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高考数学总复习经典练习题--集合·(理)


高考倒计时·高中新课标 人教 A 版数学(理)

课时作业 1

§ 1.1 集合
对应学生用书 P261

一、选择题 1.下列集合中恰有 2 个元素的集合是( A.{x2-x=0} C.{x|y=x2-x} )

B.{y|y2-y=0} D.{y|y=x2-x}

解析:A 选项集合表示只有一个方程 x2-x=0 的集合.B 中,∵ y2-y=0,∴y=0 或 y=1,∴{y|y2-y=0}={0,1},恰有两个元素; C 中集合表示函数 y=x2-x 的定义域,为 R;D 中集合表示的是 y=
? 1 ? x2-x 的值域为?-4,+∞?. ? ?

答案:B 2.(2013· 浙江卷)设集合 S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0}, 则(?RS)∪T=( A.(-2,1] C.(-∞,1] ) B.(-∞,-4] D.[1,+∞)

解析: ? RS = {x|≤ - 2} ,又 T = {x| - 4≤x≤1} ,故 ( ? RS) ∪ T = {x|x≤1}. 答案:C 3. (2013· 广州测试)已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素, (?UA)∪(?
UB)中有

n 个元素,若 A∩B 非空,则 A∩B 的元素个数为( B.m+n D.n-m

)

A.mn C.m-n

解析: 作出韦恩图, 可知 m>n, 且 A∩B 的元素个数肯定比 m 小, 只有 C 符合要求.
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答案:C 4.设集合 A={3,log2(a2-3a+4)},集合 B={2,a,6},若 A∩B ={1},则集合 A∪B 的真子集个数是( A.15 C.7 )

B.12 D.3

解析:依题意,log2(a2-3a+4)=1,所以 a2-3a+4=2,即 a2 -3a+2=0, 解得 a=1 或 a=2, 而 B={2, a,6}, 所以 a=2 舍去. 所 以 A∪B={1,2,3,6},因此集合 A∪B 的真子集的个数是 24-1=15. 答案:A 5.(2013· 天津调查)若实数 a,b,c 满足 a2+a+bi<2+ci(其中 i2 =-1),集合 A={x|x=a},B={x|x=b+c},则 A∩?RB 为( A.? B.{0} C.{x|-2<x<1} D.{x|-2<x<0 或 0<x<1} 解析: 由于只有实数间才能比较大小,故 a2 + a + bi<2 + ci ?
2 ? ? ?a +a<2, ?-2<a<1, ? 解得 ? 因此 A = {x| - 2<x<1} , B = {0} ,故 ?b=c=0, ? ? ?b=c=0,

)

A∩(?RB)={x|-2<x<1}∩{x|x∈R,x≠0}={x|-2<x<0 或 0<x<1}. 答案:D 6.设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R},若 A?B,则实数 a,b 必满足( )
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高考倒计时·高中新课标 人教 A 版数学(理) A.|a+b|≤3 C.|a-b|≤3 B.|a+b|≥3 D.|a-b|≥3

解析:|x-a|<1?-1<x-a<1?a-1<x<a+1,|x-b|>2?x<b-2 或 x>b+2,∵A?B,∴a+1≤b-2,或 b+2≤a-1,即 b-a≥3 或 a-b≥3?|a-b|≥3. 答案:D 二、填空题 7.已知 A={y|y=x2-2x-1,x∈R},B={x|-2≤x<8},则集合 A 与 B 的关系是________. 解析: ∵ A = {y|y = (x - 1)2 - 2 , x ∈ R} = {y|y≥ - 2} , B = {y| - 2≤y<8},∴B A. 答案:B A 8.(2013· 山西月考)设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若 ?UA={1,2},则实数 m=________. 解析:依题意得 A={0,3},因此有 32+3m=0,m=-3.经检验, 符合条件. 答案:-3 9.对于平面上的点集 Ω,如果连接 Ω 中任意两点的线段必定包 含于 Ω, 则称 Ω 为平面上的凸集. 给出平面上 4 个点集的图形如下(阴 影区域及其边界):

