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汕头市2011---2012学年度普通高中教学质量监测高二理科数学试题及答案


汕头市 2011---2012 学年度普通高中教学质量监测 高二级理科数学
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否 正确;之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考 生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确

粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码 整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 不按要求填涂的,答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然 后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错 涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:若椎体的底面积为 S ,高为 h ,则锥体的体积为 v ?

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设复数 z ? (2 ? i)i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的虚部是( A 2i B.-1 C 2 D.1 ( ) )

1 sh . 3

2.若集合 P ? y y ? 0 , P A. y y ? x , x ? R
2

?

?

Q ? Q ,则集合 Q 不可能是

?

?
?

C. y y ? lg x , x ? 0

?

? D. ? y y ? x

B. y y ? 2 , x ? R
x ?3

? , x ? 0?
( )

3.一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为 10 3 ,则 h ? A.

3 2

B.

3

C. 3 3

D. 5 3

1

(第 3 题图)

4.若△ABC 的对边分别为 a 、 b 、C 且 a ? 1 , ?B ? 45 , S△ABC ? 2 ,则 b ? ( ) A、5 B、25 C、 41 D、 5 2 )

5.已知向量 p ? ? 2, ?3? , q ? ? x, 6 ? ,且 p // q ,则 p ? q 的值为 ( A. 5 6.下列结论正确的是 B. 13 ( C. 13 ) D. 5

①“a=1”是“直线 x ? ay ? 0 与直线 x ? ay ? 0 互相垂直”的充要条件 ②函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

开始 对称 输入 p

?
6

) 最小正周期为 ? ,且图像关于直线 x ?

?
3

③ 线性回归直线至少经过样本点中的一个 ④ ?x ? R,2 x?1 ≥0 的否定是 ?x ? R, 2x?1 ? 0 A.② B. ②④ C. ①②③ D. ①②④

n ? 1,S ? 0
S? p?
是 否

S?S?

1 2n

输出 n 结束

n ? n ?1
7.执行右图中的程序框图,若 p ? 0.8 ,则输出的 n ? ( A. 2 B. 3 C. 5 ) D. 4 (第 7 题图)

8.设函数 f ( x) ? log3 A. (?1, ? log3 2)

x?2 ? a 在区间 (1, 2) 内有零点,则实数 a 的取值范围是( x
B. (0, log3 2) C. (log3 2,1) D. (1, log3 4)



二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题

2

分为必做题和选做题两部分.

(一)必做题(9~13 题)
9. ( x ?
3

1 12 ) 的展开式中常数项是_______.(用数字作答) x

?x ? 2 ? 0 ? 10.点 P ( x, y ) 在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上运动,则 z ? x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
___ 11. 已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1( a >0, b >0)的离心率为 2,一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的 2 a b
.

焦点相同,渐近线方程为

?2 x , x ? 0, ? 且f ( x) 为奇函数,则 g (3) ? 12.设函数 f ( x) ? ?0, x ? 0, ? g ( x), x ? 0, ?
13. [ n ] 表示不超过 n 的最大整数。

S1 ? [ 1] ? [ 2] ? [ 3] ? 3, S2 ? [ 4] ? [ 5] ? [ 6] ? [ 7] ? [ 8] ? 10, S3 ? [ 9] ? [ 10] ? [ 11] ? [ 12] ? [ 13] ? [ 14] ? [ 15] ? 21,
那么 Sn ? 。

,

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴

建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲线 C1:? =1 上,则|AB|的最小值为________.

?x=3+cosθ, ? ?y=4+sinθ ?

(θ 为参数)和曲线 C2:ρ

15. (几何证明选做题) 如图, 半径是 3 3 的⊙ O 中, AB 是直径,MN 是过点 A 的⊙ O 的 切线, AC , BD 相交于点 P ,且 ?DAN ? 300 , CP ? 2, PA ? 9 ,又 PD ? PB ,则 (第 15 题图) 线段 PD 的长为 。

3

三、解答题,本大题共6小题,满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 5 sin(?x ?
最小正周期. (1)求 f ? 0 ? ; (2)求 f ? x ? 的解析式; (3)已知 f (
w_w w. k #s5_u.c o* m

?
3

) ,?>0 , x ? ? ??, ??? ,且以 ? 为

?
2

?

?
12

) ? 3 ,求 sin ? 的值.

