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2014年浙江省高中学业水平考试-数学试题含答案


2014 年 1 月浙江省普通高中学业水平考试 数学试题
学生须知: 1、本试卷分选择题和非选择题两部分,共 6 页,满分 100 分,考试时间 110 分钟.

选择题部分
一、选择题(共 25 小题,1-15 每小题 2 分,16-25 每小题 3 分,共 60 分.每小题给出的 选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分.) 1、设集合 M={0,1,2},则 ( ) A.1∈M B.2?M C.3∈M D.{0}∈M 2、函数 y ? x ?1 的定义域是 A. [0,+∞) B.[1,+∞) C. (-∞,0] 3、若关于 x 的不等式 mx-2>0 的解集是{x|x>2},则实数 m 等于 A.-1 B.-2 C.1 4、若对任意的实数 k,直线 y-2=k(x+1)恒经过定点 M,则 M 的坐标是 A.(1,2) B.(1,-2) C.(-1,2) 5、与角- ? 终边相同的角是 ( )

D.(-∞,1] ( ) D.2 ( ) D.(-1,-2) ( )

6

A. 5?

6

B. ?

3

C. 11?

6

D. 2?

3

6、若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示,则该几何体的正视图是(



A.

B.

C.

D.

7、以点(0,1)为圆心,2 为半径的圆的方程是 A.x2+(y-1)2=2 B. (x-1)2+y2=2 C. x2+(y-1)2=4 8、在数列{ an }中,a1=1,an+1=3an(n∈ N*),则 a4 等于 A.9 B.10 C.27 9、函数 y ? x 的图象可能是
y
y O x
y

(第 6 题图) ( ) 2 2 D. (x-1) +y =4 ( ) D.81 (
y



O

x

O

x
O

x

A. B. C. 10、设 a,b 是两个平面向量,则“a=b”是“|a|=|b|”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

D. ( )

C.充要条件 11、 设双曲线 C:x 2 ?
2

D.既不充分也不必要条件

a

y2 ? 1(a ? 0) 的一个顶点坐标为 (2, 0) , 则双曲线 C 的方程是 ( 3
2 y ?1 B. x ? 2



2 y ?1 A. x ?

2

16

3

12

3

2 y ?1 C. x ?

2

8

3

2 y ?1 D. x ?

2

4

3

12、设函数 f(x)=sinxcosx,x∈ R,则函数 f(x)的最小值是 A. ? 1





4

B. ? 1

2

C. ?

3 2

D.-1 ( )

13、若函数 f(x)= x2? a (a∈ R)是奇函数,则 a 的值为

x ?1

A.1 B.0 C.-1 D.±1 14、在空间中,设 α,?表示平面,m,n 表示直线.则下列命题正确的是 ( ) A.若 m∥ n,n⊥ α,则 m⊥ α B. 若 α⊥ ?,m?α,则 m⊥ ? C.若 m 上有无数个点不在 α 内,则 m∥ α D.若 m∥ α,那么 m 与 α 内的任何直线平行 15、在△ ABC 中,若 AB=2,AC=3,∠ A=60°,则 BC 的长为 ( ) A. 19 B. 13 C.3 D. 7 ( ) D.log0.2 2<log0.2 3 ( ) D.4 ( C. ? x0∈ Z,x02=1 D.?x∈ Z,x ≥1
2

16、下列不等式成立的是 - - A.1.22>1.23 B.1.2 3<1.2 2 C. log1.2 2>log1.2 3 x 17、设 x0 为方程 2 +x=8 的解.若 x0 ∈ (n,n+1)(n∈ N*),则 n 的值为 A.1 B.2 C.3 18、下列命题中,正确的是 A. ? x0∈ Z,x02<0 B. ?x∈ Z,x2≤0 19、 若实数 x,y 满足不等式组



y?0 ?xx ? ? y?2?0

, 则 2y-x 的最大值是 (


A1

D1 E B1 D

C1

A.-2 B.-1 C.1 D.2 20、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为线段 A1C1 的中点, 则异面直线 DE 与 B1C 所成角的大小为 ( A.15° B.30° C.45° D.60°



