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二面角习题课


§求二面角的平面角

二面角的平面角 二面角的平面角的定义
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角
A l O B
?

?

二面角的平面角的三个特征:

1.点在棱上

2.边在

面内

3.边与棱垂直

已知三棱锥

D ? ABC 的三个侧面与底面全等 3, BC ? 2,求二面角



且 AB ? AC ? 大小 .

D ? BC ? A 的
D

90°

C A

O
B

问题1:如图,过二面角α -l-β 一个面内一点A,作 另一个面的垂线,垂足为B,过点B作棱的垂线,垂足为 O,连结AO,则∠AOB是二面角的平面角吗?为什么?

A

β

O

l

α
B

问题2:如图,平面γ 垂直于二面角的棱l,分别与面 α 、β 相交于OA、OB,则∠AOB是二面角的平面角吗? 为什么?

l
O

B
A γ

α

β

注意:首先应找到或作出二面角的平面角,然后证明这个 角就是所求的平面角, 最后求出这个角的大小。 例1、已知二面角?- l - ? ,A为面?内一点,A到? 的

距离为 2

3

,到 l 的距离为 4。求二面角 ?- l - ? 的大小。

解: 过 A作 AO⊥?于O,过 O作 OD⊥ l 于D,连AD,
则由线面垂直定理得 AD⊥ l .
? ? ADO

就是二面角 ?- l - ? 的平面角.

A.

?

? AO ? 2 3 , AD ? 4

在Rt△ADO中,

D

O

∵sin∠ADO=

l

?

AO ? 2 3 AD 4

∴ ∠ADO=60°.

∴二面角 ?- l- ? 的大小为60 °.

例2 如图所示,河堤斜面与水平面所成二面角为 60°,堤面上有一条直道CD,它与堤角的水平线 AB的夹角为30°,沿这条直道从堤脚C向上行走 10m到达E处,此时人升高了多少m?
分析:
∠EFO=60° ∠ECF=30°,CE=10,求EO=?

D E
O

A C

F

B

例3.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中 点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上. (1)证明:AP⊥BC (2)已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,求二面角 B-AP-C的大小. P
(1)证BC⊥平面PAD
M

(2)过B作BM⊥PA,连接CM 则PA⊥平面BMC 所以所求的二 面角的平面角 为∠BMC C

A O D

B

知识小结: 二面角的平面角的作法:
?
l

A

?

(1)定义法

o
?

B

o

?

B
A
l

(2)垂面法

l

A

?

(3)垂线法

o
l

B

?


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