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2016版《一点一练》高考数学(理科)专题演练:第六章 不等式(含两年高考一年模拟)


第六章 不等式 考点 19 不等式的性质及不等式的解法 两年高考真题演练 1.(2015· 重庆)函数 f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是( A.[-3,1] C.(-∞,-3]∪[1,+∞) B.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞) )

2.(2015· 天津)设 x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的 ( ) A.充分

而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 3.(2015· 四川)如果函数 f(x)=2(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n
?1 ? ≥0)在区间?2,2?上单调递减,那么 mn 的最大值为( ? ?

)

A.16 B.18 81 C.25 D. 2 4.(2014· 四川)若 a>b>0,c<d<0,则一定有( a b a b A.c>d B. c<d a b a b C.d>c D.d<c 5.(2014· 北京)设 a,b 是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( ) )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(2014· 山东)已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系 式恒成立的是( )

1 1 A. 2 > 2 B.ln(x2+1)>ln(y2+1) x +1 y +1 C.sin x>sin y D.x3>y3 7. (2014· 浙江)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c, 且 0<f(-1)=f(- 2)=f(-3)≤3,则( )

A.c≤3 B.3<c≤6 C.6<c≤9 D.c>9
?x(x+2)>0, 8.(2014· 大纲全国)不等式组? 的解集为( ?|x|<1

)

A.{x|-2<x<-1} B.{x|-1<x<0} C.{x|0<x<1} D.{x|x>1} 9.(2015· 江苏)不等式 2x2-x<4 的解集为________. 10 . (2014· 湖 南 ) 若 关 于 x 的 不 等 式 |ax - 2| < 3 的 解 集 为 5 1? ? ?x|- <x< ?,则 a=________. 3 3? ? 11.(2014· 江苏)已知函数 f(x)=x2+mx-1,若对于任意 x∈[m, m+1],都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取值范围是________.

2 ? ?x +x,x<0, 12.(2014· 浙江)设函数 f(x)=? 2 若 f(f(a))≤2,则实数 ? ?-x ,x≥0,

a 的取值范围是________. 13.(2014· 浙江)已知实数 a,b,c 满足 a+b+c=0,a2+b2+c2 =1,则 a 的最大值是________.

考点 19

不等式的性质及不等式的解法 一年模拟试题精练

1. (2105· 烟台一模)设集合 M={x|x2-2x-3<0}, N={x|log2x<0}, 则 M∩N 等于( A.(-1,0) C.(0,1) ) B.(-1,1) D.(1,3)

2.(2015· 北京昌平区期末)已知 a>b>0,则下列不等式成立的是 ( ) A.a2<b2 C.|a|<|b| 1 1 B.a>b D.2a>2b

b2 a2 3.(2015· 江西师大模拟)若 a<0,b<0,则 p= a + b 与 q=a+b 的大小关系为( )

A.p<q B.p≤q C.p>q D.p≥q 4.(2015· 山东枣庄一模)关于 x 的不等式 x2-ax+a>0(a∈R)在 R 上恒成立的充分不必要条件是( A.a<0 或 a>4 B.0<a<2 C.0<a<4 D.0<a<8 5.(2015· 威海一模)若 a>b,则下列不等式成立的是( A.ln a>ln b B.0.3a>0.3b ) )

1 1 3 3 C.a2>b2 D. a> b 6.(2015· 湖北利川模拟)设 p: |2x+1|>a.q: 的必要但不充分条件的实数 a 的取值范围是( A.(-∞,0) B.(-∞,-2] C.[-2,3] D.[3,+∞) 7.(2015· 四川模拟)设 k∈R,若关于 x 方程 x2-kx+1=0 的两根 分别在区间(0,1)和(1,2)内,则 k 的取值范围为( 5? ? A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.?2,2?
? ? ?5 ? C.(1,3) D.(-∞,2)∪?2,+∞? ? ?

x-1 >0.使得 p 是 q 2x-1 )

)

8.(2015· 威海一模)函数 f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0, +∞)上单调递增,则 f(2-x)>0 的解集为( A.{x|x>2 或 x<-2} B.{x|-2<x<2} C.{x|x<0 或 x>4} D.{x|0<x<4} 9 . (2015· 江 西 师 大 模 拟 ) 若 不 等 式 ax2 - 3x + 5>0 的 解 集 为 {x|m<x<1},则实数 m=________. 10.(2015· 浙江余姚模拟)已知关于 x 的不等式 ax2-3x+2>0 的 解集为{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b 的值; (2)当 c∈R 时, 解关于 x 的不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0(用 c 表示). )

考点 20

二元一次不等式(组)与简单的线性规划 两年高考真题演练

x+2y≥0, ? ? 1.(2015· 福建)若变量 x,y 满足约束条件?x-y≤0, 则 z=2x ? ?x-2y+2≥0, -y 的最小值等于( )

