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湖北省咸宁四校2013届高三12月联考数学(理)试题


2012 年 12 月

咸宁高中 通城一中通山一中 崇阳一中 四校联考
本卷三大题 21 小题 试卷满分 150 分

高三年级数学(理科)学科试题
考试时间: 2012 年 12 月 18 日下午 3﹕00——5﹕00

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1 x ?1 ? 4, x ? Z} ,则 M ∩ N =( 1.已知集合 M ? {x | x 2 ? 1 ? 0}, N ? {x | ? 2 ) 2
A. {?1,0,1} B. {?1,0} C. [?1,1) D. [?1,0] )

2.设 a, b ? R ,已知命题 p : a ? b ;命题 q : (

a ? b 2 a2 ? b2 ) ? ,则 p 是 q 成立的( 2 2

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球的表面积 为 ( ) A. 4? B. 5? C. 8? D. 10? 4. 已 知 直 线 x ? y ? a 与 圆 x 2 ? y 2 ? 2 交 于 A 、 B 两 点 , O 是 原 点 , C 是 圆 上 一 点 , 若

OA ? OB ? OC ,则 a 的值为(
A. ? 1 B. ?

) C. ? 3 D. ? 2

2

? 1? x2 ? 5. 设 函 数 f ( x) ? ? 1 ? x ?
( A. )

x ? [0,1] x ? (1, e]
( 其 中 e 为 自 然对 数 的 底 数 ) 则 ,

?

e 0

f ( x)dx 的 值 为

? ?1 2

B.

? ?1 2


C.

? ?1 4
1 3

D.

? ?1 4

6. 下列说法正确的是( A. 存 在 ? ? (0,

?
2

) 使 sin a ? cos a ?

B. y ? tan x 在 其 定 义 域 内 为 增 函 数

C. y ? cos 2 x ? sin( D. y ? sin | 2 x ? 7.若方程 2a ? 9
sin x

?
2

? x) 既有最大、最小值,又是偶函数

?
6

| 最小正周期为 ?
( )

? 4a ? 3sin x ? a ? 8 ? 0 有解,则 a 的取值范围
B. a ? 0

A. a ? 0 或 a ? ?8

C. 0 ? a ?

8 31

D.

8 72 ?a? 31 23

8.正四面体 ABCD 的顶点 A,B,C 分别在两两垂直的三条射线 Ox, Oy, Oz 上,则下列命题中,错误的 是( ) A.O-ABC 是正三棱锥 C.直线 AD 与 OB 所成的夹角为 45 9.若函数 y ? A. a ? ?1
0

B.直线 OB∥平面 ACD D.二面角 D-OB-A 为 45
0

1 1? ? 在 ?? 2,? ? 上单调递增,那么 a 的取值范围是( x ? ax ? a ? 2?
2



B. ? 4 ? a ?

1 2

C. ? 1 ? a ?

1 2

D. a ?

1 2

10.已知数列 {an } 满足: a1 ? a2 ? 2a ? 2, an?1 ? an ? 2(n ? a) ?1, n ? N * ,当且仅当 n ? 3 时 an 最 小,则实数 a 的取值范围为 A. (?1,3) B. ( ,3) ( )

5 5 7 C. (2,4) D. ( , ) 2 2 2 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题 ......

号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. . 2 11.不等式 3 ? ? x 的解集是 x
12. 已 知 各 项 为 正 数 的 等 比 数 列 {an } 满 足 a7 ?a 6 ?2a5 . 若 存 在 两 项 am , an 使 得

1 4 ? 的最小值为 m n ? 4 ? 13.设 ? 为锐角,若 cos( ? ? ) ? ,则 sin( 2? ? ) 的值为 6 5 12 1 14.已知函数 y ? 3 ? x ? 的图象为中心是坐标原点 O 的双曲线,在此双曲线的两支上分别取点 x

am ? an ? 2 2 ? a1 ,则

P,Q,则线段 PQ 的最小值为 15.下列说法: ①函数 y ?

x ?1 图象的对称中心是 (1,1) x ?1

2 ②“ x ? 2 是 x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件

③ 对 任 意 两 实 数 m, n , 定 义 运 算 “ * ” 如 下 : m ? n ? ?