17. (本小题满分 12 分)

2 ,甲、乙、 5 3 3 丙三人都能通过测试的概率是 ,甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是 ,且乙通 20 40
甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试,已知甲能通过测试的概率是 过测试的概率比丙大. (Ⅰ)求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少; (Ⅱ)求测试结束后通过的人数 ? 的数学期望 E? .

AF // DE , 18. (本小题满分 14 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平面 ABCD , DE ? 3 AF , BE 与平面 ABCD 所成角为 60 0 .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求锐二面角 F ? BE ? D 的余弦值;

4

19. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,a1 ? 3 且 an?1 ? 2S n ? 3 , 数列 {bn } 为等差数列,且公差 d ? 0 , b1 ? b2 ? b3 ? 15 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若

a a1 a ? b1 , 2 ? b2 , 3 ? b3 成等比数列,求数列 ?an ? bn ?的前 n 项和 Tn 3 3 3

20. (本小题满分 14 分) 已知点 P (4, 4) , 圆 C: ( x ? m)2 ? y 2 ? 5 (m ? 3) 与椭圆 E:
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 有一个公共点 A(3,1) ,F1、F2 分 a 2 b2
F1 O

y

P

A F2

别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. (Ⅰ)求 m 的值与椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 AP ? AQ 的取值范围.

C Q

x

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? mx ?

m ?1 1 ? ln x, m ? R , g ( x) ? ? ln x x x

(I)求 g ( x) 的极小值; (II)若函数 y ? f ( x) ? g ( x)在 [1, ??) 上为单调增函数,求 m 的取值范围; (III)设 h( x) ?

2e , 若在[1, e] (e 是自然对数的底数)上至少存在一个 x

x0 , 使得f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) 成立,求 m 的取值范围。

汕头市2011—2012学年度普通高中教学质量监测
5

高二理科数学试题答案
一.选择题:
题号 答案 解说: 6、利用排除法:首先由选项知道②必然正确。容易知道①显然错误,排除 C、D 选项,而 ④显然错误,因此选 A 说明:③是本题的一个疑惑点,希望此题的考察引师生对概念教 学的关注。本题若把各选项改为 A.② 1 C 2 D 3 B 4 A 5 C 6 A 7 D 8 C

B. ②④

C. ②③

D. ②③④, 显然

会增加学生答题的错误率
? 2? 8、 f ( x) ? log 3 ?1 ? ? ? a 在 (1, 2) 上是减函数,由题设有 f (1) ? 0, f (2) ? 0 ,得解 C. x? ?

二.填空题:
9.

? 220
方程给 3 分)

10.

3

11. y ? ? 3 x

(只写一条正确直线

12.

?

1 8

13. Sn ? n(2n ? 1)

14、

3

15.

6

三、解答题: 16. (本小题满分 12 分)
5 3 -----------------------------------------------------------4 分 3 2 2? ? ? ? ,所以 ? ? 2 ,故 f ( x) ? 5 sin( 2 x ? ) --------------------8 分 (2)因为 T ? ? 3 ? ? ? ? ? ? (3) f ( ? ) ? 5 sin[ 2( ? ) ? ] ? 5 sin(? ? ) ? 5 cos ? ? 3 ,-----------10 分 2 12 2 12 3 2 3 4 2 所以 cos ? ? ,所以 sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? ---------------------------12 分 5 5 17. (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是 x 、 y 依题意得:
解: (1) f (0) ? 5 sin

?

?

3 ?2 xy ? , ? ?5 20 ? ? 3 (1 ? x)(1 ? y ) ? 3 , ? 40 ?5

3 ? x? , ? ? 4 即? ?y ? 1. ? 2 ?



1 ? x? , ? ? 2 (舍去)┅┅┅┅┅┅┅4 分 ? ?y ? 3. ? 4 ?

所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是

3 1 、 . 4 2

┅┅┅┅┅┅┅6 分

6

3 3 P(? ? 3) ? 40 20 2 3 1 2 3 1 2 3 1 7 P(? ? 1) ? (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) (1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) ? 5 4 2 5 4 2 5 4 2 20 17 P (? ? 2) ? 1 ? ( P0 ? P 1?P 3) ? 40 3 7 17 3 33 所以 E? = 0 ? ┅┅┅┅┅┅┅12 分 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 40 20 40 20 20 18. (本小题满分 14 分)
(Ⅱ)因为 P (? ? 0) ? (Ⅰ)证明: 因为 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC . 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD , BD ? DE ? D 从而 AC ? 平面 BDE . ……………………6 分 ……………………2 分

(Ⅱ)解:因为 DA, DC , DE 两两垂直, 所以建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示. 因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 60 0 ,即 ?DBE ? 60 , 所以 ……7 分

ED ? 3 .由 AD ? 3 DB

可知 DE ? 3 6 , AF ?