5 3 A.-2 B.-2 C.-2 D.2 x-y≥0, ? ? 满足约束条件?x+y≤2,若 ? ?y≥0,

2.(2015· 山东)已知 x,y

z=ax+y

的最大值为 4,则 a=(

)

A.3 B.2 C.-2 D.-3 2x+y≤10, ? ? 3.(2015· 四川)设实数 x,y 满足?x+2y≤14,则 xy 的最大值为 ? ?x+y≥6, ( ) 25 49 A. 2 B. 2 C.12 D.16 x+y-2≤0, ? ? 4.(2015· 重庆)若不等式组?x+2y-2≥0,表示的平面区域为三 ? ?x-y+2m≥0 4 角形,且其面积等于3,则 m 的值为( 4 A.-3 B.1 C.3 D.3 )

5.(2015· 陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原 料,已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所 示,如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该 企业每天可获得最大利润为( 甲 A(吨) B(吨) A.12 万元 C.17 万元 3 1 ) 乙 2 2 原料限额 12 8

B.16 万元 D.18 万元

x+y-7≤0, ? ? 6.(2014· 课标全国Ⅱ)设 x,y 满足约束条件?x-3y+1≤0,则 z ? ?3x-y-5≥0, =2x-y 的最大值为( )

A.10 B.8 C.3 D.2 x+y-2≥0, ? ? 7.(2014· 天津)设变量 x,y 满足约束条件?x-y-2≤0,则目标 ? ?y≥1, 函数 z=x+2y 的最小值为( )

A.2 B.3 C.4 D.5
? ?x-y-1≤0, 8.(2014· 山东)已知 x,y 满足约束条件? 当目标函 ? ?2x-y-3≥0,

数 z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值 2 5时,a2+b2 的最小值为( )

A.5 B.4 C. 5 D.2 x+y-2≤0, ? ? 9.(2014· 安徽)x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0,若 z=y-ax 取 ? ?2x-y+2≥0, 得最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值为( )

1 1 A.2或-1 B.2 或2 C.2 或 1 D.2 或-1 x+y-2≥0, ? ? 10. (2014· 北京)若 x, y 满足?kx-y+2≥0,且 z=y-x 的最小值 ? ?y≥0 为-4,则 k 的值为( )

1 1 A.2 B.-2 C.2 D.-2 y≤x, ? ? 满足约束条件?x+y≤1,且 ? ?y≥-1 )

11.(2014· 广东)若变量 x,y

z=2x

+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,则 m-n=( A.5 B.6 C.7 D.8

x-1≥0, ? ? 12.(2015· 新课标全国Ⅰ)若 x,y 满足约束条件?x-y≤0, 则 ? ?x+y-4≤0, y x的最大值为________. x+2y-4≤0, ? ? 13. (2014· 浙江)当实数 x, y 满足?x-y-1≤0, 时, 1≤ax+y≤4 ? ?x≥1

恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 考点 20 二元一次不等式(组)与简 单的线性规划 一年模拟试题精练 1 . (2015· 河南郑州模拟)如果实数 x,y 满足不等式组 x+y-3≤0, ? ? ?x-2y-3≤0,目标函数 z=kx-y 的最大值为 6,最小值为 0,则实 ? ?x≥1, 数 k 的值为( A.1 ) B.2 C.3 D.4

2.(2015· 江南十校模拟)已知点 A(-2,0),点 M(x,y)为平面区 2x+y-2≥0, ? ? 域?x-2y+4≥0,上的一个动点,则|AM|的最小值是( ?3x-y-3≤0, ? A.5 B.3 C.2 2 D. 6 5 5

)

3 . (2015·江 西 重 点 中 学 模 拟 ) 实 数 x , y 满 足
? ?x-y+1≥0 ? , 若 t≤y+2x 恒成立, 则 t 的取值范围是 ?(x-2y)(x-2y+6)≤0 ?

(

) A.t≤13 B.t≤-5 C.t≤-13 D.t≤5 x+y≤1, ? ? 4.(2015· 德州一模)已知变量 x,y 满足约束条件?x-y≤1,若 x ? ?x≥a,

+2y≥-5 恒成立,则实数 a 的取值范围为(

)

A.(-∞,-1] B.[-1,+∞) C.[-1,1] D.[-1,1) 2x-y+2≥0, ? ? 5.(2015· 江西赣县模拟)设 x,y 满足约束条件?8x-y-4≤0,若 ? ?x≥0,y≥0, 目标函数 z=ax+by(a>0, b>0)的最大值为 8, 则 ab 的最大值为( A.1 B.2 C.3 D.4 x-2y+1≥0, ? ? 6. (2015· 辽宁师大附中模拟)已知实数 x, y 满足: ?x<2, ? ?x+y-1≥0, z=|2x-2y-1|,则 z 的取值范围是(
?5 ? A.?3,5? B.[0,5] ? ? ?5 ? C.[0,5) D. ?3,5? ? ?