C B

A

(第 20 题图) 21、研究发现,某公司年初三个月的月产值 y(万元)与月份 n 近似地满足函数关系式 y=an2+bn+c(如 n=1 表示 1 月份).已知 1 月份的产值为 4 万元,2 月份的产值为 11 万 元,3 月份的产值为 22 万元.由此可预测 4 月份的产值为 ( ) A.35 万元 B.37 万元 C.56 万元 D.79 万元 2 2 3 4 22、设数列{ an },{ an } (n∈ N*)都是等差数列,若 a1=2,则 a2 + a3 + a4 + a55 等于( ) A.60 B.62 C.63 D.66
2 y 23、设椭圆?: x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1,F2,若椭圆?上存在点 P,使△ P F1F2 是 2

a

b

以 F1P 为底边的等腰三角形,则椭圆?的离心率的取值范围是





A. (0, 1 )

2

B. (0, 1 )

3

C. ( 1 ,1)

2

D. ( 1 ,1)

3

24、设函数 f ( x) ?

x ,给出下列两个命题: x ?1

① 存在 x0∈ (1,+∞),使得 f(x0)<2; ② 若 f(a)=f(b)(a≠b),则 a+b>4.其中判断正确的是 ( ) A.① 真,② 真 B. ① 真,② 假 C. ① 假,② 真 D. ① 假,② 假 25、如图,在 Rt△ ABC 中,AC=1,BC=x,D 是斜边 AB 的中点,将△ BCD 沿直线 CD 翻折,若 在翻折过程中存在某个位置,使得 CB⊥ AD,则 x 的取值范围是 ( ) A. (0, 3] B. ( 2 , 2]

2

C. ( 3, 2 3]

D.(2,4]

B

B D C C A D

A

(第 25 题图)

非选择题部分
二、填空题(共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 26、设函数 f(x)= x , x ? 2
2

?

3x ? 2, x ? 2

,则 f(3)的值为

27、若球 O 的体积为 36?cm3,则它的半径等于 cm. 2 2 28、设圆 C:x +y =1,直线 l: x+y=2,则圆心 C 到直线 l 的距离等于

.

29、设 P 是半径为 1 的圆上一动点,若该圆的弦 AB= 3 ,则 AP ? AB 的取值范围是 30、设 ave{a,b,c}表示实数 a,b,c 的平均数,max{a,b,c}表示实数 a,b,c 的最大值.设 A= ave{ ? 1 x ? 2, x, 1 x ? 1 },M= max{ ? 1 x ? 2, x, 1 x ? 1 },若 M=3|A-1|,则 x 的取值范

2

2

2

2

围是 三、解答题(共 4 小题,共 30 分) 31、 (本题 7 分)已知 sin ? ? 3 ,0 ? ? ? ? ,求 cos ? 和 sin(? ? ? ) 的值.

5

2

4

32、 (本题 7 分,有(A) , (B)两题,任选其中一题完成,两题都做,以(A)题记分.) (A)如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为菱形,对角线 AC P 与 BD 相交于点 E,平面 PAC 垂直于底面 ABCD,线段 PD 的中点 为 F. F (1)求证:EF∥ 平面 PBC; D C (2)求证:BD⊥ PC.
A E B

(第 32 题(A)图) (B)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PB⊥ AC,PC⊥ 平面 ABC, 点 D,E 分别为线段 PB,AB 的中点. (1)求证:AC⊥ 平面 PBC; ( 2 ) 设 二 面 角 D - CE - B 的 平 面 角 为 θ , 若 PC=2 , BC=2AC=2 3 ,求 cosθ 的值.
P

D

C E A

B

(第 32 题(B)图)
y

33、 (本题 8 分)如图,设直线 l: y=kx+ 2 (k∈ R)与抛物线 C:y=x2 相交于 P,Q 两点,其中 Q 点在第一象限. (1)若点 M 是线段 PQ 的中点,求点 M 到 x 轴距离的最小 值; (2)当 k>0 时,过点 Q 作 y 轴的垂线交抛物线 C 于点 R, 若 PQ ? PR =0,求直线 l 的方程.