?m 若m ? n ?n 若m ? n

,则函数

f ( x) ? log1 (3x ? 2) * log2 x 的值域为 (??,0] .
2

④若函数 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a( x ? 1) f ( x2 ) ? f ( x1 ) 对任意的 x1 ? x2 都有 ? 0, x2 ? x1 ( x ? 1) ?loga x

1 ,1 ],其中正确命题的序号为___________ 7 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
则实数 a 的取值范围是(16.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( x ? R, A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? (1)求 f (x) 的解析式; (2)设 g ( x ) ? [ f ( x ?

?
2

) 的部分图象如图所示.

?
12

)] 2 ,求函数 g (x) 在 x ? [ ?

? ?

, ] 的最大值,并确定此时 x 的值. 6 3

17.某企业拟在 2012 年度进行一系列促销活动,已知其产



年销量 x 万件与年促销费用 t 万元之间满足 3 ? x 与 t ? 1 成反比例,当年促销费用 t ? 0 万元时, 年销量是 1 万件.已知 2012 年产品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元,每生产1 万件产品需 再投入 32 万元的生产费用,若将每件产品售价定为:其生产成本的 150 %与“平均每件促销费的 一半”之和,则当年生产的商品正好能销完. (1)将 2012 年的利润 y (万元)表示为促销费 t (万元)的函数; (2)该企业 2012 年的促销费投入多少万元时,企业年利润最大? (注:利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)

18.如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中, 底面 ?ABC 为等腰直角三角形,?B ? 90 ,D 为棱 BB1
0

上一点,且面 DA1C ? 面 AA1 C 1 C . (1)求证: D 点为棱 BB1 的中点; (2)若二面角 A ? A1 D ? C 的平面角为 60 ,求
0

B1

AA1 的值. AB

A1

D

C1

B A1

A

C

19. 已 知 函 数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 ( x ? 4 ) 的 反 函 数 为 f

?1

( x) , 数 列 ?an ? 满 足 : a1=1 ,

1 ( ,数列 b1 , b2 ? b1 , b3 ? b2 ,?, bn ? bn?1 是首项为 1,公比为 的 an?1 ? f ?1 (an ) , n ?N*) 3
等比数列. (Ⅰ)求证:数列 (Ⅱ)若 cn ?

? a ?为等差数列;
n

an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n .
t (t ? 0) 和点 P (1 , 0) ,过点 P 作曲线 y ? f (x) 的两条切线 PM 、 PN , x

20.已知函数 f ( x ) ? x ? 切点分别为 M , N .

(Ⅰ)设 MN ? g (t ) ,试求函数 g (t ) 的表达式; (Ⅱ)是否存在 t ,使得 M , N 与 A(0 , 1) 三点共线.若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由. 21.已知函数 g ( x) ?

1 ? ln x 在 ?1, ?? ? 上为增函数,且 ? ? (0, ? ) , ? 为常数, x sin ? m ?1 f ( x) ? mx ? ? ln x(m ? R) . x

(1)求 ? 的值; (2)若 y ? f ( x) ? g ( x) 在 ?1, ?? ? 上为单调函数,求 m 的取值范围; (3)设 h( x) ?

2e ,若在 ?1,e? 上至少存在一个 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) 成立,求 x

m 的取值范围.