)

)

2x-y-2≤0, ? ? 7.(2015· 北京西城模拟)设不等式组?x+y-1≥0, 表示的平面 ?x-y+1≥0, ? 区域为 D. 则区域 D 上的点到坐标原点的距离的最小值是( 2 1 A.1 B. 2 C.2 D.5 8. (2015· 黑龙江绥化模拟)已知关于 x 的方程 x2+(a+1)x+a+2b b +1=0 的两个实根分别为 x1,x2,且 0<x1<1,x2>1,则a的取值范围 是________. 9.(2015· 湖北八校模拟)已知直线 l:x=my+n(n>0)过点 A(5 3, )

x≤my+n, ? ? 5),若可行域?x- 3y≥0,的外接圆直径为 20,则 n=________. ? ? y≥ 0 2x-y+1>0, ? ? 10.(2015· 山东菏泽一模)设关于 x,y 的不等式组?x-m<0, ? ?y+m>0. 表示的平面区域内存在点 P(x0,y0)满足 x0-2y0=2,则 m 的取值范围 是________. x-y+2≥0, ? ? 满足?x+y-4≥0, ? ?2x-y-5≤0,

11. (2015· 河北衡水模拟)已知实数 x、 y



z=|x+3y|的最小值________. x≤3, ? ? 12.(2015· 江西重点中学模拟)设不等式组?y≤4, ? ?4x+3y≥12 所表示的平面区域为 D.若圆 C 落在区域 D 中,则圆 C 的半径 r 的最大值为________. x+2y≥2, ? ?x 13.(2015· 威海一模)设 x,y 满足约束条件?e -y≥0, ? ?0≤x≤2, 则 M(x,y)所在平面区域的面积为________.
? ?y≥2|x|-1, 14.(2015· 潍坊一模)若 x、y 满足条件? 则 ?y≤x+1, ?

z=x+3y 的最大值为________.

考点 21

基本不等式

两年高考真题演练 x y 1.(2015· 福建)若直线a+b=1(a>0,b>0)过点(1,1),则 a+b 的最小值等于( A.2 C.4 ) B.3 D.5

2.(2014· 重庆)若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是 ( ) A.6+2 3 B.7+2 3 C.6+4 3 D.7+4 3 x2-y2 3.(2015· 山东)定义运算“?” :x?y= xy (x,y∈R,xy≠0),当 x>0,y>0 时,x?y+(2y)?x 的最小值为________. 4.(2015· 重庆)设 a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大 值为________. 5.(2014· 辽宁)对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a2-2ab+4b2 3 4 5 -c=0 且使|2a+b|最大时,a-b+c的最小值为________. 6.(2014· 江苏)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小值是________. 7.(2014· 福建)要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体 容器.已知该容器的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方 米 10 元,则该容器的最低总造价是________(单位:元).

8.(2014· 浙江)如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练.已知点 A 到墙面的距离为 AB,某目标点 P 沿墙 面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准目标点 P,需计算由点 A 观 察点 P 的仰角 θ 的大小.若 AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°, 则 tan θ 的最大值是________.(仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成 角) 9.(2014· 湖北)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路 段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速 度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶,单位:米/秒)、平均车长 l(单位: 76 000v 米)的值有关,其公式为 F= 2 . v +18v+20l (1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/时; (2)如果限定车型, l=5, 则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 ________辆/时.

考点 21

基本不等式

一年模拟试题精练 1.(2015· 湖北利川模拟)设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列 不等式中不恒成立的是( A.a+b>2 ab C.a2+b2+c2>ab+bc+ca ) 1 B.(a-b)+ ≥2 a-b D.|a-b|≤|a-c|+|c-b|

2. (2015· 辽宁师大附中模拟)函数 y=loga(x+3)-1(a>0, 且 a≠1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 m,n 均 1 2 大于 0,则m+n的最小值为( A.2 B.4 C.8 D.16 3. (2015· 广东广州模拟)某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓 房.当每套房月租金定为 3 000 元时,这 70 套公寓能全租出去;当 月租金每增加 50 元时(设月租金均为 50 元的整数倍),就会多一套房 子不能出租. 设租出的每套房子每月需要公司花费 100 元的日常维修 等费用 ( 设租不出的房子不需要花这些费用 ) .要使公司获得最大利 润,每套房月租金应定为( ) )

A.3 000 B.3 300 C.3 500 D.4 000 4.(2015· 湖北省荆门模拟)设 x∈R, 对于使-x2+2x≤M 成立的 所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 1 叫做-x2+2x 的上确界. 若 a, 1 2 b∈(0,+∞),且 a+b=1,则-2a-b的上确界为( )

9 9 A.-5 B.-4 C.2 D. -2 5. (2015· 河北衡水模拟)给出下列四个命题: ①若 a<b, 则 a2<b2; ②若 a≥b>-1,则 a b ≥ ;③若正整数 m、n 满足 m<n,则 1+a 1+b

n 1 m(n-m)≤2; ④若 x>0,则 ln x+ln x≥2.其中正确命题的序号 是________.
? sin 2α π? 6. (2015· 潍坊一模)若 α∈?0, ?, 则 2 的最大值为 2? sin α +4cos2α ?

