所在 曲线的离心率为( A. ) C.

51 70

B.

70 51

35 17

D.1

10.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全 相同的四个曲面构成, 相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上, 好似两个扣合(牟合) 在一起的方形伞 (方 盖) .其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.其实际直观图中四边形不存在,当 其正视图和侧视图完全相同时,它的正视图和俯视图分别可能是( )

A. a, b

B. a, c

C. c, b

D. b, d

11.假设你家订了一份牛奶, 奶哥在早上 6: 00---7: 00 之间随机地把牛奶送到你家, 而你在早上 6: 30---7:
页 2第

30 之间随机地离家上学,则你在离开家前能收到牛奶的概率是( A.



1 8

B.

5 8

C.

1 2

D.

7 8

12.定义:如果函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 上存在 x1 , x2 ? a ? x1 ? x2 ? b ? 满足 f ? ? x1 ? ?

f ?b? ? f ? a ? , b?a

f ? ? x2 ? ?

f ?b? ? f ? a ? 3 2 ,则称函数 f ? x ? 是 ? a, b ? 上的“双中值函数” ,已知函数 f ? x ? ? 2 x ? x ? m 是 b?a


,则实数 a 的取值范围是( ?0, 2 a ? 上“双中值函数” A. ? ,

?1 1? ? ?8 4?

B. ?

? 1 1? , ? ? 12 4 ?

C. ?

? 1 1? , ? ? 12 8 ?

D. ? ,1?

?1 ? ?8 ?

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上
13.某品牌洗衣机专卖店在国庆期间举行了八天的促销活动,每天的销量(单位:台)茎叶图如下,则销售 量的中位数是 ___________.

? y?x ? 14.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为__________. ? y ? ?1 ?
15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .若 a ? 1, B ? 值为_____________. 16.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 ? ??, 0 ? 上单调递增,若实数 a 满足

?
4

, ?ABC 的面积 S ? 2 ,则

b 的 sin B

f 2

?

a ?1

? ? f ? ? 2 ? ,则 a 的取值范围是___________.

三、解答题 :共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式;



3第

(2)设 bn ?

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . S n S n ?1

18.(本小题满分 12 分) 某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间如下: 组号 分组 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组

60 ? ?50,

70 ? ?60,

80 ? ?70,

90 ? ?80,

?90,100 ?

(1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分; (3)现用分层抽样的方法从第 3、4、5 组中随机抽取 6 名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取 2 名,求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率?

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD, AD / / BC , AB ? AD ? AC ? 3, PA ? BC ? 4, M 为线段

AD 上一点, AM ? 2 MD, N 为 PC 的中点.

(1)证明: MN/ / 平面 PAB ; (2)求四面体 N ? BCM 的体积. 20.(本小题满分 12 分)



4第

已知椭圆 C :

? x2 y 2 2? 在椭圆 C 上. ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 ? ?1, 0 ? , F2 ?1, 0 ? ,点 A ? 1, 2 ? 2 ? ? a b ? ?
5 上找 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在斜率为 2 的直线 l ,使得当直线 l 与椭圆 C 有两个不同交点 M 、N 时,能在直线 y ?

到一点 P ,在椭圆 C 上找到一点 Q ,满足 PM ? NQ ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? e ? a ln x .
x

???? ?

????

(1)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数; (2)证明:当 a ? 0 时, f ? x ? ? a ? 2 ? ln a ? .

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 与 ? O 相切, A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B, C 两点,弦 CD / / AP, AD, BC 相交 于点 E , F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ?EC .

(1)求证: CE ?EB ? EF ?EP ; (2)若 CE : BE ? 3 : 2, DE ? 3, EF ? 2 ,求 PA 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为

? ?? ? ? 2 cos ? , ? ? ?0, ? . ? 2?
(1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3 x ? 2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定

D 的坐标.
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
页 5第

已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 3 . (1)解不等式 f ? x ? ? 8 ; (2)若不等式 f ? x ? ? a ? 3a 的解集不是空集,
2

求实数 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 C 5 B 6 B 7 C 8 C 9 B 10 A 11 D 12 A

二、填空题 13. 15 14. 5 15. 5 2 三、解答题 16. ?