高三年级数学(理科)参考答案
1.B 2.B 3.B 解答: 由题意知该几何体是一个底面半径为 接球的半径 R ? 1 ? ( ) ?
2 2

1 , 高为 2 的圆柱, 根据球与圆柱的对称性, 可得外 2

1 2

5 , ∴ S ? 4?R 2 ? 5? .选 B 2

4.A 5.C 6.C 7.D 解答:方程 2a ? 9
sin x

? 4a ? 3sin x ? a ? 8 ? 0 有解,
2?9
sin x

等价于求 a ? ∵3
sin x

8 的值域 ? 4 ? 3sin x ? 1

1 23 ? [ ,3] ∴ 2 ? 9 sin x ? 4 ? 3sin x ? 1? [ ,31] 3 9 8 72 ?a? 则 a 的取值范围为 31 23
8.B 9. B 解答:若令 f ( x) ? x 2 ? ax ? a

a 1 ? ?? ? 1 2 2 只要 ? ? ?1 ? a ? 1 2 ? f (? ) ? f (?2) ? 0 2 ?
5 7 2 2

10.D 解答:用累加法得 a n ? n 2 ? 2an ? a 2 ? 1 ,据题意易知 a ? ( , ) 11. x 0 ? x ? 1或x ? 2 12.

?

?

11 6

解答:由 a7 ?a 6 ?2a5 得 q ? 2 ,又 am ? an ? 2 2 ? a1 ,∴ m ? n ? 5 ∵为 m, n 正整数,∴当 m ? 2, n ? 3 时,

1 4 11 ? 有最小值 . m n 6

13.

17 2 50

解答:∵ ? 为锐角,且 cos( ? ? ∴

?
6

)?

?
6

?? ?

?
6

?

?
4

?

?
3

4 ? 3 ,∴ sin(? ? ) ? 5 6 5

? 2? ?

?

3

?

?

2

∵ sin( 2? ? ∴ cos( 2? ? 14. 2 3 ? 2 15.②③

?
3

) ? sin 2(? ?
)?

?

4 3 24 ) ? 2? ? ? 6 5 5 25

?
3

7 ? ? ? 17 2 , sin(2? ? ) ? sin[(2? ? ) ? ] ? 25 12 3 4 50

16.解答:(1)由图象知 A ? 2, 又 f (?

T ? 2? ? 3 ? ,则 ? 4 ? , ∴ ? ? ??(2 分) 2 4 3 ? 3

?

3 ? ? ) ? 2 sin[ ? (? ) ? ? ] ? 2 sin( ? ? ? ) ? 0 6 2 6 4

∴ sin( ? ∴? ?

?
4

? ? ) ? 0 ,∵ 0 ? ? ?

?
2

,?

?
4

?? ?

?
4

?

?
4

?
4

? 0?? ?

?
4 3 ? x ? ). 2 4
??????(5 分)

∴ f (x) 的解析式为 f ( x ) ? 2 sin( (2)由(1)可得 f ( x ?

3 ? 3 ? ? ) ? 2 sin[ ( x ? ) ? ] ? 2 sin( x ? ), 2 8 12 2 12 4

?

1 ? cos(3x ? ) ? 2 4 = 2 ? 2 cos( 3 x ? ? ), ?(8 分) ∴ g ( x) ? [ f ( x ? )] ? 4 ? 4 12 2
∵ x ? [?

?

? ?
?
4

? ? 5? , ], ∴ ? ? 3 x ? ? , 6 3 4 4 4
? ? ,即 x ?

∴当 3x ?

?
4

时, g ( x) max ? 4

???????(12 分)

17.解答:(1)由题意: 3 ? x ? ∴x ? 3?

k ,将 t ? 0, x ? 1 代入得 k ? 2 t ?1

2 , t ?1

2 ) ? 3, t ?1 2 1 ) ? 3] ? t , 当销售 x (万件)时,年销售收入 ? 150 % ? [32 ? (3 ? t ?1 2
当年生产 x (万件)时,年生产成本 ? 32 x ? 3 ? 32 ? (3 ? 由题意,生产 x 万件产品正好销完 ∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销费 即y?