________. x+2y 7.(2015· 山东德州模拟)若正数 x,y 满足 2x+y-3=0,则 xy 的最小值为________. a2+b2 8 . (2015· 潍坊一模 ) 已知 a>b>0 , ab = 1 ,则 的最小值为 a-b ________. 9.(2015· 鹤岗模拟)若 a,b,c>0,且 a2+ab+ac+bc=4,则 2a +b+c 的最小值为________. 2 1 10.(2015· 日照模拟)已知 x>0,y>0,且x+ y =1,若 x+2y>m2 +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围________. 1 11.(2015· 江苏省盐城模拟)已知 x>0,y>0,n>0,nx+y=1,x+ 4 y的最小值为 16,则 n 的值为________. 12.(2015· 山东省日照模拟)已知不等式 x2-5ax+b>0 的解集为

{x|x>4,或 x<1}. (1)求实数 a,b 的值; a b (2)若 0<x<1, f(x)=x+ ,求 f(x)的最小值. 1-x

第六章 不等式 考点 19 不等式的性质及不等式的解法

【两年高考真题演练】 1.D [需满足 x2+2x-3>0,解得 x>1 或 x<-3,所以 f(x)的 定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).] 2.A [由|x-2|<1 得,1<x<3,由 x2+x-2>0,得 x<-2 或 x>1,而 1<x<3?x<-2 或 x>1,而 x<-2 或 x>1?/ 1<x<3, 所以, “|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分而不必要条件,选 A.] n-8 3.B [令 f′(x)=(m-2)x+n-8=0,∴x=- ,当 m>2 时, m-2 对称轴 x0=- n-8 n-8 ,由题意,- ≥2,∴2m+n≤12, m-2 m-2

2m+n ∵ 2mn≤ 2 ≤6,∴mn≤18,由 2m+n=12 且 2m=n 知 m =3,n=6, n-8 1 当 m<2 时, 抛物线开口向下, 由题意- ≤ , 即 2n+m≤18, m-2 2 2n+m 81 ∵ 2mn≤ 2 ≤9,∴mn≤ 2 ,由 2n+m=18 且 2n=m, 得 m=9(舍去),∴mn 最大值为 18,选 B.] 1 1 4.D [∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴0< < . -c -d 即 1 1 a b a b > >0.又∵a>b>0,∴ > ,∴d<c.] -d -c -d -c

5.D [当 a=0,b=-1 时,a>b 成立,但 a2=0,b2=1,a2 >b2 不成立,所以“a>b”是“a2>b2”的不充分条件. 反之,当 a=-1,b=0 时,a2=1,b2=0,即 a2>b2 成立,但 a >b 不成立,所以“a>b”是“a2>b2”的不必要条件.

综上, “a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件,应选 D.] 6.D [由 ax<ay(0<a<1),可得 x>y,又因为函数 f(x)=x3 在 R 上 递增,所以 f(x)>f(y),即 x3>y3.] 7.C 8. C
? ?x(x+2)>0,① [? 由①得,x<-2 或 x>0,由②得,- ?|x|<1,② ?

1<x<1,因此原不等式组的解集为{x|0<x<1},故选 C.] 9.{x|-1<x<2} [∵2x2-x<4=22,∴x2-x<2,即 x2-x-2 <0,解得-1<x<2.] 10.-3 [由|ax-2|<3,得-1<ax<5.若 a≥0,显然不符合题意, 5 1 1 1 5 5 当 a<0 时,解得a<x<-a,故-a=3,a=-3,解得 a=-3.] 11.
? 2 ? ?- ,0? 2 ? ?

[













2 2 ? ?f(m)=m +m -1<0, 2 ? 解得- 2 <m<0.] 2 ?f(m+1)=(m+1) +m(m+1)-1<0, ?

12 . ( - ∞ ,
? ?f(a)≥0, ? 2 ?-f (a)≤2, ?

2]

?f(a)<0 ? [ 由 题 意 得 ?2 或 ? ?f (a)+f(a)≤2

? ? ?a<0, ?a≥0, ? 即 2 或? 解得 a≤ 2.] 2 ? ?a +a≥-2 ? ?-a ≥-2,

6 13. 3

[由 a+b+c=0 可得 c=-(a+b).又 a2+b2+c2=1,

所以 a2+b2+[-(a+b)]2=1, 整理得 2b2+2ab+2a2-1=0. 又由 a2+b2+c2=1 易知 0≤b2≤1,-1≤b≤1, 因此关于 b 的方程 2b2+2ab+2a2-1=0 在[-1,1]上有解,所

? a ?-1≤ ≤1, 2 以? ?2-2a+2a -1≥0, ?2+2a+2a -1≥0,
2 2

Δ=4a2-8(2a2-1)≥0,

6 6 解得 a≤ 3 ,即 a 的最大值是 3 .] 【一年模拟试题精练】 1. C [因为, M={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3}, N={x|log2x<0} ={x|0<x<1},所以 M∩N={x|0<x<1},选 C.] 2.D [利用不等式的性质,选 D.] 3 .B (b-a)2(b+a) b2 a2 [因为 p-q= a + b -a-b= ≤0,所 ab