R P O

Q x

(第 33 题图) 34、 (本题 8 分)设函数 f(x)=x2-ax+b,a,b∈ R.. (1)已知 f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,求 a 的取值范围; (2)存在实数 a,使得当 x∈ [0,b]时,2≤f(x)≤6 恒成立,求 b 的最大值及此时 a 的值.

解答
一、选择题(共 25 小题,1-15 每小题 2 分,16-25 每小题 3 分,共 60 分.每小题给出的 选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
答案 题号 答案

A 16 B

B 17 B

C 18 C

C 19 C

C 20 B

A 21 B

C 22 A

C 23 D

A 24 C

A 25 A

D

B

B

A

D

25 题解答

x 2 ? 1 ,BC=x,取 BC 中点 E, 2 翻折前,在图 1 中,连接 DE,CD,则 DE= 1 AC= 1 , 2 2
(1)由题意得,AD=CD=BD= 翻折后,在图 2 中,此时 CB⊥ AD。 ∵ BC⊥ DE,BC⊥ AD,∴ BC⊥ 平面 ADE,∴ BC⊥ AE,DE⊥ BC, 又 BC⊥ AE,E 为 BC 中点,∴ AB=AC=1∴ AE= 1 ? 1 x 2 ,AD=
2 2

4 x ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 x 2 ,② x ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 x 2 ,③ 在△ ADE 中:① x>0; 2 2 4 2 2 4
由① ② ③ 可得 0<x< 3 . (2) 如图 3, 翻折后, 当△ B1CD 与△ ACD 在一个平面上, AD 与 B1C 交于 M, 且 AD⊥ B1C, AD=B1D =CD=BD,∠ CBD=∠ BCD=∠ B1CD,又∠ CBD+∠ BCD+∠ B1CD=90°, ∴ ∠ CBD=∠ BCD=∠ B1CD=30°,∴ ∠ A=60°,BC=ACtan60°,此时 x=1× 3 ? 3 综上,x 的取值范围为(0, 3 ],选 A。
B B E D C C A E D A C M A B

x2 ? 1 , 2

D

B1

图1 图2 二、填空题(共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 26、7 29 题解答 27、3 28、 2

图3

29、 [ 3 ? 3, 3 ? 3]

2

2

30、{x|x=-4 或 x≥2}

AP ? AB ? ( AO ? OP) ? AB ? AO ? AB ? OP ? AB ? 1? 3 ? 3 ? OP ? AB ? 3 ? OP ? AB 2 2
OP 与 AB 共线时, OP ? AB 能取得最值。 ∴

① 若 OP 与 AB 同向,则 OP ? AB 取得最大值,∴ AP ? AB 取得最大值 3 ? 1? 3 ? 3 ? 3

2

2

② 若 OP 与 AB 反向,则 OP ? AB 取得最小值,∴ AP ? AB 取得最小值 3 ? 1? 3 ? 3 ? 3

2

2

AP ? AB 的取值范围是 [ 3 ? 3, 3 ? 3] ∴

2

2

30 题解答

?? 1 x ? 2, x ? 1 ? 2 ? ? x, x ? 0 由题意易得 A= 1 x ? 1 ,故 3|A-1|=|x|= ,M= ? 1 x ? 1,1 ? x ? 2 x, x ? 0 3 2 ?x ,x ? 2 ? ?

?