6.

……………8 分

则 A(3, 0, 0) , F (3, 0, 6) , E (0, 0,3 6) , B (3,3, 0) , C (0,3, 0) , 所以 BF ? (0, ?3, 6) , EF ? (3, 0, ?2 6) , 分 设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? 令z ? 分 因为 AC ? 平面 BDE ,所以 CA 为平面 BDE 的法向量, CA ? (3, ?3, 0) , 所以 cos? n, CA? ? ………………9

?n ? BF ? 0 ? ? ?n ? EF ? 0

,即 ?

??3 y ? 6 z ? 0 ? ? ?3 x ? 2 6 z ? 0



6, 则 n ? (4, 2, 6) .

…………………11

n ? CA n CA

?

6 13 . ? 13 3 2 ? 26
13 . 13

……………13 分

因为二面角为锐角,所以二面角 F ? BE ? D 的余弦值为

…………14 分

19. (本小题满分 14 分)
7

解: (1)由 a n?1 ? 2S n ? 3 ,得 a n ? 2S n?1 ? 3(n ? 2) …………(1 分)

a n ?1 ?3 a ? a ? 2 ( S ? S ) a ? a ? 2 a a n ? 1 n n n ? 1 n ? 1 n n n 相减得: ,即 ,则 ……(3 分) a2 ?3 ∵当 n ? 1 时, a 2 ? 2a1 ? 3 ? 9 ,∴ a1 …………(4 分)
∴数列 {a n } 是等比数列,∴
an ? 3 ? 3n?1 ? 3n …………(5 分)

(2)∵ b1 ? b2 ? b3 ? 15, b1 ? b3 ? 2b2 ,∴ b2 ? 5 …………(6 分)
a a a2 a a1 a ? b2 ) 2 ? ( 1 ? b1 )( 3 ? b3 ) ? 1, 2 ? 3, 3 ? 9 3 3 3 3 由题意 3 ,而 3 (

设 b1 ? 5 ? d , b2 ? 5, b3 ? 5 ? d ,∴ 64 ? (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) ,…………(8 分)
2 ∴ d ? 8d ? 20 ? 0 ,得 d ? 2 或 d ? ?10 (舍去)∴ bn ? 2n ? 1…………(10 分)

an ? bn ? (2n ? 1) ? 3n

…………(11 分)

Tn ? 3 ? 3 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n

3Tn ?

3 ? 32 ? 5 ? 33 ? 7 ? 34 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n?1

? 2Tn ? 3 ? 3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? 2 ? 3n ? (2n ? 1)3n?1
9(1 ? 3 n ?1 ) ? (2n ? 1)3 n ?1 1? 3 n ?1 ? ?2n ? 3 ? 9 ? 2?
20. (本小题满分 14 分)
(Ⅰ)解: (Ⅰ)点 A 代入圆 C 方程,得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5 ∵m<3∴m=1. 圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 .设直线 PF1 的斜率为 k, 则 PF1: y ? k ( x ? 4) ? 4 ,即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 .∵直线 PF1 与圆 C 相切, ∴
| k ? 0 ? 4k ? 4 | k ?1
2

∴ Tn ? n ? 3n?1

.

…(14 分)

? 5 .解得 k ?

11 1 , 或k ? . 2 2

……………… 4 分

当 k= 当 k=

11 36 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去. 2 11

1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4, 2 ∴c=4.F1(-4,0) ,F2(4,0) .