以 p≤q,则选 B.] 4. B [因为不等式 x2-ax+a>0(a∈R)在 R 上恒成立的充分条件 是 Δ=a2-4a<0,即 0<a<4,所以不等式 x2-ax+a>0(a∈R)在 R 上 恒成立的充分不必要条件是 0<a<2,故选 B.] 5.D 6.A [ 设 |2x + 1|>a 的 解 集 为 A , x-1 >0 的 解 集 为 B = 2x-1

1? ? ?x|x>1,或x< ?,因为 p 是 q 的必要但不充分条件,所以 B?A,然后 2? ? 利用排除法选 A;] 7.B [令 f(x)=x2-kx+1,因为方程 x2-kx+1=0 的二根分别 f(0)>0, ? ? 5? ? 在区间(0,1)和(1,2)内,所以?f(1)<0,即 k∈?2,2?.] ? ? ? ?f(2)>0 8.C [由题意可知 f(-x)=f(x),

即(-x-2)(-ax+b)=(x-2)(ax+b),(2a-b)x=0 恒成立,故 2a -b=0,即 b=2a, 则 f(x)=a(x-2)(x+2). 又函数在(0,+∞)上单调递增,所以 a>0. f(2-x)>0 即 ax(x-4)>0,解得 x<0 或 x>4. 故选 C]. 5 9.-2 [因为不等式 ax2-3x+5>0 的解集为{x|m<x<1},所以 a 5 -3+5=0,得 a=-2,由-2x2-3x+5=0 解得 x=1 或 x=-2,所 5 以 m=-2.] 10.解 (1)已知得 1,b 是方程 ax2-3x+2=0 的两个实数根,

3 ? 1 + b = ? ?a=1, a, ? 且 b>1,a>0,所以? 即? 2 ?b=2. ? ? 1 × b = ? a (2)由(1)得原不等式可化为 x2-(2+c)x+2c<0 即(x-2)(x-c)<0 所以当 c>2 时,所求不等式的解集为{x|2<x<c} 当 c<2 时,所求不等式的解集为{x|c<x<2} 当 c=2 时,所求不等式的解集为?. 考点 20 二元一次不等式(组)与简单的线性规划

【两年高考真题演练】 1.A [

如图,可行域为阴影部分,线性目标函数 z=2x-y 可化为 y=2x 1? ? -z,由图形可知当 y=2x-z 过点?-1,2?时 z 最小,zmin=2×(-1)
? ?

1 5 -2=-2,故选 A.] 2.B [不

等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知 A(2,0),
?x-y=0, ? 由? 得 B(1,1). ? ?x+y=2,

由 z=ax+y,得 y=-ax+z. ∴当 a=-2 或 a=-3 时,z=ax+y 在 O(0,0)处取得最大值, 最大值为 zmax=0,不满足题意,排除 C,D 选项;当 a=2 或 3 时,z =ax+y 在 A(2,0)处取得最大值, ∴2a=4,∴a=2,排除 A,故选 B.] 1 1?2x+y?2 1?10?2 25 5 ? ≤ ? ? = ,当且仅当 x= ,y 3.A [xy=2×2xy≤2? 2? 2 ? 2 2 ? 2 ? 5 =5 时,等号成立,把 x=2,y=5 代入约束条件,满足.故 xy 的最 25 大值为 2 .] 4.B [

不等式组表示的区域如图,则图中 A 点纵坐标 yA=1+m,B 点 2m+2 纵坐标 yB= 3 , C 点横坐标 xC=-2m, 2m+2 1 1 ∴S=S△ACD-S△BCD=2×(2+2m)×(1+m)-2×(2+2m)× 3 (m+1)2 4 = =3, 3 ∴m+1=2 或-2(舍),∴m=1.] 5.D [设甲、乙

3x+2y≤12, ? ?x+2y≤8, 的产量分别为 x 吨,y 吨,由已知可得? x≥0, ? ?y≥0, 目标函数 z=3x+4y,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分 所示: 可得目标函数在点 A 处取到最大值.
? ?x+2y=8, 由? 得 A(2,3). ? ?3x+2y=12,

则 zmax=3×2+4×3=18(万元).] 6.B [线性目标函数 z=2x-y 满足的可行域如图所示.

将直线 l0:y=2x 平行移动,当直线 l0 经过点 M(5,2)时,直线 y =2x-z 在 y 轴上的截距最小,也就是 z 取最大值,此时 zmax=2×5 -2=8.] 7.B [画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分).