?1 3? , ? ?2 2?

(2)由(1)知 S n ? 2

n ?1

2n ?1 1 1 , ? n ?1 ? n?2 ? 2 ,∴ bn ? n ?1 n?2 ? 2 ? 2 ?? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 2

∴ Tn ? ?

1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 3 ? 4 ? n?2 ??? 3 ? ? ?? ? ? n ?1 ? 2 ?2 ?2 2 ?2? ?2 ?2 2 ?2? ?2 ?2 2 ?2?

?

1 1 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 ? n?2 ? ? n?2 2 ?2 2 ?2 2 2 ?2
2

18.解: (1)由题意得: ? a ? 0.010 ? 0.020 ? 0.030 ? 0.035 ? ? 10 ? 1 ,即 a ? 0.005 . . . . . . . . . . . . . .4 分 (2)数学成绩的平均分为:

55 ? 5 ? 65 ? 35 ? 75 ? 30 ? 85 ? 2 ? 95 ?10 . . . . . . . . . .8 分 ? 74.5 . 100

(3)第 3、4、5 组中共有学生人数分别为 30、20、 10 人,用分层抽样法抽 6 人,即在第 3、4、5 组中各 抽取 3、2、1 人,设 6 名学生为 a、b、c、d、e、f .随机抽 2 人,共有

ab、ac、ad、ae、af 、bc、bd、be、bf 、cd、ce、cf 、de、df 、ef 共 15 个基本事件,其中恰有 1 人
分数不低于 90 分的基本事件有 af 、bf 、cf 、df 、ef 5 个,记其中恰有 1 人分数不低于 90 分为事件 A ,



6第

∴ P ? A? ?

5 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 ? . 13 3

19.解: (1)

由已知得 AM ?

2 AD ? 2 ,取 BP 的中点 T ,连接 AT , TN ,由 N 为 PC 中点知 3 1 TN / / BC , TN ? BC ? 2 ,即 TN ? AM ,又 AD / / BC ,即 TN / / AM ,故四边形 AMNT 为平行四边 2

形,于是 MN / / AT , 因为 AT ? 平面 PAB, MN ? 平面 PAB ,所以 MN / / 平面 PAB . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 (2)因为 PA ? 平面 ABCD, N 为 PC 的中点,所以 N 到平面 ABCD 的距离为 取 BC 的中点 E ,连结 AE ,由 AB ? AC ? 3 得: AE ? BC , AE ? 由 AM / / BC 得 M 到 BC 的距离为 5 ,故 S ?BCM ? 所以四面体 N ? BCM 的体积 VN ? BCM ?

1 PA , 2

AB 2 ? BE 2 ? 5 ,

1 ? 4? 5 ? 2 5 , 2

1 PA 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 ? S ?BCM ? ? 3 2 3

20.解: (1)设椭圆 C 的焦距为 2c ,则 c ? 1 , 因为 A ? 1,

? ? ?

2? ? 在椭圆 C 上,所以 2a ? AF1 ? AF2 ? 2 2 , 2 ? ?
2, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,故椭圆 C 的方程为

因此 a ?

x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 ? y2 ? 1. 2

(2)椭圆 C 上不存在这样的点 Q ,证明如下:设直线 l 的方程为 y ? 2 x ? t ,设 M ? x1 , y1 ? ,

? 5? N ? x2 , y2 ? , P ? x3 , ? , Q ? x4 , y4 ? , MN 的中点为 D ? x0 , y0 ? , ? 3?

