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必修一 指数函数图像及其性质 教案


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个性化学科优化学案
辅导科目 课 题 2015 年 12 月 10 数学 就读年级 高二 学生 教师姓名 徐亚 指数函数及其性质 备课时间
2015 年 12 月 12 日

授课时间 教 学 目 标

1.掌握指数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域; 2.掌握指数函数图象: (1)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指 数函数的性质; (2)掌握底数对指数函数图象的影响; (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别. 3.学会利用指数函数单调性来比较大小,包括较为复杂的含字母讨论的类型

重、难
会绘制指数函数的图像,并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质。





教学内容

鹰击长空—基础不丢
要点一、指数函数的概念: x 函数 y=a (a>0 且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,a 为常数,函数定义域为 R. 要点诠释: (1) 形式上的严格性: 只有形如 y=a (a>0 且 a≠1)的函数才是指数函数.像 y ? 2 ? 3 , y ? 2 , y ? 3 ? 1 等
x

x

1 x

x

函数都不是指数函数. (2)为什么规定底数 a 大于零且不等于 1: ①如果 a ? 0 ,则 ?

? x ? 0时,a x 恒等于0, ? x ? ? x ? 0时,a 无意义.
x

②如果 a ? 0 ,则对于一些函数,比如 y ? (?4) ,当 x ?

1 1 , x ? , ??? 时,在实数范围内函数值不存在. 2 4

x ③如果 a ? 1 ,则 y ? 1 ? 1 是个常量,就没研究的必要了.

要点二、指数函数的图象及性质: y=a 0<a<1 时图象
x

a>1 时图象

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图象

①定义域 R,值域 (0,+∞) ②a =1, 即 x=0 时,y=1,图象都经过(0,1)点 性质 ③a =a,即 x=1 时,y 等于底数 a ④在定义域上是单调减函数 ⑤x<0 时,a >1 x x>0 时,0<a <1 ⑥ 既不是奇函数,也不是偶函数 要点诠释: (1)当底数大小不定时,必须分“ a ? 1 ”和“ 0 ? a ? 1 ”两种情形讨论。 (2)当 0 ? a ? 1 时, x ? ??, y ? 0 ;当 a ? 1 时 x ? ??, y ? 0 。 当 a ? 1 时, a 的值越大,图象越靠近 y 轴,递增速度越快。 当 0 ? a ? 1 时, a 的值越小,图象越靠近 y 轴,递减的速度越快。 (3)指数函数 y ? a x 与 y ? ?
x x 0

④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0 时,0<a <1 x x>0 时,a >1
x

?1? ? 的图象关于 y 轴对称。 ?a?

x

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 (1)

① y ? ax ② y ? bx ③ y ? c x ④ y ? d x 则:0<b<a<1<d<c 又即:x∈(0,+∞)时, b x ? a x ? d x ? c x (底大幂大) x x x x x∈(-∞,0)时, b ? a ? d ? c (2)特殊函数

y ? 2x ,

y ? 3x ,

1 y ? ( )x , 2

1 y ? ( ) x 的图像: 3

由底数变化引起指数函数图像变化的规律:在 y 轴右侧,底大图高;在 y 轴左侧,底大图低。

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要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为: ①若 A ? B ? 0 ? A ? B ; A ? B ? 0 ? A ? B ; A ? B ? 0 ? A ? B ; ②当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断

A A ? 1 ,或 ? 1 即可. B B

可以攻玉—经典题型
类型一、指数函数的概念 例 1.函数 y ? (a2 ? 3a ? 3)a x 是指数函数,求 a 的值.

举一反三: 【变式 1】指出下列函数哪些是指数函数? (1) y ? 4 ;(2) y ? x ;(3) y ? ?4 ;(4) y ? (?4) ;
x 4 x x

(5) y ? (2a ? 1) (a ?
x

1 且a ? 1) ;(6) y ? 4? x . 2

类型二、函数的定义域、值域 例 2.求下列函数的定义域、值域.

3x 1 x x 2 x ?1 (1) y ? ;(2)y=4 -2 +1;(3) 3 ? ;(4) y ? a x 1? 3 9

2x ?1 x ?1

(a 为大于 1 的常数)

举一反三: 【变式 1】求下列函数的定义域: (1) y ? 2x (3) y ?
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2

-1

(2) y ? 3

3- x

2 x -1
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x (4) y ? 1- a ( a ? 0, a ? 1)

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类型三、指数函数的单调性及其应用

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?1? 例 3.讨论函数 f ( x ) ? ? ? ?3?

x2 ?2 x

的单调性,并求其值域.