1 1 1 由 z=x+2y,得 y=-2x+2z,作直线 l:y=-2x,平移 l,由图 形可知当 l 经过可行域中的点 A(1, 1)时, z 取最小值, 且 zmin=1+2×1 =3,故选 B.]
?x-y-1≤0, ? 8.B [约束条件? 满足的可行域如图中的阴影部分 ? ?2x-y-3≥0

所示.由图可知,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取最小值时,最 优解为(2,1).

所以 2a+b=2 5,则 b=2 5-2a, 所以 a2+b2=a2+(2 5-2a)2=5a2-8 5+20=5?a-
? ?

4 5?2 ? +4, 5 ?

4 2 即当 a=5 5,b=5 5时, a2+b2 有最小值 4.] 9.D 10.D 11. B [画出约束条件所确定的可行域(如图阴影部分的区域). 作 直线 l0:y=-2x,平移直线 l0,由图形可知,当 l0 经过可行域内的点 A(2,-1)时,z 取最大值,即 m=2×2+(-1)=3;当 l0 经过可行域 内的点 B(-1,-1)时,z 取最小值,即 n=2×(-1)+(-1)=-3, 故 m-n=3-(-3)=6.故选 B.]

y y-0 12.3 [约束条件的可行域如下图,由x= ,则最大值为 3.] x-0

3? ? 13.?1,2?
? ?

[作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分

所示,令 z=ax+y,即 y=-ax+z.要使 1≤z≤4 恒成立,则 a>0.

作直线 l0:y=-ax,平移 l0,最优解可在 A(1,0),B(2,1)处取 得.

?1≤a≤4, 故由 1≤z≤4 恒成立,可得? 3] 1 ≤ 2 a + 1 ≤ 4 ,解得 1 ≤ a ≤ ? 2.
【一年模拟试题精练】 1.B [不等式组表示的可行域如图,A(1,2),B(1,-1),C(3, 0) ∵目标函数 z=kx-y 的最小值为 0,∴目标函数 z=kx-y 的最 小值可能在 A 或 B 时取得; ∴①若在 A 上取得,则 k-2=0,则 k=2,此时,z=2x-y 在 C 点有最大值,z=2×3-0=6,成立; ②若在 B 上取得,则 k+1=0,则 k=-1,此时,z=-x-y, 在 B 点取得的应是最大值, 故不成立,∴k=2,故答案为 B. ]

2.D

2x+y-2≥0, ? ? [不等式组?x-2y+4≥0,表示的平面区域如图,结合图 ? ?3x-y-3≤0

象可知|AM|的最小值为点 A 到直线 2x+y-2=0 的距离,即|AM|min=

|2×(-2)+0-2| 6 5 = 5 .] 5 3.B
? ?x-y+1≥0, [不等式组? 等价于 ?(x-2y)(x-2y+6)≤0, ?

x-y+1≥0, ?x-y+1≥0, ? ? ? 得到 ?x-2y≥0, 或?x-2y≤0, 画出不等式组表示的平面区域, ? ?x-2y+6≤0 ? ?x-2y+6≥0 z=y+2x 的最小值为-5,故 t≤-5.] x+y≤1, ? ? [作出满足约束条件?x-y≤1,的可行域,如图△ABC 内 ? ?x≥a

4.C

部(含边界),由此可见,必有 a≤1, 作出直线 x+2y=-5,由题设△ABC 必定在直线 x+2y=-5 的 上面,当点 A 在直线 x+2y=-5 时, a=-1,所以-1≤a≤1,选 C.]

5.D [由题意作出其平面区域,

则由目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 8,a+4b=8, 则由 a· 4b≤?
?a+4b?2 ? 得,ab≤4,(当且仅当 a=4,b=1 时,等号 ? 2 ?

成立).故选 D.] x-2y+1≤0, ? ? [由约束条件?x<2, ? ?x+y-1≥0.

6.C

作出可行域如图,
? ? ?x=2, ?x=2, ? 联立 解得? ?x+y-1=0, ?y=-1, ? ?

∴A(2,-1), 1 ? x = ? 3, ? ?x+y-1=0 联立? ,解得? 2 ?x-2y+1=0 ? ? y = ? 3,
?1 2? ∴B?3,3?. ? ?

u 1 u 1 令 u=2x-2y-1,则 y=x-2-2,由图可知,当 y=x-2-2 u 1 经过点 A(2,-1)时,直线 y=x-2-2在 y 轴上的截距最小,u 最大, 最大值为 u=2×2-2×(-1)-1=5;

?1 2? u 1 u 1 当 y=x-2-2经过点 B?3,3?时,直线 y=x-2-2在 y 轴上的截 ? ?

距最大, 1 2 5 5 u 最小,最小值为 u=2×3-2×3-1=-3,∴-3≤u<5,∴z =|u|∈[0,5),故选 C.]

7.B [作出不等式组对应的平面区域如图: 由图象可知,当 OQ 垂直直线 x+y-1=0 时,此时区域 D 上的 点到坐标原点的距离最小, 最小值为原点到直线 x+y-1=0 的距离 d |-1| 2 = = 2 ,故选 B.] 2

1? ? 8.?-1,-4?
? ?