? t 2 ? 98t ? 35 (t ? 0) .???(6 分) 2(t ? 1)

t ? 1 32 ? ) ? 50 ? 2 16 ? 42 (万件) 2 t ?1 t ? 1 32 ? 当且仅当 即 t ? 7 时, y max ? 42 , 2 t ?1
(2)∵ y ? 50 ? ( ∴当促销费定在 7 万元时,利润最大. ???(12 分)

18. 解答:(1)过点 D 作 DE ? A1C 于 E 点,取 AC 的中点 F ,连 BF, EF . ∵面 DA1C ? 面 AA1 C 1 C 且相交于 A1 C ,面 DA C 内的直线 DE ? A1C 1 ∴直线 DE ⊥面 AA1 C 1 C

???3 分

又∵面 BAC ? 面 AA1 C 1 C 且相交于 AC ,易知 BF ? AC , ∴ BF ? 面 AA1C1C 由此知: DE ∥ BF ,从而有 D, E , F , B 共面, 又易知 BB1 ∥面 AA1 C 1 C ,故有 DB∥EF ,从而有 EF ∥ AA1 , 又点 F 是 AC 的中点,所以 DB ? EF ? 所以 D 点为棱 BB1 的中点;

1 1 AA1 ? BB1 , 2 2
???6 分

B1

A1

C1 D H G

E

B A1

A

F

C

(2)延长 A1 D 与直线 AB 相交于 G ,由题意知 CB ? 面 AA B1 B , 1 过 B 作 BH ? A1G 于点 H ,连 CH 知: A1 G ? CH , 由此知 ?CBH 二面角 A ? A1 D ? C 的平面角; 设 AA ? 2b, AB ? BC ? a; 1

???8 分

在 Rt?A1 AG 中,易知 AB ? BG . 在 Rt?DBG 中, BH ?

BD ? BG ? DG

b?a a2 ? b2



在 Rt?CHB 中, tan ?CHB ?

BC ? BH

a2 ? b2 , b

据题意有:

2b a2 ? b2 ? 2, ? tan600 ? 3 ,解得: a b

所以

AA1 ? AB

2.

???12 分

19. (Ⅰ)∵ f ( x) ? x ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2) 2 ( x ? 4 ), ∴f
?1

( x) ? ( x ? 2) 2 ( x ? 0 ),
?1

??????????????(2 分)

∴ an?1 ? f

(an ) ? ( an ? 2) 2 ,
???????????(3 分)

即 an?1 ? an ? 2 ( n ?N*) . ∴数列

? a ?是以
n

a1 ? 1 为首项,公差为 2 的等差数列.???(5 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得: an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1,即 . an ? (2n ? 1) 2 ( n ?N*) ???????????(7 分)
n ?1

?1? b1 ? 1 ,当 n ? 2 时, bn ? bn?1 ? ? ? ? 3?



∴ bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn?1 )

1 ?1? ?1? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3?
因而 bn ?

2

n ?1

?

3? 1 ? ?1 ? n ? 2? 3 ?

3? 1? ?1 ? n ? , n ?N*. 2? 3 ?

???????????(8 分)

3? 1? cn ? an ? bn ? (2n ? 1) ? ?1 ? n ? , 2? 3 ?
∴ S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn

3 2n ? 1 1 3 5 ? [1 ? 3 ? 5?] ? ? (2n ? 1) ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? n ) 2 3 3 3 3

1 3 5 2n ? 1 ? 2 ? 3 ??? n ① 3 3 3 3 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? n ?1 ② 则 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 3 3n 3 3 3 3
令 Tn ? ①-②,得

2 1 1 1 1 2n ? 1 1 1 1 2n ? 1 Tn ? ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n ?1 ? ? (1 ? n ?1 ) ? n ?1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 n ?1 ∴ Tn ? 1 ? n .又 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 . 3 3 2 n ?1 ∴ S n ? (n ? 1 ? n ) . ???????????(12 分) 2 3
20. 解: (Ⅰ)设 M , N 两点的横坐标分别为 x1 , x2 , ∵ f ?( x ) ? 1 ?

t t t ,∴切线 PM 的方程为: y ? ( x1 ? ) ? (1 ? 2 )(x ? x1 ) , 2 x x1 x1

又∵切线 PM 过点 P(1,0) ,∴有 0 ? ( x1 ? 即 x1 ? 2tx1 ? t ? 0 ,
2

t t ) ? (1 ? 2 )(1 ? x1 ) , x1 x1

??????????????????(1) ?? 4 分
2

同理,由切线 PN 也过点 P(1,0) ,得 x2 ? 2tx2 ? t ? 0 .????(2) 由(1)(2) 、 ,可得 x1 , x 2 是方程 x ? 2tx ? t ? 0 的两根,
2

∴?

