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高考数学小题综合练(三)


姓名:________

班级:________

学号:________

高考小题综合练(三)

a+i 1.(2015· 韶关十校联考)已知 a 是实数, 是纯虚数,则 a 等于( 1-i A.1 C. 2 B.-1 D.- 2

)

2.(2015·

重庆一中月考)已知集合 M={x|x2-2x<0},N={x|x<a},若 M?N,则实数 a 的取值 范围是( ) B.(2,+∞) D.(-∞,0]

A.[2,+∞) C.(-∞,0)

x-y≤0, ? ? 3.设 x,y 满足约束条件?x+y-1≥0, 若 z=x+3y+m 的最小值为 4,则 m 等于( ? ?x-2y+2≥0, A.1B.2C.3D.4 4.已知 α,β,γ 是三个不同的平面,α∩γ=m,β∩γ=n,则( A.若 m⊥n,α⊥β C.若 m∥n,则 α∥β B.若 α⊥β,则 m⊥n D.若 α∥β,则 m∥n )

)

5.已知数列{an}满足 1+log3an=log3an+1(n∈N*),且 a2+a4+a6=9,则 log 1 (a5+a7+a9)的
3

值是(

)

1 1 A. B.- C.5D.-5 5 5 6.(2015· 安徽改编)执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的 n 值为( )

A.3B.4C.5D.6 7.(2015· 课标全国Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分 的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( 1 A. 8 1 C. 6 1 B. 7 1 D. 5 1 4 2 x )n 的展开式按 x 的降幂排列,若前三项系 )

8.(2015· 浙江省重点中学训练)将二项式( x+

数成等差数列,则该展开式中 x 的指数是整数的项的个数是( A.3B.4C.5D.6

)

9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且满足 csinA= 3acosC,则 sinA +sinB 的最大值是( A.1B. 2C.3D. 3 x2 y2 x2 y2 10.(2014· 山东)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2- 2=1,C1 a b a b 与 C2 的离心率之积为 A.x± 2y=0 C.x± 2y=0 3 ,则 C2 的渐近线方程为( 2 B. 2x± y=0 D.2x± y=0 ) )

1 2 → → → 11. 设 D, E 分别是△ABC 的边 AB, BC 上的点, AD= AB, BE= BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1, 2 3 λ2 为实数),则 λ1+λ2 的值为( A.0 C.1 ) 1 B. 2 5 D. 2 )

12.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( A.至多有一次中靶 B.两次都中靶

C.只有一次中靶

D.两次都不中靶

13.f(x)=x(x-c)2 在 x=2 处有极大值,则常数 c 的值为________. 14.如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是下 a 底面的棱 A1B1、 B1C1 的中点, P 是上底面的棱 AD 上的点, AP= , 过 P、 3 M、N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ=________. 15.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,对 于任意的 n>1,n∈N*,Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)都成立,则 S10=________. 16.(2015· 四川)已知函数 f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中 a∈R).对于不相等的实数 x1,x2,设 f?x1?-f?x2? g?x1?-g?x2? m= ,n= , x1-x2 x1-x2 现有如下命题: ①对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 m>0; ②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1,x2,都有 n>0; ③对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n; ④对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=-n. 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号).

答案精析 高考小题综合练(三)
1.A a+i ?a+i??1+i? a-1 a+1 a-1 [因为 = = + i 是纯虚数,所以 =0,即 a=1, 2 2 2 1-i ?1-i??1+i?

所以应选择 A.] 2.A [M={x|x2-2x<0}=(0,2),因为 M?N,所以 a≥2,故选 A.]

1 1 3.B [画出可行域,如图所示,设 z′=x+3y,变形为 y=- x+ 3 3 z′,当 z′取到最小值时,直线的纵截距最小,此时直线过 C 点.
? ?x-y=0, 1 1 由? 可知 C( , ),代入目标函数 z=x+3y+m,得 4 2 2 ?x+y-1=0, ?

1 1 = +3× +m,得 m=2.] 2 2 4. D [对于 D, 两个平面平行的性质定理, 即两个平面平行, 第三个平面与这两个平面相交, 则它们的交线平行,因此 D 是正确的,而 A,B,C 均可以举出反例说明不成立.] 5.D an+1 [由 1+log3an=log3an+1 得 =3,{an}为等比数列,公比为 3. an

∴a5+a7+a9=27(a2+a4+a6)=27×9=35, ∴log 1 (a5+a7+a9)=log 1 35=-5.]
3 3

3 6.B [执行第一次判断:|a-1.414|=0.414>0.005,a= ,n=2; 2 执行第二次判断:|a-1.414|=0.086> 7 0.005,a= ,n=3; 5 执行第三次判断:|a-1.414|=0.014> 17 0.005,a= ,n=4; 12 执行第四次判断:|a-1.414|<0.005,输出 n=4.] 7.D [如图,由题意知,该几何体是正方体 ABCD-A1B1C1D1 被过三点 A、 B1、D1 的平面所截剩余部分,截去的部分为三棱锥 AA1B1D1,设正方体的 棱长为 1,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