9.10 3
?2 ? 10.?3,+∞? ? ?

2x-y+1>0, ? ? [不等式组?x-m<0, 表示的平面区域如下图 ? ?y+m>0

中的阴影部分所示:

要使平面区域内存在点 P(x0,y0)满足 x0-2y0=2,必须使点 A 位 于直线 x-2y-2=0 的右下侧, 2 所以,m-2(-m)-2>0,∴m>3,
?2 ? 所以,答案填:?3,+∞?.] ? ?

11. 6

[作出现行约束条件的可行域, 如右图所示: |x+3y|= 10

|x+3y| |x+3y| × ,其中 表示可行域内的点到直线 x+3y=0 的距离,易 10 10 知 B(3, 1)到直线 x+3y=0 的距离最小为 的最小值为 6.] 12.1 [画出平面区域 D,可得到一个直角三角形,要使圆 C 的 半径 r 最大,只要圆 C 和直角三角形相内切,由平面几何知识可求得 r 的最大值为 1.] 13.e2-2 x+2y≥2, ? ?x [画出?e -y≥0, 对应的平面区域,如图所示. ? ?0≤x≤2 |3+3×1| 6 = , 所以|x+3y| 10 10

M(x,y)所在平面区域的面积为
?2 1 x 2 0 2 2 x ? e dx-S△AOB=e ? - ×2×1=e -e -1=e -2.] 2 ?0 ?0

14.11 部分所示:

[不等式组在直角坐标平面内所对应的区域如下图阴影

1 z 1 由 z=x+3y 得:y=-3x+3,它表示斜率为-3,在 y 轴上的截 z 距为3的一组平行直线,并且在 y 轴上的截距越大则 z 越大;由图可
? ? ?y=2x-1 ?x=2 ? 知,当直线经过点 A 时,截距最大;解方程组 ,得? 所 ? ? ?y=x+1 ?y=3 ?x=2 ? 以当? 时,z 取得最大值:11 故答案应填:11.] ?y=3 ?

考点 21 【两年高考真题演练】 1 .C

基本不等式

?1 1? 1 1 b a [由题意a+b=1,∴a+b=(a+b)?a+b?=2+a+b≥4, ? ?

当且仅当 a=b=2 时,取等号.故选 C.] 1 1 2.D [由 log4(3a+4b)=log2 ab,得2log2(3a+4b)=2log2(ab),
?3 4? 3a 4b 3 4 所以 3a+4b=ab,即b+a=1.所以 a+b=(a+b)?b+a?= b + a + ? ?

3a 4b 7≥4 3+7, 当且仅当 b = a , 即 a=2 3+4, b=3+2 3时取等号. 故 选 D.] x2-y2 (2y)2-x2 x2+2y2 3. 2 [由题意, 得 x?y+(2y)?x= xy + = 2xy ≥ 2yx 2 x2·2y2 2xy = 2,当且仅当 x= 2y 时取等号.]

4.3 2 [∵a,b>0,a+b=5,∴( a+1+ b+3)2=a+b+4 +2 a+1 b+3≤a+b+4+( a+1)2+( b+3)2=a+b+4+a+b+ 7 3 4=18, 当且仅当 a=2, b=2时, 等号成立, 则 a+1+ b+3≤3 2, 即 a+1+ b+3最大值为 3 2.] 5.-2 6. 6- 2 4 [由 sin A+ 2sin B=2sin C 及正弦定理可得 a+ 2b

?a+ 2b?2 ? a2+b2-? 2 ? a +b - c ? =2c.故 cos C= 2ab = 2ab
2 2 2

3a2+2b2-2 2ab 2 6ab-2 2ab 6- 2 = ≥ = 8ab 8ab 4 , a 2 当且仅当 3a2=2b2,即b= 时等号成立. 3 所以 cos C 的最小值为 7.160 6- 2 4 .]

[设池底长 x m,宽 y m,则 xy=4,

4 所以 y=x ,则总造价为: 4? ? 80 f(x)=20xy+2(x+y)×1×10=80+ x +20x=20?x+ x? +80,x∈
? ?

(0,+∞). 所以 f(x)≥20×2 等号成立. 所以最低总造价是 160 元.] 4 4 x·x +80=160, 当且仅当 x=x, 即 x=2 时,

5 3 8. 9

[ 由于 AB⊥BC , AB = 15 m , AC = 25 m ,所以 BC =

252-152=20 m. 过点 P 作 PN⊥BC 交 BC 于 N, 连接 AN(如图), 则∠PAN=θ, tan

θ=AN.