?x1 ? x2 ? ?2t , ?x1 ? x2 ? ?t .

??????( * )

????????? 6 分

MN ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( x1 ?

t t t 2 ? x 2 ? ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 [1 ? (1 ? ) ] x1 x2 x1 x2

? [(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ][1 ? (1 ?
把( * )式代入,得 MN ?

t 2 ) ], x1 x2

20t 2 ? 20t ,

因此,函数 g (t ) 的表达式为 g (t ) ?

20t 2 ? 20t (t ? 0) .
x1 ?

????????7 分

(Ⅱ)当点 M , N 与 A 共线时, k MA ? k NA ,∴

t t ? 1 x2 ? ? 1 x1 x2 = , x1 ? 0 x2 ? 0



x1 ? t ? x1
2

x1

2



x2 ? t ? x2
2

x2

2

,化简,得 ( x2 ? x1 )[t ( x2 ? x1 ) ? x1 x2 ] ? 0 ,

∵ x1 ? x 2 ,? t ( x2 ? x1 ) ? x2 x1 . 把(*)式代入(3) ,解得 t ?

??????(3)

????? 9 分

1 . 2
1 . 2
????????13 分

? 存在 t ,使得点 M 、 N 与 A 三点共线,且 t ?
21. 解答: (1)由题意: g?(x) ? ?
2

x sin ? ? 1 1 1 ?0 ? ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,即 2 x sin ? x sin ? x

?? ? (0, ? ),?sin ? ? 0, 故xsin? -1 ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,
( 只需 sin ? ?1 ? 1 ? 0, 即sin? ? 1,只有sin? =1,结合? ? 0,?),得? =
(2)由(1)得 f ( x) ? g ( x) ? mx ?

?
2

.? 4 分

m mx 2 ? 2x ? m ? 2 ln x , (f(x)-g(x))?= , x x2
2 2

由于 f ( x) ? g ( x) 在其定义域内为单调函数,则 mx ? 2x ? m ? 0或者mx ? 2x ? m ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,即 m ?

2x 2x 或者m ? 在 ?1, ?? ? 上恒成立, 2 1? x 1? x2

故 m ? 1或者m ? 0 ,综上,m 的取值范围是 ? ??,0? ? ?1, ??? . ??9 分 (3)构造函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? h( x) , F(x) ? mx ? 当 m ? 0时, x ??1,e? 得, mx ? 由

m 2e ? 2 ln x ? , x x

m 2e ? 0, ?2 ln x ? ? 0 , x x

所以在 ?1,e? 上不存在一个 x 0 ,使得 f (x 0 ) ? g(x 0 ) ? h(x 0 ) ; 当 m>0 时, (F(x)) ? ? m ?

m 2 2e mx 2 ? 2x ? m ? 2e ? ? ? , x2 x x2 x2

因为 x ??1,e? ,所以 2e ? 2x ? 0, mx 2 ? m ? 0, 所以(F(x))?>0 在 ?1, ?? ? 上恒成 立, 故 F(x)在 x ??1,e? 上单调递增,

F(x) max ? me ?

m m 4e , ? 4, 只要me ? ? 4>0,解得m> 2 e e e ?1

故 m 的取值范围是 ? 另法: (3) m ?

? 4e ? , ?? ? .?? 14 分 2 ? e ?1 ?
令 F ( x) ?

2e ? 2 x ln x , x2 ?1

2e ? 2 x ln x , x2 ?1

F ' ( x) ?
F ( x) min ?

(?2 x2 ? 2) ln x ? (2 x2 ? 4ex ? 2) ? 0 ? F ( x)在?1,e? 上递减, ( x 2 ? 1)2

4e 4e ?m ? 2 . e ?1 e ?1
2


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