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其中为凸集的是________.(写出所有凸集相应图形的序号) 解析:在图形①中,连接最上面的两个端点的线段,显然不在图 形中;②满足新定义;③满足新定义;④不满足,当分别连接两个圆 上的点时不满足新定义. 答案:②③ 10.某地对农户抽样调查,结果如下:电冰箱拥有率为 49%,电 视机拥有率 85%,洗衣机拥有率为 44%,拥有上述三种电器中两种 或三种的占 63%,三种电器齐全的为 25%,那么一种电器也没有的 相对贫困户所占比例为________. 解析:不妨设调查了 100 户农户,

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U={被调查的 100 户农户}, A={100 户中拥有电冰箱的农户}, B={100 户中拥有电视机的农户}, C={100 户中拥有洗衣机的农户}, 由图可知,A∪B∪C 的元素个数为 49+85+44-63-25=90. ∴?U(A∪B∪C)的元素个数为 100-90=10. ∴所占比例为:10%. 答案:10% 三、解答题 11.(1)已知 A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3}且 1∈A,求实数 a 的值; (2)已知 M={2,a,b},N={2a,2,b2}且 M=N,求 a,b 的值. 解:(1)由题知:a+2=1 或(a+1)2=1 或 a2+3a+3=1, ∴a=-1 或-2 或 0,据元素的互异性排除-1,-2. ∴a=0 即为所求.
? ? ? ? ?a=2a ?a=b ?a=0 ?a=0 ? ? ? ? (2)由题知, 或 ? 或 2 ? ? ? ? b = b b = 2 a b = 1 ? ? ? ?b=0
2

1 ? a = ? 4 或? 1 ? b = ? 2



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?a=4 ? ?a=0 据元素的互异性得? 或? 1 ? ?b=1 ? ?b=2

?

1

即为所求.

12.设全集 U=R,函数 y=log2(6-x-x2)的定义域为 A,函数 y = 1 的定义域为 B. x -x-12
2

(1)求集合 A 与 B; (2)求 A∩B、(?UA)∪B. 解:(1)函数 y=log2(6-x-x2)要有意义需满足:6-x-x2>0,解 得-3<x<2, ∴A={x|-3<x<2}. 函数 y= 或 x>4, ∴B={x|x<-3 或 x>4}. (2)A∩B=?. ?UA={x|x≤-3 或 x≥2}, ∴(?UA)∪B={x|x≤-3 或 x≥2}. 13.已知集合 A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)(x-3a)<0}. (1)若 A B,求 a 的取值范围; (2)若 A∩B=?,求 a 的取值范围; (3)若 A∩B={x|3<x<4},求 a 的取值范围. 解:∵A={x|x2-6x+8<0}, ∴A={x|2<x<4}. (1)当 a>0 时,B={x|a<x<3a},当 A B 时, 1 要有意义需满足 x2-x-12>0, 解得 x<-3 x -x-12
2

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? ?a≤2, ?a<2, 4 ? 应满足 或? ?3≤a≤2; ? ?3a>4. ?3a≥4

当 a<0 时,B={x|3a<x<a},当 A B 时,
?3a≤2 ?3a<2 4 应满足? 或? ?a∈?,∴3≤a≤2 时,A B. ?a>4 ?a≥4

(2)要满足 A∩B=?, 当 a>0 时,B={x|a<x<3a},a≥4 或 3a≤2, 2 ∴0<a≤3或 a≥4; 4 当 a<0 时,B={x|3a<x<a},a≤2 或 a≥3, ∴a<0,验证知当 a=0 时也成立. 2 综上所述,{a|a≤3,或 a≥4}时 A∩B=?. (3)要满足 A∩B={x|3<x<4}, 显然 a>0 且 a=3 时成立, 此时 B={x|3<x<9},且 A∩B={x|3<x<4}. 故所求 a 的值为 3.

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