PN

设 NC = x(x>0) , 则 BN = 20 - x , 于 是 AN = AB2+BN2 = 3 152+(20-x)2= x2-40x+625,PN=NC· tan 30°= 3 x, 3 3x 所以 tan θ= 2 x -40x+625 3 3 = 40 625 1- x + x2 3 3 625 40 x2 - x + 1 1 ,令x =t,



625 40 4 则 x2 - x +1=625t2-40t+1,当 t=125时,625t2-40t+1 取最 9 小值25, 因此 625 40 x2 - x +1的最小值为 9 3 25=5,这时 tan θ的最大值

125? 3 5 5 3? 为 3 ×3= 9 ?此时x= 4 ?.] ? ? 9 . (1)1 900 (2)100 [(1)l = 6.05 , 则 F = 76 000v = v +18v+121
2

76 000 121 76000 ,由基本不等式 v + ≥ 2 121 = 22 ,得 F ≤ =1 v 121 22+18 v+18+ v 900(辆/时),故答案为 1 900. 76 000v (2)l=5, F= 2 = v +18v+100 2 100=20, 76 000 得 F≤ =2 000(辆/时),增加 2 000-1 900=100(辆/时), 20+18 故答案为 100.] 【一年模拟试题精练】 1 1.B [(a-b)+ ≥2 中必须满足 a-b>0,故选 B.] a-b 2.C [∵x=-2 时,y=loga1-1=-1, ∴函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点(-2,-1) 即 A(-2,-1), ∵点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, ∴-2m-n+1=0,即 2m+n=1, 1 2 2m+n 4m+2n n 4m ∵mn>0,∴m>0,n>0,m+n= m + n =2+m+ n + n 4m 2≥4+2· m· n =8, 1 1 当且仅当 m=4,n=2时取等号.] 3. B [由题意, 设利润为 y 元, 租金定为 3 000+50x 元(0≤x≤70, x∈N), 则 y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x) =(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x) 76 000 100 , 由基本不等式 v + v ≥ 100 v+18+ v

≤50?

?58+x+70-x?2 ? , 2 ? ?

当且仅当 58+x=70-x,即 x=6 时,等号成立,故每月租金定 为 3 000+300=3 300(元), 故选 B.] 1 2 ? 1 2? 5 b 2a 5 9 4.D [因为2a+b=?2a+b?(a+b)=2+2a+ b ≥2+2=2,所以
? ?

1 2 9 -2a-b≤-2,则选 D.] 5. ②③ [①中, 若 a<b<0 时不成立; ②若 a≥b>-1, 则 a+1≥b a +1>0,则 a(1+b)-b(1+a)=a-b≥0,即 a(1+b)≥b(1+a),∴ 1+a b ≥ ,故②正确;③中正整数 m,n 满足 m<n,有均值不等式得 1+b n m(n-m)≤2, 故③正确; ④中, 0<x<1 时, ln x<0, 结论不成立. 综 上,正确命题的序号是②③.]
? π? 1 6.2 [∵α∈?0, ?,∴tan α∈(0,+∞), 2? ?

∴ =

sin 2α 2sin α·cos α 2tan α = 2 = 2 sin α+4cos α sin α+4cos2α tan2α+4
2

2 4 tan α+ tan α

≤ 2

2 4 tan α× tan α

1 = 2 当且仅当 tan α =

4 1 ,即 tan α=2 时,等号成立所以,答案应填2.] tan α 7.3 [因为正数 x,y 满足 2x+y-3=0,

x+2y 1 x+2y 1?2x 2y ? 1 所以3(2x+y)=1,∴ xy =3(2x+y) xy =3? y + x +5?≥3.] ? ? 8.2 2 [∵a>b>0,∴a-b>0

a2+b2 (a-b)2+2ab ∴ = a-b a-b 2 =(a-b)+ ≥2 a-b 2 (a-b)· ≥2 2. a-b

2 当且仅当(a-b)= 即:a=b+ 2时等号成立.所以答案应填 a-b 2 2.] 9.4 [由已知得 a2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)=4,

则 2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2 (a+b)(a+c)=4, ∴2a+b+c 的最小值为 4.] 10. (-4, 2) 8 ∵x+2y≥m2+2m 恒成立,∴m2+2m<8,求得-4<m<2,故答案 为:-4<m<2.] 11.4 [∵x>0,y>0,n>0,nx+y=1,
? ? ?2 1? 2 1 4y x [∵x+y=1, ∴x+2y=(x+2y)? x +y?=4+ x +y≥ ? ?

?1 4? 1 4 ∴x+y=(nx+y)?x +y ?=n+4+2

y 4n x· y =n+4+4 n,当且仅

当 y=2 nx时取等号.∴n+4+4 n=16,解得 n=4.故答案为:4.] 12.解
?4+1=5a, ? ?a=1, ? (1)依题意可得? 即? ? ? ?4×1=b, ?b=4,

1 4 (2)由(1)知 f(x)=x + , 1-x 1 4 ∵0<x<1,∴0<1-x<1, x>0, >0, 1 -x
?1 4 ? 1-x 4x 1 4 ∴x+ =?x +1-x?[x+(1-x)]= x + +5≥9, 1-x ? 1-x ?

1 -x 4 x 当且仅当 x = , 1-x

1 即 x=3时,等号成立. ∴f(x)的最小值为 9.


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