? y ? 2x ? t ? 2 2 由 ? x2 消去 x ,得 9 y ? 2ty ? t ? 8 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2
所以 y1 ? y2 ?


y ? y2 t 2t ,且 ? ? 4t 2 ? 36 ? t 2 ? 8 ? ? 0 ,故 y0 ? 1 ? 且 9 2 9
7第

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 ?3 ? t ? 3 . ???? ? ???? 由 PM ? NQ 知四边形 PMQN 为平行四边形 而 D 为线段 MN 的中点,因此,也 D 为线段 PQ 的中点,

5 ? y4 t 2t ? 15 3 所以 y0 ? , ? ,可得 y4 ? 2 9 9 7 又 ?3 ? t ? 3 ,所以 ? ? y4 ? ?1 , 3
因此点 Q 不在椭圆上. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 21.解: (1) f ? x ? 定义域为 ? 0, ?? ? , f ? ? x ? ? e x ?

a a x 的零点个数 ? y ? e 与 y ? 的交点个数, x x

① a ? 0 时,无交点,② a ? 0 时,有 1 个交点,③ a ? 0 时,无交点. . . . . . . . . . . . . . . .6 分
x (2)由(1) a ? 0 时,存在唯一 x0 ,使 f ? ? x0 ? ? 0 ,即 e 0 ?

a , x0

且 x ? ? 0, x0 ? 时, f ? ? x0 ? ? 0, f ? x ? 单调递减,

x ? ? x0 , ?? ? 时, f ? ? x0 ? ? 0, f ? x ? 单调递增,
∴ f ? x ?min ? f ? x0 ? ? e 0 ? a ln x0 ?
x

a a a ? a ln x0 ? ? ax0 ? a ln a ? 2a ? a ln a ? a ? 2 ? ln a ? , x0 e x0

∴当 a ? 0 时, f ? x ? ? a ? 2 ? ln a ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 22.证: (1)∵ DE ? EF ?EC , ?DEF ? ?CED ,
2

∴ ?DEF ? ?CED ,∴ ?EDF ? ?C , 又∵ CD / / AP ,∴ ?P ? ?C ,∴ ?EDF ? ?P, ?DEF ? ?PEA , ∴ ?EDF ? ?EPA ,∴

EA EP ,∴ EA?ED ? EF ?EP , ? EF ED 9 , 2

又∵ EA?ED ? CE ?EB ,∴ CE ?EB ? EF ?EP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 (2)∵ DE ? EF ?EC , DE ? 3, EF ? 2 ,∴ EC ?
2

∵ CE : BE ? 3 : 2 ,∴ BE ? 3 , 由(1)可知: CE ?EB ? EF ?EP ,解得 EP ? ∴ BP ? EP ? EB ?

27 , 4

15 ,∴ PA 是 ? O 的切线,∴ PA2 ? PB ?PC , 4



8第

∴ PA2 ?

15 3 15 ? 27 9 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 ? ? ? ? ,解得 PA ? 4 4 ? 4 2?
2

23.解: (1) C 的普通方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 1? 0 ? y ? 1? . 可得 C 的参数方程为

? x ? 1 ? cos t ( t 为参数, 0 ? t ? ? ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 ? ? y ? sin t
(2)设 D ?1 ? cos t ,sin t ? ,由(1)知 C 是以 G ?1, 0 ? 为圆心,1 为半么的上半圆.因为 C 在点 D 处的切 线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同, tan t ? 3, t ? 故 D 的直角坐标为 ? 1 ? cos

?
3



? ?

?
3

,sin

??

?3 3? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 ? ,即 ? ?2, 2 ? ? 3? ? ?

??2 x ? 2, x ? ?3 ? 24.解: (1) f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 3 ? ? 4, ?3 ? x ? 1 , ? 2 x ? 2, x ? 1 ?
当 x ? ?3 时,由 ?2 x ? 2 ? 8 ,解得 x ? ?5 ; 当 ?3 ? x ? 1 时, f ? x ? ? 8 ,不成立; 当 x ? 1 时,由 2 x ? 2 ? 8 ,解得 x ? 3 . 所以不等式 f ? x ? ? 8 的解集为 x | x ? ?5, 或x ? 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 (2)∵ f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 3 ? 4 ,∴ f ? x ?min ? 4 , 又不等式 f ? x ? ? a ? 3a 的解集不是空集,
2

?

?

所以, a 2 ? 3a ? 4 ,所以 a ? 4或a ? ?1 , 即实数 a 的取值范围是 ? ??, ?1? ? ? 4, ?? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分



9第


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