∵ M=3|A-1| ∴ 当 x<0 时,-x= ? 1 x ? 2 ,得 x=-4

2 2

当 0<x<1 时, x= ? 1 x ? 2 ,得 x= 4 ,舍去

3

当 1<x<2 时, x= 1 x ? 1 ,得 x=2,舍去

2

当 x≥2 时, x=x,恒成立 综上所述,x=-4 或 x≥2 注:此题数形结合更好得解。 三、解答题(共 4 小题,共 30 分) 31、 (本题 7 分)已知 sin ? ? 3 ,0 ? ? ? ? ,求 cos ? 和 sin(? ? ? ) 的值.

5

2

4

解:∵ sin ? ? 3 ,0 ? ? ? ? ∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ( 3)2 ? 4

5 5 ∴ sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? 7 2 4 4 4 5 2 5 2 10
32、 (本题 7 分,有(A) , (B)两题,任选其中一题完成,两题都做,以(A)题记分.) A (1)证明:∵ 菱形对角线 AC 与 BD 相交于点 E∴ AC 与 BD 互相平分,即 AE=CE,BE=DE 又∵ 线段 PD 的中点为 F∴ EF 为△ PBD 的中位线∴ EF∥ PB 又 EF ? 平面 PBC,PB?平面 PBC∴ EF∥ 平面 PBC (2)证明:∵ 平面 PAC⊥ 底面 ABCD,平面 PAC∩ 底面 ABCD=AC, 菱形 ABCD 中,AC⊥ BD,BD?平面 ABCD∴ BD⊥ 平面 PAC∴ BD⊥ PC

5

2

B (1)证明:∵ PC⊥ 平面 ABC∴ PC⊥ AC,又∵ PB⊥ AC,PC∩ PB=P∴ AC⊥ 平面 PBC

(2)解:∵ PC⊥ 平面 ABC∴ PC⊥ AC,PC⊥ BC, 又 AC⊥ 平面 PBC∴ AC⊥ PC,AC⊥ BC 即 CA,AB,CP 互相垂直。 如图,取 BC 的中点为 F,连接 DF,EF ∵ 点 D,E 分别为线段 PB,AB 的中点 ∴ EF∥ AC,DE∥ PA,DF∥ PC ∴ EF⊥ BC,DF⊥ BC,DF⊥ 平面 ABC, 且 EF= 1 AC= 3 ,DF= 1 PC=1,CF= 1 CB=1

P

D

C M E A

F

B

2

2

2

∴ CE ? CF ? EF ? 1 ? 3 ? 2 ,
2 2

(第 32 题(B)图)

∴ BC=CE=BE=2∴ △ BCE 是等边三角形 过 F 用 FM⊥ CE 交 CE 于 M,连接 DM,FM

FM ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 , DM ? DF 2 ? FM 2 ? 1 ? ( 3 ) 2 ? 7 ∴ 2 2 2 2 2

3 ∴ cos ? ? cos ?DMF ? MF ? 2 ? 21 DM 7 7 2
解: (1)设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ), M ( x0, y0 ) 由

?

y ? kx ? 2 消去 y,整理得 x2 ? kx ? 2 ? 0 y ? x2
2 x1 ? x2 k ? , y0 ? kx0 ? 2 ? k ? 2 ? 2 2 2 2

∴ x1 ? x2 ? k , x1x2 ? 2

∴ x0 ?

点 M 到 x 轴距离的最小值为 2 (2)由题意得 R(? x2 , y2 ) (3)∴ PQ ? PR ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) ? (?x2 ? x1, y2 ? y1 ) ? ( x2 ? x1 )(?x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )2 = x12 ? x22 ? ( y2 ? y1 )2 ? y1 ? y2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ?1) ? 0 ∴ y2 ? y1 ? 1,从而 k ( x2 ? x1 ) ? 1 ,故 k 2 ( x2 ? x1 )2 ? 1 ∴ k [( x2 ? x1 ) ? 4x1x2 ] ? 1 , k (k ? 4 2) ? 1
2 2
2 2

解得 k ? 3 ? 2 2 ? ( 2 ?1) (负根舍去)∵ k>0
2 2

∴ k ? 2 ?1

所以,直线 l 的方程为 y ? ( 2 ?1) x ? 2 34


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