举一反三: 【变式 1】求函数 y ? 3? x
2

?3 x?2

的单调区间及值域.

【总结升华】由本例可知,研究 y ? a f ( x ) 型的复合函数的单调性用复合法,比用定义法要简便些,一般地有: 即当 a>1 时, y ? a f ( x ) 的单调性与 y ? f ( x) 的单调性相同;当 0<a<1 时, y ? a f ( x ) 的单调与 y ? f ( x) 的单调 性相反.

例 4.证明函数 f ( x) ?

ax ?1 (a ? 1) 在定义域上为增函数. ax ? 1

【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。 【解析】定义域为 x ? R,任取 x1<x2,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
?
∵ a 1 ? 1 ? 0, a
x

a x1 ? 1 a x2 ? 1 (a x1 ? 1)(a x2 ? 1) ? (a x1 ? 1)(a x2 ? 1) ? ? a x1 ? 1 a x2 ? 1 (a x1 ? 1)(a x2 ? 1)
2(a x1 ? a x2 ) . (a x1 ? 1)(a x2 ? 1)

? 1 ? 0 , ∴ (a x1 ? 1)(a x2 ? 1) ? 0 , x x x x 又 a>1, x1<x2, ∴ a 1 ? a 2 , ∴ a 1 ? a 2 ? 0 , ∴ f(x1)<f(x2), ax ?1 (a ? 1) 在定义域上为增函数. 则 f ( x) ? x a ?1 x x x x x ?x 另: a 1 ? a 2 ? a 1 (1 ? a 2 1 ) , ∵ a 1 ? 0 , a>1 且 x2-x1>0, x ?x x ?x ∴ a 2 1 ? 1, ∴ 1 ? a 2 1 ? 0 .
x2

例 5.判断下列各数的大小关系: (1)1.8 与 1.8 ; (3)2 ,(2.5) , (
2.5 0 a a+1

(2) ( ) 3 ,3 ,( )

? 3

2 4

1 3

-2

1 2.5 ) 2

(4) a 2与a 3 (a ? 0, a ? 1)

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【变式 1】比较大小: 2.1 2.3 3 3 (1)2 与 2 (2)3.5 与 3.2 (4)0.9 与 0.7
0.3 0.4

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(3)0.9
1 1

-0.3

与 1.1

-0.1

(5) 1.5

?0.2

2 4 , ( )3 , ( )3 . 3 3

【总结升华】在进行数的大小比较时,若底数相同,则可根据指数函数的性质得出结果,若底数不相同,则首 先考虑能否化成同底数,然后根据指数函数的性质得出结果;不能化成同底数的,要考虑引进第三个数(如 0,1 等)分别与之比较,从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式,根据指数函数单调性进行判断. 类型四、判断函数的奇偶性 例 7.判断下列函数的奇偶性: f ( x) ? ( 【答案】偶函数 【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵ ? ( x) 定义域关于原点对称,且 f(x)的定义域是 ? ( x) 定义域除掉 0 这个

1 1 ? )? ( x) ( ? ( x) 为奇函数) 2 ?1 2
x

1 1 1 1 2x 1 ? 2x 1 ? ,则 g (? x) ? ? x ? ? ? ? x ? 元素),令 g ( x ) ? x x 2 ?1 2 2 2 ?1 2 2 ?1 2 1? 2

?

? (2 x ? 1) ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ?1 ? x ? ? ?( x ? ) ? ? g ( x) x 2 2 ?1 2 ?1 2 2 ?1 2

∴ g(x)为奇函数, 又 ∵ ? ( x) 为奇函数,∴ f(x)为偶函数.

举一反三: 【变式 1】判断函数的奇偶性: f ( x ) ?

x x ? . 2 ?1 2
x

类型五、指数函数的图象问题
x 例 8. 如图的曲线 C1、 C2、 C3、 C4 是指数函数 y ? a 的图象, 而a?? ,

? ?1 ? ?2

? 2 ? , 3, ? ? , 2 ? ?

则图象 C1、 C2、 C3、 C4 对应的函数的底数依次是________、 ________、 ________、 ________. 【变式 2】为了得到函数 y ? 9 ? 3 ? 5 的图象,可以把函数 y ? 3 的图象(
x x

)

A.向左平移 9 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 B.向右平移 9 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 C.向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 D.向右平移 2 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度
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