VA? A1B1D1 VB1C1D1 ? ABCD



VA? A1B1D1 VA1B1C1D1 ? ABCD-VA? A1B1D1

1 1 × ×12×1 3 2 1 = = ,选 D.] 1 1 5 13- × ×12×1 3 2 8.A 1 [展开式的通项为 Tr+1=Cr ( )rx n· 2
2 n ?3 r 4

(r=0,1,2,?,n),

n n?n-1? ∴前三项的系数分别是 1, , , 2 8 n?n-1? n ∴2· =1+ ,∴n=8, 2 8 ∴当 n=8 1r 时,Tr+1=Cr 8( ) x 2
16 ?3 r 4

(r=0,1,2,?,8),

∴r=0,4,8,展开式中 x 的指数是整数,故共有 3 个,答案为 A.] 9.D [∵csinA= 3acosC,∴sinCsinA= 3sinAcosC,

∵sinA≠0,∴tanC= 3,∵0<C<π, π ∴C= , 3 2π ∴sinA+sinB=sinA+sin( -A) 3 3 3 π = sinA+ cosA= 3sin(A+ ), 2 2 6 2π π π 5π ∵0<A< ,∴ <A+ < , 3 6 6 6 ∴ 3 π < 3sin(A+ )≤ 3,∴sinA+sinB 的最大值为 3.] 2 6 c1 c2 [由题意知 e1= ,e2= , a a

10.A

c1 c2 c1c2 3 ∴e1· e2= · = 2 = . a a a 2
2 2 2 2 2 又∵c2 1=a -b ,c2=a +b ,



4 4 2 2 c1 c2 a -b b4 4 = 4 =1-( ) , a a a

b 3 即 1-( )4= , a 4 b 2 b 2 解得 =± ,∴ = . a 2 a 2 x2 y2 令 2- 2=0,解得 bx± ay=0, a b ∴x± 2y=0.]

11.B

1→ 2→ → → → 1→ 2 → 1→ 2 → → [DE=DB+BE= AB+ BC= AB+ (BA+AC)=- AB+ AC, 2 3 2 3 6 3

1 2 1 所以 λ1=- ,λ2= ,即 λ1+λ2= .] 6 3 2 12.D [射击两次的结果有:一次中靶;二次中靶;两次都不中靶,

故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶.] 13.6 解析 f(x)=x3-2cx2+c2x,f′(x)=3x2-4cx+c2, f′(2)=0?c=2 或 c=6.若 c=2,f′(x)=3x2-8x+4, 2 2 令 f′(x)>0?x< 或 x>2,f′(x)<0? <x<2, 3 3 2 2 故函数在(-∞, )及(2,+∞)上单调递增,在( ,2)上单调递减, 3 3 ∴x=2 是极小值点,故 c=2 不合题意,同样验证可知 c=6 符合题意. 2 2 14. a 3 解析 如图所示,连接 AC, 易知 MN∥平面 ABCD, ∴MN∥PQ. 又∵MN∥AC, ∴PQ∥AC. a 又∵AP= , 3 ∴ PD PQ 2 2 2 2 = = ,∴PQ= AC= a. AD AC 3 3 3

15.91
?Sn+1+Sn-1=2Sn+2, ? 解析 ∵? ? ?Sn+2+Sn=2Sn+1+2,

∴an+2+an=2an+1, ∴数列{an}从第二项开始为等差数列,当 n=2 时,S3+S1=2S2+2,∴a3=a2+2=4,∴S10 =1+2+4+6+?+18=1+ 16.①④ 解析 设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)), C(x1,g(x1)),D(x2,g(x2)),对于①从 y=2x 的图象可看出,m=kAB>0 恒成立,故正确; 9?2+18? =91. 2

对于②直线 CD 的斜率可为负,即 n<0,故不正确; 对于③由 m=n 得 f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2), 即 f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2), 令 h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax, 则 h′(x)=2x· ln2-2x-a, 由 h′(x)=0,得 2x· ln2=2x+a,(*)结合图象知,当 a 很小时,方程(*) 无解,∴函数 h(x)不一定有极值点,就不一定存在 x1,x2 使 f(x1)-g(x1) =f(x2)-g(x2),不一定存在 x1,x2 使得 m=n; 对于④由 m=-n,得 f(x1)-f(x2) =g(x2)-g(x1), 即 f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2), 令 F(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax,则 F′(x)=2xln2+2x+a, 由 F′(x)=0,得 2xln2=-2x-a, 结合如图所示图象可知,该方程有解,即 F(x)必有极值点,∴存在 x1, x2 使 F(x1)=F(x2),使 m=-n. 故①④正确.


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