…………………… 6
8

分 2a=AF1+AF2= 5 2 ? 2 ? 6 2 , a ? 3 2 ,a2=18,b2=2.
x2 y 2 ? 1. 椭圆 E 的方程为: ? 18 2 分

…………………… 8

(Ⅱ) AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y) ,A Q ? x( ?, 3 y ? ) 1

, ……………………

AP ? AQ ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6 .
10 分 ∵

x2 y 2 ? ? 1 ,即 x2 ? (3 y)2 ? 18 ,而 x2 ? (3 y)2 ≥2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18. 18 2

则 ( x ? 3 y)2 ? x2 ? (3 y)2 ? 6xy ? 18 ? 6 xy 的取值范围是[0, 36]. 6,6]. ∴ AP ? AQ ? x ? 3y ? 6 的取值范围是[-12,0]. 14 分 法 2 (1)点 A 代入圆 C 方程,得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5 ∵m<3∴m=1. 圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 ,设 F1(-c,0),则 PF1 y ?

x ? 3 y 的取值范围是[-

……………………

4 ( x ? c) 4?c

即 4 x ? (4 ? c) y ? 4c ? 0 .∵直线 PF1 与圆 C 相切, ∴.解得 C=4 ……………… 4 分

4 ? 4c 16 ? ?4 ? c ?
2

? 5

2 2 2a= AF 1 ? AF 2 = 5 2 ? 2 ? 6 2 , a ? 3 2 ,a =18,b =2.

……………… 6 分

椭圆 E 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 18 2

(2)设 Q(3 2 cos? , 2 sin ? ) 则 AQ ? (3 2 cos? ? 3, 2 sin ? ? 1), AP ? (1,3) …………………… 8 分

AQ ? AP ?? 3 2 cos ? ? 3 ? 3 2 sin ? ? 3 ? 6 sin(? ?
由-1≤ sin(? ?

?
4

)?6

…………………… 10 分

?
4

) ≤1

? AQ ? AP ?[?12,0] …………………… 14 分
21. (本小题满分 14 分) 【命题意图】本题考查导数的求法及应用、不等式中在恒成立和
存在解不同状况下的参数范围的求法,考查学生运算能力、思维能力和解决问题的能力,难 题.

9

解: (Ⅰ)由题意, x ? 0 , g ?( x) ? ?

1 1 x ?1 ? ? 2 ,∴当 0 ? x ? 1时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, x2 x x g ?( x) ? 0 ,所以, g ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 (1, ??) 上是增函数,故
g ( x)极小值 ? g (1) ? 1 .

…………4 分
m mx2 ? 2x ? m , 由于 f ( x) ? g ( x) 在 [1, ??) ? 2ln x , ∴ [ f ( x) ? g ( x)]? ? x x2 2x 在 [1, ??) 上恒成立, 1 ? x2

(Ⅱ) ∵f ( x) ? g ( x) ? mx ?

内为单调增函数,所以 mx 2 ? 2 x ? m ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,即 m ?
2x 故m?( )max ? 1 ,所以 m 的取值范围是 [1, ??) . 1 ? x2

…………8 分

(Ⅲ)构造函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? h( x) ? mx ? 当 m ? 0 时,由 x ? ?1, e? 得, mx ?
f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) .

m 2e ? 2ln x ? , x x

m 2e ? 0 , ?2ln x ? ? 0 ,所以在 ?1, e? 上不存在一个 x 0 ,使得 x x …………………………………………10 分

当 m ? 0 时, F ?( x) ? m ?

m 2 2e mx2 ? 2x ? m ? 2e ,因为 x ? ?1, e? ,所以 2e ? 2x ? 0 , ? ? ? x2 x x2 x2

mx 2 ? m ? 0 ,所以 F ?( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,故 F ( x) 在 ?1, e? 上单调递增,

F ( x)max ? F (e) ? me ? me ?

m ? 4 ,所以要在 ?1, e? 上存在一个 x 0 ,使得 F ( x) ? 0 ,必须且只需 e

m 4e 4e ,故 m 的取值范围是 ( 2 , ??) . ? 4 ? 0 ,解得 m ? 2 e e ?1 e ?1 另法:(Ⅲ)当 x ? 1 时, f (1) ? g (1) ? h(1) .

…………………14 分

当 x ? (1, e] 时,由 f ( x) ? g ( x) ? h( x) ,得 m ?
G ?( x) ?

2e ? 2 x ln x 2e ? 2 x ln x , 令 G ( x) ? ,则 2 x ?1 x2 ? 1

(?2 x 2 ? 2) ln x ? (2 x 2 ? 4ex ? 2) 4e ? 0 ,所以 G ( x) 在 (1, e] 上递减, G( x)min ? G(e) ? 2 . ( x 2 ? 1) 2 e ?1

综上,要在 ?1, e? 上存在一个 x 0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) ,必须且只需 m ?

4e . e2 ? 1

10


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